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PARTE 20 FUNC¸O˜ES HIPERBO´LICAS 20.1 Introduc¸a˜o Certas combinac¸o˜es das func¸o˜es exponenciais ex e e−x aparecem com frequeˆncia em ma- tema´tica como, por exemplo, em soluc¸a˜o de equac¸o˜es diferenciais. Por esta raza˜o, estas combinac¸o˜es sa˜o dignas de serem batizadas com nomes especiais. Estas func¸o˜es, que logo conheceremos, possuem muitas propriedades ana´logas a`s func¸o˜es trigonome´tricas; inclusive, da mesma forma que as func¸o˜es trigonome´tricas se relacionam intimamente com o c´ırculo, elas o fazem com a hipe´rbole. Exatamente por esta raza˜o, sa˜o chamadas de func¸o˜es hiperbo´licas. Confira as definic¸o˜es abaixo. 20.1 Func¸o˜es Hiperbo´licas DEFINIC¸A˜O 20.1.1: • senh x = e x − e−x 2 , x ∈ R • cosh x = e x + e−x 2 , x ∈ R • tanh x = senh x cosh x = ex − e−x ex + e−x , x ∈ R • cothx = cosh x senh x = ex + e−x ex − e−x , x ∈ R\{0} • sech x = 1 cosh x = 2 ex + e−x , x ∈ R • csch x = 1 senh x = 2 ex − e−x , x ∈ R\{0} Abaixo temos as identidades satisfeitas pelas func¸o˜es hiperbo´licas que, conforme men- cionamos, sa˜o ana´logas a`s identidades trigonome´tricas. Basicamente, ocorre apenas uma alterac¸a˜o nos sinais em algumas identidades. 188 Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015.1189 Identidades Hiperbo´licas: • senh (−x) = − senh (x) • cosh(−x) = cosh(x) • cosh2(x)− senh 2(x) = 1 • 1− tanh2(x) = sech 2(x) • coth2(x)− 1 = csch 2(x) • senh (x± y) = senh (x) cosh(y)± cosh(x) senh (y) • cosh(x± y) = cosh(x) cosh(y)± senh (x) senh (y) • senh (2x) = 2 senh (x) cosh(x) • cosh(2x) = cosh2(x) + senh 2(x) = 2 cosh2(x)− 1 = 2 senh 2(x) + 1 Vejamos agora as derivadas das func¸o˜es hiperbo´licas. Derivadas das Func¸o˜es Hiperbo´licas: • d dx senh (x) = cosh(x) • d dx cosh(x) = senh (x) • d dx tanh(x) = sech 2(x) • d dx coth(x) = − csch 2(x) • d dx sech (x) = − sech (x) tanh(x) • d dx csch (x) = − csch (x) coth(x) Exemplo 20.1.1: Derive as func¸o˜es abaixo. a) f(x) = cosh √ x2 + 1 b) f(x) = senh 3 sen (2x+ 2) EXEMPLO 20.1.2: Esboce o gra´fico de f(x) = cosh(x) e determine seus extremos absolutos (se existirem). Soluc¸a˜o: a) Dom(f) = R. Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015.1190 b) Intersec¸o˜es com os eixos coordenados • Intersec¸a˜o com o eixo x f(x) = 0 ⇔ cosh(x) = e x + e−x 2 ⇔ ex + e−x = 0⇔ e−x(e2x + 1) = 0. Como e−x 6= 0 e e2x + 1 6= 0 para todo x ∈ R, na˜o ha´ intersec¸a˜o do gra´fico de f com o eixo x. • Intersec¸a˜o com o eixo y f(0) = cosh(0) = e0 + e−0 2 = 1. ⇒ (0, 1) ∈ Gr(f). c) Ana´lise sobre paridade f(−x) = cosh(−x) = e −x + ex 2 = cosh(x) = f(x). ⇒ f e´ par d) Ass´ıntotas Ass´ıntota Horizontal lim x→∞ cosh(x) = lim x→∞ ex + e−x 2 = lim x→∞ ex(1 + e−2x) 2 =∞. lim x→−∞ cosh(x) = lim x→−∞ ex + e−x 2 = lim x→−∞ e−x(e2x + 1) 2 =∞. Conclusa˜o: na˜o ha´ ass´ıntota horizontal. Ass´ıntota Vertical Na˜o ha´ ass´ıntota vertical. e) f ′(x) f ′(x) = ( ex + e−x 2 ) ′ = ex − e−x 2 f) Nu´meros Cr´ıticos de f : sa˜o os pontos do domı´nio de f tais que f ′(x) = 0 ou que f ′ na˜o existe. f ′(x) = 0 ⇔ ex − e−x = 0⇔ e−x(e2x − 1) = 0⇔ e2x − 1 = 0 ( pois e−x 6= 0 ∀ x ∈ R) ⇔ e2x = 1⇔ ln(e2x) = ln(1)⇔ 2x = 0⇔ x = 0. Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015.1191 Conclusa˜o: x = 0 e´ o u´nico ponto cr´ıticos de f . g) Crescimento / Decrescimento f ′(x) > 0 ⇔ e x − e−x 2 > 0⇔ e−x(e2x − 1) > 0⇔ e2x − 1 > 0⇔ e2x > 1⇔ x > 0 f ′(x) < 0 ⇔ e x − e−x 2 < 0⇔ e−x(e2x − 1) < 0⇔ e2x − 1 < 0⇔ e2x < 1⇔ x < 0 x x < 0 x > 0 e−x + + e2x − 1 - + f ′(x) - + Conclusa˜o: f e´ crescente se x > 0 e e´ decrescente se x < 0. h) Extremos Locais x = 0 e´ ponto de mı´nimo local, f(0) = 1 e´ mı´nimo local. i) f ′′(x) f ′′(x) = ( ex − e−x 2 ) ′ = ex + e−x 2 j) Concavidades f ′′(x) = 0 ⇔ e x + e−x 2 = 0⇔ e−x(e2x + 1) = 0. Como e−x 6= 0 e e2x + 1 6= 0 para todo x ∈ R, f ′′(x) 6= 0 ∀x ∈ R. f ′′(x) > 0 ⇔ e x + e−x 2 > 0⇔ e−x(e2x + 1) > 0⇔ x ∈ R. f ′′(x) < 0 ⇔ e x + e−x 2 < 0⇔ e−x(e2x + 1) < 0. x x < 0 x > 0 e−x + + e2x + 1 + + f ′′(x) + + Conclusa˜o: f ′′(x) > 0 ∀x ∈ R, o que significa que gra´fico de f sempre possui concavi- dade para cima. Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015.1192 k) Pontos de Inflexa˜o Na˜o ha´ pontos de inflexa˜o no gra´fico de f . l) Gra´fico de f . y x 1 m) Extremos Globais (0, f(0)) = (0, 1) e´ mı´nimo global e na˜o ha´ ma´ximo global. ♥ EXEMPLO 20.1.2: Esboce o gra´fico de f(x) = senh (x) e determine seus extremos absolutos (se existirem). Soluc¸a˜o: a) Dom(f) = R. b) Intersec¸o˜es com os eixos coordenados • Intersec¸a˜o com o eixo x f(x) = 0 ⇔ senh (x) = e x − e−x 2 ⇔ ex − e−x = 0⇔ e−x(e2x − 1) = 0 ⇔ e2x − 1 = 0( pois e−x 6= 0 ∀ x ∈ R) ⇔ e2x = 1⇔ ln(e2x) = ln(1)⇔ 2x = 0⇔ x = 0. ⇒ (0, 0) ∈ Gr(f). • Intersec¸a˜o com o eixo y f(0) = senh (0) = e0 − e−0 2 = 0. Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015.1193 ⇒ (0, 0) ∈ Gr(f). c) Ana´lise sobre paridade f(−x) = senh (−x) = e −x − ex 2 = − senh (x) = −f(x). ⇒ f e´ ı´mpar d) Ass´ıntotas Ass´ıntota Horizontal lim x→∞ senh (x) = lim x→∞ ex − e−x 2 = lim x→∞ ex(1− e−2x) 2 =∞. lim x→−∞ senh (x) = lim x→−∞ ex − e−x 2 = lim x→−∞ e−x(e2x − 1) 2 = −∞. Conclusa˜o: na˜o ha´ ass´ıntota horizontal. Ass´ıntota Vertical Na˜o ha´ ass´ıntota vertical. e) f ′(x) f ′(x) = ( ex − e−x 2 ) ′ = ex + e−x 2 f) Nu´meros Cr´ıticos de f : sa˜o os pontos do domı´nio de f tais que f ′(x) = 0 ou que f ′ na˜o existe. f ′(x) = 0 ⇔ ex + e−x = 0⇔ e−x(e2x + 1) = 0. Como e−x 6= 0 e e2x + 1 6= 0 para todo x ∈ R, f na˜o possui pontos cr´ıticos. g) Crescimento / Decrescimento f ′(x) > 0 ⇔ e x + e−x 2 > 0⇔ e−x(e2x + 1) > 0⇔ x ∈ R. f ′′(x) < 0 ⇔ e x + e−x 2 < 0⇔ e−x(e2x + 1) < 0. Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015.1194 x x < 0 x > 0 e−x + + e2x + 1 + + f ′(x) + + Conclusa˜o: f ′(x) > 0 ∀x ∈ R, o que significa que f e´ sempre crescente. h) Extremos Locais Na˜o ha´ extremos locais. i) f ′′(x) f ′′(x) = ( ex + e−x 2 ) ′ = ex − e−x 2 j) Concavidades f ′′(x) = 0 ⇔ e x − e−x 2 = 0⇔ ex − e−x = 0⇔ e−x(e2x − 1) = 0⇔ e2x − 1 = 0⇔ x = 0 f ′′(x) > 0 ⇔ e x − e−x 2 > 0⇔ e−x(e2x − 1) > 0⇔ e2x − 1 > 0⇔ e2x > 1⇔ x > 0 f ′′(x) < 0 ⇔ e x − e−x 2 < 0⇔ e−x(e2x − 1) < 0⇔ e2x − 1 < 0⇔ e2x < 1⇔ x < 0 x x < 0 x > 0 e−x + + e2x − 1 - + f ′′(x) - + Conclusa˜o: f possui concavidade para cima se x > 0 e possui concavidade para baixo se x < 0. k) Pontos de Inflexa˜o (0, 0) e´ ponto de inflexa˜o do gra´fico de f . l) Gra´fico de f . Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015.1195 y x m) Extremos Globais Na˜o ha´ extremos globais. ♥ EXEMPLO 20.1.3: Esboce o gra´fico de f(x) = tanh(x) e determine seus extremos absolutos (se existirem). Soluc¸a˜o: a) Dom(f) = R. b) Intersec¸o˜es com os eixos coordenados • Intersec¸a˜o com o eixo x f(x) = 0 ⇔ tanh(x) = e x − e−x ex + e−x ⇔ ex − e−x = 0⇔ e−x(e2x − 1) = 0⇔ ⇔ e2x − 1 = 0 ( pois e−x 6= 0 ∀ x ∈ R)⇔ e2x = 1⇔ ln(e2x) = ln(1) ⇔ 2x = 0⇔ x = 0. ⇒ (0, 0) ∈ Gr(f). • Intersec¸a˜o com o eixo y f(0) = tanh(0) = e0 − e−0 e0 + e−0 = 0. ⇒ (0, 0) ∈ Gr(f). c) Ana´lise sobre paridade f(−x) = tanh(−x) = e −x − ex e−x + ex = − tanh(x) = −f(x). Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015.1196 ⇒ f e´ ı´mpar d) Ass´ıntotas Ass´ıntota Horizontal lim x→∞ tanh(x) = lim x→∞ ex− e−x ex + e−x = lim x→∞ ex(1− e−2x) ex(1 + e−2x) = lim x→∞ 1− e−2x 1 + e−2x = 1. lim x→−∞ tanh(x) = lim x→−∞ ex − e−x ex + e−x = lim x→−∞ e−x(e2x − 1) e−x(e2x + 1) = lim x→−∞ e2x − 1 e2x + 1 = −1. Conclusa˜o: y = 1 e y = −1 sa˜o ass´ıntotas horizontais do gra´fico de f . Ass´ıntota Vertical Na˜o ha´ ass´ıntota vertical. e) f ′(x) f ′(x) = ( ex − e−x ex + e−x ) ′ = (ex + e−x)(ex + e−x)− (ex − e−x)(ex − e−x) (ex + e−x)2 = (e2x + e−2x + 2)− (e2x + e−2x − 2) (ex + e−x)2 = 4 (ex + e−x)2 f) Nu´meros Cr´ıticos de f : sa˜o os pontos do domı´nio de f tais que f ′(x) = 0 ou que f ′ na˜o existe. f ′(x) = 0 ⇔ 4 (ex + e−x)2 = 0. Como f ′(x) 6= 0 para todo x ∈ R, f na˜o possui pontos cr´ıticos. g) Crescimento / Decrescimento f ′(x) > 0 ⇔ 4 (ex + e−x)2 > 0⇔ x ∈ R. f ′(x) < 0 ⇔ 4 (ex + e−x)2 < 0. x x ∈ R 4 + (ex + e−x)2 + f ′(x) + Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015.1197 Conclusa˜o: f ′(x) > 0 ∀x ∈ R, o que significa que f e´ sempre crescente. h) Extremos Locais Na˜o ha´ extremos locais. i) f ′′(x) f ′′(x) = ( 4 (ex + e−x)2 ) ′ = −8(ex − e−x) (ex + e−x)3 = −8e−x(e2x − 1) (ex + e−x)3 j) Concavidades f ′′(x) = 0 ⇔ −8e −x(e2x − 1) (ex + e−x)3 = 0⇔ e2x − 1 = 0⇔ x = 0 f ′′(x) > 0 ⇔ −8e −x(e2x − 1) (ex + e−x)3 > 0⇔ x < 0 f ′′(x) < 0 ⇔ −8e −x(e2x − 1) (ex + e−x)3 < 0⇔ x > 0 x x < 0 x > 0 −8 - - e2x − 1 - + (ex + e−x)3 + + f ′′(x) + - Conclusa˜o: f possui concavidade para cima se x < 0 e possui concavidade para baixo se x > 0. k) Pontos de Inflexa˜o (0, 0) e´ ponto de inflexa˜o do gra´fico de f . l) Gra´fico de f . y x 1 –1 Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015.1198 m) Extremos Globais Na˜o ha´ extremos globais. ♥ EXEMPLO 20.1.4: Esboce o gra´fico de f(x) = coth(x) e determine seus extremos absolutos (se existirem). Soluc¸a˜o: a) Dom(f) = R\{0}. b) Intersec¸o˜es com os eixos coordenados • Intersec¸a˜o com o eixo x f(x) = 0 ⇔ tanh(x) = e x + e−x ex − e−x ⇔ e x + e−x = 0⇔ e−x(e2x + 1) = 0. Como e−x 6= 0 e e2x + 1 6= 0 para todo x ∈ R, na˜o ha´ intersec¸a˜o do gra´fico de f com o eixo x. • Intersec¸a˜o com o eixo y Na˜o ha´ intersec¸a˜o do gra´fico de f com o eixo y, pois x = 0 na˜o pertence ao domı´nio da func¸a˜o f . c) Ana´lise sobre paridade f(−x) = coth(−x) = e −x + ex e−x − ex = − e−x + ex ex − e−x = − coth(x) = −f(x). ⇒ f e´ ı´mpar d) Ass´ıntotas Ass´ıntota Horizontal lim x→∞ coth(x) = lim x→∞ ex + e−x ex − e−x = limx→∞ ex(1 + e−2x) ex(1− e−2x) = limx→∞ 1 + e−2x 1− e−2x = 1. ⇒ y = 1 e´ ass´ıntota horizontal do gra´fico de f . lim x→−∞ coth(x) = lim x→−∞ ex + e−x ex − e−x = limx→−∞ e−x(e2x + 1) e−x(e2x − 1) = limx→−∞ e2x + 1 e2x − 1 = −1. ⇒ y = −1 e´ ass´ıntota horizontal do gra´fico de f . Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015.1199 Conclusa˜o: y = 1 e y = −1 sa˜o ass´ıntotas horizontais do gra´fico de f . Ass´ıntota Vertical lim x→0+ coth(x) = lim x→0+ ex + e−x ex − e−x = limx→0+ ex + e−x e−x(e2x − 1) = limx→0+ e2x + 1 e2x − 1 =∞. ⇒ x = 0 e´ ass´ıntota vertical do gra´fico de f . lim x→0− coth(x) = lim x→0− ex + e−x ex − e−x = limx→0− ex + e−x e−x(e2x − 1) = limx→0− e2x + 1 e2x − 1 = −∞. ⇒ x = 0 e´ ass´ıntota vertical do gra´fico de f . Conclusa˜o: x = 0 e´ a u´nica ass´ıntota vertical do gra´fico de f . e) f ′(x) f ′(x) = ( ex + e−x ex − e−x ) ′ = (ex − e−x)(ex − e−x)− (ex + e−x)(ex + e−x) (ex − e−x)2 = (e2x + e−2x − 2)− (e2x + e−2x + 2) (ex − e−x)2 = −4 (ex − e−x)2 f) Nu´meros Cr´ıticos de f : sa˜o os pontos do domı´nio de f tais que f ′(x) = 0 ou que f ′ na˜o existe. f ′(x) = 0 ⇔ −4 (ex − e−x)2 = 0. Como f ′(x) 6= 0 para todo x ∈ R, f na˜o possui pontos cr´ıticos. g) Crescimento / Decrescimento f ′(x) > 0 ⇔ −4 (ex − e−x)2 > 0. f ′(x) < 0 ⇔ −4 (ex − e−x)2 < 0⇔ x 6= 0. x x < 0 x > 0 −4 - - (ex − e−x)2 + + f ′(x) - - Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015.1200 Conclusa˜o: Como f ′(x) < 0 para todo x 6= 0, temos que f e´ sempre decrescente. h) Extremos Locais Na˜o ha´ extremos locais. i) f ′′(x) f ′′(x) = ( −4 (ex − e−x)2 ) ′ = 8(ex + e−x) (ex − e−x)3 = 8e−x(e2x + 1) (ex − e−x)3 j) Concavidades f ′′(x) = 0 ⇔ 8e −x(e2x + 1) (ex − e−x)3 = 0⇔ e 2x + 1 = 0. f ′′(x) > 0 ⇔ 8e −x(e2x + 1) (ex − e−x)3 > 0⇔ 8e−x(e2x + 1) e−3x(e2x − 1)3 > 0⇔ 8e2x(e2x + 1) (e2x − 1)3 > 0⇔ x > 0 f ′′(x) < 0 ⇔ 8e −x(e2x + 1) (ex − e−x)3 < 0⇔ 8e−x(e2x + 1) e−3x(e2x − 1)3 < 0⇔ 8e2x(e2x + 1) (e2x − 1)3 < 0⇔ x < 0 x x < 0 x > 0 8 + + e2x + + e2x + 1 + + (e2x − 1)3 - + f ′′(x) - + Conclusa˜o: f possui concavidade para cima se x > 0 e possui concavidade para baixo se x < 0. k) Pontos de Inflexa˜o O gra´fico de f na˜o possui pontos de inflexa˜o. l) Gra´fico de f . y x –1 1 Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015.1201 m) Extremos Globais Na˜o ha´ extremos globais. ♥ EXEMPLO 20.1.5: Esboce o gra´fico de f(x) = sech (x) e determine seus extremos absolutos (se existirem). Soluc¸a˜o: a) Dom(f) = R. b) Intersec¸o˜es com os eixos coordenados • Intersec¸a˜o com o eixo x f(x) = 0 ⇔ sech (x) = 2 ex + e−x . Como f(x) 6= 0 para todo x ∈ R, na˜o ha´ intersec¸a˜o do gra´fico de f com o eixo x. • Intersec¸a˜o com o eixo y f(0) = 2 e0 + e−0 = 1. ⇒ (0, 1) ∈ Gr(f). c) Ana´lise sobre paridade f(−x) = sech (−x) = 2 e−x + ex = 2 ex + e−x = sech (x) = f(x). ⇒ f e´ par d) Ass´ıntotas Ass´ıntota Horizontal lim x→∞ sech (x) = lim x→∞ 2 ex + e−x = lim x→∞ 2 ex(1 + e−2x) = 0. ⇒ y = 0 e´ ass´ıntota horizontal do gra´fico de f . lim x→−∞ sech (x) = lim x→−∞ 2 ex + e−x = lim x→−∞ 2 e−x(e2x + 1) = 0. ⇒ y = 0 e´ ass´ıntota horizontal do gra´fico de f . Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015.1202 Conclusa˜o: y = 0 e´ a u´nica ass´ıntota horizontal do gra´fico de f . Ass´ıntota Vertical O gra´fico de f na˜o possui ass´ıntota vertical. e) f ′(x) f ′(x) = ( 2 ex + e−x ) ′ = ( 2(ex + e−x)−1 ) ′ = −2 (e x − e−x) (ex + e−x)2 = −2e −x(e2x − 1) (ex + e−x)2 f) Nu´meros Cr´ıticos de f : sa˜o os pontos do domı´nio de f tais que f ′(x) = 0 ou que f ′ na˜o existe. f ′(x) = 0 ⇔ −2 (e x − e−x) (ex + e−x)2 = 0⇔ ex − e−x = 0⇔ e−x(e2x − 1) = 0⇔ ⇔ e2x − 1 = 0 ( pois e−x 6= 0 ∀ x ∈ R)⇔ e2x = 1⇔ ln(e2x) = ln(1)⇔ ⇔ 2x = 0⇔ x = 0. Conclusa˜o: x = 0 e´ o u´nico ponto cr´ıtico de f . g) Crescimento / Decrescimento f ′(x) > 0 ⇔ −2e −x(e2x − 1) (ex + e−x)2 = 0x < 0. f ′(x) < 0 ⇔ −2e −x(e2x − 1) (ex + e−x)2 = 0 < 0⇔ x > 0. x x < 0 x > 0 −2 - - e−x + + e2x − 1 - + (ex + e−x)2 + + f ′(x) + - f ′(x) > 0 ⇔ x < 0, o que significa que f e´ crescente para x < 0 e f ′(x) < 0 ⇔ x > 0, o que significa que f e´ decrescente para x > 0. h) Extremos Locais x = 0 e´ ponto de ma´ximo local e f(0) = 1 e´ ma´ximo local. i) f ′′(x) Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015.1203 f ′′(x) = ( −2 (e x − e−x) (ex + e−x)2 ) ′ = −2 [ (ex + e−x)(ex + e−x)2 − (ex − e−x).2.(ex + e−x)(ex − e−x) (ex + e−x)4 ] = −2 (e x + e−x) (ex + e−x)4 [ (ex + e−x)2 − 2(ex − e−x)2] = −2 1 (ex + e−x)3 [ e2x + e−2x + 2− 2(e2x + e−2x − 2)] = −2 1 (ex + e−x)3 [−e2x − e−2x + 6] = 2 1 (ex + e−x)3 [ e2x + e−2x − 6] j) Concavidades f ′′(x) = 0 ⇔ 2 1 (ex + e−x)3 [ e2x + e−2x − 6] = 0⇔ e2x + e−2x − 6 = 0. Para resolver e2x + e−2x − 6 = 0, vamos fazery = e2x, de modo que e2x + e−2x − 6 = 0 ⇔ y + 1 y − 6 = 0⇔ y2 − 6y + 1 = 0⇔ y = 6± √ 36− 4 2 ⇔ y = 6± √ 32 2 ⇔ y = 3 + 2 √ 2 ou y = 3− 2 √ 2⇔ e2x = 3 + 2 √ 2 ou e2x = 3− 2 √ 2⇔ ⇔ ln(e2x) = ln(3 + 2 √ 2) ou ln(e2x) = ln(3− 2 √ 2)⇔ ⇔ 2x = ln(3 + 2 √ 2) ou 2x = ln(3− 2 √ 2)⇔ ⇔ x = 1 2 ln(3 + 2 √ 2) ou x = 1 2 ln(3− 2 √ 2). f ′′(x) > 0 ⇔ 2 1 (ex + e−x)3 [ e2x + e−2x − 6] > 0 f ′′(x) < 0 ⇔ 2 1 (ex + e−x)3 [ e2x + e−2x − 6] < 0 x x < 1 2 ln(3− 2√2) 1 2 ln(3− 2√2), x < 1 2 ln(3 + 2 √ 2)0 x > 1 2 ln(3 + 2 √ 2) 2 + + + e2x + e−2x − 6 + - + (ex + e−x)3 + + + f ′′(x) + - + Conclusa˜o: f possui concavidade para cima se x ∈ ( −∞, 1 2 ln(3− 2√2) ) ou se x ∈( 1 2 ln(3 + 2 √ 2),∞ ) e possui concavidade para baixo se ( −1 2 ln(3− 2√2), 1 2 ln(3− 2√2) ) . Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015.1204 k) Pontos de Inflexa˜o ( 1 2 ln(3− 2√2) , f ( 1 2 ln(3− 2√2) )) e ( 1 2 ln(3 + 2 √ 2) , f ( 1 2 ln(3 + 2 √ 2) )) sa˜o pon- tos de inflexa˜o do gra´fico de f . l) Gra´fico de f . y x 1 m) Extremos Globais Na˜o ha´ extremos globais. ♥ EXEMPLO 20.1.6: Esboce o gra´fico de f(x) = csch (x) e determine seus extremos absolutos (se existirem). Soluc¸a˜o: a) Dom(f) = R\{0}. b) Intersec¸o˜es com os eixos coordenados • Intersec¸a˜o com o eixo x f(x) = 0 ⇔ csch (x) = 2 ex − e−x . Como f(x) 6= 0 para todo x 6= 0, na˜o ha´ intersec¸a˜o do gra´fico de f com o eixo x. • Intersec¸a˜o com o eixo y Na˜o ha´ intersec¸a˜o do gra´fico de f com o eixo y, pois x = 0 na˜o pertence ao domı´nio da func¸a˜o f . c) Ana´lise sobre paridade Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015.1205 f(−x) = csch (−x) = 2 e−x − ex = − 2 ex − e−x = − csch (x) = −f(x). ⇒ f e´ ı´mpar d) Ass´ıntotas Ass´ıntota Horizontal lim x→∞ csch (x) = lim x→∞ 2 ex − e−x = limx→∞ 2 ex(1− e−2x) = 0. ⇒ y = 0 e´ ass´ıntota horizontal do gra´fico de f . lim x→−∞ csch (x) = lim x→−∞ 2 ex − e−x = limx→−∞ 2 e−x(e2x − 1) = 0. ⇒ y = 0 e´ ass´ıntota horizontal do gra´fico de f . Conclusa˜o: y = 0 e´ a u´nica ass´ıntota horizontal do gra´fico de f . Ass´ıntota Vertical lim x→0+ csch (x) = lim x→0+ 2 ex − e−x = limx→0+ 2 e−x(e2x − 1) =∞. ⇒ x = 0 e´ ass´ıntota vertical do gra´fico de f . lim x→0− csch (x) = lim x→0− 2 ex − e−x = limx→0− 2 e−x(e2x − 1) = −∞. ⇒ x = 0 e´ ass´ıntota vertical do gra´fico de f . Conclusa˜o: x = 0 e´ a u´nica ass´ıntota vertical do gra´fico de f . e) f ′(x) f ′(x) = ( 2 ex − e−x ) ′ = ( 2(ex − e−x)−1)′ = −2 (ex + e−x) (ex − e−x)2 f) Nu´meros Cr´ıticos de f : sa˜o os pontos do domı´nio de f tais que f ′(x) = 0 ou que f ′ na˜o existe. f ′(x) = 0 ⇔ −2 (e x + e−x) (ex − e−x)2 = 0⇔ e x + e−x = 0⇔ e−x(e2x + 1) = 0. Como e−x 6= 0 e e2x + 1 6= 0 para todo x 6= 0, f na˜o possui pontos cr´ıticos. Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015.1206 g) Crescimento / Decrescimento f ′(x) > 0 ⇔ −2 (e x + e−x) (ex − e−x)2 = 0 > 0. f ′(x) < 0 ⇔ −2 (e x + e−x) (ex − e−x)2 = 0 < 0⇔ x ∈ R. x x < 0 x > 0 −2 - - ex + e−x + + (ex − e−x)2 + + f ′(x) - - Como f ′(x) < 0 ∀x 6= 0, temos que f e´ sempre decrescente. h) Extremos Locais Na˜o ha´ extremos locais. i) f ′′(x) f ′′(x) = ( −2 (e x + e−x) (ex − e−x)2 ) ′ = −2 [ (ex − e−x)(ex − e−x)2 − (ex + e−x).2.(ex − e−x)(ex + e−x) (ex − e−x)4 ] = −2 (e x − e−x) (ex − e−x)4 [ (ex − e−x)2 − 2(ex + e−x)2] = −2 1 (ex − e−x)3 [ e2x + e−2x − 2− 2(e2x + e−2x + 2)] = −2 1 (ex − e−x)3 [−e2x − e−2x − 6] = 2 1 (ex − e−x)3 [ e2x + e−2x + 6 ] j) Concavidades f ′′(x) = 0 ⇔ 2 1 (ex − e−x)3 [ e2x + e−2x + 6 ] = 0Leftrightarrowe2x + e−2x + 6 = 0. Como e2x + e−2x + 6 > 6, f ′′(x) 6= 0, para todo x 6= 0. f ′′(x) > 0 ⇔ 2 1 (ex − e−x)3 [ e2x + e−2x + 6 ] > 0⇔ 2 1 e−3x(e2x − 1)3 [ e2x + e−2x + 6 ] > 0 f ′′(x) < 0 ⇔ 2 1 (ex − e−x)3 [ e2x + e−2x + 6 ] < 0⇔ 2 1 e−3x(e2x − 1)3 [ e2x + e−2x + 6 ] < 0 Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015.1207 x x < 0 x > 0 2 + + e2x + e−2x + 6 + + e−3x + + (e2x − 1)3 - + f ′′(x) - + Conclusa˜o: f possui concavidade para cima se x > 0 e possui concavidade para baixo se x < 0. k) Pontos de Inflexa˜o O gra´fico de f na˜o possui pontos de inflexa˜o. l) Gra´fico de f . y x m) Extremos Globais Na˜o ha´ extremos globais. ♥ A aplicac¸a˜o mais famosa das func¸o˜es hiperbo´licas e´ o uso do cosseno hiperbo´lico para descrever a forma de um fio pendurado. Pode-se provado que um cabo flex´ıvel pesado como, por exemplo, um cabo ele´trico, suspenso entre dois pontos da mesma altura, assume a forma de uma curva de equac¸a˜o y = c+ a cosh (x a ) , chamada catena´ria.
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