Resolução da Lista 10

Prévia do material em texto

Resolução da Lista 10 de Cálculo Diferencial e Integral Aplicado I 
Por: Camila Fontoura Paulo 
Orientadora: Cruz Sonia Quiroga de Caldas 
 
Questão 1 
Seja f(x)=��� ����, x >0. 
a) Mostre que f tem inversa em (0,�); 
Temos o seguinte teorema: 
Seja I um intervalo não trivial e f: I→� uma função contínua e crescente 
(respectivamente decrescente). Então f possui inversa f-1. 
 
Observe que f ‘(x) = - ��	 � 
�� = - �
�
���
�	 � < 0, � x > 0 
 
Temos então um intervalo (0,�) onde f é contínua e decrescente neste intervalo, 
logo podemos afirmar que f possui inversa. 
 
 
b) Calcule f -1(0) e (f -1)’(0); 
 
Teorema da função inversa: Seja f: I→� uma função derivável e crescente (ou 
decrescente) em um intervalo não trivial I. Se f’(x) ≠ 0 � x � I, então f -1 é derivável 
para cada x � I e (f -1)’(x) = �����������. 
 
Temos f(1) = 0, logo f -1(0) = 1. Aplicando o teorema da função inversa, onde: 
 
(f -1)’(x) = 
�
����������, temos 
 
(f -1)’(0) = 
�
���������� = 
�
����� = -�
�
� 
 
c) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f -1 no ponto (0, f -1(0)). 
 
A equação da reta tangente é: 
 
y = f -1(xo) + (f -1)’(xo) ( x – xo) 
 
y = f -1(0) + (f -1)’(0) ( x – 0) 
 
y = 1 - 
�
� x 
 
4y = 4 –x 
 
4y + x = 4 
25 
Resolução da Lista 10 de Cálculo Diferencial e Integral Aplicado I 
Por: Camila Fontoura Paulo 
Orientadora: Cruz Sonia Quiroga de Caldas 
 
Questão 3 
 
Seja ���� � �� � ��� � � � � ��� � ! ". Se f-1 existir, calcule (f -1)’(x) e esboce os gráficos de f e 
f-1. 
 
Temos f(x) = 1 – x3 , x ≤ 0. Sua função inversa será: 
 
x = 1 – y3 
x – 1 = - y3 
y = #� � �$ 
f-1(x) = #� � �$ 
 
Na função inversa, o seu domínio será a imagem da função primária e a imagem 
será o domínio, logo: 
 
f -1(x) = #� � �$ , x ≥ 1 
 
Logo, (f -1 )’(x) = - �� %��&��	$ , x > 1, já que não está definida em x = 1. 
 
Temos f(x) = 1 – x2 , x > 0. Sua função inversa será: 
 
x = 1 – y2 
x – 1 = -y2 
y = #� � � 
f -1(x) = #� � � , x < 1 
 
Logo, (f -1 )’(x) = - ��#�&� , x < 1. 
 
 - �� %��&��	$ , x > 1 
(f -1)’(x) = 
 - ��#�&� , x < 1 
 
 
 
 
 
 
26 
Resolução da Lista 10 de Cálculo Diferencial e Integral Aplicado I 
Por: Camila Fontoura Paulo 
Orientadora: Cruz Sonia Quiroga de Caldas 
 
 y 
 
 
1 
 
 
 
 1 x 
 
 
 f(x) 
 
 
 
 
 
y 
 
 
 
 1 reta vertical 
 
 1 x 
 f-1(x) 
 
Observe que f -1 tem uma reta vertical no ponto (1,f -1(1)) = (1,0) pois quando x→1+ 
e x→1- temos (f -1)’(x)→ -�. 
27