Integral Complexa

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Integral Complexa Diego A. Oliveira
Exerc´ıcios Resolvidos: Integral Complexa
diegoalvez@pop.com.br
Compilado dia 17/11/2013.
Este documento se encontra sujeito a constantes reviso˜es.
Integral de contorno
1. Calcule
∫
c
f(z)dz com f(z) = z2, sob a curva C = {z = reiθ : 0 ≤ θ ≤ pi}
Soluc¸a˜o:
Pela definic¸a˜o de integral complexa:
∫
c
f(z)dz =
∫ pi
0
(reiθ)2 · rieiθdθ = ir3
∫ pi
0
e3iθdθ =
ir3e3iθ
3i
∣∣∣∣∣
pi
0
=
ir3e3ipi
3i
− ir
3e3i·0
3i
=
ir3e3ipi
3i
− ir
3
3i
=
ir3
3i
(e3ipi − 1)
Como e3pii = cos(3pi) + isen(3pi) e como sen(3pi) = 0 e cos(3pi) = −1 enta˜o:
ir3
3i
(e3ipi − 1) = ir
3
3i
(−1− 1) = −2ir
3
3i
2. Calcule
∫
c
2x− y + ix2dz com 0 ≤ t ≤ 1
Soluc¸a˜o:
1
Integral Complexa Diego A. Oliveira
Seja z(t) = t+ it enta˜o:∫
c
2x− y + ix2dz =
∫ 1
c
(t− it)(1 + i)dt = 1 + 5i
6
=
1
6
+
5
6
i
3. Seja C um contorno qualquer ligando z1 e z2, de forma que z(t), 0 ≤ t ≤ b
com z(a) = z1 e z(b) = z2 mostre que
∫
c
1dz = z1 − z2
Soluc¸a˜o:∫
c
1dz =
∫ b
a
1 · z′(t)dt =
∫ b
a
z′(t)dt = z(t)
∣∣∣∣∣
b
a
= z(b)− z(a) = z1 − z2 C.Q.D.
4. Calcule
∫
c
(2x+ 3yi)dz onde c e´ a curva y = x2 + 1.
Soluc¸a˜o:
A curva de integrac¸a˜o e´:
Chamando x = t enta˜o y = t+ 1, z = t+ (t2 + 1)i, dz = 1+ 2it com 1 ≤ t ≤ 2
portanto:∫
c
(2x+ 3yi)dz =
∫ 2
0
(2t+ 3i(t2 + 1))(1 + 2it)dt = −32 + 74
3
i
5. Calcule
∫
c
(x2+y2+3+(2xy+2)i)dz onde c e´ o segmento que liga os pontos
(1; 1) e (0; 1) no plano complexo.
Soluc¸a˜o:
2
Integral Complexa Diego A. Oliveira
A curva de integrac¸a˜o e´:
Chamando x = t (com 0 ≤ t ≤ 1) enta˜o z = t+ i e dz = 1dt, logo:∫
c
(x2 + y2 + 3 + (2xy + 2)i)dz =
∫ 1
0
(t2 + 4(2t+ 2)i)dt =
13
3
+ 3i
6. Calcule
∫
c
dz
z − 1 onde c e´ o segmento que liga os pontos (0; 2) e (0; 1) no
plano complexo.
Soluc¸a˜o:
A curva de integrac¸a˜o:
Note que sobre esse segmento a func¸a˜o f(z) =
1
z − 1 e´ anal´ıtica num espac¸o
conexo, portanto pode ser integrada sem a necessidade de uma parametrizac¸a˜o.
∫
c
dz
z − 1 =
∫ 2i
i
dz
z − 1 = ln(z − i)
∣∣∣∣∣
2i
i
3
Integral Complexa Diego A. Oliveira
= ln(2i− 1)− ln(i− 1) = ln
(
2i− 1
i− 1 = ln(1.5− 0.5i)
)
onde ln(1.5− 0.5i) = ln(2.5) + i(5.96RAD)
7. Calcule
∫
c
(z2 − z) onde c e´ o segmento que liga os pontos (0; 2) e (0; 1) no
plano complexo.
Soluc¸a˜o:
Pelas equac¸o˜es de Cauchy Rieman f(z) = z2 − z e´ anal´ıtica em todo o plano.
Prova
∂u
∂x
= 2x− 1⇒ ∂v
∂y
= 2x− 1
∂u
∂y
= −2y ⇒ ∂v
∂x
= 2y
onde u = x2 − x− y2 e v = 2xy − y
enta˜o assim como no exemplo anterior podemos resolver a integral sem a ne-
cessidade de parametrizac¸a˜o.
∫
c
(z2 − z)dz =
∫ 2i
i
= (
z3
3
− z
2
2
)
∣∣∣∣∣
2i
i
= 0.5− 7
3
i
8. Calcule
∫ 2+4i
1+i
z2dz.
a) Ao longo da para´bola x = t, y = t2, com 1 ≤ t ≤ 2.
4
Integral Complexa Diego A. Oliveira
b) Ao longo da reta ligando 1 + i e 2 + i.
c) Ao longo da reta ligando 1 + i a 2 + i e em seguida 2 + 4i
Soluc¸a˜o:
Se x = t e y = t2 enta˜o z = t+ it2 assim
∫ 2+4i
1+i
z2dz =
∫ 2
1
(t+ it)2(1 + 2it)dt =
(t+ it2)3
3
∣∣∣∣∣
2
1
=
−86
3
− 6i
Soluc¸a˜o:
A reta que liga os pontos (1;1) e (2;4) no plano complexo tem equac¸a˜o igual a
y = 3x− 2 onde para x = t e y = 3t− 2 temos z = t+ (3t− 2)i enta˜o∫ 2+4i
1+i
z2dz =
∫ 2
1
(t+ 3ti− 2i)2(1 + 3i)dt = −86
3
− 6i
O fato de (A) e (B) terem o mesmo resultado ocorre pois f(z) = z2 e´ anal´ıtica
em todo o plano e por isso seu resultado depende apenas do ponto inicial e final e
na˜o de sua trajeto´ria.
Soluc¸a˜o:
O caminho de integrac¸a˜o e´:
Dado pela integral ∫
AB∪BC
z2dz =
∫
AB
z2dz +
∫
BC
z2dz
5
Integral Complexa Diego A. Oliveira
Porem como o integrando e´ uma func¸a˜o anal´ıtica podemos considerar apenas
o ponto inicial e final.
assim ∫
AB∪BC
z2dz =
∫ 2
1
z2dz = −86
3
− 6i
9. Mostre que
∫
c
dz
(z − a)ndz =
Soluc¸a˜o:
Seja “c” um circulo qualquer de raio R centrado em z = a, e c1 uma circun-
fereˆncia que envolva a singularidades enta˜o f(z) = (z − a)−n e´ anal´ıtica dentro e
sobre a fronteira da regia˜o limitada pelo contorno “c” e “c1” de modo que podemos
escrever: ∫
c
dz
(z − a)n =
∫ 2pi
0
iReiθ
(Reiθ)n
dθ
chamando u = Reiθ enta˜o du = iReiθdθ logo se n = 1∫ 2pi
0
iReiθ
(Reiθ)n
dθ =
∫ 2pi
0
du
un
= ln(u)
∣∣∣∣∣
2pi
0
6
Integral Complexa Diego A. Oliveira
= ln(Re2pii)− ln(Rei0) = ln
(
Re2pii
Rei0
)
= ln(e2pii) = 2pii
Porem se n ≥ 2 enta˜o:
=
∫ 2pi
0
du
un
=
u−n+1
−n+ 1
∣∣∣∣∣
2pi
0
=
(Reiθ)−n ·Reiθ
1− n
∣∣∣∣∣
2pi
0
=
Reiθ
(Reiθ)n(1− n)
∣∣∣∣∣
2pi
0
=
1
(Reiθ)n−1(1− n)
∣∣∣∣∣
2pi
0
como e2pii ou e0i sa˜o iguais a zero enta˜o:
=
1
(Rn−1)(1− n) −
1
(Rn−1(1− n) = 0
Finalizando a demonstrac¸a˜o.
10. Qual a soluc¸a˜o se da integral do exerc´ıcio 9 para n = 0,−1,−2, ...?
Soluc¸a˜o:
Para n = 0,−1,−2, ... o integrando sera´ 1, (z−a), (z−a2), ... que sa˜o anal´ıticas
em todo plano, logo pelo Teorema de Cauchy a integral e zero.
11. Calcule
∫
|z|=1
dz
z − 3.
Soluc¸a˜o:
Como z = 3 na˜o esta´ no interior do circulo |z| = 1 enta˜o a integral e´ zero, pois
ale´m de ser anal´ıtica dentro e sob o contorno de integrac¸a˜o e´ uma curva fechada.
7
Integral Complexa Diego A. Oliveira
Formula integral de Cauchy
1. Usando a formula integral de Cauchy resolva:
a)
∫
|z|=1
ez
(z − 2)2dz
b)
∫
|z|=3
ez
(z − 1)(z − 2)dz
c)
∫
|z|=2
z
(z − 1)2(z − 4)dz
Soluc¸a˜o:
Como a singularidade ocorre apenas para z = 2 que na˜o pertence ao circulo
|z| = 1 enta˜o a integral e zero, pois se trata de uma integral de uma func¸a˜o anal´ıtica
sob uma curva fechada.
Soluc¸a˜o:
As singularidades do integrando ocorrem para z = i e z = 2 ambos no interior
de |z| = 3. Portanto pela fo´rmula integral de Cauchy:∫
|z|=3
ez
(z − 1)(z − 2)dz = 2pii
(
ei
1− 2 +
e2
(2− i)
)
Soluc¸a˜o:
O contorno considerado e´ o circulo de raio 2 onde apenas a singularidade z = 1
do integrando se encontra.
8
Integral Complexa Diego A. Oliveira
Logo pela fo´rmula integral de Cauchy:∫
|z|=2
z
(z − 1)2(z − 4)dz = 2piif ’(1) = 2pii
(
1
1− 4
)
=
2pii
3
2. Calcule
∫
|z+i|=4
dz
z − 3
Soluc¸a˜o:
Como z = 3 pertence ao interior de |z + i| = 4 usando a fo´rmula integral de
Cauchy ∫
c
dz
z − 3 = 2piif(3) = 2pii
onde f(z) = 1 e´ a func¸a˜o constante.
3. Calcule
∫
c
cos(z)
z − pi dz e
∫
c
ez
z(z + 1)
onde c e´ o circulo |z − 1| = 3.
Soluc¸a˜o: ∫
c
cos(z)
z − pi dz = cos(pi) · 2pii = −2pii
e tambe´m
∫
c
ez
z(z + 1)
=
∫
c
ez
(
1
z
− 1
z + 1
)
dz =
∫
c
ez
z
dz −
∫
c
ez
z + 1
dz = 2pii(1− e−1)
4. Calcule
∫
c
5z2 − 3z + 2
(z − 1)3 dz, onde c e´ uma curva simples qualquer envolvendo
z = 1.
Soluc¸a˜o:
Pela fo´rmula integral de Cauchy (abaixo),
fn(a) =
n!
2pii
∫
c
f(z)
(z − a)n+1dz
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Integral Complexa Diego A. Oliveira
com n = 2, f(z) = 5z2 − 3z + 2 enta˜o f ′′(z) = 10 e portanto∫
c
5z2 − 3z + 2
(z − 1)3 dz = 10pii
10
Integral Complexa Diego A. Oliveira
Integrais Impro´prias e o Teorema do Res´ıduo
As integrais complexas mais comuns e que podem ser resolvidas pelo Teorema
do Res´ıduo tambe´m podem ser agrupadas em diferentes tipos o que facilita muito
a sua resoluc¸a˜o uma vez que cada tipo possui um contorno espec´ıfico de integrac¸a˜o
ou seu integrando possui uma caracter´ıstica particular que facilita o processo de
integrac¸a˜o.
TIPOUM
As integrais do tipo um sa˜o as integrais da forma:∫ ∞
−∞
f(x)dx
Onde:
1 – As singularidades da func¸a˜o na˜o esta˜o no eixo real.
2 – Existe um M, R e p > 1 tal que |f(z)| ≤ M|z|p
1. Calcule
∫ ∞
−∞
1
x4 + 1
dx.
Soluc¸a˜o:
Primeiro observamos que a condic¸a˜o (1) e´ verdadeira pois as singularidades de
f(z) na˜o esta˜o no eixo real.
Para mostrar a segunda condic¸a˜o lavaremos em considerac¸a˜o que z = Reiθ
onde R = |z| enta˜o
|f(z)| =
∣∣∣∣∣ 11 +R4e4iθ
∣∣∣∣∣≤ 1|R4e4iθ| − 1 ≤ 1R4 − 1 ≤ 2R4
onde M = 2 e p = 4, logo essa e´ uma integral do tipo I.
Nesses casos o contorno de integrac¸a˜o escolhido e´ sempre o semi-circulo no
plano superior de raio infinto.
11
Integral Complexa Diego A. Oliveira
Como as ra´ızes de z4 + 1 = 0 ocorrem apenas para epii/4, e3pii/4, e5pii/4, e7pii/4.
Contudo apenas os dois primeiros esta˜o dentro da regia˜o limitada pelo contorno,
logo apenas eles sera˜o levados em conta pelo Teorema do Res´ıduo.∫ ∞
−∞
f(x)dx = 2pii[Res(f, epii/4) +Res(f, e3pii/4)
onde
Res(f, epii/4) =
1
4(epii/4)3
, Res(f, e3pii/4 =
1
4(e3pii/4)3
E finalmente, ∫ ∞
−∞
f(x)dx = 2pii
(
− i
2
√
2
)
=
pi√
2
Para o calculo do res´ıduo usaremos a fo´rmula
Res(f, z0) = limz→z0(z − z0)
1
z4 + 1
12
Integral Complexa Diego A. Oliveira
TIPO DOIS
Sa˜o integrais onde f(x) = P (x)
D(x)
onde gr(D(x))− gr(P (x)) ≤ 2 e D(x) na˜o tem
ra´ızes racionais.
1. Calcule
∫ ∞
0
x2
(x2 + 1)(x2 + 4)
dx
Soluc¸a˜o:
Como o integrando e´ uma func¸a˜o par enta˜o∫ ∞
0
x2
(x2 + 1)(x2 + 4)
dx =
1
2
∫ ∞
−∞
x2
(x2 + 1)(x2 + 4)
dx
Seja f(z) =
z2
(z2 + 1)(z2 + 4)
achamos as singularidades no plano complexo
para z = ±i e z = ±2i estabelecendo o contorno de integral abaixo1 vemos
que as u´nicas singularidades que pertence a regia˜o do contorno sa˜o z = 1 e z = 2i
portanto sera˜o os u´nicos levados em considerac¸a˜o pelo Teorema do res´ıduo.
Assim pelo Teorema do Res´ıduo
1
2
∫ ∞
−∞
x2
(x2 + 1)(x2 + 4)
dx =
1
2
∫ R
−R
x2
(x2 + 1)(x2 + 4)
dx+
1
2
∫
Cr
z2
(z2 + 1)(z2 + 4)
dx
= pii(Res(f, i) +Res(f, 2i)) = pii
(
i
6
− i
3
)
=
pi
6
onde
1No caso de uma integral tipo dois sera´ usado sempre esse contorno.
13
Integral Complexa Diego A. Oliveira
Res(f, i) = limz→i
(z − i)z2
(z2 + 1)(z2 + 4)
= i
6
Res(f, 2i) =
(z − 2i)z2
(z2 + 1)(z2 + 4)
= − i
3
.
2. Calcule
∫ ∞
0
dx
x4 + 1
.
Soluc¸a˜o:
Como essa tambe´m e´ uma integral do tipo II o contorno de integrac¸a˜o sera´
tambe´m o semi circulo situado no plano superior.
Onde z1 = e
pi
4
i e z2 = e
3pi
4
i sa˜o as singularidades dentro do contorno, portanto
as u´nicas que sera˜o levadas em conta pelo Teorema do res´ıduo.
Como o integrando e´ uma func¸a˜o par enta˜o:
∫ ∞
0
dx
x4 + 1
=
1
2
∫ ∞
−∞
dx
x4 + 1
=
2pii
2
+ (Res(f, e
pi
4
i) +Res(f, e
3pi
4
i) =
pi
√
2
4
Onde
Res(f, e
pi
4
i) = lim
z→epi4 i
(z − epi4 i)
z4 + 1
= 1
4
e−
3pi
4
Res(f, e
3pi
4
i) = lim
z→e 3pi4 i
(z − e 3pi4 i)
z4 + 1
= 1
4
= e−
9pi
4
i
3. Calcule
∫ ∞
−∞
x2
(x2 + 1)2(x2 + 2x+ 2)
dx
Soluc¸a˜o:
14
Integral Complexa Diego A. Oliveira
Os res´ıduos de f(z) existem para z = i e z = i − 1 sendo singularidades de
ordem 1 e 2 respectivamente.
Aplicando a fo´rmula oferecida pelo Teorema do Res´ıduo∫ ∞
−∞
f(x)dx = 2pii(Res(f, z1) + ...+Res(f, zn))
onde z1, ..., zn sa˜o as singularidades de f(z) e Res(f, zn) e´ igual
Res(f, zn) =
1
(n− 1)! limz→zn
[(
d
dz
)n−1
· ((z − zn)f(z))
]
sendo n a ordem do res´ıduo teremos:
Res(f, i) = limz→i =
z(z − i)2
(z + i)2(z − i)2(z2 + 2z + 2) =
9i− 12
100
Res(f, i− 1) = limz→(i−1) = z(z − (i− 1))
(z + i)2(z − i)2(z2 + 2z + 2) =
3− 4i
25
assim∫ ∞
−∞
x2
(x2 + 1)2(x2 + 2x+ 2)
dx = 2pii
(
9i− 12
100
+
3− 4i
25
)
=
7pi
50
15
Integral Complexa Diego A. Oliveira
TIPO TREˆS
Sa˜o integrais da forma
∫ 2pi
0
F (senθ,cosθ)dθ onde F (senθ,cosθ) e´ uma func¸a˜o
racional de senθ ou cosθ.
1. Calcule
∫ 2pi
0
dθ
5 + 3senθ
.
Soluc¸a˜o:
Para resolvemos as integrais do tipo III devemos transformar o integrando para
que este fique em func¸a˜o de z.
Considerando z = eiθ enta˜o dz = ieiθdθ e como senθ = z−z
−1
2i
enta˜o:∫ 2pi
0
dθ
5 + 3senθ
=
∫
c
dz
zi
5 + 3
(
z−z−1
2i
) = ∫
c
2
3z2 + 10iz − 3dz
O fato de usarmos z = eiθ ao inve´s de z = |R|eiθ ocorre pois nesses casos de
integrac¸a˜o o contorno escolhido e´ sempre o circulo de raio um.
Onde agora aplicamos o Teorema do Contorno, para a singularidade z = − i
3
∫ 2pi
0
=
∫
c
2
3z2 + 10iz − 3dz = 2pii
(
limz→− i
3
(
z +
i
3
)(
2
3z2 + 10iz − 3
))
=
pi
2
16
Integral Complexa Diego A. Oliveira
perceba que o termo entre parenteses e´ o Res(f,− i
3
).
2. Mostre que
∫ 2pi
0
cos3θ
5− 4cosθdθ =
pi
12
Soluc¸a˜o:
Realizado a transformac¸a˜o chegamos a`:∫ 2pi
0
cos3θ
5− 4cosθdθ = −
1
2i
∫
c
z6 + 1
z3(2z − 1)(z − 2)dz
onde aplicando o Teorema do Res´ıduo , com as singularidades em z = 0 e z = 1
2
de ordem 3 e 1 respectivamente, dentro do circulo unita´rio.
− 1
2i
∫
c
z6 + 1
z3(2z − 1)(z − 2)dz = 2pii(Res(f, 0) +Res(f,
1
2
)) =
pi
12
onde
Res(f, 0) = 1
2!
limz→0
[(
d
dz
)2(
(z − 0)3
(
z6 + 1
z3(2z − 1)(z − 2)
))]
= 21
8
Res(f, 1
2
) = limz→ 1
2
(
(z − 1
2
)
(
z6 + 1
z3(2z − 1)(z − 2)
))
= −65
24
3. Mostre que
∫ 2pi
0
dθ
A+Bsenθ
=
2pi√
A2 + (−B)2 , se A > |B|.
Soluc¸a˜o:
Tomando como contorno de integrac¸a˜o a circunfereˆncia de raio unita´rio e real-
izando a transformac¸a˜o de θ para z temos
∫ 2pi
0
dθ
A+Bsenθ
=
∫
c
2
Bz2 + 2Aiz −Bdz = 2pii
(
Res
(
f,
−A+√A2 −B2
B
i
))
=
2pi√
A2 −B2
17
Integral Complexa Diego A. Oliveira
cujos polos podem ser encontrados fazendo Bz2 + 2Aiz − B = 0 pelo me´todo
de Vie´te para equac¸o˜es quadra´ticas fornecendo dois valores (z0 e z1), para as
singularidades do integrando.
onde
Res
(
f,
−A+√A2 −B2
B
i
)
= limz→z0(z − z0)
(
2
bz2 + 2Aiz −B
)
=
1√
A2 −B2i
Perceba que z0 =
−A+√A2 −B2
B
i pertence a circunfereˆncia unita´ria pelo
seguinte racioc´ınio
∣∣∣∣∣−A+
√
A2 −B2
B
i
∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣
√
A2 −B2 − A
B
i ·
√
A2 −B2 + A√
A2 −B2 + A
∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣ −B√A2 −B2 + Ai
∣∣∣∣∣< 1
se A > |B|.
De modo ana´logo pode se verificar que Z1 (a segunda raiz), na˜o pertence a
regia˜o da circunfereˆncia unita´ria.
18
Integral Complexa Diego A. Oliveira
TIPO QUATRO
Sa˜o conhecidas como integrais de Fourier e sa˜o da forma:∫ ∞
−∞
f(x)cos(x)dx ou
∫ ∞
∞
f(x)sen(x)dx
Toda integral de Fourier pode ser escrita na forma geral como∫ ∞
−∞
f(x)e±ikx
com k > 0. Tambe´m nesse tipo de integral as partes imagina´rias e reais do inte-
grando determinam toda a integral, e isso sera´ usado para resoluc¸a˜o dos pro´ximos
exerc´ıcios.
1. Calcule
∫ ∞
0
cos(nx)
x2 + 1
dx com n > 0.
Soluc¸a˜o:
Como cosθ = e
iθ+e−iθ
2
enta˜o a parte real de cosθ = e
iθ
2
assim:∫ ∞
0
cos(nx)
x2 + 1
dx =
1
2
∫ ∞
−∞
cos(nx)
x2 + 1
dx =
1
4
∫ ∞
−∞
eizm
z2 + 1
dz
Que como ja´ vimos e´ a forma de geral de uma integral de Fourier.
Aplicando a formula do res´ıduo sobre o semi circulo no plano superior, (usamos
sempre essa regia˜o de integrac¸a˜o para as integrais do tipo IV), a seguir
19
Integral Complexa Diego A. Oliveira
enta˜o
1
4
∫ ∞
−∞
eizm
z2 + 1
=
2pii
4
(Res(f, i)) =
pi
4
e−m
onde
Res(f, i)= limz→i
(
(z − i) e
izm
(z − i)(z + i)
)
= e
−m
2i
20
Integral Complexa Diego A. Oliveira
TIPO CINCO
As integrais do tipo cinco sa˜o da forma∫ ∞
0
cos(tx2)dx e
∫ ∞
0
sen(tx2)dx
com t ∈ Z. Sa˜o tambe´m conhecidas como integral de fresnel.
Assim com as integrais do tipo IV as integrais de fresnel podem ser resolvidas
apenas levando em conta a parte imagina´ria ou real do integrando. Isso implica
que tanto a func¸a˜o cos(tx2)dx como sen(tx2)dx podem ser substitu´ıdas pela func¸a˜o
eitx
2
que e´ a parte imagina´ria e real respectivamente das func¸o˜es citadas.
1. Mostre que as integrais
∫ ∞
0
cos(x2)dx e S =
∫ ∞
0
sen(x2)dx convergem para
1
2
√
pi
2
.
Soluc¸a˜o:
Seja C =
∫ ∞
0
cos(x2)dx e S =
∫ ∞
0
sen(x2)dx como suas partes imagina´rias ou
suas parte reais do integrando definem toda a integral enta˜o podemos substituir
ambos os integrandos por eix
2
que e´ a parte real e imagina´ria de cos(x2) e sen(x2)
respectivamente logo
I =
∫ ∞
0
eix
2
dx ≡ Re
∫ ∞
0
cos(x2)dx ≡ Im
∫ ∞
0
sen(x2)dx
Para o calculo da integral I vamos considerar o seguinte contorno de integrac¸a˜o
21
Integral Complexa Diego A. Oliveira
Como a func¸a˜o f(z) = eiz
2
e´ anal´ıtica dentro e fora da regia˜o de contorno de
acordo com o Teorema de Cauchy podemos escrever∫
c
eizdz =
(∫
Cx
+
∫
Cr
+
∫
Cl
)
eiz
2
dz = 0 (1)
Calculando a integral ao longo do caminho Cr chegamos a conclusa˜o que seu
resultado e´ zero. ∣∣∣∣∣
∫
Cr
eiz
2
dz
∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣
∫ pi
4
0
eiR
2(cos2θ+isen2θ)iReiθdθ
∣∣∣∣∣
onde nessa passagem usamos z2 = R2(cos2θ + isen2θ).
∣∣∣∣∣
∫ pi
4
0
eiR
2(cos2θ+isen2θ)iReiθdθ
∣∣∣∣∣≤
∫ pi
4
0
Re−R
2sen2θdθ ≤
∫ pi
4
0
Re−R
2 4θ
pi dθ =
pi
4R
(
1− e−R2
)
ou seja quando R→∞ enta˜o
∫
Cr
ez
2
dz → 0
Para Calcular as integrais ao longo do caminho Cx e Cl devemos levar em
conte que o segmento Cx = [0;R] existe apenas sobre o eixo real portanto tem
parte imagina´ria nula (z = x).∫
Cx
eiz
2
dz =
∫ R
0
eix
2
dx (2)
Ja´ o segmento Cl tem componentes tanto no eixo real como no imagina´rio e
pode ser escrito como z = re
pi
4
i enta˜o:∫
Cl
eitz
2
dz =
∫ 0
R
ei(r
2eipi/2) · epi4 idr = epi4 i
∫ 0
R
ei(r
2eipi/2)dr (3)
como e
pi
2
i = i enta˜o:
e
pi
4
i
∫ 0
R
e−r
2
dr = −1
2
√
pi
2
− i
√
pi
2
(4)
22
Integral Complexa Diego A. Oliveira
Como a integral ao longo de Cr tende a zero quando R tende ao infinito da
relac¸a˜o (1) e (4) implica que:∫ R
0
eix
2
dx = −epi4 i
∫ 0
R
e−r
2
dr = e
pi
4
i
√
pi
2
=
1
2
√
pi
2
+ i
√
pi
2
(5)
∫ R
0
eix
2
dx =
1
2
√
pi
2
+ i
√
pi
2
Como no nosso contorno de integrac¸a˜o (figura) R → ∞ e lembrando que a
integral ao longo de Cx tem parte imaginaria nula enta˜o conclui-se que na verdade:∫ R
0
eix
2
dx =
1
2
√
pi
2
23
Integral Complexa Diego A. Oliveira
TIPO SEIS
Nesse grupo esta˜o as integrais que possuem pelo menos uma singularidade no
eixo real.
1. Calcule
∫ ∞
0
sen(x)
x
dx.
Soluc¸a˜o:
Assim como nos outros casos onde o integrando e´ func¸a˜o trigonome´trica o valor
dessa integral pode ser obtido apenas considerando sua parte imagina´ria ou real
assim: ∫ ∞
0
sen(x)
x
dx =
∫ ∞
0
eix
xi
dx
Note que sen(x) = Im = (eix).
Como o integrando e´ uma func¸a˜o par enta˜o:∫ ∞
0
eix
xi
dx =
1
2
∫ infty
−∞
eix
xi
dx
passando a func¸a˜o para o plano complexo e integrando ao longo do contorno
(abaixo).
Enta˜o
1
2
∫ ∞
−∞
eix
xi
dx =
1
2
∫ ∞
−∞
eiz
zi
dz =
1
2
(∫
CR
+
∫
[−R;−r]
+
∫
Cr
+
∫
[r;R]
)
=
pii
2i
Res((f, z0))
24
Integral Complexa Diego A. Oliveira
Onde z0 e´ a singularidade da func¸a˜o f(z) =
eiz
z
.
Como Res(f, z0) = limz→z0 = 1 enta˜o∫ ∞
−∞
eiz
z
dz =
pi
2
25