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Exercicios resolvidos de fisica 191

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1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIS 191 
 
INTRODUÇÃO A MECÂNICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS 
 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
 
 
 
 
 
 
 2
ÍNDICE 
REVISÃO DE MATEMÁTICA BÁSICA ----------------------------------------------------------------------- 03 
 EQUÇÃO DO SEGUNDO GRAU--------------------------------------------------------------------------------------- 03 
 TRIÃNGULO RETÂNGULO--------------------------------------------------------------------------------------------- 04 
CAPÍTULO 1- VETORES ---------------------------------------------------------------------------------------- 06 
 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ------------------------------------------------------------------------------------------ 06 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS------------------------------------------------------------------------------------------- 10 
CAPÍTULO 2- MOVIMENTO RETILÍNEO ------------------------------------------------------------------- 12 
 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ------------------------------------------------------------------------------------------ 12 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS------------------------------------------------------------------------------------------- 23 
CAPÍTULO 3- MOVIMENTO EM DUAS OU TRÊS DIMENSÒES------------------------------------- 28 
 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ------------------------------------------------------------------------------------------ 28 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS------------------------------------------------------------------------------------------- 39 
CAPÍTULO 4- LEIS DE NEWTON DO MOVIMENTO ---------------------------------------------------- 41 
CAPÍTULO 5- APLICAÇÕES DASLEIS DE NEWTON -------------------------------------------------- 41 
 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ------------------------------------------------------------------------------------------ 41 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS------------------------------------------------------------------------------------------- 62 
CAPÍTULO 6- TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA ------------------------------------------------------ 69 
 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ------------------------------------------------------------------------------------------ 69 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS------------------------------------------------------------------------------------------- 74 
CAPÍTULO 7- ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAÇÃO DA ENERGIA ------------------------ 76 
 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ------------------------------------------------------------------------------------------ 76 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS------------------------------------------------------------------------------------------- 85 
CAPÍTULO 8- MOMENTO LINEAR, IMPULSO E COLISÕES ----------------------------------------- 88 
 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ------------------------------------------------------------------------------------------ 88 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS------------------------------------------------------------------------------------------- 99 
CAPÍTULO 11- EQUILÍBRIO ------------------------------------------------------------------------------------ 101 
 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ------------------------------------------------------------------------------------------ 101 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS------------------------------------------------------------------------------------------- 114 
 3
 
 
 
 
1. Equação do Segundo Grau: 
 Uma equação quadrática ou equação do segundo grau é uma equação polinomial de grau dois. A 
forma geral deste tipo de equação é: 
, 
onde x é uma variável, sendo a, b e c constantes, com a ≠ 0 (caso contrário, a equação torna-se linear). As 
constantes a, b e c, são chamadas respectivamente de coeficiente quadrático, coeficiente linear e coeficiente 
constante ou termo livre. A variável x representa um valor a ser determinado, e também é chamada de incógnita. 
 A equação quadrática é, antes de tudo, um polinômio do segundo grau, isto é, tem como termo de maior 
grau (valor do expoente mais alto) um termo de expoente 2. A definição "a diferente de zero (a ≠ 0)" é o que 
caracteriza a equação de segundo grau, visto que a incógnita é diretamente multiplicada pelo coeficiente a, e 
portanto se a fosse igual a zero, anular-se-ia o e assim a equação passaria a ser linear. 
 Para a resolução de uma equação do segundo grau completa ou incompleta, podemos recorrer 
à fórmula geral de resolução: 
 
 
 
Esta fórmula também é conhecida como fórmula de Bhaskara. 
 Na fórmula acima, a expressão que aparece sob a raiz quadrada é chamada de discriminante da 
equação quadrática, e é comumente denotada pela letra grega delta maiúsculo: 
 
Dessa forma, pode-se reescrever a fórmula resumidamente como: 
 
 Uma equação quadrática com coeficientes reais tem duas raízes reais, ou então duas raízes complexas. 
O discriminante da equação determina o número e a natureza das raízes. Há apenas três possibilidades: 
(Lembrando que todo polinômio de grau n, tem n raízes; Como uma equação do 2º grau é de grau 2, logo ela 
possui duas raízes.) 
 Se a equação tem duas raízes reais distintas. 
 No caso de equações quadráticas com coeficientes inteiros, se o discriminante for um quadrado 
perfeito, então as raízes são números racionais — em outros casos eles podem ser irracionais. 
 Se a equação tem duas raízes reais e iguais, ou popularmente "uma única raiz", algumas 
vezes chamada de raiz dupla: 
 
 Se a equação não possui qualquer raiz real. Em vez disso, ela possui duas 
raízes complexas distintas, que são conjugadas uma da outra: 
e 
 
onde i é a unidade imaginária. 
 
REVISÃO DE MATEMÁTICA BÁSICA 
 
 4
 Assim as raízes são distintas se e somente se o discriminante é não nulo, e são reais se e somente se o 
discriminante é não-negativo. 
 
Exemplo de resolução de uma equação do segundo grau: 
 
1) Encontre as raízes da equação: 2x2 - 6x - 56 = 0 
 
Aplicando a fórmula geral de resolução à equação temos: 
 
 
 
Observe que temos duas raízes reais distintas, o que já era de se esperar, pois apuramos para ∆ o valor 484, 
que é maior que zero. 
 
Logo: 
As raízes da equação 2x2 - 6x - 56 = 0 são: -4 e 7. 
 
Fonte de pesquisa: http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_quadr%C3%A1tica 
 http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoSegundoGrau.aspx 
 
2. Triângulo retângulo: 
 Triângulo retângulo, em geometria, é um triângulo que possui um ângulo reto (90°) e outros dois 
ângulos agudos,  e  (Figura 1), e a soma dos três ângulos internos é igual a um ângulo raso (180°). É uma 
figura geométrica muito usada na matemática, no cálculo de áreas, volumes e no cálculo algébrico. Em um 
triângulo retângulo, sabendo-se as medidas de dois lados ou a medida de um lado mais a medida de um ângulo 
agudo, é possível calcular a medida dos demais lados e ângulos. A área de um triângulo retângulo é dada pela 
metade do produto dos menores lados (ab/2). A relação entre os lados e ângulos de um triângulo retângulo é a 
base da trigonometria. 
 
 
 
 
 
 
2.1 . Teorema de Pitágoras: 
 O Teorema de Pitágoras diz que: 
 A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. — Pitágoras 
 ou, em linguagem matemática, baseado na Figura 1: 
hipotenusa (c)² = cateto (a)² + cateto (b)² 
 
Figura 1: Exemplo de um triângulo 
retângulo.
 

 5
2.2 . Relações trigonométricas do triângulo retângulo: 
 
 Outra maneira de calcular a medida dos lados de um triângulo retângulo é através da medida de um 
ângulo e um lado, usando a Trigonometria. 
 As principais relações trigonométricas são: Seno, Cosseno e Tangente. 
 
 2.2.1. Seno deum ângulo 
 É dado pela razão entre os lados que formam o outro ângulo agudo, dado pela ordem: 
 
 
Exemplo: Para o triângulo retângulo da Figura 1, teríamos: 
c
asenθ  e 
c
bsen  
 
2.2.2. Cosseno de um ângulo 
 É a razão entre a medida do cateto adjacente e a medida da hipotenusa e é dado pela razão 
entre os lados que formam o próprio ângulo agudo, dado pela ordem: 
 
 
Exemplo: Para o triângulo retângulo da Figura 1, teríamos: 
c
bcosθ  e 
c
acos  
 
2.2.3. Tangente de um ângulo 
É dada pela razão entre o Seno e o Cosseno de um ângulo, ou entre os catetos, dado pela seguinte 
ordem: 
 
 
Exemplo: Para o triângulo retângulo da Figura 1, teríamos: 
b
atgθ  e 
a
btg  
 
Fonte de pesquisa: http://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_ret%C3%A2ngulo
 6
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 
 
CAPÍTULO 1- VETORES 
 
1. 
2. 
3.
 7
 
4. 
5. 
 8
 
6. 7.
 9
8. 
 10
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. Um arco circular é centrado no ponto de coordenadas .0,0  yx (a) Uma estudante 
caminha ao longo desse arco da posição 0,5  ymx até uma posição final 
.5,0 myx  Determine o vetor deslocamento da estudante. (b) Uma segunda estudante 
caminha da mesma posição inicial ao longo do eixo x para a origem e, em seguida, ao longo 
do eixo y para .05  xemy Qual é o vetor deslocamento da segunda estudante? 
 
2. Para os dois vetores A

 e B

mostrados na figura abaixo, cujos módulos são iguais a 2 m, 
determine o vetor resultante de: (a) BA
  , (b) BA   , (c) BA  2 , (d) AB   , (e) AB  2 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Um vetor A

possui módulo de 8 m e faz um ângulo de 37º acima do eixo x positivo; o vetor 
jˆ(5m) -iˆ3m)(B  ; o vetor jˆ(3m)iˆ)6(C  m . Determine os seguintes vetores: 
 (a) CAD
  , (b) ABE   , (c) BAF  2 , (d) um vetor G tal que GCABG  32  . 
 
4. Uma roda de raio igual a 45,0 cm rola sem deslizar ao longo de um plano horizontal (Figura 
abaixo). No instante t1, o ponto P pintado na borda da roda está no ponto de contato entre a 
roda e o piso. Em um instante posterior t2, a roda girou meia volta. Quais são o módulo e a 
orientação do vetor deslocamento do ponto P durante este intervalo de tempo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Um barco a vela navega 2 km para o leste, em seguida 4 km para o sudoeste e, então, navega 
uma distância adicional em uma direção desconhecida. A sua posição final é a 5 km 
diretamente a leste do ponto de partida. Determine o vetor deslocamento do trecho 
desconhecido. 
6. Um explorador de cavernas anda ao longo de uma passagem de 100 m em direção ao leste, 
em seguida 50 m em uma direção a 37º a oeste do norte e, enfim, 150 m a 53º a oeste do sul. 
Após um quarto deslocamento não medido, ele se encontra no lugar onde iniciou o percurso. 
Determine o quarto vetor deslocamento. 
45º 
30º 
A

 (2m) 
B

(2m) 
x 
y 
P 
P 
No instante t1 No instante t2
 11
7. Três vetores A

, B

e C

possuem as seguintes componentes nas direções x e y: Ax = 6 m, 
Ay = – 3 m; Bx = – 3 m, By = 4 m; Cx = 2 m, Cy = 5 m. (a) Expresse os vetores A

, B

e C

 em 
termos de vetores unitários i

 e j

. (b) Determine o vetor resultante CBAR
  . 
(c) Determine o módulo do vetor resultante. (d) Determine a orientação do vetor resultante. 
 
8. Determine o módulo, a direção e o sentido dos seguintes vetores: (a) jiA ˆ3ˆ5  , 
 (b) jiB ˆ7ˆ10  , (c) jiC ˆ7ˆ4  . 
 
 
RESPOSTAS 
1. a) jir ˆ5ˆ5  
 
NoroesteOrientação
mrr
,º45:
07,7
 
 b) jir ˆ5ˆ5  
 
NoroesteOrientação
mrr
,º45:
07,7
 
 
2. a) 
lestedonorteaOrientação
mBA
jiBA
º5,7:
173,3
ˆ414,0ˆ146,3




 
 
 b) 
oestedonorteaOrientação
mBA
jiBA
º5,82:
435,2
ˆ414,2ˆ318,0




 
 
 c) 
lestedonorteaOrientação
mBA
jiBA
º4,21:
913,42
ˆ828,1ˆ56,42




 
 
 d) 
lestedosulaOrientação
mAB
jiAB
º5,82:
435,2
ˆ414,2ˆ318,0




 
 e) 
lestedosulaOrientação
mAB
jiAB
º59:
982,32
ˆ414,3ˆ05,22




 
3.a) 
lestedonorteaOrientaçãomD
jiD
º1,87:81,7
ˆ8,7ˆ4,0


 
 b) 
oestedosulaOrientaçãomE
jiE
º9,70:4,10
ˆ8,9ˆ4,3


 
 c) 
lestedonorteaOrientaçãomF
jiF
º5,88:81,14
ˆ8,14ˆ4,0


 
 d) 
lestedosulaOrientaçãomG
jiG
º9,65:18,3
ˆ9,2ˆ3,1


 
4. jcmicmr ˆ)90(ˆ)3,141(  
lestedonorteaOrientaçãocmrr º5,32:5,167 
 
5. 
lestedonorteaOrientaçãokmC
jiC
º9,25:48,6
ˆ83,2ˆ83,5


 
6. 
nordesteOrientaçãomD
jiD
,º45:7,70
ˆ50ˆ50


 
7. a) 
jiC
jiB
jiA
ˆ5ˆ2
ˆ4ˆ3
ˆ3ˆ6






 
 b) jiR ˆ6ˆ5  
 c) mR 81,7 
 d) lestedonorteaOrientação º2,50: 
 
8. 
oestedosulaOrientaçãoCc
lestedosulaOrientaçãoBb
lestedonorteaOrientaçãoAa
º3,60:06,8)
º35:21,12)
º31:83,5)



 
 
 12
 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1. Dois carros A e B, movem-se no mesmo sentido. No instante t = 0, suas respectivas velocidades 
são v0 e 3v0 e suas respectivas acelerações são 2a e a. Se no instante t = 0 o carro A está uma 
distância D à frente do carro B, determine o(s) instante(s) em que eles estarão lado a lado. 
Expresse sua(s) resposta(s) em função de v0, a e D. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 2- MOVIMENTO RETILÍNEO 
 
0 
0 
XA 
XB 
D 
Carro A 
x0 (A) = D 
v0 (A) = v0 
aA = 2a 
Carro B 
x0 (B) = 0 
v0 (B) =3v0 
aB = a 
A posição de uma partícula em movimento retilíneo 
com aceleração constante é dada por: 
2
00 2
1 attvxx  
Para o carro A temos: 20 attvDxA  , 
e para o carro B, 22103 attvxB  . 
No(s) instante(s) em que os carros A e B estiverem 
lado a lado, xA = xB. 
024
02
3
0
2
0
2
2
1
2
2
1
0
2
0



Dtvat
Dtvat
attvattvD
 
As raízes da equação acima fornecerão os possíveis 
instantes em que os móveis estarão lado a lado. 
 
024 0
2  Dtvat 
a
aDvv
a
aDvv
t
a
aDvv
a
aDvv
t
242
2
2424
2
)2(84
2
8164
2
00
2
00
2
00
2
00


 
Para os casos em que 2042 vaD  haverá dois instantes 
possíveis, t1 e t2, iguais a: 
a
aDvv
t
a
aDvv
t
242
e
242 200
2
2
00
1

Para o caso em que 2042 vaD  , o encontro ocorrerá 
no instante: 
a
v
t 0
2 . 
 13
2. Do alto do terraço de um edifício de altura H um objeto é arremessado verticalmente para cima, 
num local onde a aceleração da gravidade possui módulo g. Na descida ele passa rente ao edifício 
atingindo o solo com uma velocidade cujo módulo é v1. Determine, em função de v1, g e H, (a) a 
velocidade de lançamento do objeto; (b) o instante em que o objeto atinge o solo e (c) a velocidade 
do objeto no instante em que passa por um ponto localizado na metade da altura do edifício. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Um objeto é arremessado verticalmente para cima com velocidade de módulo 0v , num local onde a 
aceleração da gravidade possui um módulo igual a g. Determine (a) a posição e (b) os instantes em 
que a velocidade do objeto tem seu módulo reduzido à metade. Expresse suas respostas em 
termos de v0 e g. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+ x 
H
v 
0v
 
1v
 
0Considerando a origem do eixo x no 
solo e o sentido do movimento para 
cima como positivo podemos escrever: 
)3()(2
)2(
)1(
2
1
2
0
2
0
2
0
Hxgvv
gtvv
gttvHx



 
 
(a) Sabendo que o objeto atinge o solo 
(x = 0) com velocidade v = -v1 , 
usando a eq. (3) temos: 
gHvv
gHvv
gHvv
Hgvv
2
2
2
)0(2)(
2
10
2
1
2
0
2
0
2
1
2
0
2
1




 
(b) Calculada a velocidade de 
lançamento e sabendo que o objeto 
atinge o solo com velocidade v = -v1, 
usando a eq. (2): 
 121
2
11
21
2
vgHv
g
t
gtgHvv


 
 
(c) Quando o objeto passa por um 
ponto localizado na metade da altura 
do edifício, x = H/2. Usando a eq. 
(3):  
gHvv
gHvgHgHvv
HHggHvv




 
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
22
 
0 
+ y 
0v

1v
 
2v

)3(2
)2(
)1(
2
1
2
0
2
0
2
ygvv
gtvv
gttvy o



 
21 yyH  
(a) A velocidade do objeto terá o seu módulo reduzido a 2
0v nos 
instantes em que passar pela posição y1 = y2 = H, primeiramente 
subindo 

  jvv ˆ
2
0
1
 e, posteriormente, descendo 

  )ˆ(
2
0
2 j
vv . 
Substituindo v1 e v2 na equação (3), gyvv 220
2  temos: 
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
4
3
4
122
2
vvvgHgHv
v 

 
 de tal forma que: 
g
v
H
8
3 20 
(b) No primeiro instante t1, 2
0
1
vv  e no instante t2, 
2
0
2
vv  . 
Substituindo v1 e v2 na equação (2), gtvv  0 , temos: 
g
vtgtvv
22
0
110
0  e 
g
vtgtvv
2
3
2
0
220
0  
 14
4. (a) Na Terra, onde a aceleração da gravidade é g, um objeto solto do repouso de uma certa altura, 
atinge o solo após um tempo t. Quanto tempo, um objeto solto do repouso num Planeta Z, onde o 
valor da aceleração da gravidade corresponde à metade do valor na Terra, gastaria para atingir o 
solo, tendo caído da mesma altura? Expresse sua resposta em termos de t. (b) Se o objeto solto na 
Terra atinge o solo com uma velocidade, cujo módulo é v, com que velocidade (em termos de v) o 
objeto solto no Planeta Z atinge o solo? 
 
 
 
 
 
g
HtgtH
attvyy
2
2
1
2
1
2
2
00


 
 
 
 
 
5. Uma pedra é arremessada verticalmente para cima, do alto de um edifício de altura H. A pedra 
atinge o solo no instante t1 após o lançamento. A aceleração da gravidade local vale g. 
(Dados: H, t1 e g). 
 
 
 
 
 
a) Determine a velocidade de lançamento da pedra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
00 v 
v 
+ y 
g 
Terra 00 v 
zv
 
+ y 
g
2
1 
Planeta Z 
0 0 
H H 
t tz 
 
gtv
atvv

 0
 
tt
g
HttgH
attvyy
z
zz
2
22
2
1
2
1
2
1
2
2
00








 
vvtgv
atvv
zz 2
22
2
1
0


 
(b) (a) 
0
H
0v
 
g 
+x
A posição x da pedra em um instante t é dada por: 
2
0 2
1 gttvHx  
Em t = t1 a posição da pedra é x = 0. 
1
10
2
110
2
110
2
1
2
1
2
10
t
Hgtv
Hgttv
gttvH



 
 15
b) Determine a velocidade com que a pedra atinge o chão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) um esboço dos gráficos tx  , tv  e ta  referentes ao movimento da pedra desde o instante 
em que é arremessada até atingir o chão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Uma bola é arremessada verticalmente de cima para baixo com uma velocidade de módulo 0v , do 
alto de um edifício cuja altura, acima do solo, é H. O módulo da aceleração da gravidade local é g. 
Determine: (a) o instante após o arremesso que a bola atinge o solo; (b) a velocidade com que a 
bola atinge o solo. (c) Se a bola tivesse sido arremessada de baixo para cima, do mesmo local, com 
a mesma velocidade inicial 0v qual seria a sua velocidade ao atingir o solo? Em todos os itens, (a), 
(b) e (c) dê suas respostas em termos das grandezas H, g e 0v que se fizerem necessárias. Use o 
sistema de coordenadas convencionado abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
t 
x v a 
t 
t 
A velocidade da pedra em um instante t é dada por: 
gtvv  0 
No instante t = t1 a velocidade da pedra será: 



 




 
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
t
Hgtv
t
Hgtv
gt
t
Hgtv
 
H 
t1 
v0 
t1 
t1 
-g 
0 
+ x 
chão 
H 
0v
 
1v
 
t = 0 
t1 
Equações do movimento: 
)(2
2
1
2
0
2
0
2
0
Hxgvv
gtvv
gttvHx



 
 16
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Uma bola é arremessada verticalmente para cima, do alto de um edifício cuja altura, acima do solo, 
é H. O módulo da aceleração da gravidade local é g. Na descida ela passa rente ao edifício por um 
ponto localizado a uma altura H/2 acima do solo no instante t1 após ter sido lançada. Determine: (a) 
o módulo da velocidade de lançamento (em função de H, g e t1); (b) a velocidade com que a bola 
atinge o solo (em função de H, g e t1). Use o sistema de coordenadas convencionado abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Em 0,1  xtt 
g
vgHv
t
g
gHvv
t
g
gHvv
t
g
gHvv
t
Htvgt
gttvH
gttvH
gttvHx
0
2
0
1
2
00
1
2
00
1
2
00
1
10
2
1
2
110
2
110
2
0
2
0
2
2
)2(42
2
842
022
220
2
10
2
1








 
 
(b) Em 1,0 vvx  
gHvv
gHvv
Hgvv
Hxgvv
2
2
)0(2
)(2
2
01
2
0
2
1
2
0
2
1
2
0
2




 
(c) Da mesma forma que no 
item (b) a velocidade da 
bola em função da posição 
x da mesma será: 
 
)(220
2 Hxgvv  
 
Assim, ao chegar ao chão 
(x = 0) sua velocidade v2 
também será: 
gHvv
gHvv
Hgvv
Hxgvv
2
2
)0(2
)(2
2
02
2
0
2
2
2
0
2
2
2
0
2




 
 
0 
+ x 
chão 
H t = 0 
Equações do movimento: 
ga
v
Hx



?0
0
 
)()(
)(
)(
32
2
1
2
1
2
0
2
0
2
0
Hxgvv
gtvv
gttvHx



 
a) Em t = t1, x = H/2. 
Pela equação (1): 
 



 





1
10
2
1
1
0
2
110
2
110
2
110
2
0
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
t
Hgtv
Hgt
t
v
gtHtv
gtHHtv
gttvHH
gttvHx
 
 
b) Para x = 0, v = ? 
 
Pela equação (3): 
 
gH
t
Hgtv
gH
t
Hgtv
Hgvv
Hxgvv
2
2
1
2
2
1
02
2
2
1
1
2
1
1
2
2
0
2
2
0
2







 







 


)(
)(
 
 
 17
8. Uma bola é arremessada verticalmente para cima, do alto de um edifício cuja altura, acima do solo, 
é H. O módulo da aceleração da gravidade local é g. Na descida ela passa rente ao edifício por um 
ponto localizado a uma altura H/2 acima do solo no instante t1 após ter sido lançada. Determine: (a) 
o módulo da velocidade de lançamento (em função de H, g e t1); (b) a velocidade com que a bola 
atinge o solo (em função de H, g e t1). Use o sistema de coordenadas convencionado abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. A posição de uma partícula varia com o tempo de acordo com a equação abaixo: 
242020 ttx  , ondex é medido em metros e t em segundos. 
 
(a) Determine a velocidade média da partícula entre os instantes t = 0 e t = 2s. 
 
m)4(-220202)(t
20m0)(t
2 442 

x
x
 
s/mv
t
xv
12
2
2044


 
 
(b) Determine a velocidade da partícula nos instantes t = 0 e t = 2s. 
 
0 
+ x 
chão 
H t = 0 
Equações do movimento: 
ga
v
Hx



?0
0
 
)3()(2
)2(
)1(
2
1
2
0
2
0
2
0
Hxgvv
gtvv
gttvHx



 
b) Em t = t1, x = H/2. 
 
Pela equação (1): 
 



 





1
10
2
1
1
0
2
110
2
110
2
110
2
0
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
t
Hgtv
Hgt
t
v
gtHtv
gtHHtv
gttvHH
gttvHx
 
 
c) Para x = 0, v = ? 
 
Pela equação (3): 
 
gH
t
Hgtv
gH
t
Hgtv
Hgvv
Hxgvv
2
2
1
2
2
1
)0(2
)(2
2
1
1
2
1
1
2
2
0
2
2
0
2







 







 


 
 
 18
tv
tt
dt
d
dt
dxv
820
42020 2

 )( 
 
 
(c) Determine a aceleração média da partícula entre os instantes t = 0 e t = 2s. 
 
2
02
8
2
204 s/ma
t
vv
t
va




 
 
(d) Faça um esboço dos gráficos tx  , tv  e ta  referentes ao movimento da partícula, do instante t 
= 0 até a partícula chegar à origem de sua trajetória. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
s/mtv
s/mtv
428202
200


)(
)(
 
+ a (m/s2) 
t(s) 
+ x (m) 
t (s) t(s) 
+ v (m/s) 
20 
20
-8 
242020 ttx  tv 820  
28 sma / 
 19
10. O gráfico abaixo representa aproximadamente a velocidade de um atleta em função do tempo em 
uma competição olímpica. (a) Faça um esboço do gráfico Posição x Tempo. Em t = 0, x0 = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. Em certo planeta Z, no qual se pode desprezar a resistência do ar, um astronauta mede o tempo t1 
que uma pedra leva para atingir o solo, após ser arremessada verticalmente para cima da borda de 
um precipício com velocidade cujo módulo é v0. Sabendo que o módulo da velocidade da pedra ao 
atingir o solo é o dobro da velocidade de lançamento determine: (a) o módulo da aceleração da 
gravidade no planeta Z e (b) a altura do precipício. (c) Faça um esboço do gráfico da posição x 
tempo desde o instante do lançamento até o instante em que a pedra toca o solo. (Dados: t1 e v0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 
+ x 
 x 
t 
0v

 
(c) 
02v

 
t = t1 
t = 0 
H 
H 
t1 0 
(b) Em que intervalo de tempo o módulo da aceleração tem o menor valor? Determine-o. 
O menor valor da aceleração ocorre no intervalo de tempo de 6 a 16 s. Não há variação da velocidade, 
portanto, a aceleração é nula. 
 
(c) Em que intervalo de tempo o módulo da aceleração é máximo? Determine-o. 
A maior variação de velocidade por unidade de tempo ocorre no intervalo de tempo de 0 a 6 s. 
2/2
06
012 sm
t
va 

 
(d) Qual é o deslocamento do atleta durante os 18s? 
mxxxÁreax 178
2
2)1210(1210
2
126""  
(e) Qual a velocidade média do atleta durante a competição? 
sm
s
m
t
xv /89,9
18
178 
 
0
2
4
6
8
10
12
14
0 2 4 6 8 10 12 14 16 20
Tempo (s)
Ve
lo
ci
da
de
 (m
/s
)
18 
P
os
iç
ão
 (m
) 
Tempo (s) 
6 16 18 
 20
 
 
Equações do movimento: 
)3()(2
)2(
2
1
)1(
2
0
2
2
0
0
Hxavv
tatvHx
tavv
Z
Z
Z



 
 
No instante t = t1 , v = – 2v0. 
Pela Equação (1): 
1
0
01
100
3
3
2
t
va
vta
tavv
Z
Z
Z



 
 
No instante t = t1 , x = 0. 
 
Pela equação (2): 
10
1010
1010
2
1
1
0
10
2
1
2
3
2
3
3
2
10
tvH
tvtvH
tvtvH
t
t
v
tvH




 
 
 
 
 
12. 
(a) A afirmativa a seguir faz sentido? “A velocidade média de um veículo às 9h da manhã era de 
 60 km/h.”. Explique. 
 
NÃO. Quando se refere a velocidade média isso compreende um determinado intervalo de 
tempo e não um instante como na afirmativa acima. 
 
(b) “É possível um corpo possuir ao mesmo tempo velocidade nula e aceleração não nula?” 
Explique. 
 
SIM. Como exemplo, um objeto em queda livre vertical, quando se encontra no ponto mais alto 
da trajetória possui velocidade nula e aceleração diferente de zero (a = -g). 
 
 
(c) “É possível um objeto reduzir a velocidade enquanto o módulo de sua aceleração cresce?” 
Explique. 
 
 SIM. Desde que a aceleração seja contrária à velocidade. 
 
 
(d) “É possível um carro ter uma velocidade orientada para o oeste e uma aceleração orientada 
para o leste?” Explique. 
 
 SIM. Neste caso o carro estaria freando. 
 
 
(e) “É possível ter deslocamento nulo e velocidade média diferente de zero?” Explique. 
 
 NÃO. A velocidade média é definida como a razão entre o deslocamento e o intervalo de tempo 
gasto para deslocar. Sendo o deslocamento nulo, a velocidade média também será. 
 
 
 
 
 21
13. Considere o gráfico da velocidade de um objeto, em movimento retilíneo, mostrado na figura 
abaixo. Admitindo que em t = 0, x = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) Determine a velocidade média no intervalo de 0 a 10 s. 
 
 
0)0(
0400400)10(410.40)10(
440
2
2



tx
stx
ttx
 
 
 0
10
00
010
010 

 xx
t
xvm 
 
 
(d) Faça os gráficos a x t e x x t para o intervalo de 0 a 10 s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Determine a aceleração do objeto. 
 
2
0
/8
1080
10.4040
sma
a
a
atvv




 
(b) Escreva as equações do movimento, 
x (t) e v(t). 
 
2
00 /8,/40,0 smasmvx  
2
2
00
440
2
1
ttx
attvxx


 
 
tv
atvv
840
0


 
v (m/s) 
t (s) 
40 
- 40 
10 0 
a (m/s2) x (m) 
t (s) t (s) 
-8 
10 10 0 0 
100 
5 
 22
14. Para medir a aceleração da gravidade em um planeta W, uma pesquisadora atira uma pedra, 
da superfície do planeta, de baixo para cima, com uma velocidade de 8 m/s. A pedra atinge 
uma altura máxima de 16 m. Desprezando a influência da atmosfera do planeta sobre o 
movimento da pedra determine: (a) a aceleração da gravidade no planeta W; (b) o tempo que a 
pedra gasta para retornar à superfície e (c) a velocidade da pedra ao atingir a superfície do 
planeta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) v = 0 em x = 16 m 
 
 v2 = 64 – 2gWx 
0 = 64 – 2gW(16) 
32gW = 64 
gW = 64/32 = 2 m/s2 
 
 
 
 
 
 
st
t
t
tv
4
82
280
28




 
 
 Tempo total de movimento 
 
 tTotal = 2t 
 tTotal = 2 x 4 
 tTotal = 8 s 
 
 
 
 
 
smv
v
tv
/8
8.28
28



 
 
 
 
Equações do movimento: 
Wgasmvx  ,/8,0 00 
 
xgv
tgv
tgtx
W
W
W



264
8
2
18
2
2
 
+ x 
0 
0v
 
v = 0 
Hmáx 
(b) Tempo para atingir a altura máxima 
(c) Velocidade ao retornar à superfície do planeta 
 23
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
Quando necessário use g = 10 m/s². 
 
1. Um automóvel se desloca com velocidade constantede 23 m/s. Suponha que o motorista 
feche os olhos (ou que olhe para o lado) durante 2 s. Calcule o deslocamento do veículo do 
automóvel neste intervalo de tempo. 
 
2. Não confunda velocidade média com a média de um conjunto de velocidades (média das 
velocidades). Calcule a velocidade média de uma atleta nos seguintes casos: (a) A atleta 
anda 150 m com velocidade de 1,5 m/s e depois corre 100 m com velocidade de 4 m/s ao 
longo de uma pista retilínea. (b) A atleta anda 2 minutos com velocidade de 1,5 m/s e a 
seguir corre durante 3 minutos com velocidade de 4,5 m/s ao longo de um caminho em 
linha reta. 
 
3. O limite de velocidade numa rodovia é alterado de 100 km/h para 80 km/h. Se um 
automóvel levava um tempo t para deslocar uma distância x com velocidade constante de 
100 km/h, quanto tempo levará o automóvel para deslocar a mesma distância x com 
velocidade constante de 80 km/h? 
 
4. Um trem se desloca com velocidade constante, de oeste para leste, sendo o módulo do 
vetor velocidade igual a 60 km/h durante 50 minutos. A seguir toma uma direção nordeste, 
com a velocidade de mesmo módulo da anterior, durante 30 minutos. Finalmente, mantendo 
a velocidade constante em módulo, segue para o oeste, durante 10 minutos. Determine o 
vetor velocidade média do trem durante todo o percurso. 
 
5. Um automóvel se desloca numa estrada retilínea e sua velocidade aumenta de 5 m/s até 15 
m/s num intervalo de tempo de 20 s. A seguir sua velocidade passa de 15 m/s para 35 m/s 
num intervalo de tempo de 80 s. Calcule o módulo da aceleração média: (a) na primeira 
etapa do percurso, (b) na segunda etapa do percurso. (c) Calcule a média aritmética das 
acelerações obtidas nos itens anteriores. (d) Calcule a aceleração média do percurso total, 
isto é, desde o momento inicial (v0 = 5 m/s) até o instante final (v = 35 m/s). 
 
6. As figuras (a) e (b) abaixo mostram gráficos da posição x em função do tempo t para uma 
partícula em movimento retilíneo. (a) Em que ponto ou pontos existe mudança brusca do 
valor da velocidade? (b) Indique, para cada intervalo, se a velocidade é (+), (–) ou zero e se 
a aceleração é (+), (–) ou zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. A figura abaixo mostra o gráfico da posição x em função do tempo t para uma partícula em 
movimento retilíneo. Esboce os gráficos da velocidade e da aceleração em função do 
tempo. 
 
 
 
 
 
 
 24
8. Um veículo é impulsionado por um foguete e desliza sobre um trilho retilíneo. Este veículo é 
usado para verificação experimental dos efeitos fisiológicos das grandes acelerações sobre 
seres vivos. Partindo do repouso, este veículo pode atingir uma velocidade de 1800 km/h 
em 2 segundos. (a) Admita que a aceleração seja constante e compare o valor número 
desta aceleração com o valor da aceleração da gravidade g. (b) Calcule o deslocamento do 
veículo neste intervalo de tempo. 
 
9. Duas estações de trem estão separadas por uma distância de 3,6 km. Um trem, partindo do 
repouso de uma das estações, sofre uma aceleração constante de 1,0 m/s² até atingir 2/3 
do percurso entre as estações. A seguir o trem desacelera até atingir a outra estação com 
velocidade nula. Determine: (a) a velocidade máxima do trem atingida na primeira etapa do 
percurso, (b) o módulo da desaceleração durante a diminuição da velocidade na segunda 
etapa do percurso, (c) o tempo total gasto durante o percurso entre as duas estações. 
(d) Faça os gráficos da posição x tempo, velocidade x tempo e aceleração x tempo para o 
movimento do trem, do início ao fim do percurso. 
 
10. Suponha que um advogado contrate você para opinar sobre um problema relacionado com 
a física, surgido em um dos seus casos. A questão seria saber se um motorista excedeu ou 
não a velocidade limite de 60 km/h, antes de fazer uma parada de emergência ao aplicar os 
freios do veículo. As marcas do pneu na estrada, produzidas pelo deslizamento das rodas, 
tinham um comprimento de 8,0 m. O inspetor fez o cálculo da velocidade do automóvel 
levando em consideração que a desaceleração produzida pelos freios não poderia exceder, 
em módulo, o valor local da aceleração da gravidade g e deteve o motorista por excesso de 
velocidade. Refaça os cálculos do inspetor e verifique se estes cálculos estavam corretos 
ou não. Com base na hipótese de que a desaceleração era igual a g, qual seria a 
velocidade do automóvel no momento da aplicação dos freios. 
 
11. Um automóvel faz uma ultrapassagem a 120 km/h. Entretanto, um outro automóvel vem em 
sentido contrário a 100 km/h. Suponha que os dois motoristas acionem simultaneamente os 
freios e os dois automóveis passem a sofrer uma desaceleração constante de módulo igual 
a 6 m/s². Determine a distância mínima entre os automóveis no início da freada para que 
não haja colisão entre os veículos. 
 
12. Um trem parte do repouso e se desloca com aceleração constante. Num dado instante sua 
velocidade era de 10 m/s e a 60 m adiante sua velocidade passa para 17 m/s. Determine: 
(a) a aceleração, (b) o tempo necessário para deslocar os 60 m, (c) o tempo necessário 
para atingir a velocidade de 10 m/s, (d) o deslocamento do trem desde o repouso até atingir 
a velocidade de 10 m/s. 
 
13. No momento em que um sinal de tráfego acende a luz verde, um automóvel parte do 
repouso com aceleração constante de 2 m/s². No mesmo instante um ônibus, deslocando-
se com velocidade constante de 54 km/h ultrapassa o automóvel. (a) A que distância do seu 
ponto de partida o automóvel ultrapassará o ônibus? (b) Calcule a velocidade do automóvel 
neste instante. (c) Em um mesmo diagrama, faça os gráficos posição x tempo e velocidade 
x tempo do automóvel e do ônibus desde o início do movimento até o momento da 
ultrapassagem. 
 
14. Um automóvel viajando em linha reta a 120 km/h está a 60 m de uma barreira quando o 
motorista aperta os freios. Três segundos após o carro colide com a barreira. (a) Determine 
o módulo da desaceleração do carro. (b) Que velocidade desenvolvia o automóvel no 
momento do impacto? (c) Qual deveria ser a desaceleração mínima do automóvel para que 
não ocorresse a colisão? 
 
15. Uma pessoa debruçada sobre um muro de uma passarela deixa cair uma bola exatamente 
quando a dianteira de um caminhão passa bem abaixo do muro. Se o veículo está se 
movendo a 12 m/s e tem 10 m de comprimento, determine: (a) a altura da passarela em 
relação ao caminhão para que a bola atinja a traseira do caminhão, (b) a trajetória descrita 
 25
pela bola em relação a um observador situado na passarela, (c) a trajetória descrita pela 
bola em relação a um observador situado no caminhão. 
 
16. Um balão sobe com velocidade de 15 m/s e está a 100 m acima do solo quando dele se 
deixa cair um saco de areia. Determine: (a) o tempo que o saco de areia demora para 
atingir o solo e (b) a velocidade com que o saco de areia atinge o solo. (c) Faça os gráficos 
da posição x tempo, velocidade x tempo e aceleração x tempo para o movimento do saco 
de areia, desde o instante em que ele é solto até atingir o solo. 
 
17. Uma pedra é largada de uma ponte a 50 m acima do nível da água. Uma segunda pedra é 
arremessada verticalmente para baixo 1,5 s após a primeira pedra ter sido largada. Ambas 
atingem a água ao mesmo tempo. (a) Determine a velocidade de arremesso da segunda 
pedra. (b) Determine as velocidades com que as pedras atingem a água. (c) Faça os 
gráficos da posição x tempo e velocidade x tempo para cada pedra, considerando t = 0 o 
instante em que a primeira pedra foi largada. 
 
18. Dois corpos são largados com um intervalo de tempo de 1,5 s, de uma mesma altura. 
Quanto tempo depois do primeiro começar a cair estarão os dois corpos separados por 
15 m. 
 
19. Um moleque atira uma pedra para cima na direção vertical, com uma velocidade inicial de 
12 m/s do telhado de um edifício,30 m acima do chão. (a) Quanto tempo a pedra leva para 
atingir o chão. (b) Com que velocidade a pedra atinge o solo. (c) Em que (quais) instante(s) 
a pedra estará 5 m acima do ponto de lançamento e qual a sua velocidade nesse(s) 
instante(s)? 
 
20. Um corpo cai da altura de 50m, partindo do repouso. Quanto ele percorre no último 
segundo da queda? 
 
RESPOSTAS 
1. .46mx  
 
 
2. (a) ./2 smv  
 (b) ./3,3 smv  
3. tt .25,12  
4. 
.
º19:
/2,43
ˆ1,14ˆ8,40
lestedonortea
Orientação
hkmv
jiv


 
5. (a) ²./5,01 sma  
 (b) ²/25,02 sma  
 (c) ²./375,0
2
21 smaa  
 (d) ²/3,0 sma  
 
 
 
6. Figura (a): 
 (a) Ponto C 
 (b) 
 
 
 
 
6. Figura (b): 
 (a) Em nenhum ponto. 
 (b) 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0A AB BC CD 
v + + 0 - 
a 0 - 0 + 
 0A AB BC CD 
v + 0 + + 
a - 0 + 0 
t 
v 
t 
a 
 26
8. (a) ga 5,25 
 (b) mx 500 
9. (a) smv /3,69 
 (b) ²/2 sma  
 (c) st 104 
 
 
 9. (d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. 
hkmv
erradosCálculos
/45
.
0 
 
11. md 9,156 
 
12. (a) ²/575,1 sma  
(b) st 44,4 
(c) st 35,6 
(d) mx 75,31 
 
13. (a) mxA 225 
(b) smvA /30 
 
 
 
 
13. c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14. (a) ²/, sma 98 
 (b) hkmsmv //, 2476  
 (c) ²/, sma 39 
 
15. (a) mh 43, 
 (b) (c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16. (a) st 26, 
t (s) 
x (m) 
2400 
69,3 104 
3600 
t (s) 
v (m/s) 
69,3 
69,3 104 
t (s) 
a (m/s²) 
1,0
69,3 104 
- 2,0
t (s) 
x (m) 
225 
15 
Ônibus 
Automóvel 
t (s) 
v (m/s) 
30 
15 
Ônibus 
Automóvel 
15 
 27
 (b) smv /47 
 (c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17. (a) smv /8,210  
 (b) smvesmv /4,38/6,31 21  
 (c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18. st 7511 , 
 
19. (a) st 933, 
 (b) smv /,327 
 (c) 
smvst
smvst
/,;,
/,;,
66861
66540
22
11

 
20. md 626, 
 
 
 
 
0
20
40
60
80
100
120
0 2 4 6 8
Tempo (s)
P
os
iç
ão
 (m
)
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0
Tempo (s)
Ve
lo
ci
da
de
 (m
/s
)
-10
0
0 2 4 6 8
Tempo (s)
Ac
el
er
aç
ão
 (m
/s
²)
-31,6 
1,5 3,16 t (s) 
v (m/s) 
0,0 
-38,4 
-21,8 
50 
1,5 3,16 
t (s) 
x (m) 
0,0 
 28
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1. Uma partícula move-se no plano xy com aceleração constante ja ˆβ , (  0). No instante 
t = 0, passa pela origem do sistema de coordenadas com velocidade jiv ˆ2ˆ0  , (  0). 
(a) Descreva os movimentos horizontal e vertical da partícula, faça um esboço de sua trajetória e 
represente no diagrama os dados iniciais do problema. Determine, em função de ,  e dos vetores 
unitários que se fizerem necessários, (b) o vetor posição ( r ) no instante em que ocorre inversão no 
movimento vertical da partícula e (c) o vetor velocidade ( v ) no instante posterior no qual a partícula 
cruzará a coordenada y = 0. 
x
y
 
 
 
(b) A inversão no movimento vertical ocorrerá quando vy = 0. 
 
 
 
Neste instante, a partícula estará localizada em: 
 
 
 
 
 
O vetor posição no referido instante será: 
 
iˆ 
jˆ 
ja
jiv
r
ˆ
ˆ2ˆ
0
0
0
β





 
Mov. Horizontal 


x
xx
vtx
avx 00 00 
Movimento Vertical 
yv
tvtty
avy
y
yy






24
2
2
12
20
22
2
00
 (a) Uma vez que a aceleração horizontal da partícula é nula, 
sua velocidade será constante, e o movimento horizontal será 
retilíneo e uniforme. No movimento vertical a aceleração é 
constante, positiva e a velocidade inicial negativa, de tal forma 
que, inicialmente, a partícula irá desacelerar até atingir uma 
velocidade vertical nula e a partir de então terá um movimento 
0v

a 
(0,0) 




2
20
2
t
t
tvy
 





22
2.
x
x
tx
 











222
2
2
224
2
2
122
2
12
y
y
tty
 
)ˆ(2ˆ2
22
jir 

 
(c) A coordenada y será nula em t = 0 em um 
instante posterior t igual a: 




4
2
12
2
12
2
2
t
tt
tty
 
As componentes do vetor velocidade neste 
instante serão: 



2
42e
y
yx
v
vv
 
O vetor velocidade no referido instante será: 
 
jiv ˆ2ˆ  
e 
 
CAPÍTULO 3- MOVIMENTO EM DUAS OU TRÊS DIMENSÕES 
 
 29
2. Um rifle está apontado horizontalmente para uma parede localizada a uma distância D da saída do 
mesmo. O projétil atinge a parede a uma distância d abaixo do ponto visado. A aceleração da 
gravidade local tem módulo g. Determine em função das grandezas D, d, g e dos vetores unitários 
que se fizerem necessários, (a) o tempo de percurso do projétil, (b) o vetor velocidade do projétil ao 
sair do rifle e (c) o vetor velocidade do projétil ao atingir a parede. 
 
 
 
 
 
 
Equações do movimento 
Movimento 
Horizontal 
x0 = 0 
v0x = vo 
ax = 0 
 
0
0
vv
tvx
x 

 
 
 
Movimento Vertical 
y0 = 0 
v0y = 0 
ay = -g 
 
gyv
gtv
gty
y
y
2
2
1
2
2



 
 
(b) Sabendo que tvx 0 
i
d
gDv
d
gDv
g
dvD
g
dtemDx

2
2
2
2
0
0
0




 
 
(a) O tempo de percurso do projétil corresponde 
ao instante em que o mesmo atinge a posição 
x = D e y = - d. 
 
g
dt
gtd
gtyquevezUma
2
2
1
2
1
2
2



 
 
 
(c) A componente x da velocidade com que o 
projétil atinge a parede é: 
d
gDvvv xx 200

 
A componente y da velocidade com que o projétil 
atinge a parede pode ser determinada por: 
gdv
dyPara
gyv
y
y
2
22



 
 
jgdi
d
gDv
 2
2
 
 
 
 
 
iˆ 
jˆ 
(0,0) 
?v 
?0 v 
 30
3. Um projétil é lançado a partir da origem de um sistema de coordenadas com velocidade inicial de 
módulo vo, fazendo um ângulo  acima da horizontal. A origem do sistema de coordenadas está 
localizada na base de uma rampa cuja inclinação é  (veja figura abaixo). Considerando o módulo 
da aceleração da gravidade local igual a g, determine o instante que o projétil atinge a rampa. 
Expresse sua resposta em função de vo, g,  e . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0v

 
  
y 
x 
t = ? 
x(t) 
y(t) 
A posição do projétil num instante t, a partir do 
lançamento é dada por: 
Posição horizontal 
tvtx
tatvxtx xx
.cos)(
)(
0
2
2
1
00


 
 
Posição vertical 
2
2
1
0
2
2
1
00
.)(
)(
gttsenvty
tatvyty yy


 
0,0 
Movimento horizontal (x) 
0
cos
0
00
0



x
x
a
vv
x
 
Movimento vertical (y) 
ga
senvv
y
x
y



00
0 0
 
No instante t considerado, 
)(
)(tan
tx
ty . 
Assim: 
)tan.cos(
2
)tan.cos(2
tan.cos
tan.cos
cos
tan
.cos
.
tan
0
0
002
1
2
1
00
0
2
1
0
0
2
2
1
0














sen
g
vt
senvgt
vsenvgt
gtsenvvv
gtsenv
tv
gttsenv
 
 31
4. De um avião, mergulhando em um ângulo 0 com a vertical e a uma altura H, é abandonada uma 
bomba que bate no solo após um intervalo de tempo t. Determine, para o projétil, os vetores 
velocidade (a) ao deixar o avião, (b) ao atingir o solo e (c) o vetor deslocamento total. Escreva suas 
respostas em termos das variáveis 0, H, t e g, e dos vetores unitários do sistema de coordenadas 
abaixo, que se fizerem necessários. 
Represente no gráfico os dados pertinentes (vetores, trajetória, ângulo etc.). Suponha o referencial do 
observador imediatamente abaixo do ponto de lançamento. Utilize g para a aceleração da gravidade. 
Dados: 0 , H, t, e g 
Representação gráfica: 
Em ti = t0 = 0, x0 = 0 (1), y0 = H (2) e
000 sen  vv x (3) e 000 cos vv y (4)
(a) Cálculo do módulo da velocidade inicial: 
Na vertical, temos: 
2
00 2
1 tgtvyy y  (5)
Como ao atingir o solo y = 0 , substituindo (2) e 
(4) em (5), obtém-se 
cos
1
20


  tg
t
Hv . (6) 
Finalmente, valendo-se de (3), (4) e (6), o vetor 
velocidade inicial pode ser escrito nas formas: 
jvivvvv yxyx ˆˆ 00000   , 
ou, )ˆcosˆ( jisenvv 0000   , 
ou ainda 
)ˆˆ(tan jitg
t
Hv 

  00 2 
 . (7)
 
(b) Cálculo do vetor velocidade do projétil ao 
atingir o solo: 
jvivvvv yxyx ˆˆ   (8)
Na horizontal (M.U.  vx = cte. e ax = 0). 
Assim, 


  tan
2
sen0
tg
t
Hvv xx , (9)
já obtido em (a) (vide equação 7). 
Na vertical [MUV  )( jgga y
  ]. 
tgvv yy  0 
 

 
2
tg
t
Hv y (10)
Substituindo (9) e (10) em (8), obtém-se: 
jtg
t
Hitg
t
Hv ˆ
2
ˆtan
2 0


 

  (11)
(d) Cálculo do vetor deslocamento total , r . 
 yxr   (12) 
ou )ˆ()ˆ( jyixr   (13)
ou ainda )ˆ()ˆ( jyixr   (14)
HHyyy  00 (15)
tvxxxx x00 0  (16)
 
De (14), (9), (16) e (15), tem-se: 
 
jHitgHr ˆˆtan 

  2
2
1 (17) 
 
o g 
0v
 
v 
Hy 0 
x 
r 
y 
0,0 
 32
5. No instante em que um foguete atinge o ponto mais alto da trajetória explode e lança verticalmente, 
em sentidos opostos, duas partículas com velocidades iniciais numericamente iguais a v0 (= 15 
m/s). Sendo g (= 10 m/s2) a aceleração da gravidade, determine o intervalo de tempo decorrido 
entre os instantes em que as duas partículas chegam ao solo. Despreze o atrito com o ar. (Resposta 
numérica: 3 s). 
Dados: v1 = v2 = v0, e g. 
Ilustração: Gráfico de espaço versus tempo. 
 
Ao chegar ao solo as equações das posições das 
partículas serão: 
2
11111 2
1
ffif tgtvyy  (1)
2
22222 2
1
ffif tgtvyy  (2)
Como, para ambas, o módulo das velocidades iniciais 
são iguais (v1 = v2 = v0) e as posições iniciais e finais 
também, igualando (1) e (2), tem-se 
2
220
2
110 2
1
2
1
ffff tgtvtgtv  
)(
2
1)( 22
2
1210 ffff ttgttv  
))(()(
2
212121
0
ffffff ttttttg
v  
 
g
v
ttt ff
0
21
2
)(  (3)
Outra solução mais simples seria: 
A partícula 1 irá subir, atingindo o ponto de altura 
máxima com velocidade nula. Em seguida 
retornará ao ponto de partida com velocidade 
idêntica em módulo, direção e sentido que a 
partícula 2. Desse modo, fica óbvio que ambas 
levam o mesmo tempo deste ponto até o solo. 
Portanto, o intervalo de tempo decorrido entre os 
instantes em que as duas partículas chegam ao 
solo será o tempo que a partícula 1 levará para 
retornar ao ponto de partida. Ou seja, 
2'''
1
'
1
'
1 )(2
1 tgtvyy fif  
2''
011 )(2
10 tgtvyy ii  
 
g
vtt 02 ' 
 
 
 
+y 
1v
 
2v
 
g 
ti = 0 t’ = 2v0/g 
t 
tempo (t) 
t1f t2f 
 33
6. Um projétil é disparado do alto de um barranco que está a uma altura H acima do nível de um vale, 
com velocidade inicial de módulo v0 inclinada de um ângulo  acima da horizontal. Desprezando a 
resistência do ar e considerando a aceleração da gravidade local igual a g, determine: (a) a altura 
máxima acima do barranco atingida pelo projétil; (b) o vetor velocidade e o vetor aceleração do 
projétil no ponto mais alto; (c) o deslocamento do projétil desde o lançamento até atingir o solo; (d) 
o vetor velocidade com que a o projétil atinge o solo  v . Expresse suas respostas em termos das 
grandezas H, v0,  e g que se fizerem necessárias e dos vetores unitários mostrados abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iˆ
jˆ 
 
g
+ y 
+ x 
(0,0) 
0v
 
H
Hmáx Movimento Horizontal 
θcos
θ.cos
0
0
vv
tvx
x 

 
Movimento Vertical 
gtvv
gttvHy
y 

-θsen
2
1-θ.sen
0
2
0
 
(a) 
θsen
2
2-θsen 0
2-θsen
2
2
0
máx
22
0
22
0
2
g
vH
gHv
ygvv
máx
y



 
(b) 
jga
g
ivv
vvv yx
ˆ
a0a
ˆθcos
0θcos
yx
0
0






(c) 
g
gHvv
t
g
gHvv
t
g
gHvv
t
Htvgt
gttH
tvx
Hy
o
o
o
2θsensenθ
0
2θsensenθ
2
8θsen4senθ2
02-θ.sen2
2
1-θ.senv-
θ.cos.
22
0
22
0
22
0
0
2
2
0
0







 
jHi
g
gHvv
vr
jyixr
o ˆˆ2θsensenθθcos
ˆˆ
22
0
0 


 



 
(d) 
jgHvvv
gHvv
gHvv
Hgvv
vv
y
y
y
x
ˆ2θseniˆθcos
2θsen
2θsen
)(-2-θsen
θcos
22
00
22
0
22
0
2
22
0
2
0






r
v
 34
7. Um estudante atira uma bolinha de papel em uma lixeira cilíndrica (diâmetro D e altura 2D). A parte 
inferior da lixeira está no mesmo nível do ponto em que a bolinha foi arremessada e a uma 
distância horizontal 6D do ponto de lançamento. A bolinha é arremessada com um ângulo de 45º 
acima da horizontal (veja figura abaixo). Determine o valor máximo e o valor mínimo da 
velocidade de lançamento ( 0v ) para que a bolinha entre pela parte superior da lixeira. Despreze a 
resistência do ar e expresse suas respostas em termos de g e D. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
2
24545  oosen cos 
6D 
2D 
 D 
y 
?0 v 
45º 
(0,0) 
Movimento Horizontal 
o
xx
o
x
o
x
cosvvv
tcosvx
acosvvx
45
45
0,45,0
00
0
000



 
Movimento Vertical 
ygsenvvegtsenvv
gttsenvy
gasenvvy
o
y
o
y
o
y
o
y



24545
2
145
,45,0
22
0
2
0
2
0
000
 
Equação da trajetória: 
yx
gxve
yx
gxvqueformatalde
v
gxx
v
xgxysejaou
cosv
xg
cosv
xsenvy
cosv
xtteinsNo
gttsenvyetcosvx
oo
o
o
oo









2
0
2
2
0
2
0
2
2
2
0
2
22
0
2
0
0
0
2
00
:
,
2
22
1:
452
1
45
45
45
tan
2
14545
 
O valor mínimo de v0 é aquele que 
permitirá que a bolinha atinja a lixeira em 
x = 6D e y = 2D. 
 
gDv
D
Dgv
DD
Dgv
3
4
36
26
6
0
2
0
2
0

 
O valor máximo de v0 é aquele que 
permitirá que a bolinha atinja a lixeira em 
x = 7D e y = 2D. 
 
5
7
5
49
27
7
0
2
0
2
0
gDv
D
Dgv
DD
Dgv

 
 35
8. Uma pedra é arremessada paracima, do alto de um edifício de altura H, com velocidade de 
módulo 0v , inclinada de um ângulo  acima da horizontal. A aceleração da gravidade local vale 
g. 
 (Dados: H, v0,  e g). 
 
a) Determine o instante após o arremesso que a pedra atinge o solo, em função de v0, , g e H. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Determine o módulo da velocidade com que a pedra 
atinge o chão, em função de v0, g e H. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Um jogador de basquete arremessa uma bola com um ângulo 45°. A bola sai das mãos do jogador 
de uma altura h acima do solo. A cesta encontra-se a uma distância horizontal D das mãos do 
jogador e a uma altura H acima do solo. A aceleração da gravidade local vale g. Determine (a) o 
módulo da velocidade de arremesso para que ele consiga acertar a cesta e 
(b) o módulo da velocidade da bola ao atingir a cesta. Dados: g, h, H e D. 
 
 
 
 
 
 
 
0
H 
0v
 
g 
+y 
+x
  
Hyx
gaa
senvv
vv
yx
y
x




00
00
00
0
0
cos


 
g
gHsenvsenv
t
g
gHsenvsenv
t
g
gHsenvsenv
t
g
gHsenvsenv
t
Htsenvgt
gttsenvH
gttsenvHy
2
0
2
2
)2(42
2
842
022
0
22
00
22
00
22
00
22
00
0
2
2
2
1
0
2
2
1
0














 
Por conservação da energia mecânica, considerando 
o nível de referência no solo, temos: 
gHvv
vvgH
mvmvmgH
2
2
2
1
2
1
2
0
22
0
22
0



 
 
sen 45° = cos 45° = 
2
2 
Equações do movimento: 
)hy(gsenvv
gtsenvv
cosvv
gtt.senvhy
t.cosvx
y
y
x





2
2
1
22
0
2
0
0
2
0
0
 h 
D 
H 
45° 
x 
 y 
(0,0) 
 36
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Uma bola é arremessada de cima para baixo com uma velocidade de módulo 0v , inclinada de um 
ângulo 0 em relação à horizontal, do alto de um edifício cuja altura, acima do solo é H, conforme 
figura abaixo. O módulo da aceleração da gravidade local é g. Determine: (a) o instante após o 
arremesso que a bola atinge o solo e (b) as componentes horizontal e vertical da velocidade com 
que a bola atinge o solo. Dê suas respostas em termos das grandezas H, g, 0 e 0v que se 
fizerem necessárias. Use o sistema de coordenadas convencionado abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Em 0,1  ytt 
g
senvgHsenv
t
g
gHsenvsenv
t
g
gHsenvsenv
t
g
gHsenvsenv
t
Htsenvgt
gttsenvH
gttsenvH
gttsenvHy
000
22
0
1
0
22
000
1
0
22
000
1
0
22
000
1
100
2
1
2
1100
2
1100
2
00
2
0
2
2
242
2
842
022
220
2
10
2
1
















)(
 
0,0 
+ y 
H 
0v
 
+ x 
0 
)( Hygsenvv
gtsenvv
gttsenvHy
y
y



2
2
1
0
22
0
2
00
2
00



 
00
00


cos
cos
vv
tvx
x 
 
Equações do movimento 
(c) Cálculo da componente 
vertical: 
 Em yy vvy 1,0  
gHsenvv
gHsenvv
Hgsenvv
Hygsenvv
y
y
y
y
2
2
02
2
0
22
01
0
22
0
2
1
0
22
0
2
1
0
22
0
2








)(
)(
 
 
 Cálculo da componente 
horizontal: 
 
 001 cosvvv xx  
t1 xv1
 
yv1
 
(a) Em x = D, y = H 


cosv
Dt
t.cosvx
0
0
 
 
HhD
gDv
HhD
v
gD
v
gDDhH
v
Dg
v
DsenvhH




2
0
2
0
2
2
0
2
22
0
2
0
0 2
1
 coscos
 
 
(b) Por conservação da energia mecânica, 
tomando o solo como nível de referência: 
 
)(
)(
).().(
hHg
HhD
gDv
hHgvv
gHvghv
vgHvgh
mvmgHmvmgh
EE fMeciMec






2
2
22
22
2
1
2
1
2
2
0
2
2
0
2
22
0
22
0
 
 37
11. Uma pedra presa a um cordão de comprimento L é girada por um menino, fazendo um círculo 
horizontal a uma altura H acima do solo. A pedra dá N voltas em um intervalo de tempo  t e, 
durante o movimento, o módulo da velocidade permanece constante. Ao passar pelo ponto A o 
cordão arrebenta e a pedra é arremessada ao solo. Determine: (a) o módulo da aceleração 
centrípeta da pedra durante o movimento circular; (b) o vetor velocidade da pedra ao atingir o solo 
e (c) o vetor deslocamento da pedra desde o instante em que ela é arremessada até o instante em 
que atinge o solo Expresse suas respostas em termos das grandezas 
L, N,  t , H, g e dos vetores unitários que se fizerem necessários. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iˆ 
jˆ 
H 
L 
(a) A aceleração centrípeta da pedra em MCU é 
dada por: 
R
va
2
0 . O raio da trajetória é L e, 
uma vez que a pedra executa N rotações em 
um intervalo de tempo t a velocidade de 
rotação será: 
t
LNv 
 2.0 . 
Assim: 2
222222
)(
4)/(4
t
LN
L
tLNa 
 
(b) No momento em que o cordão arrebentar a pedra 
será arremessada horizontalmente, em queda livre, 
com velocidade de módulo v0 (calculado no item a). 
 
gaevHy
aevvx
yy
xx


0,
0,0
00
000 
Para o movimento de queda livre da pedra temos: 
 Hygvegtvevv
gtHyetvx
yyx 

2
2
1
2
0
2
0 
Quando a pedra atinge o solo sua velocidade será: 
 
gHvsejaou
gHHgve
t
LNvv
y
yx
2:
2022. 20



 
Assim, jgHi
t
NLv ˆ2ˆ2 
 
0v
 
0
+ y 
(c) O vetor deslocamento da pedra desde o 
instante em que é arremessada até atingir 
o solo será: 
yxr   
 
Cálculo do tempo de queda: 
g
HtHgt
gtH
gtHy
2
2
1
2
10
2
1
2
2
2



 
 
jHi
g
H
t
NLrAssim
HHy
e
g
H
t
NLtvx
ˆˆ22:
0
22
0






 
 38
12. Uma carabina é apontada na horizontal para um alvo localizado a uma distância D. A bala acerta o 
alvo em um ponto localizado a uma altura h abaixo do ponto visado. A aceleração da gravidade 
local vale g. Determine (a) o tempo de vôo da bala e (b) o módulo da velocidade da bala ao sair da 
carabina. Expresse suas respostas em função de D, h e g. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
tvx
avvx
tatvxx
xx
xx
0
000
2
00
00
2
1



,, 
 
(a) 
g
ht
gth
gth
gty
gavy
tatvyy
yy
yy
2
2
2
1
2
1
00
2
1
2
2
2
00
2
00






,,
 
 
(b) 
h
gDv
g
hvDtvD
2
2
0
00


 
 
 
 
 
 
?0 v 
h 
D 
x 
y 
 39
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
Quando necessário use g = 10 m/s². 
 
1. (a) Em uma competição de salto à distância tem alguma importância quão alto é o salto? 
 Quais os fatores que determinam o alcance do salto? Explique. 
 (b) Em que ponto de sua trajetória um projétil alcança a sua velocidade mínima? E a 
 máxima? 
 (c) No mesmo instante em que a bala sai horizontalmente do cano de uma arma, você larga 
 um corpo da mesma altura do cano. Desprezando a resistência do ar, qual dos dois 
 chegará primeiro ao solo? Explique. 
 (d) Um projétil é disparado de baixo para cima, a um ângulo  acima da horizontal com 
 velocidade inicial v0, num local a gravidade é g. Na sua altura máxima,determine o seu 
 vetor velocidade e seu vetor aceleração. 
 
2. A partícula A se move ao longo da reta y = 30 m com velocidade 
constante v de módulo igual a 3,0 m/s na direção paralela ao eixo x 
positivo. Uma partícula B parte da origem com velocidade nula e 
aceleração constante a de módulo igual a 0,40 m/s², no mesmo 
instante em que a partícula A passa pelo eixo y. Que ângulo  
entre a e o eixo y positivo resultaria em um choque entre as duas 
partículas. 
3. Uma partícula parte da origem com uma velocidade inicial smiv /)ˆ00,3( e uma aceleração 
constante 2/)ˆ500,0ˆ00,1( smjia  . Quando a partícula atinge a sua coordenada x 
máxima, quais são (a) a sua velocidade e (b) o seu vetor posição. 
 
4. Uma arma localizada a 40 m acima de uma planície horizontal, dispara horizontalmente um 
projétil com uma velocidade inicial de 300 m/s. (a) Quanto tempo o projétil permanece no 
ar? (b) A que distância horizontal ele atinge o solo? (c) Qual o o vetor velocidade do projétil 
quando ele atinge o solo? 
 
5. Um rifle tem velocidade de disparo de 460 m/s e atira uma bala num alvo situado a 46 m. 
 A que altura acima do alvo o rifle deve apontar para que a bala acerte nele? 
 
6. Uma bola rola para fora de uma mesa de 1,0 m de altura. A bola atinge o solo em um ponto 
1,2 m horizontalmente distante da borda da mesa. Determine: (a) a velocidade da bola no 
 instante em que saiu da mesa; (b) a velocidade da bola no instante em que toca o solo. 
 
7. Uma bola é atirada do chão para o ar. Quando ela atinge uma altura de 9,0 m, a velocidade 
é dada por: jiv ˆ3ˆ6  , em m/s. (a) Até que altura a bola subirá? (b) Qual será a distância 
horizontal total percorrida pela bola. (c) Qual é a velocidade da bola no instante em que ela 
toca o chão? 
8. Uma bola de futebol é chutada com velocidade inicial 0v

 e com um ângulo de inclinação de 
 45º acima da horizontal. Qual deve ser o valor de 0v

 para que a bola atinja a linha de gol, 
 situada a 80 m do local do chute? 
 
9. De um bombardeiro, mergulhando em um ângulo de 60º com a vertical, solta-se uma bomba 
a uma altitude de 700 m. A bomba atinge o solo 5,0 s após ser solta. (a) Qual é a velocidade 
do bombardeiro? (b) Qual a distância que a bomba percorre horizontalmente durante o seu 
trajeto? (c) Qual o vetor velocidade da bomba no instante em que atinge o solo? 
 
10. A velocidade de lançamento de um certo projétil é cinco vezes a velocidade que ele possui 
na sua altura máxima. Calcule o ângulo de lançamento. 
 
x 
y 
 
A 
B 
v 
a 
 40
11. Dois segundos após ser projetado do nível do chão, um projétil se deslocou 40 m na 
 horizontal e 53 m na vertical acima do seu ponto de lançamento. (a) Quais são as 
 componentes horizontal e vertical da velocidade de lançamento do projétil? (b) No instante 
 em que o projétil alcança a sua altura máxima acima do nível do solo, qual a distância 
 percorrida na horizontal a partir do ponto de lançamento? 
 
12. Um astronauta é colocado para girar em uma centrífuga horizontal em um raio de 5,0 m. 
 (a) Qual o módulo de sua velocidade linear se a aceleração centrípeta possui um módulo de 
 7,0g. (b) Quantas rotações por minuto são necessárias para produzir esta aceleração? 
 (c) Qual é o período do movimento? 
 
13. As pás de um ventilador completam 1200 voltas por minuto. Considere a ponta de uma pá, 
 que está em uma raio de 0,15 m. (a) Que distância a ponta da pá percorre em uma volta? 
 Quais são os módulos (b) da velocidade e (c) da aceleração da ponta? (d) Qual o período do 
 movimento? 
RESPOSTAS 
1. .............................................. 8. smv /,3280  
2.  = 60º 
9. a) smv /2300  
 b) mx 996 
 c) smjiv /)ˆˆ( 165199  
3. a) smjv /)ˆ,( 51 
 b) mjir )ˆ,ˆ,( 25254  10. º,578 
4. a) st 832, 
 b) md 5848, 
 c) smjiv /)ˆ,ˆ( 328300  
11. a) 
smv
smv
y
x
/,
;/
536
20
0
0


 
 b) mx 73 
5. mh 50, 
12. a) smv /,718 
 b) rpmf 36 
 c) sT 671, 
6. a) smiv /)ˆ,( 720  
 b) smjiv /)ˆ,ˆ,( 5472  
13. a) ms 9420, 
 b) smv /,8418 
 c) ²/ smac 2366 
 d) sT 050, 
7. a) mH 459, 
b) mx 516, 
c) smjiv /)ˆ,ˆ( 8136  
 
 
 41
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1. Uma caixa de peso P é arrastada para cima, em um plano inclinado de  graus com a 
horizontal, por uma força horizontal constante de módulo F, conforme ilustrado abaixo. O 
coeficiente de atrito entre a caixa e o plano vale c. Em função das grandezas fornecidas 
obtenha, em termos de c, P e , uma expressão para o módulo da força F que fará com que a 
caixa suba o plano com velocidade constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 4- LEIS DE NEWTON DO MOVIMENTO 
 
CAPÍTULO 5- APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON 
 
 
  
F

 
Uma vez que a caixa é arrastada plano 
acima com velocidade constante, podemos 
concluir que: 
   00 yx FeF 
 
 FsenPcosN
FPNF yyy

 0 
 
A força de atrito cinético é dada por: 
)(.  FsenPcosNf ccc  
 
P

y 
cf

 
N

 
xP

 
yP

 
F

 
x 
 
  yF 
xF

 
  
 cosPPePsenP yx  
 FsenFeFF yx  cos 





sencos
PcosPsen
F
PcosPsensencosF
PcosPsenFsenFcos
FsenPcosPsenFcos
fPFF
c
c
cc
cc
c
cxxy






)(
0)(
0
 
 
 
 42
2. Dado o sistema em equilíbrio ilustrado abaixo, determine a tensão em cada uma das cordas 
T1, T2 e T3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Imagine que você esteja sustentando um livro de 4 N em repouso sobre a palma da sua mão. 
Complete as seguintes sentenças: 
a) Uma força de cima para baixo de módulo igual a 4 N é exercida sobre o livro pela Terra. 
b) Uma força de baixo para cima de módulo 4 N é exercida sobre o livro pela palma da sua 
 mão. 
c) É a força de baixo para cima do item (b) a reação da força de cima para baixo do item (a)? 
 Não. 
sen 37º = cos 53º = 0,6 
sen 53º = cos 37º = 0,8 
37° 53° 
P=500N 
 T2 T3 
 
 
 T1 37° 53° 
y 
P

 
3T

 
1T

 
2T

'
1T

 
x 
xT3

 
yT3

xT2

yT2

Uma vez que o sistema se encontra em equilíbrio, temos, para o 
objeto suspenso: 
 
500NTT '11 


NPT
PTFy
500
0
'
1
'
1
 
 
2323
23
2323
3
4
60
80
3753
0
TTTT
cosTcosT
TTTTF xxxxx



,
,
 
400NT
300NT
3
2











300
3
4
3
4
1500050
150001832
50006
3
48
500068
5006080
3753
0
23
2
22
22
23
23
123
123
TT
T
TT
TT
TT
TT
TsenTsenT
TTTF yyy
,,
 
 
 
 43
d) A reação da força do item (a) é a força de módulo 4 N exercida sobre a Terra pelo livro. 
 Seu sentido é para cima. 
e) A reação da força do item (b) é a força de módulo 4 N exercida sobre a mão pelo livro. 
f) As forças dos itens (a) e (b) são iguais e opostas em virtude da Primeira Lei de Newton. 
g) As forças dos itens (b) e (e) são iguais e opostas em virtude da Terceira Lei de Newton. 
Suponha agora que você exerça sobre o livro uma força de baixo para cima de módulo igual a 5 
N. 
h) O livro permanece em equilíbrio? Não. 
i) É a força exercida pela suamão igual e oposta à força exercida sobre o livro pela Terra? 
 Não. 
j) É a força exercida sobre o livro pela Terra igual e oposta à força exercida sobre a Terra pelo 
 livro? Sim. 
k) É a força exercida sobre o livro pela sua mão igual e oposta à força exercida sobre sua 
 mão pelo livro? Sim. 
Finalmente, suponha que você retire subitamente sua mão enquanto o livro se move para 
cima? 
l) Quantas forças atuam agora sobre o livro? Uma (a força gravitacional). 
m) O livro está em equilíbrio? Não. 
 
 
4. Um bloco A, de massa igual a 3m, desliza sobre um plano, 
inclinado de um ângulo  em relação à horizontal, com 
velocidade constante, enquanto a prancha B, de massa m, 
permanece em repouso sobre A. A prancha está ligada por um 
fio ao topo do plano. 
a) Faça um diagrama de todas as forças que atuam sobre 
o bloco A e sobre a prancha B, identificando-as. 
b) Determine o coeficiente de atrito estático entre A e B e entre A e a superfície do plano 
inclinado, sabendo que ambos são iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A )(SAcf

 
SN

 
BAN

 )(BAc
f

 
AP

 
B 
ABN

 
)( ABcf

 
BP

 
T

 
AdePeso:
AblocooeplanoentreoatritodeForça:
AblocooeBpranchaaentreatritodeForça:
AblocoosobreBpranchadanormalReação:
AblocoosobreplanodonormalReação:
)(
)(
A
BAS
BAc
BA
S
P
f
f
N
N





 
BdePeso:
fionoTração:
AblocooeBpranchaaentreatritodeForça:
BpranchaasobreAblocodonormalReação:
)(
A
ABc
AB
P
T
f
N




B 
ABN

 
)( ABcf

 
BP

 
T

 
xBP

 
yBP

 
A 
)(SAcf

 
SN

 
BAN

 )(BAc
f

 
AP

 
xAP

 
yAP

 
 
Uma vez que, o bloco A desce o plano 
inclinado com velocidade constante e a 
prancha B permanece em repouso, pela 1ª 
Lei de Newton, para ambos os corpos, o 
.0F 
Temos ainda que: 
)()(
3
BAcABc
ABBA
BA
ff
NN
mgPemgP



 
 
A
B
 44
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Os blocos A, B e C são dispostos como 
indicado na figura ao lado e ligados por 
cordas de massas desprezíveis. As massas 
de A e B são iguais a M e o coeficiente de 
atrito cinético entre cada bloco e a superfície 
é c. O bloco C desce com velocidade 
constante. Determine a massa do bloco C 
(em termos de c,  e M). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Corpo A 0 yF 
mgcosθN
mgcosθmgcosθN
mgcosθNN
PNNF
S
S
BAS
yABASy
4
3
3
0




 
 
mgcosθf
Nf
cSAc
ScSAc
4)(
)(


 
 
Corpo A 0 xF 





tan
5
3
5
3
53
043
0)()(
c
c
c
cc
SAcBAcxAx
mgcosθ
mgsenθ
mgcosθmgsenθ
mgcosθmgcosθmgsenθ
ffPF
 
Corpo B 
mgcosθPN
PNF
yBAB
yBABy

 0
 
mgcosθf
Nf
cABc
ABcABc


)(
)( 
 A 
B 
C 
 
CT

 
CP

 
C 
A 
AT

P
)( Acf

 
AN

 
 
CT

 
AT

P

 
B 
)( Bcf

 
BN

 




MgPNF
MgfTF
Ay
cACAx
0
0 )(  
θ
θ
senθ
cos
cos
)(
)(
Mgf
MgNF
MgfTTF
cBc
By
BcACx





0
0
 
  gmPTF CCCy 0   θcos1θsen
θ)cosθsen(
θcosθsen.
θsen.
θsen.
e
)()(
)(








Mm
Mm
MgMgMggm
fMgfgm
fMgTTgm
C
ccC
ccC
BcAcC
BcACC
 45
6. Uma caixa de massa M é arrastada sobre uma superfície horizontal através de uma corda inclinada 
de um ângulo  acima da horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre a caixa e a superfície é c 
e o módulo da aceleração da gravidade local é g. Determine o módulo da força exercida pela corda 
sobre a caixa de tal forma que a mesma desloque com velocidade constante, em função de M, g, c 
e . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. O bloco A da figura abaixo possui peso P. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a 
superfície na qual ele repousa vale 1/3. Determine o máximo valor do peso do bloco B (em função 
de P) para o qual o sistema permanece em repouso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
Dados: sen = 3/5 
 cos = 4/5 
 
B 
A 
AP

 
AT

 AT 

 
BT

 
BT 

 
CT

 
CxT

 
CyT

 
BP

 
N

 
ef

 
Para que o sistema permaneça 
em repouso: 
PT
NT
fT
eA
eA
máxeA




 .)(
 


sen
PT
senTPTT
B
C
CBBB


 



tan
PT
cos
sen
PT
cosTT
B
A
B
A
CA



 
PP
PP
PP
PtanP
P
tan
PTT
máximoB
B
B
cB
e
B
AA
4
1
4
1
4
3
3
1
)( 






 
4
3
4
5
5
3




tan
tan
 
 
 
N

 
F

 
P

 
cf

 xF

 
yF

 
x
y 


FsenF
FcosF
MgP
y
x



 
 




FsenMgf
Nf
FsenMgN
MgFsenN
PFNF
cc
cc
yy
0
0
 
 





sencos
Mg
F
Mg)sencos(F
FsenMgFcos
)FsenMg(Fcos
fFF
c
c
cc
cc
c
cxx
0
0
0
 
 46
8. Duas cordas A e B suportam um corpo de peso P conforme mostrado na figura abaixo. A corda B 
passa por uma polia de inércia desprezível e sem atrito. Os pontos extremos da corda B estão 
unidos à corda A e à corda que suporta o corpo no ponto O. Determine as tensões nas cordas A e 
B, sabendo que o sistema está em repouso. Respostas em função do peso P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
A B B 
O 
5
4cos
5
3cos




sen
sen
 
   
BT

 
O 
yBT

 
AT

 
P

 
yAT

 
xBT

 
BT 

 
xAT

 
yBT 

 
BB
ByBBxB
ByBBxB
AyAAxA
TT
senTTcosTT
senTTcosTT
senTTcosTT







 
Aplicando a 1ª condição de equilíbrio: 
 1
4
7
443
5
4
5
4
5
3
0
0
0
BA
ABB
ABB
ABB
xAxBxB
x
TT
TTT
TTT
cosTcosTcosT
TTT
F







 xB
T  
PT
PT
PTTT
PTTT
TTdoSubstituin
PTTT
PTTT
PsenTsenTsenT
PTTT
F
B
B
BBB
BBB
BA
ABB
ABB
ABB
yAyByB
y
49
20
2049
20211216
45
4
7334
4
7:
5334
5
5
3
5
3
5
4
0
0













 
PT
PT
TT
A
A
BA
49
35
49
20
4
7
4
7





 
 47
9. Um corpo A, de peso 4P, está sobre um plano inclinado de um ângulo  e preso por um fio que 
passa por uma pequena roldana sem atrito no qual se encontra suspenso um outro corpo (B) de 
peso variável, conforme a figura abaixo. O coeficiente de atrito estático entre o corpo A e o plano é 
4
1 . Determine (a) o maior valor do peso de B e (b) o menor valor do peso de B para que o 
sistema permaneça em repouso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
5
3
5
4cos




sen
 
 
 
BP

 
P

4 
yP

4 
xP

4 
N


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