08 Regra da Cadeia

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PARTE 8
REGRA DA CADEIA
8.1 Introduc¸a˜o
Imagine que voceˆ queira derivar a func¸a˜o
h(x) = (x2 − 3x+ 2)37.
Com o nosso conhecimento ate´ este momento de regras de derivac¸a˜o, isto seria invia´vel.
Para resolver problemas deste tipo, vem em nosso aux´ılio a regra da cadeia. Ela e´ uma
das mais importantes regras de derivac¸a˜o e nos ensina como calcular a derivada de
func¸o˜es compostas, que e´ o caso acima. De fato,
h(x) = f(g(x)),
onde
f(x) = x37 e g(x) = x2 − 3x+ 2.
8.2 Regra da Cadeia
TEOREMA 8.2.1: (Regra da Cadeia) Se g e´ uma func¸a˜o diferencia´vel em x0 e f
e´ uma func¸a˜o diferencia´vel em g(x0), enta˜o a func¸a˜o f ◦ g e´ diferencia´vel em x0 e
(f ◦ g)′(x0) = f ′(g(x0))g′(x0).
Observac¸a˜o 8.2.1: Se escrevermos y = f(u) e u = g(x), onde g e´ diferencia´vel em
x0 e f e´ diferencia´vel em u0 = g(x0), na notac¸a˜o de Leibniz, temos que
dy
du
= f ′(u) e
du
dx
= g′(x), de modo que
dy
du
∣∣∣∣
u0
= f ′(u0) = f ′(g(x0)) e
du
dx
∣∣∣∣
x0
= g′(x0). Desta forma,
como y = f(g(x)), a regra da cadeia, na notac¸a˜o de Leibniz, pode ser escrita na forma
dy
dx
∣∣∣∣
x0
=
dy
du
∣∣∣∣
u0
du
dx
∣∣∣∣
x0
.
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Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015-1 81
Ja´ sabemos derivar f(x) = xn, f(x) = x−n, f(x) = x
1
n e f(x) = x−
1
n . Vamos agora
aprender a derivar a func¸a˜o f(x) = xr, onde r e´ um nu´mero racional qualquer.
TEOREMA 8.2.2: Considere a func¸a˜o f(x) = xr, onde r =
m
n
e´ um racional
positivo, onde n e m sa˜o inteiros positivo sem fatores em comum. Enta˜o,
f ′(x) = rxr−1 =
m
n
x
m
n
−1,
para todo x > 0, se n for par, para todo x 6= 0, se n for ı´mpar e m < n e para todo
x ∈ R, se n for ı´mpar e m > n.
Observac¸a˜o 8.2.2: Nos exemplos a seguir, vamos raciocinar da seguinte forma:
(f(g(x))′ = f ′(g(x)) . g′(x)
⇓ ⇓ ⇓
(f(algue´m))′ = f ′(algue´m) . (algue´m)′
Vamos repetir este processo quantas vezes for necessa´rio. So´ iremos encerra´-lo quando
soubermos quem e´ (algue´m)′.
Exemplo 8.2.1: Derive as func¸o˜es abaixo.
(a) f(x) = (x2 − 3x+ 2)37 (b) f(x) = 5√tan x
(c) f(x) = sen 3(x2 + 3x) (d) f(x) =
1√
cos(2x+ 5)
(e) f(x) = sen ( sen ( sen (3x2)) (f) f(x) = sen (tan2( 3
√
3x2 + 5x))
(g) f(x) =
√
x2 +
√
x2 +
√
x2 (h) f(x) = sen 2
(
tan3( 3
√
6x2 + x) +
x− 1
x+ 2
)
(i) f(x) = |x| (j) f(x) = (|x|3 +√x)1/5
Observac¸a˜o 8.2.3: Note que
(|x|)′ =
{ |x|
x
se x 6= 0
6 ∃ se x = 0
Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2015-1 82
Exemplo 8.2.2: Calcule a derivada da func¸a˜o
f(x) =
 x2 sen
(
1
x
)
se x 6= 0
0 se x = 0
Exemplo 8.2.3: Seja h(x) = f(g2(cos 3x+ x)). Sabendo que f e g sa˜o diferencia´veis
e conhecendo a tabela abaixo, calcule h′(0).
x 0 1 2 3 4
f 1/3 1/2 1 2 7
f ′ 5 6/7 3/5 9/4 3
g 2 2 1/2 1 5
g′ 2 3 7 9 12
Exemplo 8.2.4:
a) Mostre que se f e´ uma func¸a˜o par, enta˜o f ′ e´ uma func¸a˜o ı´mpar.
b) Mostre que se f e´ uma func¸a˜o ı´mpar, enta˜o f ′ e´ uma func¸a˜o par.
8.3 Demonstrac¸a˜o da Regra da Cadeia
TEOREMA 8.2.1: (Regra da Cadeia) Se g e´ uma func¸a˜o diferencia´vel em x0 e f
e´ uma func¸a˜o diferencia´vel em g(x0), enta˜o a func¸a˜o f ◦ g e´ diferencia´vel em x0 e
(f ◦ g)′(x0) = f ′(g(x0))g′(x0).
Demonstrac¸a˜o: De acordo com a definic¸a˜o de derivada, precisamos calcular
lim
∆x→0
f(g(x0 +∆x))− f(g(x0))
∆x
= lim
x→x0
f(g(x))− f(g(x0))
x− x0
Para isto, vamos definir a func¸a˜o φ, dada por
φ(u) =

f(u)− f(g(x0))
u− g(x0) se u 6= g(x0), u ∈ Dom(f)
f ′(g(x0)) se u = g(x0)
Como, por hipo´tese, f e´ diferencia´vel em g(x0), observe que
lim
u→g(x0)
φ(u) = lim
u→g(x0)
f(u)− f(g(x0))
u− g(x0) = f
′(g(x0)) = φ(g(x0)),
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de modo que φ e´ uma func¸a˜o cont´ınua em u = g(x0).
Observe que
φ(u) =
f(u)− f(g(x0))
u− g(x0) se u 6= g(x0), u ∈ Dom(f)
⇒ f(u)− f(g(x0)) = φ(u).(u− g(x0)), se u 6= g(x0), u ∈ Dom(f).
Note que a equac¸a˜o acima tambe´m e´ va´lida se u = g(x0). Desta forma, temos que
f(u)− f(g(x0)) = φ(u).(u− g(x0)), se u ∈ Dom(f).
Em particular, se fizermos u = g(x), x ∈ Dom(g), tal que g(x) ∈ Dom(f), na equac¸a˜o
acima, temos que
f(g(x))− f(g(x0)) = φ(g(x)).(g(x)− g(x0)).
Sendo assim, aplicando o resultado anterior ao limite que desejamos calcular, segue
que
lim
x→x0
f(g(x))− f(g(x0))
x− x0 = limx→x0
φ(g(x)).(g(x)− g(x0))
x− x0
= lim
x→x0
φ(g(x)).
(
g(x)− g(x0)
x− x0
)
.
Como g e´ diferencia´vel x0, temos que
lim
x→x0
g(x)− g(x0)
x− x0 = g
′(x0).
Desta forma, utilizando a continuidade de φ em g(x0) e o resultado anterior, temos que
lim
x→x0
f(g(x))− f(g(x0))
x− x0 = limx→x0 φ(g(x)).
(
g(x)− g(x0)
x− x0
)
= f ′(g(x0)).g′(x0).