Resolução da Lista 03

Prévia do material em texto

Resolução da Lista 3 de Cálculo Diferencial e Integral Aplicado I 
Por: Camila Fontoura Paulo 
Orientadora: Cruz Sonia Quiroga de Caldas 
Questão 8 
Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique. 
lim
x� 
��������! "x#$%
x
 
Solução 
Observe que 
��������! "x#$%
x
 é uma forma indeterminada do tipo 		 quando x → . 
Vamos racionalizar o numerador: 
limx→ 
�$!,x!x,! "x#$%
x
 . 
�$!,x!x,# "x#$%
�$!,x!x,# "x#$%
 
= 
��x�	 $ ! ,x ! x,! "x#$%
,
x"��������# 
x#$�%
 
= limx� 
$!,x! x,! x,! ,x!$
x"�$!,x!x,# 
x#$�%
 
= 
����	 �������
x"�$!,x!x,# 
x#$��
 
Quando tomamos o limite quando x → , temos x ≠ . Portanto podemos cancelar o 
fator comum e computar o limite como segue. 
��x� !,x!/�$!,x!x,# 
x#$� = !, 
Questão $5 
Para a função f definida por 
 !�, ! x , se x < $ 
f"x%= ax # b , se $ ≤ x < , 
 |x, – 7x # $,| , se x ≥ , 
Solução 
9 
Resolução da Lista 3 de Cálculo Diferencial e Integral Aplicado I 
Por: Camila Fontoura Paulo 
Orientadora: Cruz Sonia Quiroga de Caldas 
a% Determine os valores de a e b para que f seja contínua em �. 
 Seja p um ponto do interior do domínio de uma função, dizemos que f é 
contínua no ponto p se o limite no ponto p for igual ao valor da função neste ponto, 
sendo que para que o limite no ponto exista é necessário que os limites laterais 
sejam iguais. 
Temos limx�$# 
ax#b�= a#b e limx�$! !�,!x = !$ 
Deste modo, 
 !$ = a # b 
Temos limx�,# |��������� =|limx�,#
���������� = |/!$/#$,| = , e 
lim
x�,! 
ax # b�= ,a # b 
Desse modo, 
 ,a # b = , 
Temos o seguinte sistema: 
a # b = !$ 
,a # b = , 
a = 3 , logo b = ! / 
 
b% Esboce o gráfico de f. 
 !�,!x , se x < $ 
f"x% = 3x ! / , se $ ≤ x < , 
 |x, – 7x # $,| , se x ≥ , 
 
O gráfico de == !�,!x é: 
 
 
 
 
 
 
10 
Resolução da Lista 3 de Cálculo Diferencial e Integral Aplicado I 
Por: Camila Fontoura Paulo 
Orientadora: Cruz Sonia Quiroga de Caldas 
 
 = 
 
 
 
 , x 
 
 
 ��� 
 
 
 
O gráfico de = = 3x – / é: 
 = 
 
 
 
 
 //3 x 
 
 
 !/ 
 
 
O gráfico de = = |x, – 7x # $,| é: 
 = 
 
 
 
 
 
 3 / x 
 
 
 
 
Assim podemos montar o gráfico de f"x%: 
 
 
 
 
11 
Resolução da Lista 3 de Cálculo Diferencial e Integral Aplicado I 
Por: Camila Fontoura Paulo 
Orientadora: Cruz Sonia Quiroga de Caldas 
 = 
 
 , 
 
 
 
 , 3 / x 
 !$ 
 !, 
12