06 Limites Trigonométricos

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PARTE 6
LIMITES TRIGONOME´TRICOS
6.1 Limites Trigonome´tricos
Considere as func¸o˜es a seguir:
f1(x) = x sen
(
1
x
)
f2(x) = sen
(
1
x
)
f3(x) =
senx
x
Nossa intenc¸a˜o e´ tentar identificar alguma tendeˆncia dos valores das treˆs func¸o˜es an-
teriores quando as avaliamos em pontos do domı´nio cada vez mais pro´ximos de x = 0,
sem contudo, chegar a x = 0 (inclusive, nenhuma das func¸o˜es anteriores esta´ definida
para x = 0). Para isto, montamos treˆs tabelas, onde, do lado esquerdo, colocamos
os pontos do domı´nio e, do lado direito, colocamos a imagem destes pontos para as
func¸o˜es f1, f2 e f3. Na primeira tabela, escolhemos valores de x que se aproximam
de x = 0 por valores menores do que 0 e, na segunda, escolhemos valores de x que se
aproximam de x = 0 por valores maiores do que 0.
61
Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015-1 62
x f1(x)
1
pi/3
=
3
pi
≈ 0.9549296583 3
√
3
2pi
≈ 0.8269933432
1
2pi + pi/6
=
6
13pi
≈ 0.1469122551 3
13pi
≈ 0.07345612757
1
4pi + pi/4
=
4
17pi
≈ 0.07489644377 2
√
2
17pi
≈ 0.05295978326
1
6pi + pi/2
=
2
13pi
≈ 0.04897075169 2
13pi
≈ 0.04897075169
1
10pi + 3pi/2
=
2
23pi
≈ 0.02767912053 − 2
23pi
≈ −0.02767912053
1
20pi + pi/2
=
2
41pi
≈ 0.01552731152 2
41pi
≈ 0.01552731152
1
30pi + 5pi/4
=
4
125pi
≈ 0.01018591636 − 2
√
2
125pi
≈ −0.007202530525
1
40pi + pi/6
=
6
241pi
≈ 0.007924727455 2
241pi
≈ 0.003962363727
1
100pi + 7pi/6
=
6
607pi
≈ 0.003146390966 − 3
607pi
≈ −0.001573195483
1
1000pi + pi/4
=
4
4001pi
≈ 0.0003182303285 2
√
2
4001pi
≈ 0.0002250228232
1
10000pi + 7pi/2
=
6
241pi
≈ 0.00003181985166 − 2
2007pi
≈ −0.00003181985166
x f2(x)
1
pi/3
=
3
pi
≈ 0.9549296583
√
3
2
≈ 0.8660254040
1
2pi + pi/6
=
6
13pi
≈ 0.1469122551 1
2
= 0.5
1
4pi + pi/4
=
4
17pi
≈ 0.07489644377
√
2
2
≈ 0.7071067810
1
6pi + pi/2
=
2
13pi
≈ 0.04897075169 1
1
10pi + 3pi/2
=
2
23pi
≈ 0.02767912053 −1
1
20pi + pi/2
=
2
41pi
≈ 0.01552731152 1
1
30pi + 5pi/4
=
4
125pi
≈ 0.01018591636 −
√
2
2
≈ −0.7071067810
1
40pi + pi/6
=
6
241pi
≈ 0.007924727455 1
2
= 0.5
1
100pi + 7pi/6
=
6
607pi
≈ 0.003146390966 −1
2
= −0.5
1
1000pi + pi/4
=
4
4001pi
≈ 0.0003182303285
√
2
2
≈ 0.7071067810
1
10000pi + 7pi/2
=
6
241pi
≈ 0.00003181985166 −1
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x f3(x)
1
pi/3
=
3
pi
≈ 0.9549296583 0.8547992002
1
2pi + pi/6
=
6
13pi
≈ 0.1469122551 0.9964066781
1
4pi + pi/4
=
4
17pi
≈ 0.07489644377 0.9990653492
1
6pi + pi/2
=
2
13pi
≈ 0.04897075169 0.9996003582
1
10pi + 3pi/2
=
2
23pi
≈ 0.02767912053 0.9998723159
1
20pi + pi/2
=
2
41pi
≈ 0.01552731152 0.9999598181
1
30pi + 5pi/4
=
4
125pi
≈ 0.01018591636 0.9999827078
1
40pi + pi/6
=
6
241pi
≈ 0.007924727455 0.9999895330
1
100pi + 7pi/6
=
6
607pi
≈ 0.003146390966 0.9999983502
1
1000pi + pi/4
=
4
4001pi
≈ 0.0003182303285 0.9999999828
1
10000pi + 7pi/2
=
6
241pi
≈ 0.00003181985166 0.9999999995
Observac¸o˜es 3.1.1:
1) Observe que as f1 e f3 sa˜o func¸o˜es pares, enquanto que f2 e´ uma func¸a˜o ı´mpar. De
fato,
f1(−x) = (−x) sen
(
1
−x
)
= (−x)
(
− sen
(
1
x
))
= x sen
(
1
x
)
= f1(x),
f3(−x) = sen (−x)
(−x) =
− sen (x)
(−x) =
senx
x
= f3(x)
e
f2(−x) = sen
(
1
−x
)
= − sen
(
1
x
)
= −f2(x).
Desta forma, os valores destas func¸o˜es para valores x0 menores do que zero esta˜o com-
pletamente determinados se soubermos os valores destas func¸o˜es para x maiores do que
zero. Sendo assim, nas tabelas acima, basta calcular os valores da func¸a˜o em pontos
que va˜o se aproximando do ponto x = 0, apenas por valores de x maiores do que zero.
2) Observando a primeira tabela, parece que quando x se aproxima de zero, os valores
de f1(x) = x sen
(
1
x
)
se aproximam de zero. De fato, isto e´ verdade e para comprovar
isto, basta lembrarmos que limx→0 x = 0, enquanto que seno e´ uma func¸a˜o limitada,
pois −1 ≤ senx ≤ 1, ∀ x ∈ R. Sendo assim, aplicando o Teorema do Anulamento,
segue que limx→0 x sen
(
1
x
)
= 0.
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3) Observando a segunda tabela, parece que quando x se aproxima do valor 0, os va-
lores de f5(x) = sen
(
1
x
)
na˜o se aproximam de nenhum valor espec´ıfico. De fato,
para verificar que este limite na˜o existe, observe que seno e´ uma func¸a˜o perio´dica, de
modo que sen (2npi + θ) = sen (θ). Ale´m disso, note que podemos fazer x =
1
2npi + θ
ficar arbitrariamente pro´ximo de zero, bastando fazer o valor de n ficar suficiente-
mente grande. Desta forma, qualquer que seja θ, podemos fazer x =
1
2npi + θ
ficar
arbitrariamente pro´ximo de zero, de modo que
sen
(
1
x
)
= sen
(
1
1/(2npi + θ)
)
= sen (2npi + θ) = sen (θ) .
Sendo assim, escolhendo convenientemente os valores de θ, enquanto n cresce, podemos
ficar alternando indefinidamente os valores de sen (θ). Por exemplo, fazendo x =
1
2N1pi + pi/2
, para N1 = 10
10, teremos x pro´ximo de zero e
sen
(
1
x
)
= sen
(
1
1/(2N1pi + pi/2)
)
= sen (2N1pi + pi/2) = sen (pi/2) = 1.
Por outro lado, fazendo x =
1
2N2pi + 3pi/2
, para N2 = 10
100 teremos x mais pro´ximo
de zero ainda, enquanto que
sen
(
1
x
)
= sen
(
1
1/(2N2pi + 3pi/2)
)
= sen (2N2pi + 3pi/2) = sen (3pi/2) = −1.
Podemos continuar este processo indefinidamente, fazendo o valor de x se aproximar
de zero o quanto quisermos, bastando aumentar o valor de n, enquanto o valor de
sen
(
1
x
)
fica alternando entre 1 e −1. Desta forma, limx→0+ sen
(
1
x
)
na˜o existe e,
portanto, limx→0 sen
(
1
x
)
na˜o existe tambe´m.
3) Observando a terceira tabela, parece que quando x se aproxima de zero, os valores
de f3(x) =
senx
x
se aproximam de 1. De fato, isto e´ verdade e este resultado esta´
enunciado no Teorema 6.1.1 a seguir.
Abaixo seguem os gra´ficos das func¸o˜es estudadas.
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A seguir enunciaremos va´rias propriedades sobre limites trigonome´tricos. Na˜o faremos
suas demonstrac¸o˜es. Elas sa˜o deixadas como exerc´ıcio e podem ser feitas utilizando os
teoremas ja´ conhecidos de limite, juntamente com as identidades trigonome´tricas e a
desigualdade 0 < senx < x < tanx, que e´ va´lida sempre que 0 < x <
pi
2
.
TEOREMA 6.1.1: lim
x→0
senx = 0.
TEOREMA 6.1.2: lim
x→0
cosx = 1.
TEOREMA 6.1.3: As func¸o˜es trigonome´tricas sa˜o cont´ınuas em todos os pontos dos
seus domı´nios. Isto e´, as func¸o˜es seno e cosseno sa˜o cont´ınuas em todos os reais, as
func¸o˜es tangente e secante sa˜o cont´ınuas para todo x 6= pi
2
+ kpi, k inteiro e as func¸o˜es
cotangente e cossecante sa˜o cont´ınuas para todo x 6= kpi, k inteiro.
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TEOREMA 6.1.4: lim
x→0
senx
x
= 1.
TEOREMA 6.1.5: lim
x→0
1− cosx
x
= 0.
TEOREMA 6.1.6: lim
x→0
1− cosx
x2
=
1
2
.
Exemplo 6.1.1: Determine os limites abaixo.
a) lim
x→0
sen 3x
5x
b) lim
x→0
sen 3x
sen 5x
c) lim
x→0
tan 2x
x
d) lim
x→∞
sen 3x
5x
e) lim
x→0
senx− cosx senx
x2
f) lim
x→0
1− cos3 2x
x cosx senx
g) lim
x→−2
(x2 − 4) sen
(
1
x+ 2
)
h) lim
x→pi
sen (tan x)tanx
i) lim
x→1
senpix
1− x2
j) lim
x→3
sen (x2 − 4x+ 3)
x− 3
k) lim
x→∞
x sen
1
x
l) lim
x→0
sen
(√
x+ 1− 1
x
)
Exemplo 6.1.2: Determine (se existirem) valores para a e b tais que a func¸a˜o f dada
abaixo seja cont´ınua em x = 0 e x = 1.
f(x) =

x+ a; se x ≤ 0
sen (x+ 1)− sen 1
x
; se 0 < x ≤ 1
b+ (x2 − 3x+ 2) cos
(
1
x− 1
)
; se x > 1
Para facilitar o ca´lculo de limites envolvendo func¸o˜es trigonome´tricas, voceˆ pode seguir
os passos abaixo. Eles contribuem para que voceˆ va´ construindo uma estrate´gia de
racioc´ınio para lidar com a maioria dos casos de limites trigonome´tricos que voceˆ vai
encontrar neste curso.
1) Veja se na˜o ha´ indeterminac¸o˜es. Se na˜o houver, aplique as regras de limite que voceˆ
conhece.
2) Se houver indeterminac¸o˜es, i.e. caso voceˆ esteja diante de
0
0
,
∞
∞ , 0.∞ ou 0. 6 ∃,
observe se o argumento do seno ou do cosseno vai a zero ou se o argumento do seno ou
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do cosseno vai a infinito.
3) Caso o argumento do seno ou do cosseno va´ a zero, tente encaixar nos casos
lim
�→0
sen�
� = 0, lim�→0
1− cos�
� = 0 ou lim�→0
1− cos�
�2 = 1/2.
4) Caso o argumento do seno ou do cosseno va´ a infinito, tente encaixar no caso
limite de uma “func¸a˜o que vai a zero”“vezes”“uma func¸a˜o limitada”.