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20 Função Hiperbólica

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PARTE 20
FUNC¸O˜ES HIPERBO´LICAS
20.1 Introduc¸a˜o
Certas combinac¸o˜es das func¸o˜es exponenciais ex e e−x aparecem com frequeˆncia em ma-
tema´tica como, por exemplo, em soluc¸a˜o de equac¸o˜es diferenciais. Por esta raza˜o, estas
combinac¸o˜es sa˜o dignas de serem batizadas com nomes especiais. Estas func¸o˜es, que
logo conheceremos, possuem muitas propriedades ana´logas a`s func¸o˜es trigonome´tricas;
inclusive, da mesma forma que as func¸o˜es trigonome´tricas se relacionam intimamente
com o c´ırculo, elas o fazem com a hipe´rbole. Exatamente por esta raza˜o, sa˜o chamadas
de func¸o˜es hiperbo´licas. Confira as definic¸o˜es abaixo.
20.1 Func¸o˜es Hiperbo´licas
DEFINIC¸A˜O 20.1.1:
• senh x = e
x − e−x
2
, x ∈ R
• cosh x = e
x + e−x
2
, x ∈ R
• tanh x = senh x
cosh x
=
ex − e−x
ex + e−x
, x ∈ R
• cothx = cosh x
senh x
=
ex + e−x
ex − e−x , x ∈
R\{0}
• sech x = 1
cosh x
=
2
ex + e−x
, x ∈ R
• csch x = 1
senh x
=
2
ex − e−x , x ∈
R\{0}
Abaixo temos as identidades satisfeitas pelas func¸o˜es hiperbo´licas que, conforme men-
cionamos, sa˜o ana´logas a`s identidades trigonome´tricas. Basicamente, ocorre apenas
uma alterac¸a˜o nos sinais em algumas identidades.
188
Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015.1189
Identidades Hiperbo´licas:
• senh (−x) = − senh (x)
• cosh(−x) = cosh(x)
• cosh2(x)− senh 2(x) = 1
• 1− tanh2(x) = sech 2(x)
• coth2(x)− 1 = csch 2(x)
• senh (x± y) = senh (x) cosh(y)± cosh(x) senh (y)
• cosh(x± y) = cosh(x) cosh(y)± senh (x) senh (y)
• senh (2x) = 2 senh (x) cosh(x)
• cosh(2x) = cosh2(x) + senh 2(x) = 2 cosh2(x)− 1 = 2 senh 2(x) + 1
Vejamos agora as derivadas das func¸o˜es hiperbo´licas.
Derivadas das Func¸o˜es Hiperbo´licas:
• d
dx
senh (x) = cosh(x)
• d
dx
cosh(x) = senh (x)
• d
dx
tanh(x) = sech 2(x)
• d
dx
coth(x) = − csch 2(x)
• d
dx
sech (x) = − sech (x) tanh(x)
• d
dx
csch (x) = − csch (x) coth(x)
Exemplo 20.1.1: Derive as func¸o˜es abaixo.
a) f(x) = cosh
√
x2 + 1 b) f(x) = senh 3 sen (2x+ 2)
EXEMPLO 20.1.2: Esboce o gra´fico de f(x) = cosh(x) e determine seus extremos
absolutos (se existirem).
Soluc¸a˜o:
a) Dom(f) = R.
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b) Intersec¸o˜es com os eixos coordenados
• Intersec¸a˜o com o eixo x
f(x) = 0 ⇔ cosh(x) = e
x + e−x
2
⇔ ex + e−x = 0⇔ e−x(e2x + 1) = 0.
Como e−x 6= 0 e e2x + 1 6= 0 para todo x ∈ R, na˜o ha´ intersec¸a˜o do gra´fico de f com o
eixo x.
• Intersec¸a˜o com o eixo y
f(0) = cosh(0) =
e0 + e−0
2
= 1.
⇒ (0, 1) ∈ Gr(f).
c) Ana´lise sobre paridade
f(−x) = cosh(−x) = e
−x + ex
2
= cosh(x) = f(x).
⇒ f e´ par
d) Ass´ıntotas
Ass´ıntota Horizontal
lim
x→∞
cosh(x) = lim
x→∞
ex + e−x
2
= lim
x→∞
ex(1 + e−2x)
2
=∞.
lim
x→−∞
cosh(x) = lim
x→−∞
ex + e−x
2
= lim
x→−∞
e−x(e2x + 1)
2
=∞.
Conclusa˜o: na˜o ha´ ass´ıntota horizontal.
Ass´ıntota Vertical
Na˜o ha´ ass´ıntota vertical.
e) f ′(x)
f ′(x) =
(
ex + e−x
2
)
′
=
ex − e−x
2
f) Nu´meros Cr´ıticos de f : sa˜o os pontos do domı´nio de f tais que f ′(x) = 0 ou que f ′
na˜o existe.
f ′(x) = 0 ⇔ ex − e−x = 0⇔ e−x(e2x − 1) = 0⇔ e2x − 1 = 0 ( pois e−x 6= 0 ∀ x ∈ R)
⇔ e2x = 1⇔ ln(e2x) = ln(1)⇔ 2x = 0⇔ x = 0.
Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015.1191
Conclusa˜o: x = 0 e´ o u´nico ponto cr´ıticos de f .
g) Crescimento / Decrescimento
f ′(x) > 0 ⇔ e
x − e−x
2
> 0⇔ e−x(e2x − 1) > 0⇔ e2x − 1 > 0⇔ e2x > 1⇔ x > 0
f ′(x) < 0 ⇔ e
x − e−x
2
< 0⇔ e−x(e2x − 1) < 0⇔ e2x − 1 < 0⇔ e2x < 1⇔ x < 0
x x < 0 x > 0
e−x + +
e2x − 1 - +
f ′(x) - +
Conclusa˜o: f e´ crescente se x > 0 e e´ decrescente se x < 0.
h) Extremos Locais
x = 0 e´ ponto de mı´nimo local, f(0) = 1 e´ mı´nimo local.
i) f ′′(x)
f ′′(x) =
(
ex − e−x
2
)
′
=
ex + e−x
2
j) Concavidades
f ′′(x) = 0 ⇔ e
x + e−x
2
= 0⇔ e−x(e2x + 1) = 0.
Como e−x 6= 0 e e2x + 1 6= 0 para todo x ∈ R, f ′′(x) 6= 0 ∀x ∈ R.
f ′′(x) > 0 ⇔ e
x + e−x
2
> 0⇔ e−x(e2x + 1) > 0⇔ x ∈ R.
f ′′(x) < 0 ⇔ e
x + e−x
2
< 0⇔ e−x(e2x + 1) < 0.
x x < 0 x > 0
e−x + +
e2x + 1 + +
f ′′(x) + +
Conclusa˜o: f ′′(x) > 0 ∀x ∈ R, o que significa que gra´fico de f sempre possui concavi-
dade para cima.
Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015.1192
k) Pontos de Inflexa˜o
Na˜o ha´ pontos de inflexa˜o no gra´fico de f .
l) Gra´fico de f .
y
x
1
m) Extremos Globais
(0, f(0)) = (0, 1) e´ mı´nimo global e na˜o ha´ ma´ximo global.
♥
EXEMPLO 20.1.2: Esboce o gra´fico de f(x) = senh (x) e determine seus extremos
absolutos (se existirem).
Soluc¸a˜o:
a) Dom(f) = R.
b) Intersec¸o˜es com os eixos coordenados
• Intersec¸a˜o com o eixo x
f(x) = 0 ⇔ senh (x) = e
x − e−x
2
⇔ ex − e−x = 0⇔ e−x(e2x − 1) = 0
⇔ e2x − 1 = 0( pois e−x 6= 0 ∀ x ∈ R)
⇔ e2x = 1⇔ ln(e2x) = ln(1)⇔ 2x = 0⇔ x = 0.
⇒ (0, 0) ∈ Gr(f).
• Intersec¸a˜o com o eixo y
f(0) = senh (0) =
e0 − e−0
2
= 0.
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⇒ (0, 0) ∈ Gr(f).
c) Ana´lise sobre paridade
f(−x) = senh (−x) = e
−x − ex
2
= − senh (x) = −f(x).
⇒ f e´ ı´mpar
d) Ass´ıntotas
Ass´ıntota Horizontal
lim
x→∞
senh (x) = lim
x→∞
ex − e−x
2
= lim
x→∞
ex(1− e−2x)
2
=∞.
lim
x→−∞
senh (x) = lim
x→−∞
ex − e−x
2
= lim
x→−∞
e−x(e2x − 1)
2
= −∞.
Conclusa˜o: na˜o ha´ ass´ıntota horizontal.
Ass´ıntota Vertical
Na˜o ha´ ass´ıntota vertical.
e) f ′(x)
f ′(x) =
(
ex − e−x
2
)
′
=
ex + e−x
2
f) Nu´meros Cr´ıticos de f : sa˜o os pontos do domı´nio de f tais que f ′(x) = 0 ou que f ′
na˜o existe.
f ′(x) = 0 ⇔ ex + e−x = 0⇔ e−x(e2x + 1) = 0.
Como e−x 6= 0 e e2x + 1 6= 0 para todo x ∈ R, f na˜o possui pontos cr´ıticos.
g) Crescimento / Decrescimento
f ′(x) > 0 ⇔ e
x + e−x
2
> 0⇔ e−x(e2x + 1) > 0⇔ x ∈ R.
f ′′(x) < 0 ⇔ e
x + e−x
2
< 0⇔ e−x(e2x + 1) < 0.
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x x < 0 x > 0
e−x + +
e2x + 1 + +
f ′(x) + +
Conclusa˜o: f ′(x) > 0 ∀x ∈ R, o que significa que f e´ sempre crescente.
h) Extremos Locais
Na˜o ha´ extremos locais.
i) f ′′(x)
f ′′(x) =
(
ex + e−x
2
)
′
=
ex − e−x
2
j) Concavidades
f ′′(x) = 0 ⇔ e
x − e−x
2
= 0⇔ ex − e−x = 0⇔ e−x(e2x − 1) = 0⇔ e2x − 1 = 0⇔ x = 0
f ′′(x) > 0 ⇔ e
x − e−x
2
> 0⇔ e−x(e2x − 1) > 0⇔ e2x − 1 > 0⇔ e2x > 1⇔ x > 0
f ′′(x) < 0 ⇔ e
x − e−x
2
< 0⇔ e−x(e2x − 1) < 0⇔ e2x − 1 < 0⇔ e2x < 1⇔ x < 0
x x < 0 x > 0
e−x + +
e2x − 1 - +
f ′′(x) - +
Conclusa˜o: f possui concavidade para cima se x > 0 e possui concavidade para baixo
se x < 0.
k) Pontos de Inflexa˜o
(0, 0) e´ ponto de inflexa˜o do gra´fico de f .
l) Gra´fico de f .
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y
x
m) Extremos Globais
Na˜o ha´ extremos globais.
♥
EXEMPLO 20.1.3: Esboce o gra´fico de f(x) = tanh(x) e determine seus extremos
absolutos (se existirem).
Soluc¸a˜o:
a) Dom(f) = R.
b) Intersec¸o˜es com os eixos coordenados
• Intersec¸a˜o com o eixo x
f(x) = 0 ⇔ tanh(x) = e
x − e−x
ex + e−x
⇔ ex − e−x = 0⇔ e−x(e2x − 1) = 0⇔
⇔ e2x − 1 = 0 ( pois e−x 6= 0 ∀ x ∈ R)⇔ e2x = 1⇔ ln(e2x) = ln(1)
⇔ 2x = 0⇔ x = 0.
⇒ (0, 0) ∈ Gr(f).
• Intersec¸a˜o com o eixo y
f(0) = tanh(0) =
e0 − e−0
e0 + e−0
= 0.
⇒ (0, 0) ∈ Gr(f).
c) Ana´lise sobre paridade
f(−x) = tanh(−x) = e
−x − ex
e−x + ex
= − tanh(x) = −f(x).
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⇒ f e´ ı´mpar
d) Ass´ıntotas
Ass´ıntota Horizontal
lim
x→∞
tanh(x) = lim
x→∞
ex− e−x
ex + e−x
= lim
x→∞
ex(1− e−2x)
ex(1 + e−2x)
= lim
x→∞
1− e−2x
1 + e−2x
= 1.
lim
x→−∞
tanh(x) = lim
x→−∞
ex − e−x
ex + e−x
= lim
x→−∞
e−x(e2x − 1)
e−x(e2x + 1)
= lim
x→−∞
e2x − 1
e2x + 1
= −1.
Conclusa˜o: y = 1 e y = −1 sa˜o ass´ıntotas horizontais do gra´fico de f .
Ass´ıntota Vertical
Na˜o ha´ ass´ıntota vertical.
e) f ′(x)
f ′(x) =
(
ex − e−x
ex + e−x
)
′
=
(ex + e−x)(ex + e−x)− (ex − e−x)(ex − e−x)
(ex + e−x)2
=
(e2x + e−2x + 2)− (e2x + e−2x − 2)
(ex + e−x)2
=
4
(ex + e−x)2
f) Nu´meros Cr´ıticos de f : sa˜o os pontos do domı´nio de f tais que f ′(x) = 0 ou que f ′
na˜o existe.
f ′(x) = 0 ⇔ 4
(ex + e−x)2
= 0.
Como f ′(x) 6= 0 para todo x ∈ R, f na˜o possui pontos cr´ıticos.
g) Crescimento / Decrescimento
f ′(x) > 0 ⇔ 4
(ex + e−x)2
> 0⇔ x ∈ R.
f ′(x) < 0 ⇔ 4
(ex + e−x)2
< 0.
x x ∈ R
4 +
(ex + e−x)2 +
f ′(x) +
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Conclusa˜o: f ′(x) > 0 ∀x ∈ R, o que significa que f e´ sempre crescente.
h) Extremos Locais
Na˜o ha´ extremos locais.
i) f ′′(x)
f ′′(x) =
(
4
(ex + e−x)2
)
′
=
−8(ex − e−x)
(ex + e−x)3
=
−8e−x(e2x − 1)
(ex + e−x)3
j) Concavidades
f ′′(x) = 0 ⇔ −8e
−x(e2x − 1)
(ex + e−x)3
= 0⇔ e2x − 1 = 0⇔ x = 0
f ′′(x) > 0 ⇔ −8e
−x(e2x − 1)
(ex + e−x)3
> 0⇔ x < 0
f ′′(x) < 0 ⇔ −8e
−x(e2x − 1)
(ex + e−x)3
< 0⇔ x > 0
x x < 0 x > 0
−8 - -
e2x − 1 - +
(ex + e−x)3 + +
f ′′(x) + -
Conclusa˜o: f possui concavidade para cima se x < 0 e possui concavidade para baixo
se x > 0.
k) Pontos de Inflexa˜o
(0, 0) e´ ponto de inflexa˜o do gra´fico de f .
l) Gra´fico de f .
y
x
1
–1
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m) Extremos Globais
Na˜o ha´ extremos globais.
♥
EXEMPLO 20.1.4: Esboce o gra´fico de f(x) = coth(x) e determine seus extremos
absolutos (se existirem).
Soluc¸a˜o:
a) Dom(f) = R\{0}.
b) Intersec¸o˜es com os eixos coordenados
• Intersec¸a˜o com o eixo x
f(x) = 0 ⇔ tanh(x) = e
x + e−x
ex − e−x ⇔ e
x + e−x = 0⇔ e−x(e2x + 1) = 0.
Como e−x 6= 0 e e2x + 1 6= 0 para todo x ∈ R, na˜o ha´ intersec¸a˜o do gra´fico de f com o
eixo x.
• Intersec¸a˜o com o eixo y
Na˜o ha´ intersec¸a˜o do gra´fico de f com o eixo y, pois x = 0 na˜o pertence ao domı´nio
da func¸a˜o f .
c) Ana´lise sobre paridade
f(−x) = coth(−x) = e
−x + ex
e−x − ex = −
e−x + ex
ex − e−x = − coth(x) = −f(x).
⇒ f e´ ı´mpar
d) Ass´ıntotas
Ass´ıntota Horizontal
lim
x→∞
coth(x) = lim
x→∞
ex + e−x
ex − e−x = limx→∞
ex(1 + e−2x)
ex(1− e−2x) = limx→∞
1 + e−2x
1− e−2x = 1.
⇒ y = 1 e´ ass´ıntota horizontal do gra´fico de f .
lim
x→−∞
coth(x) = lim
x→−∞
ex + e−x
ex − e−x = limx→−∞
e−x(e2x + 1)
e−x(e2x − 1) = limx→−∞
e2x + 1
e2x − 1 = −1.
⇒ y = −1 e´ ass´ıntota horizontal do gra´fico de f .
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Conclusa˜o: y = 1 e y = −1 sa˜o ass´ıntotas horizontais do gra´fico de f .
Ass´ıntota Vertical
lim
x→0+
coth(x) = lim
x→0+
ex + e−x
ex − e−x = limx→0+
ex + e−x
e−x(e2x − 1) = limx→0+
e2x + 1
e2x − 1 =∞.
⇒ x = 0 e´ ass´ıntota vertical do gra´fico de f .
lim
x→0−
coth(x) = lim
x→0−
ex + e−x
ex − e−x = limx→0−
ex + e−x
e−x(e2x − 1) = limx→0−
e2x + 1
e2x − 1 = −∞.
⇒ x = 0 e´ ass´ıntota vertical do gra´fico de f .
Conclusa˜o: x = 0 e´ a u´nica ass´ıntota vertical do gra´fico de f .
e) f ′(x)
f ′(x) =
(
ex + e−x
ex − e−x
)
′
=
(ex − e−x)(ex − e−x)− (ex + e−x)(ex + e−x)
(ex − e−x)2
=
(e2x + e−2x − 2)− (e2x + e−2x + 2)
(ex − e−x)2
=
−4
(ex − e−x)2
f) Nu´meros Cr´ıticos de f : sa˜o os pontos do domı´nio de f tais que f ′(x) = 0 ou que f ′
na˜o existe.
f ′(x) = 0 ⇔ −4
(ex − e−x)2 = 0.
Como f ′(x) 6= 0 para todo x ∈ R, f na˜o possui pontos cr´ıticos.
g) Crescimento / Decrescimento
f ′(x) > 0 ⇔ −4
(ex − e−x)2 > 0.
f ′(x) < 0 ⇔ −4
(ex − e−x)2 < 0⇔ x 6= 0.
x x < 0 x > 0
−4 - -
(ex − e−x)2 + +
f ′(x) - -
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Conclusa˜o: Como f ′(x) < 0 para todo x 6= 0, temos que f e´ sempre decrescente.
h) Extremos Locais
Na˜o ha´ extremos locais.
i) f ′′(x)
f ′′(x) =
( −4
(ex − e−x)2
)
′
=
8(ex + e−x)
(ex − e−x)3 =
8e−x(e2x + 1)
(ex − e−x)3
j) Concavidades
f ′′(x) = 0 ⇔ 8e
−x(e2x + 1)
(ex − e−x)3 = 0⇔ e
2x + 1 = 0.
f ′′(x) > 0 ⇔ 8e
−x(e2x + 1)
(ex − e−x)3 > 0⇔
8e−x(e2x + 1)
e−3x(e2x − 1)3 > 0⇔
8e2x(e2x + 1)
(e2x − 1)3 > 0⇔ x > 0
f ′′(x) < 0 ⇔ 8e
−x(e2x + 1)
(ex − e−x)3 < 0⇔
8e−x(e2x + 1)
e−3x(e2x − 1)3 < 0⇔
8e2x(e2x + 1)
(e2x − 1)3 < 0⇔ x < 0
x x < 0 x > 0
8 + +
e2x + +
e2x + 1 + +
(e2x − 1)3 - +
f ′′(x) - +
Conclusa˜o: f possui concavidade para cima se x > 0 e possui concavidade para baixo
se x < 0.
k) Pontos de Inflexa˜o
O gra´fico de f na˜o possui pontos de inflexa˜o.
l) Gra´fico de f .
y
x
–1
1
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m) Extremos Globais
Na˜o ha´ extremos globais.
♥
EXEMPLO 20.1.5: Esboce o gra´fico de f(x) = sech (x) e determine seus extremos
absolutos (se existirem).
Soluc¸a˜o:
a) Dom(f) = R.
b) Intersec¸o˜es com os eixos coordenados
• Intersec¸a˜o com o eixo x
f(x) = 0 ⇔ sech (x) = 2
ex + e−x
.
Como f(x) 6= 0 para todo x ∈ R, na˜o ha´ intersec¸a˜o do gra´fico de f com o eixo x.
• Intersec¸a˜o com o eixo y
f(0) =
2
e0 + e−0
= 1.
⇒ (0, 1) ∈ Gr(f).
c) Ana´lise sobre paridade
f(−x) = sech (−x) = 2
e−x + ex
=
2
ex + e−x
= sech (x) = f(x).
⇒ f e´ par
d) Ass´ıntotas
Ass´ıntota Horizontal
lim
x→∞
sech (x) = lim
x→∞
2
ex + e−x
= lim
x→∞
2
ex(1 + e−2x)
= 0.
⇒ y = 0 e´ ass´ıntota horizontal do gra´fico de f .
lim
x→−∞
sech (x) = lim
x→−∞
2
ex + e−x
= lim
x→−∞
2
e−x(e2x + 1)
= 0.
⇒ y = 0 e´ ass´ıntota horizontal do gra´fico de f .
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Conclusa˜o: y = 0 e´ a u´nica ass´ıntota horizontal do gra´fico de f .
Ass´ıntota Vertical
O gra´fico de f na˜o possui ass´ıntota vertical.
e) f ′(x)
f ′(x) =
(
2
ex + e−x
)
′
=
(
2(ex + e−x)−1
)
′
= −2 (e
x − e−x)
(ex + e−x)2
= −2e
−x(e2x − 1)
(ex + e−x)2
f) Nu´meros Cr´ıticos de f : sa˜o os pontos do domı´nio de f tais que f ′(x) = 0 ou que f ′
na˜o existe.
f ′(x) = 0 ⇔ −2 (e
x − e−x)
(ex + e−x)2
= 0⇔ ex − e−x = 0⇔ e−x(e2x − 1) = 0⇔
⇔ e2x − 1 = 0 ( pois e−x 6= 0 ∀ x ∈ R)⇔ e2x = 1⇔ ln(e2x) = ln(1)⇔
⇔ 2x = 0⇔ x = 0.
Conclusa˜o: x = 0 e´ o u´nico ponto cr´ıtico de f .
g) Crescimento / Decrescimento
f ′(x) > 0 ⇔ −2e
−x(e2x − 1)
(ex + e−x)2
= 0x < 0.
f ′(x) < 0 ⇔ −2e
−x(e2x − 1)
(ex + e−x)2
= 0 < 0⇔ x > 0.
x x < 0 x > 0
−2 - -
e−x + +
e2x − 1 - +
(ex + e−x)2 + +
f ′(x) + -
f ′(x) > 0 ⇔ x < 0, o que significa que f e´ crescente para x < 0 e f ′(x) < 0 ⇔ x > 0,
o que significa que f e´ decrescente para x > 0.
h) Extremos Locais
x = 0 e´ ponto de ma´ximo local e f(0) = 1 e´ ma´ximo local.
i) f ′′(x)
Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015.1203
f ′′(x) =
(
−2 (e
x − e−x)
(ex + e−x)2
)
′
= −2
[
(ex + e−x)(ex + e−x)2 − (ex − e−x).2.(ex + e−x)(ex − e−x)
(ex + e−x)4
]
= −2 (e
x + e−x)
(ex + e−x)4
[
(ex + e−x)2 − 2(ex − e−x)2]
= −2 1
(ex + e−x)3
[
e2x + e−2x + 2− 2(e2x + e−2x − 2)]
= −2 1
(ex + e−x)3
[−e2x − e−2x + 6]
= 2
1
(ex + e−x)3
[
e2x + e−2x − 6]
j) Concavidades
f ′′(x) = 0 ⇔ 2 1
(ex + e−x)3
[
e2x + e−2x − 6] = 0⇔ e2x + e−2x − 6 = 0.
Para resolver e2x + e−2x − 6 = 0, vamos fazery = e2x, de modo que
e2x + e−2x − 6 = 0 ⇔ y + 1
y
− 6 = 0⇔ y2 − 6y + 1 = 0⇔ y = 6±
√
36− 4
2
⇔ y = 6±
√
32
2
⇔ y = 3 + 2
√
2 ou y = 3− 2
√
2⇔ e2x = 3 + 2
√
2 ou e2x = 3− 2
√
2⇔
⇔ ln(e2x) = ln(3 + 2
√
2) ou ln(e2x) = ln(3− 2
√
2)⇔
⇔ 2x = ln(3 + 2
√
2) ou 2x = ln(3− 2
√
2)⇔
⇔ x = 1
2
ln(3 + 2
√
2) ou x =
1
2
ln(3− 2
√
2).
f ′′(x) > 0 ⇔ 2 1
(ex + e−x)3
[
e2x + e−2x − 6] > 0
f ′′(x) < 0 ⇔ 2 1
(ex + e−x)3
[
e2x + e−2x − 6] < 0
x x <
1
2
ln(3− 2√2) 1
2
ln(3− 2√2), x < 1
2
ln(3 + 2
√
2)0 x >
1
2
ln(3 + 2
√
2)
2 + + +
e2x + e−2x − 6 + - +
(ex + e−x)3 + + +
f ′′(x) + - +
Conclusa˜o: f possui concavidade para cima se x ∈
(
−∞, 1
2
ln(3− 2√2)
)
ou se x ∈(
1
2
ln(3 + 2
√
2),∞
)
e possui concavidade para baixo se
(
−1
2
ln(3− 2√2), 1
2
ln(3− 2√2)
)
.
Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015.1204
k) Pontos de Inflexa˜o
(
1
2
ln(3− 2√2) , f
(
1
2
ln(3− 2√2)
))
e
(
1
2
ln(3 + 2
√
2) , f
(
1
2
ln(3 + 2
√
2)
))
sa˜o pon-
tos de inflexa˜o do gra´fico de f .
l) Gra´fico de f .
y
x
1
m) Extremos Globais
Na˜o ha´ extremos globais.
♥
EXEMPLO 20.1.6: Esboce o gra´fico de f(x) = csch (x) e determine seus extremos
absolutos (se existirem).
Soluc¸a˜o:
a) Dom(f) = R\{0}.
b) Intersec¸o˜es com os eixos coordenados
• Intersec¸a˜o com o eixo x
f(x) = 0 ⇔ csch (x) = 2
ex − e−x .
Como f(x) 6= 0 para todo x 6= 0, na˜o ha´ intersec¸a˜o do gra´fico de f com o eixo x.
• Intersec¸a˜o com o eixo y
Na˜o ha´ intersec¸a˜o do gra´fico de f com o eixo y, pois x = 0 na˜o pertence ao domı´nio
da func¸a˜o f .
c) Ana´lise sobre paridade
Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015.1205
f(−x) = csch (−x) = 2
e−x − ex = −
2
ex − e−x = − csch (x) = −f(x).
⇒ f e´ ı´mpar
d) Ass´ıntotas
Ass´ıntota Horizontal
lim
x→∞
csch (x) = lim
x→∞
2
ex − e−x = limx→∞
2
ex(1− e−2x) = 0.
⇒ y = 0 e´ ass´ıntota horizontal do gra´fico de f .
lim
x→−∞
csch (x) = lim
x→−∞
2
ex − e−x = limx→−∞
2
e−x(e2x − 1) = 0.
⇒ y = 0 e´ ass´ıntota horizontal do gra´fico de f .
Conclusa˜o: y = 0 e´ a u´nica ass´ıntota horizontal do gra´fico de f .
Ass´ıntota Vertical
lim
x→0+
csch (x) = lim
x→0+
2
ex − e−x = limx→0+
2
e−x(e2x − 1) =∞.
⇒ x = 0 e´ ass´ıntota vertical do gra´fico de f .
lim
x→0−
csch (x) = lim
x→0−
2
ex − e−x = limx→0−
2
e−x(e2x − 1) = −∞.
⇒ x = 0 e´ ass´ıntota vertical do gra´fico de f .
Conclusa˜o: x = 0 e´ a u´nica ass´ıntota vertical do gra´fico de f .
e) f ′(x)
f ′(x) =
(
2
ex − e−x
)
′
=
(
2(ex − e−x)−1)′ = −2 (ex + e−x)
(ex − e−x)2
f) Nu´meros Cr´ıticos de f : sa˜o os pontos do domı´nio de f tais que f ′(x) = 0 ou que f ′
na˜o existe.
f ′(x) = 0 ⇔ −2 (e
x + e−x)
(ex − e−x)2 = 0⇔ e
x + e−x = 0⇔ e−x(e2x + 1) = 0.
Como e−x 6= 0 e e2x + 1 6= 0 para todo x 6= 0, f na˜o possui pontos cr´ıticos.
Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015.1206
g) Crescimento / Decrescimento
f ′(x) > 0 ⇔ −2 (e
x + e−x)
(ex − e−x)2 = 0 > 0.
f ′(x) < 0 ⇔ −2 (e
x + e−x)
(ex − e−x)2 = 0 < 0⇔ x ∈ R.
x x < 0 x > 0
−2 - -
ex + e−x + +
(ex − e−x)2 + +
f ′(x) - -
Como f ′(x) < 0 ∀x 6= 0, temos que f e´ sempre decrescente.
h) Extremos Locais
Na˜o ha´ extremos locais.
i) f ′′(x)
f ′′(x) =
(
−2 (e
x + e−x)
(ex − e−x)2
)
′
= −2
[
(ex − e−x)(ex − e−x)2 − (ex + e−x).2.(ex − e−x)(ex + e−x)
(ex − e−x)4
]
= −2 (e
x − e−x)
(ex − e−x)4
[
(ex − e−x)2 − 2(ex + e−x)2]
= −2 1
(ex − e−x)3
[
e2x + e−2x − 2− 2(e2x + e−2x + 2)]
= −2 1
(ex − e−x)3
[−e2x − e−2x − 6]
= 2
1
(ex − e−x)3
[
e2x + e−2x + 6
]
j) Concavidades
f ′′(x) = 0 ⇔ 2 1
(ex − e−x)3
[
e2x + e−2x + 6
]
= 0Leftrightarrowe2x + e−2x + 6 = 0.
Como e2x + e−2x + 6 > 6, f ′′(x) 6= 0, para todo x 6= 0.
f ′′(x) > 0 ⇔ 2 1
(ex − e−x)3
[
e2x + e−2x + 6
]
> 0⇔ 2 1
e−3x(e2x − 1)3
[
e2x + e−2x + 6
]
> 0
f ′′(x) < 0 ⇔ 2 1
(ex − e−x)3
[
e2x + e−2x + 6
]
< 0⇔ 2 1
e−3x(e2x − 1)3
[
e2x + e−2x + 6
]
< 0
Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015.1207
x x < 0 x > 0
2 + +
e2x + e−2x + 6 + +
e−3x + +
(e2x − 1)3 - +
f ′′(x) - +
Conclusa˜o: f possui concavidade para cima se x > 0 e possui concavidade para baixo
se x < 0.
k) Pontos de Inflexa˜o
O gra´fico de f na˜o possui pontos de inflexa˜o.
l) Gra´fico de f .
y
x
m) Extremos Globais
Na˜o ha´ extremos globais.
♥
A aplicac¸a˜o mais famosa das func¸o˜es hiperbo´licas e´ o uso do cosseno hiperbo´lico para
descrever a forma de um fio pendurado. Pode-se provado que um cabo flex´ıvel pesado
como, por exemplo, um cabo ele´trico, suspenso entre dois pontos da mesma altura,
assume a forma de uma curva de equac¸a˜o y = c+ a cosh
(x
a
)
, chamada catena´ria.

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