Segunda Parte da Matéria (P2)

Prévia do material em texto

Equações Diferenciais Parciais 
Utilizaremos o método de separação de variáveis para transformar uma equação diferencial parcial 
(EDP) em um conjunto equações diferenciais ordinárias (EDOs). Essas EDOs estarão sujeitas a 
condições iniciais (em um único ponto) e condições de contorno (em dois pontos diferentes). 
 
Normalmente, procuramos primeiro a solução geral da EDO, depois usamos as condições de contorno 
para determinar os valores das constantes arbitrárias (𝑐1 𝑒 𝑐2), encontramos os autovalores que 
geram solução real e explicitamos essa solução encontrando os seus coeficientes através de uma 
comparação com a série de Fourier. 
 
Considerando uma equação diferencial do tipo: 
𝑦′′ + 𝑝(𝑥)𝑦′ + 𝑞(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) 
𝑦(𝑥0) = 𝑎 𝑦(𝑥1) = 𝑏 
Se 𝑔(𝑥), 𝑎 e 𝑏 são iguais a ZERO então a equação é dita homogênea. Caso uma das condições não seja 
satisfeita, é dita não-homogênea. 
Um sistema homogêneo SEMPRE tem pelo menos a solução x = 0. É impossível para o sistema 
homogêneo não ter solução. 
 
1º passo: Encontrar a solução geral da equação diferencial 
2º passo: Aplicar as condições de contorno: substituir os pontos 𝑥0 e 𝑥1 e calcular os valores de 𝑐1 𝑒 𝑐2 
 
 
𝜆 > 0 → 𝒂𝒖𝒕𝒐𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝜆𝑛 = 
𝑛2𝜋2
𝐿2
 𝑒 𝒂𝒖𝒕𝒐𝒗𝒆𝒕𝒐𝒓 𝑦𝑛 = sin
𝑛𝜋𝑥
𝐿
 
𝜆 = 0 → 𝑛ã𝑜 𝑡𝑒𝑚 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 
𝜆 < 0 → 𝑛ã𝑜 𝑡𝑒𝑚 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um problema com valores de contorno diferentes de zero tem uma única solução 
 
O mesmo problema com valors de contorno iguais a zero tem apenas a solução trivial y = 0 
Um problema com valores de contorno diferentes de zero tem infinitas/nenhuma solução 
 
O mesmo problema com valores de contorno iguais a zero tem soluções alem da trivial 
 
 
 
Séries de Fourier 
É uma série (somátório) de cossenos somada a uma série (somatório) de senos. 
Se 𝑓(𝑥) e 𝑓’(𝑥) são contínuas por partes com 𝑓 definida fora do intervalo [-L, L] de modo a ser 
periódica e considerando o período 𝑇 = 2𝐿: 
 
𝑓(𝑥) =
𝑎0
2
+∑(𝑎𝑛 cos
𝑛𝜋𝑥
𝐿
+ 𝑏𝑛 sin
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)
∞
𝑛=1
 
 
Onde: 
𝑎0 = 
1
𝐿
 ∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
 
𝑎𝑛 = 
1
𝐿
 ∫ 𝑓(𝑥) cos
𝑛𝜋𝑥
𝐿
 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
 
𝑏𝑛 = 
1
𝐿
 ∫𝑓(𝑥) sin
𝑛𝜋𝑥
𝐿
 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
 
Obs: A série de Fourier converge para 𝑓(𝑥) em todos os pontos continuos do gráfico. Já nos pontos 
de descontinuidade a série de Fourier converge para o valor médio entre os limites à esquerda e o 
limite à direita. 
 
Teorema de Fourier: Podemos dizer que se 𝑓(𝑥) e 𝑓’(𝑥) são diferenciáveis e contínuas por partes 
então a série de Fourier converge para o seguinte valor em qualquer ponto: 
𝑓(𝑥) =
𝑓(𝑥+) + 𝑓(𝑥−)
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dica para integral por partes: ∫𝑢 𝑑𝑣 = u.v – ∫𝑣 𝑑𝑢 
Escolhemos u seguindo a ordem I>L>A>T>E 
I = função inversa 
L = função logarítmica 
A = função algébrica 
T = função trigonométrica 
E = função exponencial 
Para lembrar: "Uma vaca menos a integral vestida de 
uniforme" 
Não esquecer: ∫ cos 𝑛𝑥 = 
1
𝑛
sin 𝑛𝑥 
∫ sen 𝑛𝑥 = −
1
𝑛
cos 𝑛𝑥 
 
 
Funções Pares e Ímpares 
 
𝑓(𝑥) é 𝑷𝑨𝑹 𝑠𝑒 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑒𝑥: 𝑐𝑜𝑠𝑥 
𝑓(𝑥) é 𝑰𝑴𝑷𝑨𝑹 𝑠𝑒 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) 𝑒𝑥: 𝑠𝑒𝑛𝑥 
PAR * PAR = PAR PAR + PAR = PAR 
IMPAR * IMPAR = PAR IMPAR + IMPAR = IMPAR 
PAR * IMPAR = IMPAR 
 
∫ 𝑃𝐴𝑅
𝐿
−𝐿
= 2 ∫ 𝑃𝐴𝑅
𝐿
0
 .:. ∫ 𝐼𝑀𝑃𝐴𝑅
𝐿
−𝐿
= 0 
 
Numa série de Fourier, se eu tenho uma função 𝑓(𝑥) de período 2𝐿 e ela é: 
PAR: 
𝑎𝑛 = 
2
𝐿
 ∫𝑓(𝑥) cos
𝑛𝜋𝑥
𝐿
 𝑑𝑥
𝐿
0
 
𝑏𝑛 = 0 
IMPAR: 
𝑎𝑛 = 0 
𝑏𝑛 = 
2
𝐿
 ∫𝑓(𝑥) sin
𝑛𝜋𝑥
𝐿
 𝑑𝑥
𝐿
0
 
 
 
Equação do Calor 
Mede a temperatura u em cada ponto x no tempo t. 
 
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= 𝑘 
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
 
𝑢𝑡 = 𝑘 𝑢𝑥𝑥 
Condição inicial (sempre em t) → 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) → 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 
Condições de contorno (sempre em x) → 𝑢(0, 𝑡) = 𝑔1(𝑡) 
 𝑢(𝐿, 𝑡) = 𝑔2(𝑡) 
Quando os problemas de contorno são medidos na própria função 𝑢(𝑥, 𝑡) e 𝑔1(𝑡) e 𝑔2(𝑡) existem, 
chamamos de Problema de Dirichlet. 
Pode ocorrer, também, o caso dos problemas de contorno serem medidos na derivada da função 
𝑢(𝑥, 𝑡). Neste caso, chamamos de Problema de Newmann e temos: 
𝑢𝑥(0, 𝑡) = ℎ1(𝑡) 
𝑢𝑥(𝐿, 𝑡) = ℎ2(𝑡) 
 
 
 
 
 
 
 
Método de Separação de Variáveis 
Principal método para resolução de EDPs 
Condições de Contorno Homogêneas 
Considerando a equação do calor com as seguintes condições de contorno homogêneas e condição 
inicial: 
{
𝑢𝑡 = 𝑘 𝑢𝑥𝑥
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝐿, 𝑡) = 0
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) 𝑐𝑜𝑚 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
 
1º passo: Supomos que a solução para a função u(x,t) é dada na forma 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇(𝑡) 
2º passo: Derivamos a “solução” escolhida acima e substituímos na equação 𝑢𝑡 = 𝑘 𝑢𝑥𝑥 
𝑢𝑥 = 𝑋
′(𝑥)𝑇(𝑡) 
𝑢𝑥𝑥 = 𝑋
′′(𝑥)𝑇(𝑡) 
𝑢𝑡 = 𝑋(𝑥)𝑇′(𝑡) 
E ficamos com: 
𝑋(𝑥)𝑇’(𝑡) – 𝑘 𝑋’’(𝑥)𝑇(𝑥) 
3º passo: Separar as funções de X em um lado e as funções de T no outro 
𝑇′(𝑡)
𝑘 𝑇(𝑡)
=
𝑋′′(𝑥)
𝑋(𝑥)
= 𝑐𝑡𝑒 = −𝜆 
4º passo: Para que essa equação seja possível, é necessário que os dois lados da função sejam iguais 
a uma constante. Escolho −𝜆 como essa constante. 
5º passo: Reorganizando as equações, agora com a inclusão da constante, tenho o seguinte sistema: 
{
𝑋′′(𝑥) + 𝜆 𝑋(𝑥) = 0
𝑇′(𝑡) + 𝜆 𝑘 𝑇(𝑡) = 0
 
Agora eu tenho duas equações ordinárias que dependem apenas de uma variável. 
6º passo: Aplico as condições de contorno (relacionadas com o x) primeiro, deixando a condição 
inicial (relacionada com o t) para depois. 
𝑢(0, 𝑡) = 𝑋(0)𝑇(𝑡) = 0 → 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑇(𝑡) 𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 0 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑋(0) = 0 
𝑢(𝐿, 𝑡) = 𝑋(𝐿)𝑇(𝑡) = 0 → 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑇(𝑡) 𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 0 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑋(𝐿) = 0 
 
 Problema de Autovalores 
Com as equações do 5º passo e com as condições de contorno encontradas no 6º passo, nós temos 
agora o seguinte sistema: 
 
{
𝑋′′(𝑥) + 𝜆 𝑋(𝑥) = 0
𝑋(0) = 𝑋(𝐿) = 0
 
 
1º passo: Encontrar a equação característica: 
𝑟2 + 𝜆 = 0 
Temos agora TRÊS casos: 
 
Caso 1: Δ = 0 e 𝜆 = 0 
Encontro a equação característica: 𝑟2 = 0 → 𝑟 = ±0 
Para raizes iguais a zero tenho a solução: 𝑋(𝑥) = 𝑐𝑥 + 𝑑 
 
 
Aplico as condições de contorno para encontrar as constantes → 𝑋(0) = 0 𝑒 𝑋(𝐿) = 0 
0 = 𝑐 0 + 𝑑 → 𝑑 = 0 
0 = 𝑐 𝐿 + 𝑑 → 0 = 𝑐 𝐿 → 𝑐 = 0 
Substituo essas constantes na solução que eu encontrei: 
𝑋(𝑥) = 0𝑥 + 𝑑 → 𝑋 = 0 
𝑵Ã𝑶 É 𝑼𝑴𝑨 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑨𝑶 𝑸𝑼𝑬 𝑰𝑵𝑻𝑬𝑹𝑬𝑺𝑺𝑨 
Caso 2: Δ < 0 → 𝑓𝑎ç𝑜 𝜆 = −𝛼2 
Encontro a equação característica: 𝑟2 − 𝛼2 = 0 → 𝑟 = ±𝛼 
Para raizes reias tenho a solução: 𝑋(𝑥) = 𝑐1𝑒
𝑟1𝑥 + 𝑐1𝑒
𝑟2𝑥 ou 𝑋(𝑥) = 𝑐1 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝛼𝑥) + 𝑐2 sinh(𝛼𝑥 
Aplico as condições de contorno para encontrar as constantes → 𝑋(0) = 0 𝑒 𝑋(𝐿) = 0 
0 = 𝑐1 1 + 𝑐2 0 → 𝑐1 = 0 
0 = 0 cosh(𝛼𝐿) + 𝑐2 sinh(𝛼𝐿) → 𝑐2 = 0 
Substituo essas constantes na solução que eu encontrei: 
𝑋(𝑥) = 0 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝛼𝑥) + 0 sinh(𝛼𝑥) → 𝑋(𝑥) = 0 
𝑵Ã𝑶 É 𝑼𝑴𝑨 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑨𝑶 𝑸𝑼𝑬 𝑰𝑵𝑻𝑬𝑹𝑬𝑺𝑺𝑨 
Caso 3: Δ > 0 → 𝑓𝑎ç𝑜 𝜆 = 𝛼2 
Encontro a equação característica: 𝑟2 + 𝛼2 = 0 → 𝑟 = ±𝑖𝛼 
Para raizes complexas tenho a solução: 𝑋(𝑥) = 𝑐1 𝑐𝑜𝑠(𝛼𝑥)+ 𝑐2 sin(𝛼𝑥) 
Aplico as condições de contorno para encontrar as constantes → 𝑋(0) = 0 𝑒 𝑋(𝐿) = 0 
0 = 𝑐1 1 + 𝑐2 0 → 𝑐1 = 0 
0 = 0 cos(𝛼𝐿) + 𝑐2 sin(𝛼𝐿) → 𝐴𝑞𝑢𝑖 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒 𝑎𝑙𝑔𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒! 
𝑄𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 αL = nπ temos que sin(αL) = 0 
Logo, quando 𝜆 = 𝛼2 =
𝑛²𝜋²
𝐿2
 a equação fica: 
 𝑋𝑛(𝑥) = 𝐶𝑛sin (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 
𝑬 𝑬𝑼 𝑻𝑬𝑵𝑯𝑶 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑨𝑶! 
 
7º passo: Agora que eu sei que 𝜆 =
𝑛²𝜋²
𝐿2
 reescrevo o sistema que encontrei no 5º passo e descubro as 
soluções para 𝑋𝑛(x) e 𝑇𝑛(t) : 
{
 
 𝑋′′(𝑥) +
𝑛²𝜋²
𝐿2
𝑋(𝑥) = 0 → 𝑋𝑛(𝑥) = 𝐶𝑛 sin (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 
𝑇′(𝑡) +
𝑛²𝜋²
𝐿2
𝑘 𝑇(𝑡) = 0 → 𝑇𝑛 = 𝐵𝑛 𝑒
−
𝑛²𝜋²𝑘𝑡
𝐿²
 
 
8º passo: Reescrevo a equação 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇(𝑡) em função das soluções 𝑋𝑛(x) e 𝑇𝑛(t) encontradas 
considerando 𝐴𝑛 = 𝐵𝑛 + 𝐶𝑛: 
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑𝐴𝑛 sin (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)
∞
𝑛=1
𝑒
−
𝑛²𝜋²𝑘𝑡
𝐿² 
 9º passo: Por fim, aplico a condição inicial 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) para achar 𝐴𝑛 
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) = ∑𝐴𝑛 sin (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)
∞
𝑛=1
1 
 
 
Essa equação nos lembra uma série de Fourier em senos (impar). Sabendo disso, encontramos a 
extensão ímpar com período 2L da função f(x) e podemos agora calcular 𝐴𝑛: 
 
𝐴𝑛 = 
2
𝐿
 ∫𝑓(𝑥) sin
𝑛𝜋𝑥
𝐿
 𝑑𝑥
𝐿
0
 
10º passo: Substituímos o 𝐴𝑛 na equação encontrada no 8º passo e finalmente temos a solução final 
do problema. 
 
Condições de Contorno Não-Homogêneas 
Consideramos agora a equação do calor com as seguintes condições de contorno não-homogêneas e 
condição inicial: 
{
𝑢𝑡 = 𝑘 𝑢𝑥𝑥
𝑢(0, 𝑡) = 𝑇1 𝑢(𝐿, 𝑡) = 𝑇2
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) 𝑐𝑜𝑚 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
 
1º passo: Vamos considerar que para um tempo t muito grande (𝑡 → ∞) será alcançada uma 
temperatura estacionária 𝑣(𝑥) que é independente do tempo e das condições iniciais. Assim, para 
satisfazer a equação do calor 𝑢𝑡 = 𝑘 𝑢𝑥𝑥 nós temos que: 
{
𝑣’’(𝑥) = 0
𝑣(0) = 𝑇1 𝑣(𝐿) = 𝑇2
 
2º passo: Assumimos que a solução de 𝑣(𝑥) é da forma 𝑣(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 e então aplicando as condições 
de contorno 𝑣(0) e 𝑣(𝐿): 
𝑣(𝑥) = (𝑇2 − 𝑇1)
𝑥
𝐿
+ 𝑇1 
3º passo: Deste modo, passamos a escrever a solução de 𝑢(𝑥, 𝑡) como: 
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑣(𝑥) + 𝑤(𝑥, 𝑡) 
4º passo: Ja temos 𝑣(𝑥) do 2º passo, precisamos agora achar o 𝑤(𝑥, 𝑡). Como 𝑤(𝑥, 𝑡) =
 𝑢(𝑥, 𝑡) – 𝑣(𝑥), temos que 𝑤(𝑥, 𝑡) se torna uma EDP com condições de contorno homogêneas e 
condição inicial igual a uma diferença entre funções: 
𝑤(0, 𝑡) = 𝑢(0, 𝑡) − 𝑣(0) = 𝑇1 − 𝑇1 = 0 
𝑤(𝐿, 𝑡) = 𝑢(𝐿, 𝑡) − 𝑣(𝐿) = 𝑇2 − 𝑇2 = 0 
𝑤(𝑥, 0) = 𝑢(𝑥, 0) − 𝑣(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑣(𝑥) 
5º passo: Agora que temos w(x,t) como uma EDP com condições de contorno homogêneas, basta 
utilizar o mesmo procedimento que utilizamos para resolver a EDP do caso anterior. A solução será 
da forma: 
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑣(𝑥) + 𝑤(𝑥, 𝑡) 
Onde: 
𝑣(𝑥) = (𝑇2 − 𝑇1)
𝑥
𝐿
+ 𝑇1 
𝑤(𝑥, 𝑡) = ∑𝐴𝑛 sin (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)
∞
𝑛=1
𝑒
−
𝑛²𝜋²𝑘𝑡
𝐿² 
6º passo: Utilizamos a condição inicial 𝑤(𝑥, 0) para encontrar os coeficientes 𝐴𝑛 através de 
comparação. Se não for possível comparar, utilizamos a fórmula: 
𝐴𝑛 = 
2
𝐿
 ∫𝑓(𝑥) sin
𝑛𝜋𝑥
𝐿
 𝑑𝑥
𝐿
0
 
 
 
 
Condições de Contorno com Derivadas Homogêneas (Barras com 
Extremidades Isoladas) 
Quando não há fluxo passando pelas extremidades da barra, ou seja, quando a derivada nas 
extremidades é nula, temos as seguintes condições de contorno: 
𝑢𝑥(0, 𝑡) = 𝑢𝑥(𝐿, 𝑡) = 0 
A partir daí, resolvemos através do mesmo método de separação de variáveis utilizado anteiormente. 
1º passo: Supomos que a solução para a função u(x,t) é dada na forma 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇(𝑡) 
2º passo: Derivamos a “solução” escolhida acima e substituímos na equação 𝑢𝑡 = 𝑘 𝑢𝑥𝑥 . Ficamos com: 
𝑋(𝑥)𝑇’(𝑡) – 𝑘 𝑋’’(𝑥)𝑇(𝑥) 
3º passo: Separamos as funções de X em um lado e as funções de T no outro 
𝑇′(𝑡)
𝑘 𝑇(𝑡)
=
𝑋′′(𝑥)
𝑋(𝑥)
= 𝑐𝑡𝑒 = −𝜆 
4º passo: Para que essa equação seja possível, é necessário que os dois lados da função sejam iguais 
a uma constante. Escolho −𝜆 como essa constante. Reorganizando as equações, agora com a inclusão 
da constante, tenho o seguinte sistema: 
{
𝑋′′(𝑥) + 𝜆 𝑋(𝑥) = 0
𝑇′(𝑡) + 𝜆 𝑘 𝑇(𝑡) = 0
 
Agora eu tenho duas equações ordinárias que dependem apenas de uma variável. 
 
5º passo: Aplico as condições de contorno (relacionadas com o x) primeiro, deixando a condição 
inicial (relacionada com o t) para depois. 
𝑢𝑥(0, 𝑡) = 𝑋
′(0)𝑇(𝑡) = 0 → 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑇(𝑡) 𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 0 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑋′(0) = 0 
𝑢𝑥(𝐿, 𝑡) = 𝑋(𝐿)𝑇(𝑡) = 0 → 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑇(𝑡) 𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 0 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑋′(𝐿) = 0 
6º passo: Voltamos a ter três casos: 
𝜆 < 0 → 𝑆𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑋(𝑥) = 𝑘1 sinh(𝛼𝑥) + 𝑘2 cosh(𝛼𝑥) 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘1 = 𝑘2 = 0.𝑵Ã𝑶 𝑰𝑵𝑻𝑬𝑹𝑬𝑺𝑺𝑨 
𝜆 = 0 → 𝑆𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑋(𝑥) = 𝑘1𝑥 + 𝑘2 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑘2 = 𝑐𝑡𝑒 
𝜆 > 0 → 𝑆𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑋(𝑥) = 𝑘1 sin(𝛼𝑥) + 𝑘2 cos(𝛼𝑥) 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘1 = 0 𝑒 𝑘2 𝑎𝑟𝑏𝑖𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜. 
𝐿𝑜𝑔𝑜, 𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑋 é 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 
𝑋𝑛(𝑥) = 𝐶𝑛 cos
𝑛𝜋𝑥
𝐿
𝑐𝑜𝑚 𝜆 =
𝑛2𝜋2
𝐿2
 𝑒 𝑇𝑛(𝑡) = 𝑒
−
𝑛2𝜋2𝑥
𝐿² 
 
7º passo: Reescrevemoso a equação 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇(𝑡) em função das soluções 𝑋𝑛(x) e 𝑇𝑛(t) 
encontradas: 
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑𝐶𝑛 cosn (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)
∞
𝑛=1
𝑒
−
𝑛²𝜋²𝑘𝑡
𝐿² 
 8º passo: Por fim, aplico a condição inicial 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) para achar 𝐴𝑛 
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) =
𝑐0
2
+∑𝐶𝑛 cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)
∞
𝑛=1
1 
Essa equação nos lembra uma série de Fourier em cossenos (par). Sabendo disso, encontramos a 
extensão par com período 2L da função f(x) e podemos agora calcular 𝐶𝑛: 
 
 
 
𝐶𝑛 = 
2
𝐿
 ∫𝑓(𝑥) cos
𝑛𝜋𝑥
𝐿
 𝑑𝑥
𝐿
0
 
9º passo: Substituímos o 𝐶𝑛 na equação encontrada no 7º passo e finalmente temos a solução final do 
problema. 
 
Equação da Onda 
Mede a posição vertical y da corda na posição x no tmepo t 
 
𝑎2𝑦𝑥𝑥 = 𝑦𝑡𝑡 
 
𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖çõ𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑖𝑠 (𝑠𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑒𝑚 𝑡) → 𝑦(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) 
 𝑦𝑡(𝑥, 0) = 𝑔(𝑥) 
𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 (𝑠𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑒𝑚 𝑥) → 𝑦(0, 𝑡) = 0 
 𝑦(𝐿, 𝑡) = 0 
 
É possível termos dois tipos de problema: 
𝑜𝑏𝑠: 𝐴𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑠ã𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎𝑠 
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎 𝐴: 
𝑦(0, 𝑡) = 𝑦(𝐿, 𝑡) = 0 
𝑦(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) 
𝑦𝑡(𝑥, 0) = 0 
Problema B: 
𝑦(0, 𝑡) = 𝑦(𝐿, 𝑡) = 0 
𝑦(𝑥, 0) = 0 
𝑦𝑡(𝑥, 0) = 𝑔(𝑥) 
 
obs: No caso de termos um problema com 𝑦(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) e 𝑦𝑡(𝑥, 0) = 𝑔(𝑥) a solução final é dada pela 
soma da solução do Problema A com a solução do Problema B. 
 
1º passo: Supomos que a solução é da forma 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇(𝑡) de modo que podemos utilizar o 
método da separação de variáveis. 
2º passo: Derivamos a solução e substituimos na equação da onda 𝑎2𝑦𝑥𝑥 = 𝑦𝑡𝑡 . Temos: 
𝑇′′(𝑡)
𝑎² 𝑇(𝑡)
=
𝑋′′(𝑥)
𝑋(𝑥)
= 𝑐𝑡𝑒 = −𝜆 
3º passo: Para que essa equação seja possível, é necessário que os dois lados da função sejam iguais 
a uma constante. Escolho −𝜆 como essa constante. 
4º passo: Reorganizando as equações, agora com a inclusão da constante, tenho o seguinte sistema: 
{
𝑋′′(𝑥) + 𝜆 𝑋(𝑥) = 0
𝑇′′(𝑡) + 𝑎2𝜆 𝑇(𝑡) = 0
 
5º passo: Como temosas condições de contorno iguais nos dois tipos de problema (A e B), temos que: 
𝑦(0, 𝑡) = 𝑋(0)𝑇(𝑡) = 0 → 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑇(𝑡) 𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 0 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑋(0) = 0 
𝑦(𝐿, 𝑡) = 𝑋(𝐿)𝑇(𝑡) = 0 → 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑇(𝑡) 𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 0 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑋(𝐿) = 0 
 
𝑋(0) = 𝑋(𝐿) = 0 
6º passo: Para a equação 𝑋′′(𝑥) + 𝜆 𝑋(𝑥) = 0 sabemos que os autovalores onde 𝜆 < 0 ou 𝜆 = 0 não 
oferecem solução que interessa. Porém, quando 𝜆 =
𝑛2𝜋2
𝐿2
 temos que a solução 𝑋(𝑥) é da forma: 
𝑋𝑛(𝑥) = 𝐶𝑛 sin
𝑛𝜋𝑥
𝐿
 
 
 
7º passo: Para a equação 𝑇′′(𝑡) + 𝑎2𝜆 𝑇(𝑡) = 0 sabemos do passo anterior que somente 𝜆 =
𝑛²𝜋²
𝐿²
 gera 
solução que interessa. Substituindo o valor de 𝜆 na equação acima podemos encontrar as raízes da 
equação e temos que a solução T(x) é da forma: 
𝑇𝑛(𝑡) = 𝐴𝑛 cos
𝑎𝑛𝜋𝑡
𝐿
+ 𝐵𝑛 sin
𝑎𝑛𝜋𝑡
𝐿
 
8º passo: A solução final é dada na forma 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇(𝑡) onde temos, para os dois problemas: 
Problema A: 
𝑦𝑎(𝑥, 𝑡) = 𝐷0 +∑𝐷𝑛
∞
𝑛=1
sin
𝑛𝜋𝑥
𝐿
cos
𝑎𝑛𝜋𝑡
𝐿
 
Onde, sabendo da condição inicial 𝑦(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) e através da extensão ímpar com período 2L da 
função f(x) encontramos que 𝐷𝑛 é dado por: 
𝐷𝑛 = 
2
𝐿
 ∫𝑓(𝑥) sin
𝑛𝜋𝑥
𝐿
 𝑑𝑥
𝐿
0
 
Problema B: 
𝑦𝑏(𝑥, 𝑡) = 𝐸𝑛 +∑𝐸𝑛
∞
𝑛=1
sin
𝑛𝜋𝑥
𝐿
sin
𝑎𝑛𝜋𝑡
𝐿
 
Onde, sabendo da condição inicial 𝑦𝑡(𝑥, 0) = 𝑔(𝑥) e através da extensão ímpar com período 2L da 
função g(x) encontramos que 𝐸𝑛 é dado por: 
𝐸𝑛 = 
2
𝑛𝜋𝑎
 ∫𝑔(𝑥) sin
𝑛𝜋𝑥
𝐿
 𝑑𝑥
𝐿
0
 
 
Equação de Laplace 
Ligado ao cálculo de potenciais ou de estados estacionários onde a equação não depende de t. 
 
𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 = 0 
Como não existe dependencia do tempo, não existem condições inicias a serem satisfeitas! Porém, 
existem condições de contorno tanto na direção x quanto na direção y. Essas condições de contorno 
delimitam uma região onde temos o seguinte problema: 
 
 
 
 
 
 Aqui dividimos em dois casos referents aos problemas A e B. 
 
No Problema A, onde 𝑦𝑡(𝑥, 0) = 𝑇′(0) = 0 temos: 
𝐵𝑛 = 0 
No Problema B, onde 𝑦(𝑥, 0) = 𝑇(0) = 0 temos: 
𝐴𝑛 = 0 
 
 
 
 
Região xy = Retângulo 
 
1º passo: Supor que a solução é da forma 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑋(𝑥)𝑌(𝑦) 
2º passo: Derivamos a solução e substituimos na equação de laplace 𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 = 0. Temos: 
−
𝑌′′(𝑦)
𝑌(𝑦)
=
𝑋′′(𝑥)
𝑋(𝑥)
= 𝑐𝑡𝑒 = +𝜆 
3º passo: Para que essa equação seja possível, é necessário que os dois lados da função sejam iguais 
a uma constante. Escolho +𝜆 como essa constante. 
4º passo: Reorganizando as equações, agora com a inclusão da constante, tenho o seguinte sistema: 
{
𝑋′′(𝑥) − 𝜆 𝑋(𝑥) = 0
𝑌′′(𝑦) + 𝜆 𝑌(𝑦) = 0
 
5º passo: Como agora só temos condições de contorno, vamos trabalhar primeiro com as condições 
homogêneas (=0): 
𝑢(0, 𝑦) = 𝑋(0)𝑌(𝑦) = 0 → 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑌(𝑦) 𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 0 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑋(0) = 0 
𝑢(𝑥, 0) = 𝑋(𝑥)𝑌(0) = 0 → 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑋(𝑥) 𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 0 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑌(0) = 0 
𝑢(𝑥, 𝑏) = 𝑋(𝑥)𝑌(𝑏) = 0 → 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑋(𝑥) 𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 0 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑌(𝑏) = 0 
 
𝑋(0) = 𝑌(0) = 𝑌(𝑏) = 0 𝑒 𝑋(𝑎) =? 
6º passo: Para a equação 𝑌′′(𝑦) + 𝜆 𝑌(𝑦) = 0 sabemos que os autovalores onde 𝜆 < 0 ou 𝜆 = 0 não 
oferecem solução que interessa. Só nos interessa soluções quando 𝜆 > 0 onde encontramos que 
quando 𝜆 =
𝑛2𝜋2
𝑏²
 temos que a solução Y(y) é da forma: 
𝑌𝑛(𝑥) = 𝐴𝑛 sin
𝑛𝜋𝑦
𝑏
 
7º passo: Para a equação 𝑋′′(𝑥) − 𝜆 𝑋(𝑥) = 0 sabemos do passo anterior que só nos interessa 
soluções quando 𝜆 =
𝑛2𝜋2
𝑏²
 e então temos que a solução X(x) é da forma: 
𝑋𝑛(𝑥) = 𝐵𝑛 cosh
𝑛𝜋𝑥
𝑏
+ 𝐶𝑛 sinh
𝑛𝜋𝑥
𝑏
 onde 𝐵𝑛 = 0 
8º passo: A solução final é dada na forma 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑋(𝑥)𝑌(𝑦) onde temos: 
𝑢(𝑥, 𝑦) = ∑𝐷𝑛
∞
𝑛=1
sin
𝑛𝜋𝑦
𝑏
sinh
𝑛𝜋𝑥
𝑏
 
Sabendo da condição inicial 𝑢(𝑎, 𝑦) = 𝑓(𝑦) e através da extensão ímpar com período 2b da função 
f(y) encontramos que 𝐷𝑛 é dado pelos coeficientes da série de Fourier de f(y) e então: 
𝐷𝑛 sinh
𝑛𝜋𝑎
𝑏
= 
2
𝑏
 ∫ 𝑓(𝑦) sin
nπy
b
𝑑𝑦
𝑏
0