05 Limites Infinitos e no Infinito

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PARTE 5
LIMITES INFINITOS
E
NO INFINITO
5.1 Limites Infinitos
Considere as func¸o˜es a seguir:
f1(x) =
1
x2
f2(x) = − 1
x4
f3(x) =
1
x3
Nossa intenc¸a˜o e´ tentar identificar alguma tendeˆncia dos valores das treˆs func¸o˜es anteri-
ores quando as avaliamos em pontos do domı´nio cada vez mais pro´ximos de x = 0, sem
contudo, chegar a x = 0 (inclusive, nenhuma das func¸o˜es anteriores esta´ definida para
x = 0). Para isto, montamos treˆs tabela, onde, do lado esquerdo, colocamos os pontos
do domı´nio e, do lado direito, colocamos a imagem destes pontos para as func¸o˜es f1,
f2 e f3. Na primeira tabela, escolhemos valores de x que se aproximam de x = 0 por
valores menores do que 0 e, na segunda, escolhemos valores de x que se aproximam de
x = 0 por valores maiores do que 1.
x f1(x) f2(x) f3(x)
−10−2 104 −108 −106
−10−4 108 −1016 −1012
−10−6 1012 −1024 −1018
−10−8 1016 −1032 −1024
−10−10 1020 −1040 −1030
x f1(x) f2(x) f3(x)
10−2 104 −108 106
10−4 108 −1016 1012
10−6 1012 −1024 1018
10−8 1016 −1032 1024
10−10 1020 −1040 1030
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Observac¸o˜es 5.1.1:
1) Quanto a func¸a˜o f1, parece que quando x se aproxima de 0, tanto por valores maio-
res do que 0, como por valores menores, os valores de f1(x) =
1
x2
va˜o se tornando cada
vez maiores.
2) Quanto a func¸a˜o f2, parece que quando x se aproxima de 0, tanto por valores mai-
ores do que 0, como por valores menores, os valores de f2(x) = − 1
x4
va˜o se tornando,
em mo´dulo, cada vez maiores. Entretanto, f2(x) e´ sempre negativo.
3) Quanto a func¸a˜o f3, parece que quando x se aproxima de 0, tanto por valores maio-
res do que 0, como por valores menores, os valores de f3(x) =
1
x3
va˜o se tornando, em
mo´dulo, cada vez maiores. Entretanto f3(x) e´ positivo para valores de x maiores do
que 0 e negativo para valores de x menores do que 0.
Tudo que achamos acima e´ a pura verdade e escrevemos estes fatos, que sera˜o demons-
trados mais tarde, como:
lim
x→0
1
x2
=∞ lim
x→0
− 1
x4
= −∞ lim
x→0+
1
x3
=∞ lim
x→0−
1
x3
= −∞
ATENC¸A˜O: Isto na˜o significa considerar ∞ como um nu´mero. Tampouco significa
que o limite exista. Trata-se apenas de uma maneira de expressar esta forma particular
de na˜o-existeˆncia de limite, que se traduz, no caso de f1(x), por exemplo, em indicar
que esta func¸a˜o pode assumir valores arbitrariamente grandes, bastando para isto que
nos aproximemos cada vez mais de 0. Ja´ em relac¸a˜o a` f2(x) estamos indicando que esta
func¸a˜o pode assumir valores arbitrariamente grandes em mo´dulo, sendo pore´m todos
negativos, bastando para isto que nos aproximemos cada vez mais de 0. Em relac¸a˜o
a` f3(x), estamos tratando de limites laterais infinitos. Neste caso, estamos indicando
que esta func¸a˜o pode assumir valores arbitrariamente grandes, bastando para isto que
nos aproximemos cada vez mais de 0 mas, apenas por valores maiores do que zero e,
por outro lado, estamos indicando tambe´m que f3(x) pode assumir valores arbitraria-
mente grandes em mo´dulo, sendo pore´m todos negativos, bastando para isto que nos
aproximemos cada vez mais de 0 mas, apenas por valores menores do que zero.
Abaixo vamos definir informalmente os limite infinitos citados acima. Mais tarde da-
remos a definic¸a˜o formal.
DEFINIC¸A˜O 5.1.1: Escrevemos
lim
x→x0
f(x) =∞
se pudermos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes, bastando para
isto tomar valores de x suficientemente pro´ximos de x0 (maiores ou menores do que
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x0 mas, diferentes de x0). Lemos lim
x→x0
f(x) =∞ como “o limite de f(x), quando x
tende a x0 e´ infinito”ou “f(x) torna-se infinita quando x tende a x0”, ou ainda “f(x)
cresce sem limitac¸a˜o quando x tende a x0”.
DEFINIC¸A˜O 5.1.2: Escrevemos
lim
x→x0
f(x) = −∞
se pudermos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes em mo´dulo,
pore´m negativos, bastando para isto tomar valores de x suficientemente pro´ximos de
x0 (maiores ou menores do que x0 mas, diferentes de x0). Lemos lim
x→x0
f(x) = −∞
como “o limite de f(x), quando x tende a x0 e´ menos infinito”ou “f(x) decresce sem
limitac¸a˜o quando x tende a x0”.
DEFINIC¸A˜O 5.1.3: Escrevemos
lim
x→x+0
f(x) =∞
se pudermos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes, bastando para
isto tomar valores de x suficientemente pro´ximos de x0, com x maior do que x0. Le-
mos lim
x→x+0
f(x) =∞ de forma ana´loga a apresentada na Definic¸a˜o 5.1.1 acima, apenas
trocando “quando x tende a x0”por “quando x tende a x0 pela direita ou por valores
maiores do que x0”.
DEFINIC¸A˜O 5.1.4: Escrevemos
lim
x→x−0
f(x) =∞
se pudermos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes, bastando para
isto tomar valores de x suficientemente pro´ximos de x0, com x menor do que x0. Le-
mos lim
x→x−0
f(x) =∞ de forma ana´loga a apresentada na Definic¸a˜o 5.1.1 acima, apenas
trocando “quando x tende a x0”por “quando x tende a x0 pela esquerda ou por valores
menores do que x0”.
DEFINIC¸A˜O 5.1.5: Escrevemos
lim
x→x+0
f(x) = −∞
se pudermos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes em mo´dulo,
pore´m negativos, bastando para isto tomar valores de x suficientemente pro´ximos de
x0, com x maior do que x0. Lemos lim
x→x+0
f(x) = −∞ de forma ana´loga a apresentada
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na Definic¸a˜o 5.1.2 acima, apenas trocando “quando x tende a x0”por “quando x tende
a x0 pela direita ou por valores maiores do que x0”.
DEFINIC¸A˜O 5.1.6: Escrevemos
lim
x→x−0
f(x) = −∞
se pudermos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes em mo´dulo,
pore´m negativos, bastando para isto tomar valores de x suficientemente pro´ximos de
x0, com x menor do que x0. Lemos lim
x→x−0
f(x) =∞ de forma ana´loga a apresentada na
Definic¸a˜o 5.1.2 acima, apenas trocando “quando x tende a x0”por “quando x tende a
x0 pela esquerda ou por valores menores do que x0”.
Antes de partimos para os exemplos, vamos estender os resultados que observamos
anteriormente atrave´s das tabelas para um conjunto maior de func¸o˜es.
TEOREMA 5.1.1: Seja x0 um nu´mero real.
1) Se n e´ inteiro positivo par, enta˜o
lim
x→x0
1
(x− x0)n =∞.
2) Se n e´ inteiro positivo ı´mpar, enta˜o
lim
x→x+0
1
(x− x0)n =∞ e limx→x−0
1
(x− x0)n = −∞.
Exemplo 5.1.1: Determine os limites pedidos para as func¸o˜es dadas abaixo.
a) g1(x) =
2x2 + 5x+ 1
x2 − x− 6 , limx→−2+ g1(x) limx→−2− g1(x) limx→3+ g1(x) limx→3− g1(x)
b) g2(x) =
2x2 + 5x+ 1
|x2 − x− 6| , limx→−2+ g2(x) limx→−2− g2(x) limx→3+ g2(x) limx→3− g2(x)
c) g3(x) =
∣∣∣∣2x2 + 5x+ 1x2 − x− 6
∣∣∣∣, limx→−2+ g3(x) limx→−2− g3(x) limx→3+ g3(x) limx→3− g3(x)
d) g4(x) =
2x2 + 5x+ 1
x2 − 2x+ 1 , limx→1+ g4(x) limx→1− g4(x)
Observac¸a˜o 5.1.2: Observe que se lim
x→a
p(x) = L 6= 0 e lim
x→a
q(x) = 0 enta˜o
lim
x→a
∣∣∣∣p(x)q(x)
∣∣∣∣ =∞.
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Vejamos a seguir mais alguns resultados envolvendo limites infinitos.
TEOREMA 5.1.2: lim
x→x0
f(x) =∞, lim
x→x0
h(x) =∞ e lim
x→x0
g(x) = L enta˜o
1) lim
x→x0
(f + g)(x) =∞ e lim
x→x0
(f + h)(x) =∞
2) Se L > 0, enta˜o lim
x→x0
(f.g)(x) =∞ e lim
x→x0
(
f
g
)
(x) =∞
3) Se L < 0, enta˜o lim
x→x0
(f.g)(x) = −∞ e lim
x→x0
(
f
g
)
(x) = −∞
4) Se L = 0, enta˜o lim
x→x0
∣∣∣∣fg
∣∣∣∣ (x) =∞
5) lim
x→x0
(
g
f
)
(x) = 0
6) lim
x→x0
(f(x))r =∞, para r racional positivo.
Observac¸a˜o 5.1.3: Se lim
x→x0
f(x) =∞, lim
x→x0
h(x) =∞, lim
x→x0
g(x) = 0 e lim
x→x0
p(x) = 0,
os limites
lim
x→x0
(f − h)(x)lim
x→x0
(f.g)(x) lim
x→x0
(
f
h
)
(x) lim
x→x0
(
g
p
)
(x)
podem gerar va´rios resultados, dependendo da situac¸a˜o. Estes casos descritos acima,
i.e. ∞ − ∞, 0.∞, ∞∞ e
0
0
sa˜o chamados de indeterminac¸o˜es. Nos dois exemplos
abaixo, vamos ilustrar algumas situac¸o˜es gerando cada uma um resultado diferente.
Como os casos
∞
∞ e
0
0
podem tambe´m ser vistos como um caso de 0.∞ (de fato,
∞
∞ = ∞.
1
∞ = ∞.0 e
∣∣∣∣00
∣∣∣∣ = |0|. ∣∣∣∣10
∣∣∣∣ = |0|.∞, nos exemplos a seguir, vamos tratar
apenas dos casos ∞−∞ e 0.∞
Exemplo 5.1.2: Sejam f(x) =
1
x2
e h1(x) =
1
x2
, h2(x) =
1− x2
x2
, h3(x) =
1
x3
,
h4(x) =
1
x4
e calcule lim
x→0
(f − hi)(x).
Exemplo 5.1.3: Sejam g(x) = x2 e f1(x) =
1
x2
, f2(x) =
1
x3
, f3(x) =
1
x4
e calcule
lim
x→0
(f.gi)(x).
Uma vez entendido os limite infinitos de uma func¸a˜o, vamos defini-los formalmente.
DEFINIC¸A˜O 5.1.7: Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo aberto contendo o
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ponto x0 (exceto possivelmente o pro´prio ponto x = x0). Dizemos que
lim
x→x0
f(x) =∞,
se dado M > 0, existe δ > 0, tal que
0 < |x− x0| < δ =⇒ f(x) > M.
DEFINIC¸A˜O 5.1.8: Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo aberto contendo o
ponto x0 (exceto possivelmente o pro´prio ponto x = x0). Dizemos que
lim
x→x0
f(x) = −∞,
se dado ε > 0, existe M > 0, tal que
0 < |x− x0| < δ =⇒ f(x) < −M.
DEFINIC¸A˜O 5.1.9: Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo da forma (x0, c).
Dizemos que
lim
x→x+0
f(x) =∞,
se dado M > 0, existe δ > 0, tal que
x0 < x < x0 + δ =⇒ f(x) > M.
DEFINIC¸A˜O 5.1.10: Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo da forma (x0, c).
Dizemos que
lim
x→x+0
f(x) = −∞,
se dado M > 0, existe δ > 0, tal que
x0 < x < x0 + δ =⇒ f(x) < −M.
DEFINIC¸A˜O 5.1.11: Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo da forma (c, x0).
Dizemos que
lim
x→x−0
f(x) =∞,
se dado M > 0, existe δ > 0, tal que
x0 − δ < x < x0 =⇒ f(x) > M.
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DEFINIC¸A˜O 5.1.12: Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo da forma (c, x0).
Dizemos que
lim
x→x−0
f(x) = −∞,
se dado M > 0, existe δ > 0, tal que
x0 − δ < x0 < a =⇒ f(x) < −M.
5.2 Limites no Infinito
Considere as func¸o˜es abaixo:
f1(x) =
1
x
e f2(x) =
1
x2
Nosso objetivo nesta sec¸a˜o e´ diferente do que foi feito ate´ agora. A intenc¸a˜o aqui e´
tentar identificar alguma tendeˆncia dos valores das treˆs func¸o˜es anteriores quando as
avaliamos em pontos do domı´nio cada vez maiores (em mo´dulo). Para isto, montamos
duas tabela, onde, do lado esquerdo, colocamos os pontos do domı´nio e, do lado di-
reito, colocamos a imagem destes pontos para as func¸o˜es f1 e f2. Na primeira tabela,
escolhemos valores de x positivos cada vez maiores e, na segunda, escolhemos valores
de x negativos cada vez maiores em mo´dulo .
x f1(x) f2(x)
105 10−5 10−10
1010 10−10 10−20
1015 10−15 10−30
1020 10−20 10−40
1025 10−25 10−50
x f1(x) f2(x)
−105 −10−5 10−10
−1010 −10−10 10−20
−1015 −10−15 10−30
−1020 −10−20 10−40
−1025 −10−25 10−50
Observando as duas tabelas, parece que quanto maiores os valores de x, em mo´dulo,
mais pro´ximos de 0 ficam os valores de f1(x) e de f3(x). Isto e´ verdade e escrevemos
estes fatos, que sera˜o demonstrados mais tarde, como:
lim
x→∞
1
x
= 0 lim
x→−∞
1
x
= 0 lim
x→∞
1
x2
= 0 lim
x→−∞
1
x2
= 0
Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015-1 58
ATENC¸A˜O: Novamente atente para o fato de que na˜o estamos considerando ∞ ou
−∞ como um nu´mero, embora ate´ falemos quando x tende a infinito ou quando x tende
a menos infinito, conforme sera´ visto nas Definic¸o˜es 5.2.13 e 5.2.14 abaixo. Estamos
apenas representando as situac¸o˜es onde fazemos os valores de x crescerem cada vez
mais, sem limitac¸a˜o, ou decrescerem cada vez mais, tambe´m sem limitac¸a˜o.
Abaixo vamos definir informalmente os limite no infinito citados acima. Mais tarde
vamos defini-los formalmente.
DEFINIC¸A˜O 5.2.1: Escrevemos
lim
x→∞
f(x) = L
se pudermos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente pro´ximos de L, bastando
para isto tomar valores de x suficientemente grandes. Lemos lim
x→∞
f(x) = L como “o
limite de f(x), quando x tende a infinito e´ L”ou “ o limite de f(x) quando x cresce,
sem limitac¸a˜o, e´ L”.
DEFINIC¸A˜O 5.2.2: Escrevemos
lim
x→−∞
f(x) = L
se pudermos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente pro´ximos de L, bastando
para isto tomar valores de x suficientemente grandes em mo´dulo, pore´m negativos. Le-
mos lim
x→−∞
f(x) = L como “o limite de f(x), quando x tende a menos infinito e´ L”ou
“o limite de f(x) quando x decresce, sem limitac¸a˜o, e´ L”.
Antes de partimos para os exemplos, vamos estender os resultados que observamos nas
tabelas acima para um conjunto maiores de func¸o˜es.
TEOREMA 5.2.1: Seja c um real na˜o-nulo. Se r > 0 e´ um nu´mero racional, enta˜o
lim
x→∞
c
xr
= 0.
Se r > 0 e´ um nu´mero racional tal que xr esteja definido para todo x, enta˜o
lim
x→−∞
c
xr
= 0.
Observac¸a˜o 5.2.2: Os Teoremas 3.3.1, 3.3.2, 3.3.4, 3.3.5, 3.3.6, 3.3.7, 3.3.8, 3.3.12,
3.3.15, 3.3.16 e 3.3.17 da aula de propriedades de limites, com suas respectivas adaptac¸o˜es,
permanecem va´lidos se substituirmos x → x0 por x → ∞ ou x → −∞ e trocarmos
x ∈ (x0 − δ, x0) ∪ (x0, x0 + δ) por x > N ou por x < −N , dependendo do caso.
Exemplo 5.2.1: Determine os limites abaixo.
Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015-1 59
a) lim
x→∞
x2 − 1
x2 + 4x
b) lim
x→∞
2x2 + 5x+ 1
x2 − x− 6
c) lim
x→∞
x3 + 1
2x4 − 1
e) lim
x→∞
senx
x
f) lim
x→∞
√
x2 + 1− x
g) lim
x→∞
x− 1
x2 + 4
Uma vez entendido os limites no infinito de uma func¸a˜o, vamos apresentar as definic¸o˜es
formais.
DEFINIC¸A˜O 5.2.3: Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo (c,∞). Dizemos
que
lim
x→∞
f(x) = L
se dado ε > 0, existe N > 0, tal que
x > N =⇒ |f(x)− L| < ε.
DEFINIC¸A˜O 5.2.4: Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo (−∞, c). Dizemos
que
lim
x→∞
f(x) = L
se dado ε > 0, existe N > 0, tal que
x < −N =⇒ |f(x)− L| < ε.
5.3 Limites Infinitos no Infinito
A notac¸a˜o lim
x→∞
f(x) =∞ e´ utilizada para indicar que os valores de f(x) podem se
tornar arbitrariamente grandes, bastando para isto tomar valores de x suficientemente
grandes. Os seguintes s´ımbolos possuem significados ana´logos.
lim
x→−∞
f(x) =∞ lim
x→∞
f(x) = −∞ lim
x→−∞
f(x) = −∞
Observac¸a˜o 5.3.1: O Teorema 5.1.2 desta aula permanece va´lido se substituirmos
x→ a por x→∞ ou x→ −∞.
Exemplo 5.3.1: Determine os limites abaixo.
Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015-1 60
a) lim
x→∞
x2 b) lim
x→−∞
x3 c) lim
x→∞
x2 − x d) lim
x→∞
x3 − 2x
x2 + 1
e) lim
x→−∞
7x2 + 3x3 + 1
A definic¸a˜o formal de lim
x→∞
f(x) =∞ segue abaixo e os outros casos possuem definic¸o˜es
ana´logas.
DEFINIC¸A˜O 5.3.1: Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo (c,∞). Dizemos
que
lim
x→∞
f(x) =∞
se dado M > 0, existe N > 0, tal que
x > N =⇒ f(x) > M.
5.4 Ass´ıntotas
DEFINIC¸A˜O 5.4.1: A reta horizontal y = b e´ chamada de ass´ıntota horizontal do
gra´fico da func¸a˜o f se pelo menos uma das condic¸o˜es e´ satisfeita.
i) lim
x→∞
f(x) = b ii) lim
x→−∞
f(x) = b
DEFINIC¸A˜O 5.4.2: A reta vertical x = a e´ chamada de ass´ıntota vertical do gra´fico
da func¸a˜o f se pelo menos uma das condic¸o˜es e´ satisfeita.
i) lim
x→a+
f(x) =∞ ii) lim
x→a−
f(x) =∞
iii) lim
x→a+
f(x) = −∞ iv) lim
x→a−
f(x) = −∞
Exemplo 5.4.1: Determine as ass´ıntotasdas func¸o˜es dadas abaixo.
a) f(x) =
3x
x− 1
b) f(x) =
2x√
x2 + 4
c) f(x) =
2x2 + 1
2x2 − 3x
d) f(x) =
2x√
x2 − 4
e) f(x) =
2x√
4− x2
f) f(x) =
3x−√x2 − 3x+ 2
x+ 2