09 Aproximação Linear

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PARTE 9
APROXIMAC¸A˜O LINEAR
9.1 Aproximac¸a˜o Linear
Seja f : Dom(f) ⊆ R −→ R uma func¸a˜o diferencia´vel em x0 ∈ I ⊆ Dom(f), onde I e´
um intervalo aberto e seja L a func¸a˜o afim dada por
L(x) = f(x0) + f
′(x0)(x− x0).
Observe que o gra´fico de L e´ a reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o f no ponto (x0, f(x0)).
De fato,
Gr(L) = {(x, f(x0) + f ′(x0)(x− x0)) | x ∈ R}
Agora, para cada x ∈ Dom(f), vamos chamar de E(x), o erro que se comete na
aproximac¸a˜o de f(x) por L(x). Isto e´,
f(x) = f(x0) + f
′(x0)(x− x0) + E(x), x ∈ Dom(f),
ou, equivalentemente,
E(x) = f(x)− f(x0)− f ′(x0)(x− x0).
Portanto, para cada x 6= x0, temos que
E(x)
x− x0 =
f(x)− f(x0)
x− x0 − f
′(x0),
de modo que
lim
x→x0
E(x)
x− x0 = limx→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 − f
′(x0) = f ′(x0)− f ′(x0) = 0.
Isto significa que quando x→ x0, o erro E(x) tende a zero mais ra´pido do que a dife-
renc¸a x− x0.
Conclu´ımos, portanto, que se f for deriva´vel em x0, enta˜o a func¸a˜o afim L, dada por
L(x) = f(x0) + f
′(x0)(x− x0)
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e´ a func¸a˜o afim que melhor aproxima a func¸a˜o f numa vizinhanc¸a de x0, no sentido
de que o erro E(x) = f(x) − L(x) tende a zero mais ra´pido do que x − x0, quando x
se aproxima de x0.
De fato, a func¸a˜o
L(x) = f(x0) + f
′(x0)(x− x0),
e´ a u´nica func¸a˜o afim com L(x0) = f(x0) que goza da propriedade de o erro E(x) =
f(x) − L(x) tender a zero mais ra´pido do que x − x0, quando x se aproxima de x0.
Para verificar isto, considere a func¸a˜o afim S, cujo gra´fico conte´m o ponto (x0, f(x0))
e cuja diferenc¸a em relac¸a˜o a f(x), chamada E1(x), e´ tal que lim
x→x0
E1(x)
x− x0 = 0. Como
o gra´fico de S conte´m o ponto (x0, f(x0)), podemos escrever S como
S(x) = f(x0) +m(x− x0).
Ale´m disso, se E1(x) e´ a diferenc¸a entre f(x) e S(x), temos que
E1(x) = f(x)− S(x) = f(x)− f(x0)−m(x− x0), x ∈ Dom(f).
Como, por hipo´tese, lim
x→x0
E1(x)
x− x0 = 0, e´ poss´ıvel mostrar que m = f
′(x). De fato, segue
que
lim
x→x0
E1(x)
x− x0 = limx→x0
f(x)− f(x0)−m(x− x0)
x− x0
= lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 −m
= 0,
de modo que
lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 = m,
o que significa que f e´ diferencia´vel em x0 e que
f ′(x0) = m.
Conclu´ımos, desta forma, que se f bem aproximada por uma func¸a˜o afim, S(x) =
f(x0) +m(x − x0), numa vizinhanc¸a do ponto x0, no sentido de que o erro E1(x) =
f(x)−S(x) tende a zero mais ra´pido do que x−x0, quando x se aproxima de x0, enta˜o
f e´ diferencia´vel em x0, e m fornece a derivada de f em x0.
Em suma, unindo os resultados anteriores, podemos concluir que possuir derivada em
um ponto e possuir uma “boa”aproximac¸a˜o polinomial de primeiro grau numa vizi-
nhanc¸a do ponto sa˜o de fato condic¸o˜es equivalentes. Entenda por “boa”aproximac¸a˜o
que o erro da aproximac¸a˜o vai para zero mais ra´pido do a diferenc¸a entre x e x0, quando
o x se aproxima de x0.
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TEOREMA 9.1.1: f : Dom(f) ⊆ R −→ R e´ diferencia´vel em x0 ∈ I ⊆ Dom(f),
onde I e´ aberto, se e somente se existe m ∈ R tal que
f(x) = f(x0) +m(x− x0) + E(x)
onde,
lim
x→x0
E(x)
x− x0 = 0.
Devido a` equivaleˆncia, esta propriedade pode ser utilizada como definic¸a˜o de derivada.
Inclusive, e´ a definic¸a˜o abaixo que sera´ utilizada na generalizac¸a˜o do conceito de deri-
vada no caso das func¸o˜es de va´rias varia´veis.
Na definic¸a˜o abaixo, para caracterizar que x e´ um ponto numa vizinhanc¸a de x0, vamos
escrever x = x0 + h. Sendo assim, podemos escrever L(x) como
L(x) = L(x0 + h) = f(x0) + f
′(x0)h.
DEFINIC¸A˜O 9.1.1: f : Dom(f) ⊆ R −→ R e´ diferencia´vel em x0 ∈ I ⊆ Dom(f),
I aberto, se existe m ∈ R tal que
f(x0 + h) = f(x0) +mh+ erro(h)
onde,
lim
h→0
erro(h)
h
= 0.
A derivada de f em x0, denotada por f
′(x0) e´ igual a` m.
Observac¸a˜o 9.1.1: Observe que se f e´ diferencia´vel em x0 ∈ I ⊆ Dom(f), I
aberto, enta˜o, para valores de h bem pequenos, f(x0 + h) pode ser bem aproximada
por f(x0) + f
′(x0) · h. Isto e´, se f e´ diferencia´vel em x0 ∈ I ⊆ Dom(f), I aberto,
enta˜o, para valores de h suficientemente pro´ximos de zero,
f(x0 + h) ' f(x0) + f ′(x0) · h.
Vamos utilizar a observac¸a˜o acima para obter aproximac¸o˜es de algumas func¸o˜es.
Exemplo 9.1.1: Use a func¸a˜o f(x) =
√
x para achar um valor aproximado para
√
4, 01
e
√
3, 98.
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Soluc¸a˜o: Neste caso, temos que f(x) =
√
x, f ′(x) =
1
2
√
x
, x0 = 4 e h = 0, 01.
Portanto, √
4, 01 = f(4, 01) = f(4 + 0, 01) ' f(4) + f ′(4)(0, 01)
'
√
4 +
1
2
√
4
(0, 01)
' 2 + 1
4
(0, 01)
' 2 + 0, 25(0, 01)
' 2, 0025.
Resposta dada pelo MapleV:
√
4, 01 = 2, 002498439.
Exemplo 9.1.2: Encontre a melhor aproximac¸a˜o linear da func¸a˜o f(x) = sen (x)
numa vizinhanc¸a da origem e a use achar um valor aproximado para o seno de 0,02
radianos e seno de -0,002 radianos.
Soluc¸a˜o: Neste caso, temos que f(x) = sen (x), f ′(x) = cos(x) e x = 0. Portanto,
sen (0 + h) = f(0 + h) ' f(0) + f ′(0)(h)
' sen (0) + cos(0)(h)
' 0 + h
' h.
Fazendo h = 0, 02, temos que
sen (0, 02) ' 0, 02.
Resposta dada pelo MapleV: sen (0, 02) = 0, 01999866669.
Exemplo 9.1.3: Encontre a melhor aproximac¸a˜o afim da func¸a˜o f(x) =
1
(1 + 2x)4
numa vizinhanc¸a da origem. Use esta aproximac¸a˜o para achar um valor aproximado
para
1
(1 + 2 · 0, 003)4 .
Soluc¸a˜o: Neste caso, temos que f(x) =
1
(1 + 2x)4
, f ′(x) = − 8
(1 + 2x)5
e x = 0.
Portanto,
1
(1 + 2(0 + h))4
= f(0 + h) ' f(0) + f ′(0)(h)
' 1
(1 + 2 · 0)4 +−
8
(1 + 2 · 0)5 (h)
' 1− 8 · h.
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Fazendo h = 0, 003, temos que
1
(1 + 2(0, 003))4
=
1
(1, 006)4
' 1− 8 · 0, 003
' 1− 0, 024
' 0, 976
Resposta dada pelo MapleV:
1
(1 + 2(0, 003))4
= 0, 9763557252.