Resolução da Lista 04

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Resolução da Lista 4 de Cálculo Diferencial e Integral Aplicado I 
Por: Camila Fontoura Paulo 
Orientadora: Cruz Sonia Quiroga de Caldas 
 
Questão 18 
Sabendo que para x> 1, f(x) satisfaz (x-1)2 ≤ (x2-1) f(x) ≤ (x+1)2, calcule ���
����
 f(x). 
Solução 
Pelo teorema do confronto, sejam três funções tais que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), 
para todo x ≠ a; se limx�a f�x� = limx�a h(x) = L, então existe limx�a g(x) e também é 
igual a L. 
Temos, 
(x-1)2 ≤ (x2-1) f(x) ≤ (x+1)2 
Como x→+	
podemos supor que x>1. Resulta que x2-1 > 0 podemos dividir 
a desigualdade principal pelo termo x2-1 sem ter que trocar a ordem da 
desigualdade. 
(x-1)
2
�x-1�(x+1)
 ≤ f(x) ≤ 
(x+1)2
�x-1�(x+1)
 
x-1
x+1
 ≤ f(x) ≤ 
x+1
x-1
 
Sabe-se que, 
limx�+7
x-1
x+1
 = limx�+7
x-1+1-1
x+1
 = ���x�+7�
x+1
x+1
 - 2
x+1
) = 1 
limx�+7
x+1
x-1
 = limx�+7
x+1+1-1
x-1
 = limx�+7(
x-1
x-1
+
 2
x-1
� = 1 
 Assim, pode-se afirmar pelo teorema do confronto que, 
���
����
 f(x) = 1 
 
Questão 25 
limx�0
1+tanx- 
1+senx
x:
 
Solução 
Note que 
1+tanx- 
1+senx
x:
 é uma forma indeterminada do tipo �
�
 quando x→0. 
Vamos racionalizar o numerador. 
limx�0
1+tan
x - 
1+sen
x
x:
. 
1+tan
x + 
1+sen
x
1+tan
x + 
1+sen
x
 
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Resolução da Lista 4 de Cálculo Diferencial e Integral Aplicado I 
Por: Camila Fontoura Paulo 
Orientadora: Cruz Sonia Quiroga de Caldas 
 
= limx→0 
1+tan
x-1-sen
x
x:(
1+tan
x+
1+sen
x)
 
=limx→0 
tan
x-sen
x
x:�
1+tan
x+
1+sen
x�
 . cos
x
cos
x
 
�
������
���
�-����
��
����
��
���
�����
��
�����
��� ��� ��
 
�
������
����
����-���
��
���
�����
��
�����
��� ��� ��
 
=limx�0
sen
x
x
. 1-cos
x
x2
. 1
1+tan
x + 
1+sen
x
 .sec
x (1) 
Observa-se que limx�0
1-cosx
x2
 = limx�0
1-cosx
x2
 . 1+cosx
1+cosx
 = limx�0
1-
(cosx)2
x2(1+cosx)
� 
limx�0
(senx)2
x2
 .
 1
1+cosx
 = 1
2
 (2) 
Sabemos que 
limx�0
���
�
�
 = 1 (:) 
Substituindo (2) e (:) em (1) resulta 
limx�0
1+tanx- 
1+senx
x:
 = 1 . �
�
 . �
�
 . 1 = 1
=
 
 
 
 
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