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Singular Value Decomposition
Raul Queiroz Feitosa
25/5/2010 Sigular Value Decomposiion 2
Definition
Any m×n matrix A can be written as:
A = U D V T
where 
� the columns of the m×m matrix U are mutually 
orthogonal unity vectors, 
� as well as the columns of n×n matrix V, and
� the m×n matrix D is diagonal, its elements σi
(i=1,2,...,n) are called (σ1 ≥ σ2 ≥… σn ≥0 ) singular 
values.
25/5/2010 Sigular Value Decomposiion 3
Example












=
00040
00000
00300
20001
A












−
=
0001
1000
0010
0100
U












=
00000
00500
00030
00004
D
















−
=
2.00008.0
01000
8.00002.0
00100
00010
V
A = U D V T
25/5/2010 Sigular Value Decomposiion 4
Properties
� A square matrix A is nonsingular if and only if all 
its singular values are different from zero.
� The ratio
C= σ1/ σn,
called condition number, measures the degree of 
singularity of A. When 1/C is comparable to the 
arithmetic precision of the machine, the matrix A 
is ill-conditioned and, for all practical purposes, 
can be considered singular.
25/5/2010 Sigular Value Decomposiion 5
Properties (cont.)
� The squares of the non zero singular values 
are the nonzero eigenvalues of both the n×n
matrix AAT and m×m matrix ATA.
� The columns of U are the eigenvectors of 
AAT
� The columns of V are the eigenvectors of 
ATA.
25/5/2010 Sigular Value Decomposiion 6
Singular Value Decomposition
END

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