07 Derivada

Prévia do material em texto

PARTE 7
DERIVADA
7.1 Introduc¸a˜o
Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo aberto contendo o ponto x0. Limites do
tipo
lim
∆x→0
f(x0 +∆x)− f(x0)
∆x
,
ocorrem de modo natural na f´ısica e na geometria. Vamos abordar um exemplo em
cada contexto nas pro´ximas sec¸o˜es.
7.2 Reta Tangente a um Gra´fico
Considere o problema de definir a reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o f no ponto P
de coordenada (x0, f(x0)). Sabemos que tal reta deve, obviamente, conter o ponto
(x0, f(x0)). Portanto, a reta tangente estara´ determinada se soubermos seu coeficiente
angular. Visando a determinac¸a˜o deste coeficiente angular, vamos considerar a reta lPQ
que conte´m o ponto (x0, f(x0)) e outro ponto do gra´fico de f , o ponto Q, de coordenada
(x0+∆x, f(x0+∆x)). Esta reta e´ chamada de reta secante ao gra´fico de f que conte´m
os pontos P e Q. E´ fa´cil ver que o coeficiente angular desta reta secante e´ dado por
mPQ =
f(x0 +∆x)− f(x0)
∆x
.
Vamos agora adotar o seguinte procedimento: Vamos deixar o ponto P fixo e vamos
comec¸ar a aproximar o ponto Q do ponto P , i.e. vamos diminuir cada vez mais o valor
de ∆x. Observe que, neste processo, a reta secante lPQ se move, mudando de direc¸a˜o.
Inclusive, se existir o limite
lim
∆x→0
f(x0 +∆x)− f(x0)
∆x
,
parece natural tomar o valor deste limite como o coeficiente angular da reta tangente
ao gra´fico no ponto P . De fato, temos a definic¸a˜o a seguir.
68
Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015-1 69
DEFINIC¸A˜O 7.2.1: Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo aberto contendo
x0. Enta˜o, se
lim
∆x→0
f(x0 +∆x)− f(x0)
∆x
existe (e´ finito), definimos a reta tangente ao gra´fico de f no ponto (x0, f(x0)), como
a reta que conte´m o ponto (x0, f(x0)) e possui coeficiente angular
m = lim
∆x→0
f(x0 +∆x)− f(x0)
∆x
.
Caso o limite acima seja +∞ ou −∞, a reta tangente ao gra´fico de f no ponto
(x0, f(x0)) e´ a reta x = x0.
Observac¸a˜o 7.2.1: Observe enta˜o que o gra´fico de f so´ possui reta tangente no ponto
(x0, f(x0)) se existir o limite acima, ou se ele for +∞ ou −∞. Caso contra´rio, o gra´fico
de f na˜o possui reta tangente no ponto (x0, f(x0)).
Exemplo 7.2.1: Verifique se o gra´fico da func¸a˜o f dada por f(x) =
√
x− 2 possui
reta tangente no ponto (6,2). Caso possua, fornec¸a sua equac¸a˜o.
Exemplo 7.2.2: Verifique se o gra´fico da func¸a˜o f dada por f(x) = 3
√
x possui reta
tangente no ponto (0,0). Caso possua, fornec¸a sua equac¸a˜o.
Exemplo 7.2.3: Verifique se o gra´fico da func¸a˜o f dada por f(x) = |x| possui reta
tangente no ponto (0,0). Caso possua, fornec¸a sua equac¸a˜o.
Aproveitando a oportunidade, vamos definir reta normal ao gra´fico de uma func¸a˜o.
DEFINIC¸A˜O 7.2.2: Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo aberto contendo
x0. Se o gra´fico de f possui reta tangente no ponto (x0, f(x0)), definimos a reta normal
ao gra´fico de f no ponto (x0, f(x0)), como a reta normal a` reta tangente ao gra´fico de
f neste ponto.
Exemplo 7.2.4: Volte aos exemplos anteriores e analise a existeˆncia de reta normal
no ponto considerado. Caso ela exista, fornec¸a sua equac¸a˜o.
Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015-1 70
7.3 Velocidade Instantaˆnea
Considere uma part´ıcula (ou um objeto) que se desloca ao longo de uma reta. Tal
movimento e´ chamado de movimento retil´ıneo. E´ usual utilizar o eixo horizontal ou o
eixo vertical, com a origem, para representar a reta ao longo da qual o objeto se desloca.
Convenciona-se que movimento para direita (ou para cima) esta´ na direc¸a˜o positiva,
enquanto que movimento para esquerda (ou para baixo) esta´ na direc¸a˜o negativa. Seja
enta˜o s = s(t) a func¸a˜o que fornece a posic¸a˜o (relativa a` origem) de uma part´ıcula no
instante t. A velocidade me´dia da part´ıcula entre os instante t0 e t0 + ∆t e´ definida
pelo quociente
vm(t0, t0 +∆t) =
s(t0 +∆t)− s(t0)
∆t
.
Isto e´, ela e´ igual a distaˆncia pecorrida durante este intervalo de tempo, dividida pelo
tempo que foi levado para percorreˆ-la.
Exemplo 7.3.1: A posic¸a˜o, em metros, de uma part´ıcula no instante t, dado em se-
gundos, e´ dada por s(t) = t2 + 3t + 1. Determine a velocidade me´dia nos seguintes
intervalos de tempo.
1) [1 , 2] 2) [1 , 1,5] 3) [1 , 1,1] 4) [1 , 1,01]
Soluc¸a˜o:
1)
vm(1, 2) =
s(2)− s(1)
2− 1 =
(22 + 3.2 + 1)− (1 + 3 + 1)
1
=
11− 5
1
=
6
1
= 6 m/s .
2)
vm(1 , 1, 5) =
s(3/2)− s(1)
3/2− 1 =
31/4− 5
1/2
=
11
2
= 5, 5 m/s .
3)
vm(1 , 1, 1) =
s(11/10)− s(1)
11/10− 1 =
551/100− 5
1/10
=
51
10
= 5, 1 m/s .
4)
vm(1 , 1, 01) =
s(101/100)− s(1)
101/100− 1 =
551/100− 5
1/100
=
50501
10000
= 5, 0501 m/s .
♥
E se quise´ssemos encontrar a velocidade da part´ıcula no instante t = 1s no Exemplo
7.3.1 acima? A dificuldade esta´ em termos apenas um u´nico instante de tempo (t = 1)
e na˜o um intervalo de tempo. Pore´m, da mesma forma que aproximamos o coeficiente
angular da reta tangente, utilizando os coeficientes angulares de retas secantes, vamos
aproximar a velocidade da part´ıcula no instante t = 1s, calculando a velocidade me´dia
em um intervalo de tempo pequeno [1, 1+∆t]. Desta forma, obtemos a seguinte tabela.
∆t 1 0.5 0.1 0.01 0.001 0.0001 .00001
vm(1, 1 + ∆t) 6 5.5 5.1 5.05 5.005 5.0005 5.00005
Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015-1 71
Observando a tabela, parece razoa´vel dizer que a velocidade quando t = 1s e´ igual a 5
m/s. Comprovaremos este resultado apo´s a pro´xima definic¸a˜o.
DEFINIC¸A˜O 7.3.1: Seja s = s(t) a posic¸a˜o de uma part´ıcula (ou objeto) que se
movimenta ao longo de uma reta, no instante t. Enta˜o, a velocidade (instantaˆnea) da
part´ıcula no instante t0 e´ dada por
v(t0) = lim
∆t→0
s(t0 +∆t)− s(t0)
∆t
.
Exemplo 7.3.2: Determine a velocidade da part´ıcula do Exemplo 7.3.1 acima, no
instante t = 1s.
Da mesma forma, podemos definir acelerac¸a˜o de uma part´ıcula (ou objeto).
DEFINIC¸A˜O 7.3.2: Seja v = v(t) a velocidade de uma part´ıcula (ou objeto) que se
movimenta ao longo de uma reta, no instante t. A acelerac¸a˜o da part´ıcula no instante
t0 e´ dada por
a(t0) = lim
∆t→0
v(t0 +∆t)− v(t0)
∆t
.
7.4 Taxas de Variac¸a˜o
A velocidade e a acelerac¸a˜o sa˜o apenas dois exemplos de taxas de variac¸a˜o. De um
modo geral, suponha que y e´ uma quantidade que depende de outra quantidade x.
Assim, y e´ uma func¸a˜o da varia´vel x, que comumente escrevemos como y = f(x). Se x
variar de x1 a x2, enta˜o a variac¸a˜o de x e´ dada por
∆x = x2 − x1.
Por outro lado, a variac¸a˜o correspondente de y, e´ dada por
∆y = y2 − y1 = f(x2)− f(x1),
onde fizemos y1 = f(x1) e y2 = f(x2). Temos agora as seguintes definic¸o˜es:
DEFINIC¸A˜O 7.4.1: Seja y = f(x). A taxa de variac¸a˜o me´dia de y em relac¸a˜o a x,
quando x varia de x1 a x2 e´ dada por
∆y
∆x
=
y2 − y1
x2 − x1 =
f(x2)− f(x1)
x2 − x1 .
Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015-1 72
DEFINIC¸A˜O 7.4.2: Seja y = f(x). A taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de y em relac¸a˜o
a x, quando x = x1 e´ dada por
lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
x2→x1
y2 − y1
x2 − x1 = limx2→x1
f(x2)− f(x1)
x2 − x1 .
Como exemplo de taxas de variac¸a˜o, podemos ainda citar as taxas de crescimento po-
pulacional, as taxas de produc¸a˜o, as taxas de fluxo de a´gua, taxas de concentrac¸a˜o,
taxas de variac¸a˜o de temperatura, entre outras.
Vista a importaˆncia do limite anterior, temos a seguinte definic¸a˜o:
DEFINIC¸A˜O 7.4.3: Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo aberto contendo o
ponto x0. A derivada de f no ponto x0, denotada por f
′(x0), e´ dada por
lim
∆x→0
f(x0 +∆x)− f(x0)
∆x
= lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 ,
se este limite existe (e´ finito). Se f admite derivada em x0, dizemos que f e´ deriva´vel
ou diferencia´velem x0.
Utilizando os limites laterais, vamos definir a seguir o conceito de derivada a` direita e
a` esquerda.
DEFINIC¸A˜O 7.4.4: Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo da forma [x0, c).
A derivada a` direita de f no ponto x0, denotada por f
′
+(x0), e´ dada por
lim
∆x→0+
f(x0 +∆x)− f(x0)
∆x
= lim
x→x+0
f(x)− f(x0)
x− x0 ,
se este limite existe (e´ finito).
DEFINIC¸A˜O 7.4.5: Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo da forma (c, x0].
A derivada a` esquerda de f no ponto x0, denotada por f
′
−(x0), e´ dada por
lim
∆x→0−
f(x0 +∆x)− f(x0)
∆x
= lim
x→x−0
f(x)− f(x0)
x− x0 ,
se este limite existe (e´ finito).
Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015-1 73
Agora estamos prontos para definir diferenciabilidade em um intervalo.
DEFINIC¸A˜O 7.4.6: Uma func¸a˜o f : Dom(f)→ R e´ dita deriva´vel ou diferencia´vel
em um intervalo I ⊆ Dom(f), se f e´ deriva´vel em todos os pontos do intervalo. No
caso de intervalos fechados ou semi-abertos, nos extremos inclu´ıdos, estaremos nos re-
ferindo a` existeˆncia das derivadas laterais, conforme o caso.
DEFINIC¸A˜O 7.4.7 Uma func¸a˜o f : Dom(f) → R e´ dita deriva´vel ou diferencia´vel,
se f e´ deriva´vel em todos os pontos do seu domı´nio.
7.5 A Derivada como uma Func¸a˜o
Sejam f : Dom(f)→ R uma func¸a˜o e A o conjunto dos x para os quais f ′(x) existe, i.e.
A = {x ∈ Dom(f) | f ′(x) existe }.
Se A e´ um intervalo ou uma unia˜o de intervalos, podemos associar a cada x ∈ A, o
nu´mero f ′(x), obtendo assim uma nova func¸a˜o, a func¸a˜o f ′ : A → R, chamada de
derivada de f . O valor de f ′ em x ∈ A e´ dado por
lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
,
ou por um limite lateral adequado.
Exemplo 7.5.1: Calcule a velocidade em func¸a˜o do tempo,v(t), onde a posic¸a˜o em
func¸a˜o do tempo e´ dada por s(t) = t2 + 3t+ 1.
Exemplo 7.5.2: Calcule f ′(x), onde f(x) =
√
x− 2, x ≥ 2.
Exemplo 7.5.3: Calcule a derivada da func¸a˜o f , f e´ dada por f(x) =
x+ 1
1− x , para
x 6= 1.
7.6 Regras de Derivac¸a˜o
TEOREMA 7.6.1: Seja f uma func¸a˜o constante, i.e. f(x) = c para algum c real.
Enta˜o, f ′(x) = 0 para todo x ∈ R.
Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015-1 74
TEOREMA 7.6.2: Seja f(x) = mx + b uma func¸a˜o afim. Enta˜o, f ′(x) = m para
todo x ∈ R.
Exemplo 7.6.1: Calcule f ′(2) e g′(2), compare os resultados e tire uma lic¸a˜o para o
resto da vida.
f(x) = 3x+ 2 e g(x) =
{
3x+ 2 se x 6= 2
8 se x = 2
TEOREMA 7.6.3: Seja n 6= 0 um nu´mero natural. Sa˜o va´lidas as seguintes fo´rmulas
de derivac¸a˜o:
a) f(x) = xn =⇒ f ′(x) = nxn−1 ;
b) f(x) = x
1
n =⇒ f ′(x) = 1
n
x
1
n
−1, onde x > 0 se n for par e x 6= 0 se n for ı´mpar
(n ≥ 2).
Dica para a demonstrac¸a˜o: Para demonstrar o item (a), lembre-se que de A´lgebra
temos que
an − bn = (a− b)
n−1∑
k=0
akbn−(k+1) =
n−1∑
k=0
(ak+1bn−(k+1) − akbn−k).
Para demonstrar o item (b), fac¸a u = (x+4x)1/n e v = x1/n de modo que un = x+4x
e vn = x ⇒ 4x = un − vn. Aplicando enta˜o a igualdade acima para un − vn, tem-se
que
un − vn = (u− v)
n−1∑
k=0
ukvn−(k+1)
⇒4x = ((x+4x)1/n − x1/n) n−1∑
k=0
(x+4x)k/nxn−(k+1)/n.
Exemplo 7.6.2: Derive as func¸o˜es abaixo.
(a) f(x) = 6 (b) f(x) = x3 (c) f(x) = x1/4 (d) f(s) = 3
√
s
(e)f(t) =
√
t (f) f(y) = y1/5
7.7 Propriedades Alge´bricas
TEOREMA 7.7.1: Sejam f e g func¸o˜es diferencia´veis em x0 e seja k uma constante.
Enta˜o, as func¸o˜es f + g, kf , f.g sa˜o diferencia´veis em x0 e teˆm-se
Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015-1 75
a) (f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0);
b) (kf)′(x0) = kf ′(x0);
c) (f.g)′(x0) = f ′(x0)g(x0) + f(x0)g′(x0);
Dica para a demonstrac¸a˜o: A demonstrac¸a˜o dos itens (a) e (b) e´ bem imediata.
Para demonstrar o item (c), escreva f(x0 +4x).g(x0 +4x) como f(x0 +4x).g(x0 +
4x)−f(x0+4x).g(x0)+f(x0+4x).g(x0)−f(x0).g(x0). Desta forma, utilizando que
diferenciabilidade implica em continuidade (Teorema 7.10.1), chegamos ao resultado
desejado.
TEOREMA 7.7.2: Sejam f e g func¸o˜es diferencia´veis em x0 e tais que g(x0) 6= 0.
Enta˜o, a func¸a˜o
f
g
e´ diferencia´vel em x0 e teˆm-se(
f
g
)′
(x0) =
f ′(x0)g(x0)− f(x0)g′(x0)
g2(x0)
.
Dica para a demonstrac¸a˜o: Calcule primeiro a derivada de
1
g
em x0 e depois, uti-
lizando o Teorema 7.7.1 9 (c), calcule a derivada de f.
1
g
em x0.
TEOREMA 7.7.3: Seja n 6= 0 um nu´mero natural. Sa˜o va´lidas as seguintes fo´rmulas
de derivac¸a˜o:
a) f(x) = x−n =⇒ f ′(x) = −nx−n−1, x 6= 0;
b) f(x) = x−
1
n =⇒ f ′(x) = − 1
n
x−
1
n
−1, onde x > 0, se n for par e x 6= 0, se n for ı´mpar
(n ≥ 2).
Dica para a demonstrac¸a˜o: Para demonstrar os itens (a) e (b), utilize os itens
(a) e (b)do Teorema 7.6.3 e o Teorema 7.7.2.
Observac¸a˜o 7.7.1: A demonstrac¸a˜o do item (a) do Teorema 7.6.3 tambe´m pode ser
feita por induc¸a˜o, utilizando o Teorema 7.7.1 (c).
Exemplo 7.7.1: Derive as func¸o˜es abaixo.
(a)f(t) =
1
t
(b) f(x) =
1
x5
(c) f(x) = x−2 (d) f(y) =
1
y1/7
(e)f(t) =
1√
t
(f) f(x) =
1
x1/4
Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015-1 76
Exemplo 7.7.2: Derive as func¸o˜es abaixo.
(a) f(x) = x3 + 2− 3
x2
(b) f(x) =
x+ 1
x− 1
(c) f(x) =
x3 + 1
x2 − 3 (d) f(x) = 3x
−1/4(x5 + 2x)
(e) f(t) =
5
√
t
t2 + 1
(f) f(x) =
(
x2 +
2
x3
)(
x6 + 3
√
x− 2
x2
)
7.8 Notac¸o˜es da Derivada
Se utilizarmos a notac¸a˜o tradicional y = f(x) para indicar que x e´ a varia´vel indepen-
dente e y e´ varia´vel dependente, enta˜o temos as seguintes notac¸o˜es alternativas para
derivada:
f ′ = y′ =
dy
dx
=
df
dx
= Df = Dxf.
Os s´ımbolos D, Dx e
d
dx
sa˜o chamados de operadores diferenciais, pois indicam a
operac¸a˜o de diferenciac¸a˜o, que e´ o processo de ca´lculo da derivada.
O s´ımbolo
dy
dx
, introduzido por Leibniz, na˜o e´ um quociente, ele e´ simplesmente um
sinoˆnimo para f ′(x). Para indicar o valor da derivada em um ponto x0 utilizando a
notac¸a˜o de Leibniz, escrevemos
dy
dx
∣∣∣∣
x=x0
.
7.9 Derivadas das Func¸o˜es Trigonome´tricas
TEOREMA 7.9.1: Sa˜o va´lidas as seguintes fo´rmulas de derivac¸a˜o:
a)
d
dx
( senx) = cos x; d)
d
dx
(cotx) = − csc2 x;
b)
d
dx
(cosx) = − senx; e) d
dx
(secx) = secx tanx;
c)
d
dx
(tanx) = sec2 x; f)
d
dx
(cscx) = − cscx cotx.
Exemplo 7.9.1: Derive as func¸o˜es abaixo.
(a) f(x) = x3 senx (b) f(x) = (x2 + 2) sec x tanx
Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015-1 77
(c) f(x) =
x2 cos x
x2 − 3 (d) f(t) =
7
√
t
tan t
7.10 Derivada e Continuidade
Vimos no Exemplo 7.2.3 que a func¸a˜o f(x) = |x| na˜o e´ diferencia´vel em x = 0, embora
seja cont´ınua neste ponto. Deste modo, vemos que
continuidade /=⇒ diferenciabilidade.
Entretanto,
diferenciabilidade =⇒ continuidade,
conforme pode ser visto no teorema a seguir.
TEOREMA 7.10.1: Se f e´ uma func¸a˜o deriva´vel em x0, enta˜o f e´ cont´ınua em x0.
Observac¸a˜o 7.10.1: Basta que existam f ′+(x0) e f
′
−(x0), sem que estes necessaria-
mente sejam iguais, para que f seja cont´ınua em x0.
Exemplo 7.10.1: Calcule a derivada da func¸a˜o
f(x) =
{
x2 + 2x se x ≤ 1
4x+ 1 se x > 1
Exemplo 7.10.2: Calcule a derivada da func¸a˜o
f(x) =
{
x2 + 2x se x ≤ 1
3x se x > 1
Exemplo 7.10.3: Calcule a derivada da func¸a˜o
f(x) =
{
x2 + 2x se x ≤ 1
4x− 1 se x > 1
Exemplo 7.10.4: Calcule a derivada da func¸a˜o
f(x) =

x2 + 2x se x < 1
3 se x = 1
4x− 1 se x > 1
Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015-1 78
7.11 Derivadas de Ordens Superiores
Na Sec¸a˜o 7.5, vimos a derivada como uma func¸a˜o. Recapitulando, dada f : Dom(f)→
R, se o conjunto A = {x ∈ Dom(f) | f ′(x) existe }e´ um intervalo ou uma unia˜o de
intervalos, podemos associar a cada x ∈ A, o nu´mero f ′(x), obtendo assim uma nova
func¸a˜o, a func¸a˜o f ′ : A → R, chamada de derivada de f . O valor de f ′ em x ∈ A e´
dado por
lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
,
ou por um limite lateral adequado. A func¸a˜o derivada de f ou, simplesmente de-
rivada de f tambe´m e´ chamada de derivada de 1a ordem de f . Pode acontecer da
func¸a˜o f ′ tambe´m ser deriva´vel em um conjunto B ⊆ A. Se o conjunto B = {x ∈
A | (f ′)′(x) existe } e´ um intervalo ou uma unia˜o de intervalos, podemos associar a
cada x ∈ B, o nu´mero f ′′(x), obtendo assim uma nova func¸a˜o, a func¸a˜o f ′′ : B → R,
chamada de derivada de 2a ordem de f . O valor de f ′′ em x ∈ B e´ dado por
lim
h→0
f ′(x+ h)− f ′(x)
h
,
ou por um limite lateral adequado. De modo ana´logo, podemos definir as derivadas de
ordens superiores a 2 de f .
Exemplo 7.11.1: Calcule a f ′, f ′′ e f ′′′, onde f(x) = x5 + 3x2 + 7x.
Exemplo 7.11.2: Calcule a f ′ e f ′′, onde f(x) = x2|x|. Esboce seus gra´ficos.
Exemplo 7.11.3: Calcule a f ′ e f ′′, onde f e´ a func¸a˜o dada abaixo. Esboce seus
gra´ficos.
f(x) =
{
x3 + 3x se x ≤ 1
5x− 1 se x > 1
Exerc´ıcios para casa
Exerc´ıcio 1: Calcule a derivada da func¸a˜o
f(x) =

3− x
2
se x < 1
1√
x
se x ≥ 1
Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015-1 79
Exerc´ıcio 2: Calcule a derivada da func¸a˜o
f(x) =

−x
2
se x < 1
1√
x
se x ≥ 1
Exerc´ıcio 3: Determine os valores de a e b para que a func¸a˜o abaixo seja diferencia´vel
em x = 1.
f(x) =
{
x2 se x < 1
ax+ b se x ≥ 1