Resolução dos exercícios curso de análise - Elon Lages Lima.pdf

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Soluc¸o˜es de Exerc´ıcios do Livro
“Curso de Ana´lise”, Volume I,
de Elon Lages Lima
Cleber Fernando Colle,
Edson Jose´ Teixeira,
Ju´lio C. C. da Silva (jcconegundes@gmail.com) e
Rodrigo Carlos Silva de Lima (rodrigo.uff.math@gmail.com)
3 de marc¸o de 2014
Suma´rio
1 Conjuntos e Func¸o˜es 2
Exerc´ıcio 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Exerc´ıcio 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Exerc´ıcio 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Exerc´ıcio 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Exerc´ıcio 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Exerc´ıcio 1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Exerc´ıcio 1.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Exerc´ıcio 1.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Exerc´ıcio 1.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Exerc´ıcio 1.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Exerc´ıcio 1.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Exerc´ıcio 1.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Exerc´ıcio 1.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Exerc´ıcio 1.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Exerc´ıcio 1.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Exerc´ıcio 1.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Exerc´ıcio 1.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Exerc´ıcio 1.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Exerc´ıcio 1.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Exerc´ıcio 1.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Exerc´ıcio 1.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Conjuntos Finitos, Enumera´veis e Na˜o-Enumera´veis 25
Exerc´ıcio 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Exerc´ıcio 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Exerc´ıcio 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Exerc´ıcio 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Exerc´ıcio 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Exerc´ıcio 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Exerc´ıcio 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Exerc´ıcio 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Exerc´ıcio 2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Exerc´ıcio 2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Exerc´ıcio 2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Exerc´ıcio 2.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Exerc´ıcio 2.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Exerc´ıcio 2.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Exerc´ıcio 2.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Exerc´ıcio 2.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Exerc´ıcio 2.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Exerc´ıcio 2.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Exerc´ıcio 2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Exerc´ıcio 2.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Exerc´ıcio 2.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1
Exerc´ıcio 2.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Exerc´ıcio 2.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Exerc´ıcio 2.24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Exerc´ıcio 2.25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Exerc´ıcio 2.26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Exerc´ıcio 2.27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Exerc´ıcio 2.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Exerc´ıcio 2.29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3 Nu´meros Reais 67
Exerc´ıcio 3.01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Exerc´ıcio 3.02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Exerc´ıcio 3.03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Exerc´ıcio 3.04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Exerc´ıcio 3.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Exerc´ıcio 3.06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Exerc´ıcio 3.07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Exerc´ıcio 3.08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Exerc´ıcio 3.09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Exerc´ıcio 3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Exerc´ıcio 3.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Exerc´ıcio 3.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 80
Exerc´ıcio 3.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Exerc´ıcio 3.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Exerc´ıcio 3.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Exerc´ıcio 3.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Exerc´ıcio 3.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Exerc´ıcio 3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Exerc´ıcio 3.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Exerc´ıcio 3.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Exerc´ıcio 3.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Exerc´ıcio 3.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Exerc´ıcio 3.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Exerc´ıcio 3.24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Exerc´ıcio 3.25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Exerc´ıcio 3.26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Exerc´ıcio 3.27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Exerc´ıcio 3.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Exerc´ıcio 3.29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Exerc´ıcio 3.30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Exerc´ıcio 3.31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Exerc´ıcio 3.32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Exerc´ıcio 3.33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Exerc´ıcio 3.31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Exerc´ıcio 3.32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Exerc´ıcio 3.33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Exerc´ıcio 3.34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Exerc´ıcio 3.35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Exerc´ıcio 3.36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Exerc´ıcio 3.37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Exerc´ıcio 3.38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Exerc´ıcio 3.39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Exerc´ıcio 3.40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Exerc´ıcio 3.41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Exerc´ıcio 3.42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Exerc´ıcio 3.43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Exerc´ıcio 3.44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2
Exerc´ıcio 3.45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Exerc´ıcio 3.46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Exerc´ıcio 3.47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Exerc´ıcio 3.48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Exerc´ıcio 3.49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Exerc´ıcio 3.50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Exerc´ıcio 3.51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Exerc´ıcio 3.52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Exerc´ıcio 3.53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Exerc´ıcio 3.54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Exerc´ıcio 3.55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Exerc´ıcio 3.56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Exerc´ıcio 3.57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Exerc´ıcio 3.58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Exerc´ıcio 3.59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Exerc´ıcio 3.60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4 Sequeˆncias e Se´ries de Nu´meros Reais 138
Exerc´ıcio 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Exerc´ıcio 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Exerc´ıcio 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Exerc´ıcio 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Exerc´ıcio 4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Exerc´ıcio 4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Exerc´ıcio 4.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Exerc´ıcio 4.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Exerc´ıcio 4.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Exerc´ıcio 4.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Exerc´ıcio 4.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Exerc´ıcio 4.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Exerc´ıcio 4.11a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 151
Exerc´ıcio 4.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Exerc´ıcio 4.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Exerc´ıcio 4.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Exerc´ıcio 4.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Exerc´ıcio 4.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Exerc´ıcio 4.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Exerc´ıcio 4.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Exerc´ıcio 4.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Exerc´ıcio 4.25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Exerc´ıcio 4.31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Exerc´ıcio 4.33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Exerc´ıcio 4.35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Exerc´ıcio 4.36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Exerc´ıcio 4.40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Exerc´ıcio 4.41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Exerc´ıcio 4.42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Exerc´ıcio 4.43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Exerc´ıcio 4.44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Exerc´ıcio 4.45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Exerc´ıcio 4.46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Exerc´ıcio 4.47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Exerc´ıcio 4.48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Exerc´ıcio 4.49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
3
5 Topologia da Reta 179
Exerc´ıcio 5.01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Exerc´ıcio 5.02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Exerc´ıcio 5.03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Exerc´ıcio 5.04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Exerc´ıcio 5.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Exerc´ıcio 5.06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Exerc´ıcio 5.07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Exerc´ıcio 5.08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Exerc´ıcio 5.09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Exerc´ıcio 5.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Exerc´ıcio 5.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Exerc´ıcio 5.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Exerc´ıcio 5.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Exerc´ıcio 5.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Exerc´ıcio 5.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Exerc´ıcio 5.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Exerc´ıcio 5.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Exerc´ıcio 5.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Exerc´ıcio 5.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Exerc´ıcio 5.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Exerc´ıcio 5.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Exerc´ıcio 5.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
Exerc´ıcio 5.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Exerc´ıcio 5.24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Exerc´ıcio 5.25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Exerc´ıcio 5.26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Exerc´ıcio 5.27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Exerc´ıcio 5.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
Exerc´ıcio 5.29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Exerc´ıcio 5.30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Exerc´ıcio 5.31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
Exerc´ıcio 5.32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Exerc´ıcio 5.33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Exerc´ıcio 5.34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Exerc´ıcio 5.35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Exerc´ıcio 5.36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Exerc´ıcio 5.37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Exerc´ıcio 5.38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Exerc´ıcio 5.39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Exerc´ıcio 5.40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Exerc´ıcio 5.41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .221
Exerc´ıcio 5.42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Exerc´ıcio 5.43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Exerc´ıcio 5.44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Exerc´ıcio 5.45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Exerc´ıcio 5.46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
Exerc´ıcio 5.47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Exerc´ıcio 5.48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
Exerc´ıcio 5.49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Exerc´ıcio 5.50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Exerc´ıcio 5.51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
Exerc´ıcio 5.52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Exerc´ıcio 5.53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Exerc´ıcio 5.54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
Exerc´ıcio 5.55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Exerc´ıcio 5.56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
4
Exerc´ıcio 5.57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Exerc´ıcio 5.58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
Exerc´ıcio 5.59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Exerc´ıcio 5.60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
Exerc´ıcio 5.61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Exerc´ıcio 5.62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
Exerc´ıcio 5.63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
Exerc´ıcio 5.64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
6 Limites de Func¸o˜es 248
Exerc´ıcio 6.01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Exerc´ıcio 6.02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
Exerc´ıcio 6.03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
Exerc´ıcio 6.04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
Exerc´ıcio 6.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Exerc´ıcio 6.06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
Exerc´ıcio 6.07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Exerc´ıcio 6.08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Exerc´ıcio 6.09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Exerc´ıcio 6.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
Exerc´ıcio 6.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
Exerc´ıcio 6.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
Exerc´ıcio 6.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
Exerc´ıcio 6.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
Exerc´ıcio 6.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
Exerc´ıcio 6.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
Exerc´ıcio 6.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Exerc´ıcio 6.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
Exerc´ıcio 6.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Exerc´ıcio 6.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Exerc´ıcio 6.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
Exerc´ıcio 6.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
Exerc´ıcio 6.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
Exerc´ıcio 6.24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
7 Func¸o˜es Cont´ınuas 279
Exerc´ıcio 7.38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
Exerc´ıcio 7.39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
Exerc´ıcio 7.40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
Exerc´ıcio 7.41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
Exerc´ıcio 7.42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
Exerc´ıcio 7.43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
Exerc´ıcio 7.44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
Exerc´ıcio 7.45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
Exerc´ıcio 7.46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
Exerc´ıcio 7.47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
8 Derivadas 299
Exerc´ıcio 8.46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
Exerc´ıcio 8.47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
Exerc´ıcio 8.48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
Exerc´ıcio 8.49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
Exerc´ıcio 8.50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
Exerc´ıcio 8.51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
Exerc´ıcio 8.52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
Exerc´ıcio 8.53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
Exerc´ıcio 8.54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
5
Exerc´ıcio 8.55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
9 Integral de Riemann 311
Exerc´ıcio 9.36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
Exerc´ıcio 9.37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
Exerc´ıcio 9.38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
Exerc´ıcio 9.39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
Exerc´ıcio 9.40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
Exerc´ıcio 9.41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
10 Sequeˆncias e Se´ries de Func¸o˜es 320
Exerc´ıcio 10.44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
Exerc´ıcio 10.45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
Exerc´ıcio 10.46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
Exerc´ıcio 10.47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
Exerc´ıcio 10.48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
Exerc´ıcio 10.49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
Exerc´ıcio 10.50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
Exerc´ıcio 10.51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
Exerc´ıcio 10.52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
Exerc´ıcio 10.53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
6
Cap´ıtulo 1
Conjuntos e Func¸o˜es
7
Exerc´ıcio 1.1:
Dados os conjuntos A e B, seja X um conjunto com as seguintes propriedades:
(1a) X ⊃ A e X ⊃ B,
(2a) Se Y ⊃ A e Y ⊃ B enta˜o Y ⊃ X.
Prove que X = A ∪B.
A inclusa˜o A ∪ B ⊂ X e´ fornecida pela primeira hipo´tese. De fato, se x ∈ A ⊂ X ou x ∈ B ⊂ X (isto e´, se
x ∈ A ∪B) enta˜o x ∈ X.
E a segunda hipo´tese fornece a inclusa˜o A ∪B ⊂ X pois A ∪B ⊃ A e A ∪B ⊃ B.
Portanto, X = A ∪B.
8
Exerc´ıcio 1.2:
Enuncie e prove um resultado, ana´logo ao anterior, caracterizando A ∩B.
Enunciado:
Dados os conjuntos A e B, seja X um conjunto com as seguintes propriedades:
1a X ⊂ A e X ⊂ B,
2a Se Y ⊂ A e Y ⊂ B enta˜o Y ⊂ X.
Prove que X = A ∩B.
Prova:
A inclusa˜o A∩B ⊃ X e´ fornecida pela primeira hipo´tese. De fato, se x ∈ X temos que A ⊃ X 3 x e B ⊃ X 3 x.
Consequentemente, se x ∈ X enta˜o x ∈ A ∩B.
E a segunda hipo´tese fornece a inclusa˜o A ∩B ⊂ X pois A ∩B ⊂ A e A ∩B ⊂ B.
Portanto, X = A ∩B.
9
Exerc´ıcio 1.3:
Sejam A,B ⊂ E. Prove que A ∩ B = ∅ se, e somente se, A ⊂ E\B. Prove tambe´m que A ∪ B = E se, e somente
se, E\A ⊂ B.
• A ∩B = ∅ se e somente se A ⊂ E\B:
Suponhamos que A ∩ B = ∅. Se x ∈ A devemos ter que x pertence a E\B. De fato, como x pertence a A e
A esta´ contido em E, segue que x pertence a B ou E\B. Como A ∩ B = ∅, temos que x /∈ B. Logo, x ∈ E\B.
Assim, A ⊂ E\B.
Consideremos o caso em que A ⊂ E\B. Se existisse x ∈ A∩B ter´ıamos que x ∈ A e x ∈ B. Mas, como A e´ um
subconjunto de E\B, ter´ıamos tambe´m que x ∈ E\B. Um absurdo, pois se x ∈ E\B enta˜o x /∈ B. Desta forma,
concluimos que A ∩B = ∅.
• A ∪B = E se e somente se E\A ⊂ B:
Suponhamos que A ∪ B = E. Se x ∈ E\A devemos ter que x pertence a B. De fato, como x pertence a E e
E = A ∪ B, devemos ter que x ∈ A ou x ∈ B. Ale´m disso, como x ∈ E\A, temos tambe´m que x /∈ A. O que nos
garante que x ∈ B. Logo, E\A ⊂ B.
Consideremos o caso em que E\A ⊂ B. Seja x ∈ E. Segue que, x ∈ A ou x ∈ E\A. Se x ∈ E\A enta˜o x
pertence a B pois E\A esta´ contido em B. Logo, x ∈ A ou x ∈ B. Ou seja, x ∈ A ∪ B. Assim, devemos ter que
E ⊂ A ∪B. E, como A e B esta˜o contidos em E, segue (veja o exercicio 1.1) que E = A ∪B.
10
Exerc´ıcio 1.4:
Dados A,B ⊂ E, prove que A ⊂ B se, e somente se, A ∩ (E\B) = ∅.
Suponhamos que A ⊂ B. Se existisse x ∈ A∩ (E\B) ter´ıamos que x ∈ A e x ∈ E\B. Isto e´, existiria x ∈ E tal
que x ∈ A e x /∈ B. Mas, isto e´ um absurdo, pois, como A ⊂ B, se x ∈ A enta˜o x ∈ B. Portanto, A ∩ (E\B) = ∅.
Consideremos, agora, o caso em que A ∩ (E\B) = ∅. Seja x ∈ A. Como A ⊂ E, temos que x ∈ E. Assim,
x ∈ B ou x ∈ E\B. Logo, x ∈ B pois se x ∈ E\B ter´ıamos que x ∈ A ∩ (E\B) = ∅.
11
Exerc´ıcio 1.5:
Deˆ exemplo de conjuntos A,B,C tais que (A ∪B) ∩ C 6= A ∪ (B ∩ C).
Tome A = {1, 2, 3}, B = {1, 3} e C = {1, 2}. Desta forma, temos
(A ∪B) ∩ C = {1, 2} 6= {1, 2, 3} = A ∪ (B ∩ C).
12
Exerc´ıcio 1.6:
Se A,X ⊂ E sa˜o tais que A ∩X = ∅ e A ∪X = E, prove que X = E\A.
Seja x ∈ X. Uma vez que x /∈ ∅ = A ∩X, temos que x /∈ A. E, como x ∈ X ⊂ E, devemos ter, tambe´m, que
x ∈ E. Logo, x ∈ E\A. Portanto, como x ∈ X e´ arbitra´ro, devemos ter que X ⊂ E\A.
Considere, agora, x ∈ E\A. Segue que x ∈ E e x /∈ A. Como x ∈ E = A ∪ X e x /∈ A, temos que x ∈ X.
Portanto, como x ∈ E\A e´ arbitra´ro, devemos ter que X ⊂ E\A.
13
Exerc´ıcio 1.7:
Se A ⊂ B, enta˜o
B ∩ (A ∪ C) = (B ∩ C) ∪A,
para todo conjunto C. Por outro lado, se existir C de modo que a igualdade acima seja satisfeita, enta˜o A ⊂ B.
Primeiramente, mostremos que se A ⊂ B enta˜o, para qualquer conjunto C, temos
B ∩ (A ∪ C) = (B ∩ C) ∪A.
Seja x ∈ B ∩ (A ∪ C). Assim, x ∈ B e (x ∈ C ou x ∈ A).
• Se x ∈ C temos que x ∈ B ∩ C. Logo, x ∈ (B ∩ C) ∪A.
• Se x ∈ A temos imediatamente que x ∈ (B ∩ C) ∪A.
Segue, em todo caso, que x ∈ (B ∩ C) ∪A. Logo, concluimos que B ∩ (A ∪ C) ⊂ (B ∩ C) ∪A.
Considere, agora, que x ∈ (B ∩ C) ∪A. Assim, x ∈ B ∩ C ou x ∈ A.
• Se x ∈ B ∩ C enta˜o x ∈ B e x ∈ C. Logo, x ∈ B, x ∈ A ∪ C e, consequentemente, x ∈ B ∩ (A ∪ C).
• Se x ∈ A temos que x ∈ B, ja´ que A ⊂ B. Assim, x ∈ B e x ∈ A ⊂ A ∪ C. Logo, x ∈ B ∩ (A ∪ C).
Em ambos os casos, x ∈ B ∩ (A ∪B). Desta forma, tem-se que B ∩ (A ∪ C) ⊃ (B ∩ C) ∪A.
Portanto, se A ⊂ B enta˜o B ∩ (A ∪ C) = (B ∩ C) ∪A, para qualquer conjunto C.
Reciprocamente, suponhamos que exista um conjunto C tal que x ∈ (B ∩ C) ∪A = B ∩ (A ∪ C).
Se x ∈ A temos que x ∈ (B ∩ C) ∪ A. Mas, como (B ∩ C) ∪ A = B ∩ (A ∪ C), devemos ter que x ∈ B. Logo,
conclui-se que A ⊂ B.
14
Exerc´ıcio 1.8:
Suponhamos que A e B sejam subconjuntos de E. Prove que A = B se, e somente se,(
A ∩ (E\B)) ∪ ((E\A) ∩B) = ∅.
Suponhamos que A = B. Neste caso, temos que
E\A = E\B.
Logo,
A ∩ (E\B) = A ∩ (E\A) = ∅
e
B ∩ (E\A) = B ∩ (E\B) = ∅.
Portanto, (
A ∩ (E\B)) ∪ (B ∩ (E\A)) = ∅ ∪ ∅ = ∅.
Reciprocamente, consideremos o caso em que(
A ∩ (E\B)) ∪ (B ∩ (E\A)) = ∅.
Seja x ∈ A. Se supusermos, por absurdo, que x /∈ B teremos que x ∈ A ∩ (E\B) e, consequentemente,
x ∈ (A ∩ (E\B)) ∪ (B ∩ (E\A)) = ∅.
Uma contradic¸a˜o. De modo inteiramente ana´logo e´ imposs´ıvel que x ∈ B e x /∈ A. Portanto, A = B.
15
Exerc´ıcio 1.9:
Prove que
(A\B) ∪ (B\A) = (A ∪B)\(A ∩B).
• (A\B) ∪ (B\A) ⊂ (A ∪B)\(A ∩B)
Seja x ∈ (A\B) ∪ (B\A). Neste caso, x ∈ A\B ou x ∈ B\A. Se x ∈ B\A enta˜o temos que x ∈ A e x /∈ B.
Logo, x ∈ A∪B e x /∈ A∩B, ou seja, x ∈ (A∪B)\(A∩B). Analogamente, x ∈B\A implica x ∈ (A∪B)\(A∩B).
• (A\B) ∪ (B\A) ⊃ (A ∪B)\(A ∩B)
Seja x ∈ (A∪B)\(A∩B). Neste caso, x ∈ A∪B e x /∈ A∩B. Se x ∈ A enta˜o x /∈ B, uma vez que x /∈ A∩B.
Isto e´, se x ∈ A enta˜o x ∈ A\B. Analogamente, se x ∈ B, temos que x ∈ B\A. Portanto, x ∈ (A\B) ∪ (B\A).
16
Exerc´ıcio 1.10:
Para conjuntos A e B, definimos o conjunto
A∆B := (A\B) ∪ (B\A).
Prove que A∆B = A∆C implica que B = C. Examine a validade um resultado ana´logo com ∩, ∪ ou × em vez de
∆.
Suponhamos que A∆B = A∆C.
Mostraremos que os conjuntos B ∩ A e B\A esta˜o contidos em C. Desta forma, como B = (B ∩ A) ∪ (B\A),
concluiremos que B ⊂ C.
Seja x ∈ B∩A. Temos que x /∈ A∆B = (A\B)∪ (B\A), pois x /∈ A\B e x /∈ B\A. Assim, como A∆B = A∆C,
temos que x /∈ A∆C = (A\C) ∪ (C\A) e, consequentemente, x /∈ A\C. Logo, x ∈ C pois x ∈ A e x /∈ A\C. Como
x ∈ B ∩A e´ arbitra´rio, concluimos que B ∩A ⊂ C.
Seja x ∈ B\A. Logo, x ∈ (A\B) ∪ (B\A) = A∆B. E, como A∆B = A∆C, temos que x ∈ A∆C. Sendo
x ∈ A∆C = (A\C) ∪ (C\A), segue que x ∈ A\C ou x /∈ C\A. Assim, ja´ que x /∈ A, devemos ter que x ∈ C\A e,
consequentemente, x ∈ C. Como x ∈ B\A e´ arbitra´rio, concluimos que B\A ⊂ C.
Por fim, como B ∩ A e B\A esta˜o contidos em C, devemos ter que B ⊂ C. E, de forma ana´loga, prova-se que
C ∩A e C\A esta˜o contidos em B. Logo, C ⊂ B. Portanto, supondo que A∆B = A∆C, temos que B = C.
Consideremos agora a validade dos casos ana´logos para ∩, ∪ e × ao inve´s de ∆.
Existem A, B e C tais que
• A ∩B = A ∩ C e B 6= C. Por exemplo: A = {1}, B = {1, 2} e C = {1, 2, 3};
• A ∪B = A ∪ C e B 6= C. Por exemplo: A = {1}, B = {2} e C = {1, 2};
• A×B = A× C e B 6= C. Por exemplo: A = ∅, B = {1} e C = {2}.
17
Exerc´ıcio 1.11:
Prove as seguintes afirmac¸o˜es:
(a) (A ∪B)× C = (A× C) ∪ (B × C);
(b) (A ∩B)× C = (A× C) ∩ (B × C);
(c) (A−B)× C = (A× C)− (B × C);
(d) A ⊂ A′, B ⊂ B′ =⇒ A×B ⊂ A′ ×B′.
(a) Temos que a igualdade (A ∪B)× C = (A× C) ∪ (B × C) e´ va´lida pois
(x, c) ∈ (A ∪B)× C ⇐⇒ x ∈ A ∪B e c ∈ C
⇐⇒ (x ∈ A e c ∈ C) ou (x ∈ B e c ∈ C)
⇐⇒ (x, c) ∈ A× C ou (x, c) ∈ B × C
⇐⇒ (x, c) ∈ (A× C) ∪ (B × C).
(b) Temos que a igualdade (A ∩B)× C = (A× C) ∩ (B × C) e´ va´lida pois
(x, c) ∈ (A ∩B)× C ⇐⇒ x ∈ (A ∩B) e c ∈ C
⇐⇒ (x ∈ A e c ∈ C) e (x ∈ B e c ∈ C)
⇐⇒ (x, c) ∈ A× C e (x, c) ∈ B × C
⇐⇒ (x, c) ∈ (A× C) ∩ (B × C).
(c) Temos que a igualdade (A−B)× C = (A× C)− (B × C) e´ va´lida pois
(x, c) ∈ (A−B)× C ⇐⇒ x ∈ A−B e c ∈ C
⇐⇒ (x ∈ A e c ∈ C) e (x /∈ B e c ∈ C)
⇐⇒ (x, c) ∈ A× C e (x, c) /∈ B × C
⇐⇒ (x, c) ∈ (A× C)− (B × C).
(d) Seja (a, b) ∈ A × B. Enta˜o, a ∈ A′ e b ∈ B′ pois A ⊂ A′ e B ⊂ B′. Logo, (a, b) ∈ A′ × B′. Portanto,
concluimos que A×B ⊂ A′ ×B′.
18
Exerc´ıcio 1.12:
Dada uma func¸a˜o f : A→ B:
(a) Prove que se tem f(X\Y ) ⊃ f(X)\f(Y ), sejam quais forem os subconjuntos X e Y de A;
(b) Mostre que se f for injetora enta˜o f(X\Y ) = f(X)\f(Y ) para quaisquer X e Y contidos em A.
(a)
Suponhamos que z ∈ f(X)\f(Y ). Desta forma, temos que z ∈ f(X) e, consequentemente, existe x ∈ X tal
que f(x) = z. Como z /∈ f(Y ) e z = f(x), devemos ter que x /∈ Y . Logo, x ∈ X\Y . Assim, concluimos que
z = f(x) ∈ f(X\Y ).
Portanto, devemos ter que f(X\Y ) ⊂ f(X)\f(Y ).
(b)
Pelo item (a), temos que f(X\Y ) ⊂ f(X)\f(Y ). Logo, basta verificarmos que f(X\Y ) ⊃ f(X)\f(Y ).
Seja z ∈ f(X\Y ). Enta˜o, podemos escolher x ∈ X\Y tal que f(x) = z. Assim, z = f(x) ∈ f(X) pois x ∈ X.
Por outro lado, como f e´ injetivo, f(x) = z e x /∈ Y , nenhum y ∈ Y e´ tal que f(y) = z. Logo, z /∈ f(Y ). Portanto,
z ∈ f(X)\f(Y ).
Com isso, concluimos que f(X\Y ) = f(X)\f(Y ).
19
Exerc´ıcio 1.13:
Mostre que a func¸a˜o f : A→ B e´ injetora se, e somente se, f(A\X) = f(A)\f(X) para todo X ⊂ A.
Se f : A→ B e´ injetiva, pelo item (b) do exerc´ıcio 1.12, a igualdade f(A\X) = f(A)\f(X) e´ va´lida para todo
X ⊂ A.
Suponhamos que a igualdade f(A\X) = f(A)\f(X) seja va´lida para todo X ⊂ A. Seja a ∈ A e denotemos por
b o elemento f(a) ∈ B. Assim,
b /∈ f(A\{a}) = f(A)\f({a}).
Logo, na˜o existe a′ ∈ A\{a} tal que f(a′) = b = f(a). Desta forma, como a ∈ A e´ arbitra´rio, concluimos que f e´
injetivo.
20
Exerc´ıcio 1.14:
Dada a func¸a˜o f : A→ B, prove que:
(a) f−1(f(X)) ⊃ X para todo X ⊂ A;
(b) f e´ injetora se, e somente se, f−1(f(X)) = X para todo X ⊂ A.
(a)
Se x ∈ X enta˜o x ∈ f−1(f(X)) pois f(x) ∈ f(X). Assim, devemos ter que f−1(f(X)) ⊃ X.
(b)
Suponhamos que f e´ injetora e fixemos X ⊂ A. Provaremos que f−1(f(X)) ⊂ X e concluiremos, pelo item
(a), que f−1(f(X)) = X. Desta forma, podemos concluir que se f e´ injetora enta˜o f−1(f(X)) = X, para qualquer
X ⊂ A.
Seja y ∈ f−1(f(X)). Segue que f(y) ∈ f(X). Assim, existe x ∈ X tal que f(x) = f(y). Sendo f injetiva,
conclui-se que y = x ∈ X. Portanto, como y ∈ f−1(f(X)) e´ arbitra´rio, temos que f−1(f(X)) ⊂ X.
Suponhamos, por outro lado, que f seja tal que f−1(f(X)) = X, para qualquer X ⊂ A. Sejam x e y ∈ A
tais que f(x) = f(y). Neste caso, temos que f({x}) = f({x, y}). Assim, f−1(f({x})) = f−1(f({x, y})) e, pela
hipo´tese,
{x} = f−1(f({x})) = f−1(f({x, y})) = {x, y}.
Desta forma, y ∈ {x} e, consequentemente, x = y. Com isso, concluimos que se x e y ∈ A sa˜o tais que f(x) = f(y)
enta˜o x = y. Portanto, f e´ injetiva.
21
Exerc´ıcio 1.15:
Dada f : A→ B, prove:
(a) Para todo Z ⊂ B, tem-se que f(f−1(Z)) ⊂ Z;
(b) f e´ sobrejetora se, e somente se, f(f−1(Z)) = Z para todo Z ⊂ B.
(a)
Seja z ∈ f(f−1(Z)). Existe x ∈ f−1(Z) tal que f(x) = z. Assim, como x ∈ f−1(Z), z = f(x) ∈ Z.
Portanto, podemos concluir que f(f−1(Z)) ⊂ Z.
(b)
Suponhamos que f seja sobrejetora. Provaremos, para um Z ⊂ B arbitra´rio, que f(f−1(Z)) = Z.
Pelo item (a), temos que f(f−1(Z)) ⊂ Z.
Seja z ∈ Z. Como f e´ sobrejetiva, existe x ∈ A tal que z = f(x). Desta forma, como f(x) = z ∈ Z, segue que
x ∈ f−1(Z). Logo, z = f(x) ∈ f(f−1(Z)).
Desta forma, concluimos que f(f−1(Z)) ⊃ Z.
Portanto, devemos ter que f(f−1(Z)) = Z.
Suponhamos, por outro lado, que f(f−1(Z)) = Z, para todo Z ⊂ B.
Seja z ∈ B. Definindo Z = {z}, temos que
f(f−1(Z)) = Z = {z}.
Desta forma, temos que z ∈ f(f−1(Z)). Assim, existe x ∈ f−1(Z) ⊂ A tal que f(x) = z.
Portanto, neste caso, f e´ sobrejetiva.
22
Exerc´ıcio 1.16:
Dada uma famı´lia de conjuntos (Aλ)λ∈L, seja X um conjunto com as seguintes propriedades:
(1a) Para todo λ ∈ L, tem-se X ⊃ Aλ;
(2a) Se Y ⊃ Aλ, para todo λ ∈ L, enta˜o Y ⊃ X.
Prove que, nestas condic¸o˜es, tem-se X =
⋃
λ∈L
Aλ.
Pela primeira condic¸a˜o, temos que X ⊃ Aλ para cada λ ∈ L. Assim,
⋃
λ∈L
Aλ ⊂ X pois cada x ∈
⋃
λ∈L
Aλ pertence
a Aλ ⊂ X, para algum λ ∈ L.
O conjunto
⋃
λ∈L
Aλ e´ tal que
⋃
λ∈L
Aλ ⊃ Aλ, para todo λ ∈ L. Logo, pela segunda condic¸a˜o,
⋃
λ∈L
Aλ ⊃ X.
Portanto, X =
⋃
λ∈L
Aλ.
23
Exerc´ıcio 1.17:
Enuncie e demonstre um resultado ana´logo ao anterior, caracterizando
⋂
λ∈L
Aλ.
Enunciado: Dada uma famı´lia de conjuntos (Aλ)λ∈L, seja X um conjunto com as seguintes propriedades:
(1a) Para todo λ ∈ L, tem-se X ⊂ Aλ;
(2a) Se Y ⊂ Aλ para todo λ ∈ L, enta˜o Y ⊂ X.
Nestas condic¸o˜es, tem-se X =
⋂
λ∈L
Aλ.
Demonstrac¸a˜o:
Todo elemento x de X pertence a
⋂
λ∈L
Aλ pois x ∈ X ⊂ Aλ, pela primeira hipo´tese sobre X. Logo,
⋂
λ∈L
Aλ ⊃ X.
O conjunto
⋂
λ∈L
Aλ e´ tal que
⋂
λ∈L
Aλ ⊂ Aλ, para todo λ ∈ L. Assim, pela segunda hipo´tese sobre X,
⋂
λ∈L
Aλ ⊂ X.
Portanto, X =
⋂
λ∈L
Aλ.
24
Exerc´ıcio 1.18:
Seja f : P(A) −→ P(A) uma func¸a˜o tal que X ⊂ Y =⇒ f(Y ) ⊂ f(X) e f(f(X)) = X. Prove que f(∪Xλ) = ∩f(Xλ)
e f(∩Xλ) = ∪f(Xλ).[Aqui X,Y e cada Xλ sa˜o subconjuntos de A].
Fac¸amos cada inclusa˜o separadamente.
(i) f (
⋃
Xλ) ⊂
⋂
f (Xλ)
Como ∪Xλ ⊃ Xλ, para todo λ, temos por hipo´tese que f(∪Xλ) ⊂ f(Xλ), para todo λ. Da´ı, f(∪Xλ) ⊂ ∩f(Xλ).
(ii) f (
⋃
Xλ) ⊃
⋂
f(Xλ)
Por (ii), temos que f(∩f(Xλ)) ⊃ ∪f(f(Xλ)) = ∪Xλ. Da´ı, f(f(∩f(Xλ))) ⊂ f(∪Xλ).Logo, ∩f(Xλ) ⊂ f(∪Xλ).
(iii) f (
⋂
Xλ) ⊃
⋃
f (Xλ)
Como ∩Xλ ⊂ Xλ, para todo λ, temos por hipo´tese que f(∩Xλ) ⊃ f(Xλ), para todo λ. Da´ı, f(∩Xλ) ⊃ ∪f(Xλ).
(iv) f (
⋂
Xλ) ⊂
⋃
f (Xλ)
Por (i), temos que f(∪f(Xλ)) ⊂ ∩f(f(Xλ)) = ∩Xλ. Da´ı, f(f(∪f(Xλ))) ⊃ f(∩Xλ). Logo, ∪f(Xλ) ⊃ f(∩Xλ).
De (i) e (ii), temos que f(∪Xλ) = ∩f(Xλ) e de (iii) e (iv), temos f(∩Xλ) = ∪f(Xλ).
25
Exerc´ıcio 1.19:
Dadas as famı´lias (Aλ)λ∈L e (Bµ)µ∈M , forme duas famı´lias com ı´ndices em L×M considerando os conjuntos
(Aλ ∪Bµ)(λ,µ)∈L×M e (Aλ ∩Bmu)(λ,µ)∈L×M .
Prove que se tem (⋃
λ∈L
Aλ
)
∩
 ⋃
µ∈M
Bµ
 = ⋃
(λ,µ)∈L×M
(Aλ ∩Bµ),
(⋂
λ∈L
Aλ
)
∪
 ⋂
µ∈M
Bµ
 = ⋂
(λ,µ)∈L×M
(Aλ ∪Bµ).
Primeiramente provemos que(⋃
λ∈L
Aλ
)
∩
 ⋃
µ∈M
Bµ
 = ⋃
(λ,µ)∈L×M
(Aλ ∩Bµ).
Como ⋃
λ∈L
Aλ ⊃ Aλ ⊃ Aλ ∩Bµ,
para todo (λ, µ) ∈ L×M, temos que ⋃
λ∈L
Aλ ⊃
⋃
(λ,µ)∈L×M
(Aλ ∩Bµ).
Analogamente, mostra-se que ⋃
µ∈M
Bµ ⊃
⋃
(λ,µ)∈L×M
(Aλ ∩Bµ).
Assim, segue que (⋃
λ∈L
Aλ
)
∩
 ⋃
µ∈M
Bµ
 ⊃ ⋃
(λ,µ)∈L×M
(Aλ ∩Bµ) .
Seja x ∈ (∪λ∈LAλ) ∩ (∪µ∈MBµ). Desta forma, x ∈ ∪λ∈LAλ e x ∈ ∪µ∈MBµ. Assim, existem λ ∈ L e µ ∈ M
tais que x ∈ Aλ e x ∈ Bµ. Logo,
x ∈ Aλ ∩Bµ ⊂
⋃
(λ,µ)∈L×M
(Aλ ∩Bµ) .
Com isso, podemos concluir que(⋃
λ∈L
Aλ
)
∩
 ⋃
µ∈M
Bµ
 ⊂ ⋃
(λ,µ)∈L×M
(Aλ ∩Bµ) .
Mostremos agora que (⋂
λ∈L
Aλ
)
∪
 ⋂
µ∈M
Bµ
 = ⋂
(λ,µ)∈L×M
(Aλ ∪Bµ).
Como
(Aλ ∪Bµ) ⊃ Aλ ⊃
⋂
λ∈L
Aλ,
para todo (λ, µ) ∈ L×M , temos que ⋂
(λ,µ)∈L×M
(Aλ ∪Bµ) ⊃
⋂
λ∈L
Aλ.
26
Analogamente, mostra-se que ⋂
(λ,µ)∈L×M
(Aλ ∪Bµ) ⊃
⋂
µ∈M
Bµ.
Assim, segue que ⋂
(λ,µ)∈L×M
(Aλ ∪Bµ) ⊃
(⋂
λ∈L
Aλ
)
∪
 ⋂
µ∈M
Bµ
 .
Seja x ∈ ∩(λ,µ)∈L×M (Aλ∪Bµ). Suponhamos, por absurdo, que x /∈ (∩λ∈LAλ)∪(∩µ∈MBµ). Enta˜o, x /∈ ∩λ∈LAλ
e x /∈ ∩µ∈MBµ. Assim, existem λ ∈ L e µ ∈M tais que x /∈ Aλ e x /∈ Bµ. Com igual raza˜o, existe (λ, µ) ∈ L×M tal
que x /∈ Aλ∪Bµ. Um absurdo, pois como Aλ∪Bµ ⊂ ∩(λ,µ)∈L×M (Aλ∪Bµ), ter´ıamos que x /∈ ∩(λ,µ)∈L×M (Aλ∪Bµ).
Logo, devemos ter que x ∈ (∩λ∈LAλ) ∪ (∩µ∈MBµ). Com isso, concluimos que
⋂
(λ,µ)∈L×M
(Aλ ∪Bµ) ⊂
(⋂
λ∈L
Aλ
)
∪
 ⋂
µ∈M
Bµ
 .
27
Exerc´ıcio 1.20:
Seja (Aij)(i,j)∈N×N uma famı´lia de subconjuntos com ı´ndices em N× N. Prove, ou disprove por contra-exemplo, a
igualdade
∞⋃
j=1
( ∞⋂
i=1
Aij
)
=
∞⋂
i=1
 ∞⋃
j=1
Aij
 .
A igualdade e´ falsa em geral. De fato, tomando-se
Aij :=
{ {1}, se i = j,
∅, se i 6= j,
temos que
∞⋃
j=1
( ∞⋂
i=1
Aij
)
=
∞⋃
j=1
(∅) = ∅
e
∞⋂
i=1
 ∞⋃
j=1
Aij
 = ∞⋂
i=1
({1}) = {1}.
28
Exerc´ıcio 1.21:
Dados os conjuntos A,B,C, estabelec¸a uma bijec¸a˜o entre F(A×B;C) e F(A;F(B;C)).
Seja f : A × B → C. Podemos definir uma func¸a˜o ϕf : A → F(B;C) definindo ϕf (a) : B → C como sendo a
func¸a˜o dada por (
ϕf (a)
)
(b) := f(a, b),
para todo b ∈ B. Verificaremos que a func¸a˜o ϕ : F(A×B;C)→ F(A;F(B;C)), dada por
ϕ(f) := ϕf ,
para cada f ∈ F(A×B;C), e´ uma bijec¸a˜o.
Suponhamos que f e g ∈ F(A×B;C) sejam tais que ϕ(f) = ϕ(g). Assim, ϕf = ϕg. Logo, dado (a, b) ∈ A×B,
temos que
ϕf (a) = ϕg(a)
e, consequentemente,
f(a, b) =
(
ϕf (a)
)
(b) =
(
ϕg(b)
)
(b) = g(a, b).
Portanto, f = g. Com isso, concluimos que ϕ e´ injetiva.
Seja ψ : A→ F(B;C). Podemos definir uma func¸a˜o f : A×B → C por
f(a, b) :=
(
ψ(a)
)
(b),
para todo (a, b) ∈ A×B. Seja a ∈ A. Temos que(
ϕf (a)
)
(b) = f(a, b) =
(
ψ(a)
)
(b),
para todo b ∈ B. Desta forma ϕf (a) = ψ(a). Portanto, como a e´ arbitra´rio, conclu´ımos que ϕf = ψ. Com isso,
concluimos que ϕ e´ sobrejetiva.
Portanto, ϕ : F(A×B;C)→ F(A;F(B;C)) e´ uma bijec¸a˜o como quer´ıamos demonstrar.
29
Cap´ıtulo 2
Conjuntos Finitos, Enumera´veis e
Na˜o-Enumera´veis
30
Exerc´ıcio 2.1:
Prove que, na presenc¸a dos axiomas P1 e P2, o axioma A abaixo e´ equivalente a P3:
A : Para todo subconjunto na˜o-vazio X ⊂ N, tem-se X\s(X) 6= ∅.
Relembremos as propriedades:
P1 : s : N→ N e´ injetora;
P2 : N\s(N) = {1};
P3 : Se X ⊂ N e´ tal que 1 ∈ X e, para todo n ∈ X, s(n) ∈ X, enta˜o X = N.
Suponhamos que as afirmac¸o˜es P1, P2 e P3 sejam va´lidos. Concluiremos que o axioma A e´ valido mostrando que
se X ⊂ N e´ tal que X\s(X) = ∅ enta˜o X = ∅. Equivalentemente, se X ⊂ s(X) enta˜o N\X = N. Primeiramente,
temos que 1 ∈ N\X, pois, caso contra´rio, 1 ∈ s(N) ja´ que
X ⊂ s(X) ⊂ s(N),
contradizendo P2. Por P1,
s(N\X) = s(N)\s(X) ⊃ s(N)\X.
Desta forma, se n ∈ N\X enta˜o s(n) /∈ X e, consequentemente, s(n) ∈ N\X. Assim, por P3, concluimos que
N\X = N.
Reciprocamente, suponhamos que os axiomas P1, P2 e A sejam va´lidos. Seja X ⊂ N tal que 1 ∈ X e, para
todo n ∈ X, s(n) ∈ X. Provaremos que X = N e concluiremos da´ı que P3 e´ va´lido. Suponhamos por absurdo que
N\X 6= ∅. Por A, segue que existe
n ∈ (N\X)\s(N\X).
Como 1 /∈ N\X, devemos ter que n 6= 1 e, por P2, existe m ∈ N tal que
s(m) = n.
Por P1, m /∈ N\X ja´ que s(m) = n /∈ s(N\X). Assim, m ∈ X e s(m) = n /∈ X, contradizendo a hipo´tese sobre X.
31
Exerc´ıcio 2.2:
Dados os nu´meros naturais a e b, prove que existe um nu´mero natural m tal que m · a > b.
Se a = 1, basta tomar m = b+ 1, pois
1(b+ 1) = b+ 1 > b.
Se a 6= 1 enta˜o a > 1 ja´ que a ∈ Z+. Assim, pela monoticidade da multiplicac¸a˜o em Z+,
ba > b.
Logo, para m := b, temos que ma > b.
32
Exerc´ıcio 2.3:
Seja a um nu´mero natural. Se um conjunto X e´ tal que a ∈ X e, ale´m disso, n ∈ X ⇒ n+ 1 ∈ X, enta˜o X conte´m
todos os nu´meros naturais ≥ a.
Seja
A := {k ∈ Z+ : a+ k ∈ X}.
Pela definic¸a˜o da relac¸a˜o 6 em Z+, b > a se e somente se b = a+k para algum k ∈ Z>0. Desta forma, provando
que A = Z+ podemos concluir que X conte´m todos os nu´meros naturais > a.
Como a ∈ X, temos, pela propriedade de X, que a+ 1 ∈ X. Logo, 1 ∈ A.
Suponhamos que k ∈ A. Pela definic¸a˜o de A, isto implica que a+ k ∈ X. Assim pela propriedade de X, temos
que a+ k + 1 ∈ X. Logo, k + 1 ∈ A.
Portanto, pelo PIF, segue que A = Z+.
33
Exerc´ıcio 2.4:
Tente descobrir, independentemente, algumas das demonstrac¸o˜es omitidas no texto.
Associatividade: m+ (n+ p) = (m+ n) + p.
Provada no livro.
Comutatividade: m+ n = n+m.
Primeiramente mostraremos que
m+ 1 = 1 +m,
para todo m ∈ Z+. O caso em que m = 1 e´ tautolo´gico. Supondo, como hipo´tese de induc¸a˜o, que
m+ 1 = 1 +m
para algum m ∈ Z+, segue que
s(m) + 1 = s(s(m)) = s(m+ 1) = s(1 +m) = 1 + s(m).
Assim, pelo PIF, temos que m+ 1 = 1 +m, para todo m ∈ Z+.
Por fim, provaremos, para m ∈ Z+ arbitra´rio e por induc¸a˜o em n ∈ Z+, que
m+ n = n+m.
O caso n = 1 foi provado no para´grafo anterior. Supondo, como hipo´tese de induc¸a˜o, que
m+ n = n+m
para algum n ∈ Z+, segue que
m+ s(n) = s(m+ n) = s(n+m)
= n+ s(m) = n+ (m+ 1)
= n+ (1 +m) = (n+ 1) +m
= s(n) +m.
E o resultado segue pelo PIF.
Lei do Corte: m+ n = m+ p⇒ n = p.
Sejam n e p ∈ Z+. Provaremos, por induc¸a˜o em m ∈ Z+, que se m+ n = m+ p enta˜o n = p.
O caso em que m = 1 resume-se a` injetividade da func¸a˜o s : Z+ → Z+. Isto e´, como
s(n) = n+ 1 = 1 + n = 1 + p = p+ 1 = s(p),
temos que
n = p.
Suponhamos, como hipo´tese de induc¸a˜o, que m+n = m+p implique que n = p. Assim, se s(m)+n = s(m)+p
enta˜o
s(m+ n) = s(n+m) = n+ s(m)
= s(m) + n = s(m) + p
= p+ s(m) = s(p+m)
= s(m+ p).
Assim, se s(m) + n = s(m) + p temos, novamente pela injetividade de s : Z+ → Z+, que m + n = m + p e, pela
hipo´tese de induc¸a˜o, n = p.
E o resultado segue pelo PIF.
Tricotomia: Dados m e n ∈ Z+, exatamente uma das treˆs alternativas seguintes podem ocorrer: ou m = n,
ou existe p ∈ Z+ tal que m = n+ p, ou, enta˜o, existe q ∈ Z+ com n = m+ q.
Dizemos que (m,n) ∈ Z+×Z+ satisfaz a condic¸a˜o C se exatamente uma das exatamente uma das treˆs alterna-tivas ocorre:
34
• m = n;
• m = n+ p, para algum p ∈ Z+;
• n = m+ q, para algum q ∈ Z+.
Seja X o subconjunto de Z+ × Z+ definido por
T := {(m,n) ∈ Z+ × Z+ : (m,n) satisfaz C}.
Observemos que, como
T =
⋃
m∈Z+
{m} × Tm,
onde
Tm := {n ∈ Z+ : (m,n) satisfaz C},
mostrando que
Tm = Z+,
para cada m ∈ Z+, podemos concluir que
T =
⋃
m∈Z+
{m} × Tm =
⋃
m∈Z+
{m} × Z+ = Z+ × Z+.
Portanto, concluimos a Lei da Tricotomia.
Procederemos com a demonstrac¸a˜o de que Tm = Z+ por induc¸a˜o em m ∈ Z+.
Consideremos o caso em que m = 1. Se n = 1 temos que n = m. Ale´m disso, como 1 /∈ s(Z), segue que
m = 1 6= sp(n) = n+ p
e
n = 1 6= sq(m) = m+ q,
para todos p e q ∈ Z+. Logo, (1, 1) satisfaz a condic¸a˜o C e, consequentemente, 1 ∈ T1. Supondo que n ∈ T1, como
na˜o se pode ter que 1 = m+ q = sq(m) ja´ que 1 /∈ s(Z+), temos que exatamente uma das duas alternativas ocorre:
• n = 1 e, equivalentemente, s(n) = 1 + 1;
• n = 1 + q e, equivalentemente, s(n) = s(1 + q) = 1 + s(q).
Logo, se n ∈ T1 enta˜o s(n) ∈ T1. Com isso, concluimos, pelo PIF, que T1 = Z+.
Suponhamos, como hipo´tese de induc¸a˜o, que Tm = Z+. Provaremos que Ts(m) = Z+.
Como X1 = Z+, temos imediatamente que (1, s(m)) satisfaz a condic¸a˜o C e, consequentemente, (s(m), 1)
satisfaz a condic¸a˜o C. Logo, 1 ∈ Ts(m). Supondo que n ∈ Ts(m), temos que exatamente uma das treˆs alternativas
ocorrem:
• n = s(m): Neste caso, s(n) = s(s(m)) = s(m) + 1;
• n = s(m) + q, para algum q ∈ Z+: Neste caso, s(n) = s(s(m) + q) = s(m) + s(q);
• s(m) = n+ p, para algum p ∈ Z+: Neste caso, se p = 1 enta˜o s(m) = s(n). E, se p ∈ Z+\{1} = s(Z+), existe
p˜Z+ tal que p = s(p˜), e assim
s(m) = n+ p = n+ s(p˜) = n+ (1 + p˜) = (n+ 1) + p˜ = s(n) + p˜.
Assim, se n ∈ Ts(m), temos que exatamente uma das treˆs alternativas ocorrem:
• s(n) = s(m) (no caso em que n = s(m));
• s(n) = s(m) + q˜ (no caso em que n = s(m) ou n = s(m) + q, onde q˜ = s(q));
• s(m) = s(n) + p˜ (no caso em que s(m) = n+ p, onde p = s(p˜)).
35
Logo, se n ∈ Ts(m) enta˜o s(n) ∈ Ts(m). Com isso, concluimos, pelo PIF, que Ts(m) = Z+.
Portanto, Xm = Z+, para todo m ∈ Z+.
Transitividade: se m < n e n < p enta˜o m < p.
Se, para m, n e p ∈ Z+, tivermos que m < n e n < p enta˜o existem r e s ∈ Z+ tais que
m+ r = n
e
n+ s = p.
Desta forma,
p = n+ s = (m+ r) + s = m+ (r + s).
Logo,
m < p.
Tricotomia: dados m e n ∈ Z+ exatamente uma das alternativas seguintes pode ocorrer: ou m = n, ou m < n
ou n < m.
Sejam m e n ∈ Z+. Segundo a tricotomia da adic¸a˜o (provada acima), exatamente uma das treˆs condic¸o˜es e´
va´lida: ou m = n; ou existe p ∈ Z+ tal que m = n+ p e, portanto, m > n; ou existe q ∈ Z+ tal que n = m+ q e,
portanto, m < n.
Monoticidade da adic¸a˜o: se m < n enta˜o, para todo p ∈ Z+, tem-se m+ p < n+ p.
Provada no livro.
Associatividade: m · (n · p) = (m · n) · p.
Provada no livro.
Comutatividade: m · n = n ·m.
Primeiramente, provaremos que m · 1 = 1 ·m, para todo m ∈ Z+. Depois, supondo, como hipo´tese de induc¸a˜o,
que n ∈ Z+ e´ tal que m · n = n ·m, para todo m ∈ Z+, provaremos que n+ 1 e´ tal que m · (n+ 1) = (n+ 1) ·m.
Como isso, o resultado segue pelo Princ´ıpio da Induc¸a˜o Finita.
Provaremos a igualdade m · 1 = 1 ·m por induc¸a˜o em m ∈ Z+. Para m = 1 a igualdade e´ trivial. Suponhamos,
como hipo´tese de induc¸a˜o, que m · 1 = 1 ·m, para algum m ∈ Z+. Desta forma, temos que
(m+ 1) · 1 = m+ 1 = m · 1 + 1 = 1 ·m+ 1 = 1 · (m+ 1).
Logo, pelo PIF, a igualdade e´ va´lida.
Suponhamos que n ∈ Z+ seja tal que m · n = n ·m, para todo m ∈ Z+. Mostraremos, por induc¸a˜o em m, que
m · (n+ 1) = (n+ 1) ·m, para todo m ∈ Z+. Para m = 1, o resultado segue do para´grafo anterior. E, supondo que
m · (n+ 1) = (n+ 1) ·m, temos que
(m+ 1) · (n+ 1) = (m+ 1) · n+ (m+ 1)
= n · (m+ 1) + (m+ 1)
= n ·m+ n+m+ 1
= m · n+m+ n+ 1
= m · (n+ 1) + (n+ 1)
= (n+ 1) ·m+ (n+ 1)
= (n+ 1) · (m+ 1).
E temos o resultado.
Distributividade: m(n+ p) = m · n+m · p.
36
Provada no livro.
Lei do Corte: m · p = n · p⇒ m = n.
Suponhamos que m, n e p ∈ Z+ sa˜o tais que
m · p = n · p.
Pela tricotomia, exatamente uma das treˆs condic¸o˜es e´ satisfeita: ou m = n+ q, para algum q ∈ Z+; ou m = n+ q,
m = n + q, para algum q ∈ Z+; ou m = n. Provaremos que as duas primeiras condic¸o˜es na˜o sa˜o poss´ıveis e, com
isso, teremos o resultado.
Suponhamos que m = n+ q, para algum q ∈ Z+. Segue que
n · p = m · p = (n+ q) · p = p · (n+ q) = p · n+ p · q = n · p+ p · q.
Contradizendo a tricotomia.
De forma ana´loga, na˜o podemos ter n = m+ q, para algum q ∈ Z+.
Monoticidade: m < n⇒ m · p < n · p.
Sejam n e m ∈ Z+ tais que
m < n.
Provaremos que
m · p < n · p,
para todo p ∈ Z+, por induc¸a˜o em p.
Para p = 1, a desigualdade e´ imediata.
Suponhamos, como hipo´tese de induc¸a˜o, que m · p < n · p, para um certo p ∈ Z+. Como m < n, existe q ∈ Z+
tal que
n = m+ q.
Assim,
n · (p+ 1) = (m+ q) · (p+ 1) = (p+ 1) · (m+ q) = (p+ 1) ·m+ (p+ 1) · q = m · (p+ 1) + (p+ 1) · q.
e, consequentemente,
n · (p+ 1) < m · (p+ 1).
E o resultado segue, como quer´ıamos, pelo PIF.
37
Exerc´ıcio 2.5:
Um elemento a ∈ Z+ chama-se antecessor de b ∈ Z quando se tem a < b mas na˜o existe c ∈ Z+ tal que a < c < b.
Prove que, exceto 1, todo nu´mero natural possui um antecessor.
Seja x ∈ Z+\{1}. Mostraremos que x possui um antecesor.
Pelo axioma de Peano P2, x = s(y) = y + 1 para algum y ∈ Z+. Logo, y < x.
Suponhamos que z ∈ Z+ e´ tal que z < x. Mostraremos que z 6 y. Temos que
x = z + n,
para algum n ∈ Z+. Se n = 1 temos que
y + 1 = x = z + 1
e, consequentemente, pela Lei do Corte, y = z. Se n ∈ Z+\{1} enta˜o, novamente pelo axioma de Peano P2, existe
m ∈ Z+ tal que n = s(m). Assim,
s(y) = x = z + n = z + s(m) = s(z +m)
e, pela injetividade da func¸a˜o s (axioma de Peano P1),
y = z +m.
Logo, z < y.
Portanto, y e´ um antecessor de x.
38
Exerc´ıcio 2.6:
Use induc¸a˜o para demonstrar os seguintes fatos:
(a) 2(1 + 2 + 3 + · · ·+ n) = n(n+ 1);
(b) 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n+ 1) = (n+ 1)2;
(c) (a− 1)(1 + a+ a2 + · · ·+ an) = an+1 − 1, seja quais forem a, n ∈ Z+;
(d) n ≥ 4⇒ n! > 2n.
(a)
Para n = 1, temos a igualdade ja´ que
2(1) = 2 = 1(1 + 1).
Supondo que a igualdade seja verdadeira para n = k, segue que
2(1 + 2 + 3 + · · ·+ k + (k + 1)) = 2(1 + 2 + 3 + · · ·+ k) + 2(k + 1)
= k(k + 1) + 2(k + 1)
= (k + 2)(k + 1)
= (k + 1)((k + 1) + 1).
Portanto, pelo PIF, temos o resultado.
(b)
Para n = 1, temos a igualdade ja´ que
1 + 3 = 4 = (1 + 1)2.
Supondo que a igualdade seja verificada para n = k, segue que
1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k + 1) + (2(k + 1) + 1) = (k + 1)2 + (2(k + 1) + 1)
= (k + 1)2 + 2(k + 1)1 + 12
= ((k + 1) + 1)2.
Portanto, pelo PIF, temos o resultado.
(c)
Para n = 1, temos a igualdade ja´ que
(a− 1)(1 + a) = a2 − 1.
Supondo que a igualdade seja verdadeira para n = k, segue que
(a− 1)(1 + a+ a2 + · · ·+ ak + ak+1) = (a− 1)(1 + a+ a2 + · · ·+ ak) + (a− 1)(ak+1)
= (ak+1 − 1) + (ak+2 − ak+1)
= ak+2 − 1.
Portanto, pelo PIF, temos o resultado.
(d)
Para n = 4, temos a desigualdade ja´ que
4! = 24 > 16 = 24.
Supondo que a desigualdade seja verdadeira para n = k > 4, segue que
(k + 1)! > (k!)(k + 1) > 2k > 2k2 = 2k+1.
Portanto, pelo PIF, temos o resultado.
39
Exerc´ıcio 2.7:
Use o Segundo Princ´ıpio de Induc¸a˜o para demonstrar a unicidade de decomposic¸a˜o de um nu´mero natural em
fatores primos.
O resultado do enunciado e´ comumente demonstrado nos livros sobre Teoria do Nu´meros utilizando-se resultados
provados com o uso do conceito de ma´ximo divisor comum como, por exemplo, a implicac¸a˜o: Se p ∈ Z+ e´ primo
e p divide o produto mn dos elementos m e n ∈ Z+enta˜o p divide m ou n. Para evitarmos a utilizac¸a˜o de
ferramentas de fora do texto, faremos uma demonstrac¸a˜o mais longa, mas que usa somente as propriedades da
soma, multiplicac¸a˜o(apresentadas neste cap´ıtulo) e da subtrac¸a˜o (que sera´ muito brevemente tratada no pro´ximo
cap´ıtulo). Esta demonstrac¸a˜o e´ uma adapatac¸a˜o de uma demonstrac¸a˜o encontrada em:
• http://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental theorem of arithmetic
Seja n ∈ Z+ tal que todo m < n em Z+ possui uma u´nica decomposic¸a˜o em fatores primos. Provaremos que
n possui uma u´nica decomposic¸a˜o em fatores primos e concluiremos, do Segundo Princ´ıpio da Induc¸a˜o, que todo
n ∈ Z+ possui uma u´nica fatorac¸a˜o em fatores primos.
Suponhamos que α1α2 . . . αp e β1β2 . . . βq sejam duas decomposic¸o˜es de n em fatore primos αi e βj . Devemos
mostrar que a sequeˆncia α1, α2, . . . , αp e´ uma permutac¸a˜o da sequeˆncia β1, β2, . . . , βq.
Podemos supor, sem perda de generalidade, que α1 6 β1. Tambe´m podemos supor que m na˜o e´ primo, pois
pela pro´pria definic¸a˜o de nu´mero primo, m teria imediatamente uma u´nica fatorac¸a˜ em fatores primos. Ou seja, p
e q sa˜o maiores que 1.
Se α1 = βi para algum i ∈ {1, . . . , q}, temos, pela Lei do Corte, que
α2α3 . . . αp = β1 . . . βi−1βi+1 . . . βq.
Assim, como α2α3 . . . αp < n, devemos ter, pela hipo´tese de induc¸a˜o que β2, α3, . . . , αp e´ uma permutac¸a˜o da
sequeˆncia β1, . . . , βi−1, βi+1, . . . , βq. Portanto, α1, α2, α3, . . . , αp e´ uma permutac¸a˜o da sequeˆncia β1, . . . ,
βi−1, βi, βi+1, . . . , βq.
No restante desta demonstrac¸a˜o, encontraremos uma contradic¸a˜o supondo que α1 ∈ {β1, . . . , βq}. Assim, como
mostrado acima, teremos o resultado.
Suponhamos que α1 /∈ {β1, . . . , βq}. Segue que α1 < β1.
O inteiro
m := (β1 − α1)(β2 . . . βq)
e´ positivo, pois β1 − α1 > 0 e β2 . . . βq > 0. Ale´m disso,
m = (β1 − α1)(β2 . . . βq) = n− α1β2 . . . βq < n.
Devemos ter que β1 − α1 = 1 e
m = β2 . . . βq;
ou β1 − α1 = γ1 . . . γs e
m = γ1 . . . γsβ2 . . . βq,
para nu´meros primos γ1, . . . , γs ∈ Z+.
Tambe´m temos que
m = (β1 − α1)(β2 . . . βq)
= n− α1β2 . . . βq
= α1α2 . . . αp − α1β2 . . . βq
= α1(α2 . . . αp − β2 . . . βq)
Como m e α1 sa˜o positivos, devemos ter que α2 . . . αp−β2 . . . βq tambe´m e´ positivo. Logo, α2 . . . αp−β2 . . . βq = 1
e
m = α1;
ou α2 . . . αp − β2 . . . βq = θ1 . . . θr e
m = α1θ1 . . . θr,
para nu´meros primos θ1, . . . , θr ∈ Z+.
40
Com isso, concluimos que
{β2, . . . , βq} ou {γ1, . . . , γs, β2, . . . , βq}
e´ uma permutac¸a˜o de
{α1} ou {α1, θ1, . . . , θr},
ja´ que m < n possui uma u´nica fatorac¸a˜o em fatores primos. Em especial, devemos ter que
α1 ∈ {β2, . . . , βq} ou {γ1, . . . , γs, β2, . . . , βq}.
Logo, como α1 /∈ {β1, . . . , βq}, devemos ter que
α1 ∈ {γ1, . . . , γs}.
Por fim, para algum k ∈ Z+,
α1k = γ1 . . . γs = β1 − α1
e, consequentemente,
α1(k + 1) = β1.
Contradizendo o fato de β1 ser primo.
41
Exerc´ıcio 2.8:
Seja X um conjunto com n elementos. Use induc¸a˜o para provar que o conjunto das bijec¸o˜es (ou permutac¸o˜es)
f : X → X tem n! elementos.
Seja X o conjunto formado pelos elementos (distintos) x1, x2, . . . , xn. Provaremos, por induc¸a˜o em n ∈ Z+,
que o conjunto SX , das bijec¸o˜es f : X → X, tem n! elementos.
O resultado e´ va´lido para n = 1 uma vez que, neste caso, so´ existe uma func¸a˜o f : X → X e esta e´ bijetiva.
Suponhamos que n > 1 e, como hipo´tese de induc¸a˜o, que o conjunto Y = X\{xn} seja tal que o conjunto SY ,
das func¸o˜es bijetivas g : Y → Y , tenha (n− 1)! elementos.
Sejam
SX,k := {f ∈ SX : f(xn) = xk},
para todo k = 1, . . . , n. Segue desta definic¸a˜o que
SX,i ∩ SX,j = ∅
quando i 6= j e que
SX = SX,1 ∪ SX,2 ∪ · · · ∪ SX,n.
Assim, pelo Corola´rio 1 do Teorema 6, temos que
card(SX) = card(SX,1) + card(SX,2) + · · ·+ card(SX,n).
Desta forma, mostrando que
card(SX,1) = card(SX,2) = · · · = card(SX,n) = SY = (n− 1)!
concluiremos que
card(SX) = n · (n− 1)! = n!,
como quer´ıamos demonstrar.
Dado f ∈ SX,n, temos que f(xn) = xn e, como f e´ uma bijec¸a˜o, f(Y ) = Y . Assim, cada f ∈ SX,n define uma
bijec¸a˜o φ(f) : Y → Y dada por (
φ(f)
)
(y) = f(y),
em cada y ∈ Y . Com isso, temos uma func¸a˜o φ : SX,n → SY . Se f1 e f2 ∈ SX,n sa˜o tais que φ(f1) = φ(f2) enta˜o
f1(y) =
(
φ(f1)
)
(y) =
(
φ(f2)
)
(y) = f2(y),
f1(xn) = xn = f2(xn)
e, consequentemente,
f1 = f2.
Dado g ∈ SY , podemos definir uma func¸a˜o f ∈ SX por
f(xi) =
{
g(xi), se i = 1, . . . , n− 1,
xn, se i = n.
Desta forma,
φ(f) = g.
Portanto, concluimos que φ : SX,n → SY e´ uma bijec¸a˜o e, consequentemente, que
card(SX,n) = card(SY ).
Provaremos, para k = 1, . . . , n− 1, que
card(SX,k) = card(SX,n).
42
Considermos a bijec¸a˜o σ ∈ SX dada por
σ(xi) =
 xi, se i 6= k, n,xn, se i = k,
xk, se i = n.
Segue desta definic¸a˜o que σ ◦ σ = IX (a func¸a˜o identidade em X).
Dado h ∈ SX,k, temos que σ ◦h : X → X e´ uma composic¸a˜o de bijec¸o˜es e, logo, uma bijec¸a˜o. Ale´m disso, como
σ ◦ h(xn) = σ(xk) = xn,
temos que σ ◦ h ∈ SX,n. Assim, podemos definir uma func¸a˜o ψ : SX,k → SX,n por
ψ(h) = σ ◦ h,
para cada h ∈ SX,k.
De forma ana´loga, verifica-se que uma func¸a˜o ρ : SX,n → SX,k fica bem definida pela igualdade
ρ(f) = σ ◦ f,
para cada f ∈ SX,n.
Por fim, para cada f ∈ SX,n,
ψ ◦ ρ(f) = ψ(σ ◦ f) = σ ◦ (σ ◦ f) = (σ ◦ σ) ◦ f = f
e, para cada h ∈ SX,k,
ρ ◦ ψ(h) = ρ(σ ◦ h) = σ ◦ (σ ◦ h) = (σ ◦ σ) ◦ h = h.
Logo, ρ e´ uma inversa para ψ : SX,k → SX,n. E, portanto,
card(SX,k) = card(SX,n).
Como quer´ıamos demonstrar.
43
Exerc´ıcio 2.9:
Sejam X e Y conjuntos finitos.
a) Prove que card(X ∪ Y ) + card(X ∩ Y ) = card(X) + card(Y ).
b) Qual seria a fo´rmula correspondente para treˆs conjuntos?
c) Generalize.
(a)
A func¸o˜es dada por
x ∈ X → (1, x) ∈ {1} ×X
e´ uma bijec¸a˜o entre X e {1} ×X. Logo,
card(X) = card({1} ×X).
Analogamente, tambe´m temos que
card(Y ) = card({2} × Y ).
card(X ∪ Y ) = card({3} × (X ∪ Y ))
e
card(X ∩ Y ) = card({4} × (X ∩ Y )).
Consideremos os conjuntos
A := ({1} ×X) ∪ ({2} × Y )
e
B :=
({3} × (X ∪ Y )) ∪ ({4} × (X ∩ Y )).
Como
({1} ×X) ∩ ({2} × Y ) = ({3} × (X ∪ Y )) ∩ ({4} × (X ∩ Y )) = ∅,
temos, pelo Teorema 6 do Cap´ıtulo II, que
card(A) = card({1} ×X) + card({2} × Y )
e
card(B) = card
({3} × (X ∪ Y ))+ card ({4} × (X ∩ Y )).
Seja f : A→ B a func¸a˜o definida por
f(n, z) =
 (3, z), se (n, z) ∈ {1} ×X,(3, z), se (n, z) ∈ {2} × (Y \X),
(4, z), se (n, z) ∈ {2} × (X ∩ Y ).
E´ fa´cil verificar que f e´ injetiva e sobrejetiva. Com isso,
card(A) = card(B).
Portanto, temos que
card(X ∪ Y ) + card (X ∩ Y ) = card ({3} × (X ∪ Y ))+ card ({4} × (X ∩ Y ))
= card(B)
= card(A)
= card({1} ×X) + card({2} × Y )
= card(X) + card(Y ).
(b)
44
Sejam X, Y e Z conjuntos finitos. Temos, pelo item (a), que
card(X) + card(Y ) + card(Z) = card(X) + card(Y ∪ Z) + card(Y ∩ Z)
= card
(
X ∪ (Y ∪ Z))+ card (X ∩ (Y ∪ Z))+ card(Y ∩ Z)
= card(X ∪ Y ∪ Z) + card ((X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z))+ card(Y ∩ Z)
= card(X ∪ Y ∪ Z)
+ card(X ∩ Y ) + card(X ∩ Z)− card ((X ∩ Y ) ∩ (X ∩ Z))
+ card(Y ∩ Z)
= card(X ∪ Y ∪ Z)
+ card(X ∩ Y ) + card(X ∩ Z) + card(Y ∩ Z)
− card(X ∩ Y ∩ Z).
(c)
Provaremos, por induc¸a˜o em n > 2 em Z+, que se Xi, i = 1, . . . , n, sa˜o conjuntos finitos, enta˜o
n∑
i=1
card(Xi) = card
(
n⋃
i=1
Xi
)
+
n∑
k=2
(−1)k
∑
16i1<···<ik6n
card
(
k⋂
p=1
Xip
)
.
O caso n = 2 e´ exatamente o tratado no item (a).
Suponhamos que Xi, i = 1, . . . , n + 1, sejam conjuntos finitos e que a igualdade que queremos provar seja
va´lida para quaisquer n conjuntos finitos dados. Desta forma, temos que
n+1∑
i=1
card(Xi) =
= card
(
n⋃
i=1
Xi
)
+
n∑
k=2
(−1)k
∑
16i1<···<ik6n
card
(
k⋂
p=1
Xip
)
+ card(Xn+1)
=
(
card
(
n⋃
i=1
Xi
)
+ card(Xn+1)
)
+
n∑
k=2
(−1)k
∑
16i1<···<ik6n
card
(
k⋂
p=1
Xip
)
=
(
card
((
n⋃
i=1Xi
)
∪Xn+1
)
+ card
((
n⋃
i=1
Xi
)
∩Xn+1
))
+
n∑
k=2
(−1)k
∑
16i1<···<ik6n
card
(
k⋂
p=1
Xip
)
= card
(
n+1⋃
i=1
Xi
)
+ card
(
n⋃
i=1
(Xi ∩Xn+1)
)
+
n∑
k=2
(−1)k
∑
16i1<···<ik6n
card
(
k⋂
p=1
Xip
)
= card
(
n+1⋃
i=1
Xi
)
+
n∑
k=2
(−1)k
∑
16i1<···<ik6n
card
(
k⋂
p=1
Xip
)
+
n∑
i=1
card(Xi ∩Xn+1)−
n∑
k=2
(−1)k
∑
16i1<···<ik6n
card
(
k⋂
p=1
(Xip ∩Xn+1)
)
= card
(
n+1⋃
i=1
Xi
)
+
n∑
k=2
(−1)k
∑
16i1<···<ik<n+1
card
(
k⋂
p=1
Xip
)
+
n+1∑
k=2
(−1)k
∑
16i1<···<ik=n+1
card
(
k⋂
p=1
(Xip)
)
= card
(
n+1⋃
i=1
Xi
)
+
n+1∑
k=2
(−1)k
∑
16i1<···<ik6n+1
card
(
k⋂
p=1
Xip
)
.
Portanto, o resultado segue do PIF.
45
Exerc´ıcio 2.10:
Dado um conjunto finito X, prove que uma func¸a˜o f : X → X e´ injetora se, e somente se, e´ sobrejetora.
Consideremos a func¸a˜o g : X → f(X) definida por
g(x) = f(x),
para todo x ∈ X.
Se f for injetiva, devemos ter, diretamente da definic¸a˜o de g, que g e´ uma bijec¸a˜o. Assim, o subconjunto
g(X) = f(X) de X estaria em bijec¸a˜o com o pro´prio conjunto X. Logo, como X e´ finito, temos, pelo Teorema 4
do Cap´ıtulo II, que f(X) = X. Ou seja, f seria sobrejetora.
Suponhamos que f seja sobrejetiva. Deve existir uma func¸a˜o h : X → X que e´ a inversa a` direita de X, isto
e´, f ◦ h e´ a identidade em X (veja o final do Cap´ıtulo I). Por sua vez, h possui uma invesa a` esquerda e, logo, e´
injetiva. Pelo que foi mostrado acima, isto implica que h e´ sobrejetiva. Logo, existe f˜ : X → X tal que h ◦ f˜ e´ a
identidade idX : X → X em X. Assim,
f = f ◦ idX = f ◦ (h ◦ f˜) = (f ◦ h) ◦ f˜ = idX ◦f˜ = f˜ .
Portanto, f e´ injetiva pois possui h como inversa a` esquerda.
46
Exerc´ıcio 2.11:
Formule matematicamente e demonstre o seguinte fato (conhecido como princ´ıpio das gavetas). Se m < n, enta˜o
de qualquer modo como se guardem n objetos em m gavetas, havera´ sempre uma gaveta, pelo menos, que contera´
mais de um objeto.
Princ´ıpio das Gavetas: f : In → Im com n > m na˜o e´ injetiva.
Seja f : In → Im, com n > m, uma func¸a˜o.
Suponhamos, por absurdo, que f seja injetiva. Segue que f |Im tambe´m e´ injetiva. Assim, pelo Exerc´ıcio 2.10,
f |Im seria tambe´m sobrejetiva. Logo, f seria sobrejetiva. Desta forma, f seria uma bijec¸a˜o entre um conjunto
finito e um de seus subconjuntos pro´prios, contradizendo o Corola´rio 2 do Teorema 3 do Cap´ıtulo II.
47
Exerc´ıcio 2.12:
Seja X um conjunto com n elementos. Determine o nu´mero de func¸o˜es injetivas f : Ip → X.
Princ´ıpio da contagem. Escolhamos um dos n elementos de X para ser f(1). Da´ı escolhamos 1 dos n − 1
elementos restantes para ser f(2). E assim sucessivamente temos que o nu´mero de func¸o˜es injetivas poss´ıveis e´
n(n− 1)(n− 2)...(n− p+ 1).
48
Exerc´ıcio 2.13:
Quantos subconjuntos com p elementos possui um subconjunto X, sabendo-se que X tem n elementos?
Se n < p, vem de P1 que na˜o existe subconjunto de X com p elementos. Caso contra´rio podemos definir uma
func¸a˜o f : [1, p] ∩ N→ X(pelo axioma da escolha). Pelo princ´ıpio da contagem, temos que f pode ser definida de
n!
p!(n− p)! modos distintos. Pore´m, para cada imagem de f, f pode ter sido definida de p! formas. Sendo assim,
existem
n!
p!(n− p)! imagens de f.
49
Exerc´ıcio 2.14:
Prove que se A tem n elementos, enta˜o P (A) tem 2n elementos.
Associemos a cada X ∈ P (A) uma func¸a˜o fX : A → {0, 1} dada por f(x) = 1 se x ∈ X e f(x) = 0 se x /∈ X.
Temos enta˜o que a aplicac¸a˜o X → fX e´ uma bijec¸a˜o. E como, pelo princ´ıpio da contagem, e´ poss´ıvel se fazer 2
func¸o˜es f : A→ {0, 1} diferentes, temos que a ordem de P (A) e´ exatamente 2.
50
Exerc´ıcio 2.15:
Defina um func¸a˜o sobrejetiva f : N→ N tal que, para todo n ∈ N, o conjunto f−1(n) seja infinito.
Seja f : N→ N tal que f(2n3m) = n e f(x) = 1 para x divis´ıvel por qualquer primo diferente de 2 e 3. Portanto,
f−1(N) ⊃ {2n3, 2n32, ..., 2n3m, ...}.
51
Exerc´ıcio 2.16:
Prove que se X e´ infinito enumera´vel, o conjunto das partes finitas de X tambe´m e´ (infinito) enumera´vel.
Seja X = {x1, x2, ...}. Temos que
P =
∞⋃
i=1
{A ⊂ {x1, x2, ..., xi}} =
∞⋃
i=1
Fi.
Temos que cardFi = 2
i. Como P e´ uma reunia˜o enumera´vel de conjuntos enumera´veis, P e´ enumera´vel.
52
Exerc´ıcio 2.17:
Seja f : X → X uma func¸a˜o. Um subconjunto Y ⊂ X chama-se esta´vel relativamente a` f quando f(Y ) ⊂ Y. Prove
que um subconjunto X e´ finito se, e somente existe um func¸a˜o f : X → X que so´ admite os subconjuntos esta´veis
∅ e X.
(⇒) Seja X = {x1, x2, ..., xn} e f : X → X dado por f(xi) = xi+1 se 1 ≤ i < n e f(xn) = x1. Se f e´ esta´vel em
A e xp ∈ A, temos que xq = fq−p(modn)(xp) ∈ A. Logo, A = X.
(⇐) Dado x0 ∈ X (se X 6= ∅, X e´ finito) consideremos o conjunto A = {x0, f(x0), f2(x0), ..., fn(x0), ...}. Da´ı
X = A, pois f e´ esta´vel em A e A 6= ∅.
Se na˜o existir k ∈ N tal que fk(x0) = x0, A − {x0} e´ esta´vel por f e logo A − {x0} = X − {x0} = ∅, ou seja,
X = {x0}, ou A = X = A− {x0}, absurdo.
Por outro lado, se existir k ∈ N tal que fk(x0) = x0 o conjunto {x0, f(x0), f2(x0), ..., fk−1(x0)} e´ esta´vel por A
e na˜o vazio, logo e´ igual a X.
53
Exerc´ıcio 2.18:
Seja f : X → X uma func¸a˜o injetiva tal que f(X) 6= X. Tomando x ∈ X − f(X), prove que os elementos
x, f(x), f(f(x)), ... sa˜o dois a dois distintos.
Provaremos por induc¸a˜o em n que para todo p ∈ N, temos que fn(x) 6= fn+p(x) e a proposic¸ ao estar´a
demonstrada. Com x /∈ f(X), temos que x 6= fp(x), para todo p ∈ N. Suponhamos que fn(x) 6= fn+p(x). Enta˜o
fn+1(x) 6= fn+1+p(x) pois f e´ injetora. Pelo PIF o resultado segue.
54
Exerc´ıcio 2.19:
Dado um conjunto finito X, prove que uma func¸a˜o f : X → X e´ injetora se, e somente se, e´ sobrejetora.
Consideremos a func¸a˜o g : X → f(X) definida por
g(x) = f(x),
para todo x ∈ X.
Se f for injetiva, devemos ter, diretamente da definic¸a˜o de g, que g e´ uma bijec¸a˜o. Assim, o subconjunto
g(X) = f(X) de X estaria em bijec¸a˜o com o pro´prio conjunto X. Logo, como X e´ finito, temos, pelo Teorema 4
do Cap´ıtulo II, que f(X) = X. Ou seja, f seria sobrejetora.
Suponhamos que f seja sobrejetiva. Deve existir uma func¸a˜o h : X → X que e´ a inversa a` direita de X, isto
e´, f ◦ h e´ a identidade em X (veja o final do Cap´ıtulo I). Por sua vez, h possui uma invesa a` esquerda e, logo, e´
injetiva. Pelo que foi mostrado acima, isto implica que h e´ sobrejetiva. Logo, existe f˜ : X → X tal que h ◦ f˜ e´ a
identidade idX : X → X em X. Assim,
f = f ◦ idX = f ◦ (h ◦ f˜) = (f ◦ h) ◦ f˜ = idX ◦f˜ = f˜ .
Portanto, f e´ injetiva pois possui h como inversa a` esquerda.
55
Exerc´ıcio 2.20:
(a) Se X e´ finito e Y e´ enumera´vel, enta˜o F(X,Y ) e´ enumera´vel.
(b) Para cada func¸a˜o f : N → N seja Af = {n ∈ N; f(n) 6= 1}. Prove que o conjunto X das func¸o˜es f : N → N
tais que Af e´ finito e´ um conjunto enumera´vel.
Item (a)
Seja X = {x1, ..., xn}. Definimos
φ : F(X,Y ) → Y n
f → (f(x1), ..., f(xn)).
Temos que φ e´ claramente injetiva. Logo, F(X,Y ) esta´ em bijec¸a˜o com o conjunto φ(F(X,Y )) ⊂ Y n. Como
Y e´ enumera´vel, Y n e´ enumera´vel (pois e´ produto finito de conjuntos enumera´veis). Assim, φ(F(X,Y )) ⊂ Y n e´
anumera´vel e, consequentemente, F(X,Y ) e´ enumera´vel.
Item (b)
Seja
Fn := {Y ⊂ N; cardY = n}.
Definimos
φ : Fn → Y n
Y = {y1, ..., yn} → (y1, ..., yn).
Claramente, φ e´ injetiva. Como Y n e´ enumera´vel, segue que Fn e´ enumera´vel. Portanto,
F :=
∞⋃
n=1
Fn
e´ enumera´vel.
Seja
ψ : X → ⋃Y ∈FF(Y,N)
f → f |Af .
Temos que ψ e´ injetiva. De fato, se f, g ∈ X sa˜o tais que ψ(f) = ψ(g) temos que
f |Af = g|Ag
implicando que Af = Ag,
f |Af = g|Ag ,
e
f