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Soluc¸o˜es de Exerc´ıcios do Livro “Curso de Ana´lise”, Volume I, de Elon Lages Lima Cleber Fernando Colle, Edson Jose´ Teixeira, Ju´lio C. C. da Silva (jcconegundes@gmail.com) e Rodrigo Carlos Silva de Lima (rodrigo.uff.math@gmail.com) 3 de marc¸o de 2014 Suma´rio 1 Conjuntos e Func¸o˜es 2 Exerc´ıcio 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Exerc´ıcio 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Exerc´ıcio 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Exerc´ıcio 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Exerc´ıcio 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Exerc´ıcio 1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Exerc´ıcio 1.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Exerc´ıcio 1.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Exerc´ıcio 1.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Exerc´ıcio 1.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Exerc´ıcio 1.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Exerc´ıcio 1.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Exerc´ıcio 1.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Exerc´ıcio 1.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Exerc´ıcio 1.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Exerc´ıcio 1.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Exerc´ıcio 1.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Exerc´ıcio 1.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Exerc´ıcio 1.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Exerc´ıcio 1.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Exerc´ıcio 1.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 Conjuntos Finitos, Enumera´veis e Na˜o-Enumera´veis 25 Exerc´ıcio 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Exerc´ıcio 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Exerc´ıcio 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Exerc´ıcio 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Exerc´ıcio 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Exerc´ıcio 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Exerc´ıcio 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Exerc´ıcio 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Exerc´ıcio 2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Exerc´ıcio 2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Exerc´ıcio 2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Exerc´ıcio 2.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Exerc´ıcio 2.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Exerc´ıcio 2.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Exerc´ıcio 2.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Exerc´ıcio 2.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Exerc´ıcio 2.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Exerc´ıcio 2.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Exerc´ıcio 2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Exerc´ıcio 2.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Exerc´ıcio 2.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1 Exerc´ıcio 2.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Exerc´ıcio 2.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Exerc´ıcio 2.24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Exerc´ıcio 2.25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Exerc´ıcio 2.26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Exerc´ıcio 2.27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Exerc´ıcio 2.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Exerc´ıcio 2.29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3 Nu´meros Reais 67 Exerc´ıcio 3.01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Exerc´ıcio 3.02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Exerc´ıcio 3.03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Exerc´ıcio 3.04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Exerc´ıcio 3.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Exerc´ıcio 3.06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Exerc´ıcio 3.07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Exerc´ıcio 3.08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Exerc´ıcio 3.09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Exerc´ıcio 3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Exerc´ıcio 3.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Exerc´ıcio 3.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 80 Exerc´ıcio 3.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Exerc´ıcio 3.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Exerc´ıcio 3.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Exerc´ıcio 3.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Exerc´ıcio 3.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Exerc´ıcio 3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Exerc´ıcio 3.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Exerc´ıcio 3.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Exerc´ıcio 3.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Exerc´ıcio 3.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Exerc´ıcio 3.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Exerc´ıcio 3.24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Exerc´ıcio 3.25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Exerc´ıcio 3.26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Exerc´ıcio 3.27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Exerc´ıcio 3.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Exerc´ıcio 3.29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Exerc´ıcio 3.30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Exerc´ıcio 3.31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Exerc´ıcio 3.32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Exerc´ıcio 3.33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Exerc´ıcio 3.31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Exerc´ıcio 3.32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Exerc´ıcio 3.33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Exerc´ıcio 3.34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Exerc´ıcio 3.35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Exerc´ıcio 3.36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Exerc´ıcio 3.37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Exerc´ıcio 3.38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Exerc´ıcio 3.39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Exerc´ıcio 3.40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Exerc´ıcio 3.41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Exerc´ıcio 3.42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Exerc´ıcio 3.43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Exerc´ıcio 3.44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 2 Exerc´ıcio 3.45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Exerc´ıcio 3.46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Exerc´ıcio 3.47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Exerc´ıcio 3.48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Exerc´ıcio 3.49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Exerc´ıcio 3.50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Exerc´ıcio 3.51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Exerc´ıcio 3.52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Exerc´ıcio 3.53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Exerc´ıcio 3.54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Exerc´ıcio 3.55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Exerc´ıcio 3.56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Exerc´ıcio 3.57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Exerc´ıcio 3.58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Exerc´ıcio 3.59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Exerc´ıcio 3.60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4 Sequeˆncias e Se´ries de Nu´meros Reais 138 Exerc´ıcio 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Exerc´ıcio 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Exerc´ıcio 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Exerc´ıcio 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Exerc´ıcio 4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Exerc´ıcio 4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Exerc´ıcio 4.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Exerc´ıcio 4.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Exerc´ıcio 4.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Exerc´ıcio 4.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Exerc´ıcio 4.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Exerc´ıcio 4.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Exerc´ıcio 4.11a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 151 Exerc´ıcio 4.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Exerc´ıcio 4.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Exerc´ıcio 4.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Exerc´ıcio 4.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Exerc´ıcio 4.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Exerc´ıcio 4.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Exerc´ıcio 4.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Exerc´ıcio 4.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Exerc´ıcio 4.25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Exerc´ıcio 4.31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Exerc´ıcio 4.33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Exerc´ıcio 4.35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Exerc´ıcio 4.36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Exerc´ıcio 4.40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Exerc´ıcio 4.41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Exerc´ıcio 4.42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Exerc´ıcio 4.43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Exerc´ıcio 4.44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Exerc´ıcio 4.45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Exerc´ıcio 4.46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Exerc´ıcio 4.47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Exerc´ıcio 4.48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Exerc´ıcio 4.49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 3 5 Topologia da Reta 179 Exerc´ıcio 5.01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Exerc´ıcio 5.02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Exerc´ıcio 5.03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Exerc´ıcio 5.04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Exerc´ıcio 5.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Exerc´ıcio 5.06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Exerc´ıcio 5.07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Exerc´ıcio 5.08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Exerc´ıcio 5.09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Exerc´ıcio 5.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Exerc´ıcio 5.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Exerc´ıcio 5.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Exerc´ıcio 5.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Exerc´ıcio 5.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Exerc´ıcio 5.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Exerc´ıcio 5.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Exerc´ıcio 5.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Exerc´ıcio 5.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Exerc´ıcio 5.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Exerc´ıcio 5.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Exerc´ıcio 5.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Exerc´ıcio 5.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Exerc´ıcio 5.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Exerc´ıcio 5.24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Exerc´ıcio 5.25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Exerc´ıcio 5.26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Exerc´ıcio 5.27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Exerc´ıcio 5.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Exerc´ıcio 5.29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Exerc´ıcio 5.30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Exerc´ıcio 5.31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Exerc´ıcio 5.32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Exerc´ıcio 5.33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Exerc´ıcio 5.34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Exerc´ıcio 5.35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 Exerc´ıcio 5.36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Exerc´ıcio 5.37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 Exerc´ıcio 5.38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Exerc´ıcio 5.39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 Exerc´ıcio 5.40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Exerc´ıcio 5.41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .221 Exerc´ıcio 5.42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Exerc´ıcio 5.43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Exerc´ıcio 5.44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Exerc´ıcio 5.45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 Exerc´ıcio 5.46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Exerc´ıcio 5.47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Exerc´ıcio 5.48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Exerc´ıcio 5.49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Exerc´ıcio 5.50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Exerc´ıcio 5.51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Exerc´ıcio 5.52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Exerc´ıcio 5.53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Exerc´ıcio 5.54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Exerc´ıcio 5.55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Exerc´ıcio 5.56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 4 Exerc´ıcio 5.57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Exerc´ıcio 5.58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Exerc´ıcio 5.59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Exerc´ıcio 5.60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 Exerc´ıcio 5.61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Exerc´ıcio 5.62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 Exerc´ıcio 5.63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 Exerc´ıcio 5.64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 6 Limites de Func¸o˜es 248 Exerc´ıcio 6.01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Exerc´ıcio 6.02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Exerc´ıcio 6.03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Exerc´ıcio 6.04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Exerc´ıcio 6.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Exerc´ıcio 6.06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Exerc´ıcio 6.07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Exerc´ıcio 6.08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 Exerc´ıcio 6.09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 Exerc´ıcio 6.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Exerc´ıcio 6.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 Exerc´ıcio 6.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Exerc´ıcio 6.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Exerc´ıcio 6.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Exerc´ıcio 6.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Exerc´ıcio 6.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Exerc´ıcio 6.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Exerc´ıcio 6.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Exerc´ıcio 6.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 Exerc´ıcio 6.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 Exerc´ıcio 6.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 Exerc´ıcio 6.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 Exerc´ıcio 6.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 Exerc´ıcio 6.24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 7 Func¸o˜es Cont´ınuas 279 Exerc´ıcio 7.38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 Exerc´ıcio 7.39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Exerc´ıcio 7.40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Exerc´ıcio 7.41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Exerc´ıcio 7.42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 Exerc´ıcio 7.43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 Exerc´ıcio 7.44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 Exerc´ıcio 7.45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 Exerc´ıcio 7.46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 Exerc´ıcio 7.47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 8 Derivadas 299 Exerc´ıcio 8.46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 Exerc´ıcio 8.47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 Exerc´ıcio 8.48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Exerc´ıcio 8.49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 Exerc´ıcio 8.50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Exerc´ıcio 8.51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 Exerc´ıcio 8.52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 Exerc´ıcio 8.53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 Exerc´ıcio 8.54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 5 Exerc´ıcio 8.55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 9 Integral de Riemann 311 Exerc´ıcio 9.36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 Exerc´ıcio 9.37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 Exerc´ıcio 9.38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 Exerc´ıcio 9.39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 Exerc´ıcio 9.40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 Exerc´ıcio 9.41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 10 Sequeˆncias e Se´ries de Func¸o˜es 320 Exerc´ıcio 10.44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 Exerc´ıcio 10.45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 Exerc´ıcio 10.46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 Exerc´ıcio 10.47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 Exerc´ıcio 10.48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 Exerc´ıcio 10.49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 Exerc´ıcio 10.50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 Exerc´ıcio 10.51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 Exerc´ıcio 10.52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 Exerc´ıcio 10.53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 6 Cap´ıtulo 1 Conjuntos e Func¸o˜es 7 Exerc´ıcio 1.1: Dados os conjuntos A e B, seja X um conjunto com as seguintes propriedades: (1a) X ⊃ A e X ⊃ B, (2a) Se Y ⊃ A e Y ⊃ B enta˜o Y ⊃ X. Prove que X = A ∪B. A inclusa˜o A ∪ B ⊂ X e´ fornecida pela primeira hipo´tese. De fato, se x ∈ A ⊂ X ou x ∈ B ⊂ X (isto e´, se x ∈ A ∪B) enta˜o x ∈ X. E a segunda hipo´tese fornece a inclusa˜o A ∪B ⊂ X pois A ∪B ⊃ A e A ∪B ⊃ B. Portanto, X = A ∪B. 8 Exerc´ıcio 1.2: Enuncie e prove um resultado, ana´logo ao anterior, caracterizando A ∩B. Enunciado: Dados os conjuntos A e B, seja X um conjunto com as seguintes propriedades: 1a X ⊂ A e X ⊂ B, 2a Se Y ⊂ A e Y ⊂ B enta˜o Y ⊂ X. Prove que X = A ∩B. Prova: A inclusa˜o A∩B ⊃ X e´ fornecida pela primeira hipo´tese. De fato, se x ∈ X temos que A ⊃ X 3 x e B ⊃ X 3 x. Consequentemente, se x ∈ X enta˜o x ∈ A ∩B. E a segunda hipo´tese fornece a inclusa˜o A ∩B ⊂ X pois A ∩B ⊂ A e A ∩B ⊂ B. Portanto, X = A ∩B. 9 Exerc´ıcio 1.3: Sejam A,B ⊂ E. Prove que A ∩ B = ∅ se, e somente se, A ⊂ E\B. Prove tambe´m que A ∪ B = E se, e somente se, E\A ⊂ B. • A ∩B = ∅ se e somente se A ⊂ E\B: Suponhamos que A ∩ B = ∅. Se x ∈ A devemos ter que x pertence a E\B. De fato, como x pertence a A e A esta´ contido em E, segue que x pertence a B ou E\B. Como A ∩ B = ∅, temos que x /∈ B. Logo, x ∈ E\B. Assim, A ⊂ E\B. Consideremos o caso em que A ⊂ E\B. Se existisse x ∈ A∩B ter´ıamos que x ∈ A e x ∈ B. Mas, como A e´ um subconjunto de E\B, ter´ıamos tambe´m que x ∈ E\B. Um absurdo, pois se x ∈ E\B enta˜o x /∈ B. Desta forma, concluimos que A ∩B = ∅. • A ∪B = E se e somente se E\A ⊂ B: Suponhamos que A ∪ B = E. Se x ∈ E\A devemos ter que x pertence a B. De fato, como x pertence a E e E = A ∪ B, devemos ter que x ∈ A ou x ∈ B. Ale´m disso, como x ∈ E\A, temos tambe´m que x /∈ A. O que nos garante que x ∈ B. Logo, E\A ⊂ B. Consideremos o caso em que E\A ⊂ B. Seja x ∈ E. Segue que, x ∈ A ou x ∈ E\A. Se x ∈ E\A enta˜o x pertence a B pois E\A esta´ contido em B. Logo, x ∈ A ou x ∈ B. Ou seja, x ∈ A ∪ B. Assim, devemos ter que E ⊂ A ∪B. E, como A e B esta˜o contidos em E, segue (veja o exercicio 1.1) que E = A ∪B. 10 Exerc´ıcio 1.4: Dados A,B ⊂ E, prove que A ⊂ B se, e somente se, A ∩ (E\B) = ∅. Suponhamos que A ⊂ B. Se existisse x ∈ A∩ (E\B) ter´ıamos que x ∈ A e x ∈ E\B. Isto e´, existiria x ∈ E tal que x ∈ A e x /∈ B. Mas, isto e´ um absurdo, pois, como A ⊂ B, se x ∈ A enta˜o x ∈ B. Portanto, A ∩ (E\B) = ∅. Consideremos, agora, o caso em que A ∩ (E\B) = ∅. Seja x ∈ A. Como A ⊂ E, temos que x ∈ E. Assim, x ∈ B ou x ∈ E\B. Logo, x ∈ B pois se x ∈ E\B ter´ıamos que x ∈ A ∩ (E\B) = ∅. 11 Exerc´ıcio 1.5: Deˆ exemplo de conjuntos A,B,C tais que (A ∪B) ∩ C 6= A ∪ (B ∩ C). Tome A = {1, 2, 3}, B = {1, 3} e C = {1, 2}. Desta forma, temos (A ∪B) ∩ C = {1, 2} 6= {1, 2, 3} = A ∪ (B ∩ C). 12 Exerc´ıcio 1.6: Se A,X ⊂ E sa˜o tais que A ∩X = ∅ e A ∪X = E, prove que X = E\A. Seja x ∈ X. Uma vez que x /∈ ∅ = A ∩X, temos que x /∈ A. E, como x ∈ X ⊂ E, devemos ter, tambe´m, que x ∈ E. Logo, x ∈ E\A. Portanto, como x ∈ X e´ arbitra´ro, devemos ter que X ⊂ E\A. Considere, agora, x ∈ E\A. Segue que x ∈ E e x /∈ A. Como x ∈ E = A ∪ X e x /∈ A, temos que x ∈ X. Portanto, como x ∈ E\A e´ arbitra´ro, devemos ter que X ⊂ E\A. 13 Exerc´ıcio 1.7: Se A ⊂ B, enta˜o B ∩ (A ∪ C) = (B ∩ C) ∪A, para todo conjunto C. Por outro lado, se existir C de modo que a igualdade acima seja satisfeita, enta˜o A ⊂ B. Primeiramente, mostremos que se A ⊂ B enta˜o, para qualquer conjunto C, temos B ∩ (A ∪ C) = (B ∩ C) ∪A. Seja x ∈ B ∩ (A ∪ C). Assim, x ∈ B e (x ∈ C ou x ∈ A). • Se x ∈ C temos que x ∈ B ∩ C. Logo, x ∈ (B ∩ C) ∪A. • Se x ∈ A temos imediatamente que x ∈ (B ∩ C) ∪A. Segue, em todo caso, que x ∈ (B ∩ C) ∪A. Logo, concluimos que B ∩ (A ∪ C) ⊂ (B ∩ C) ∪A. Considere, agora, que x ∈ (B ∩ C) ∪A. Assim, x ∈ B ∩ C ou x ∈ A. • Se x ∈ B ∩ C enta˜o x ∈ B e x ∈ C. Logo, x ∈ B, x ∈ A ∪ C e, consequentemente, x ∈ B ∩ (A ∪ C). • Se x ∈ A temos que x ∈ B, ja´ que A ⊂ B. Assim, x ∈ B e x ∈ A ⊂ A ∪ C. Logo, x ∈ B ∩ (A ∪ C). Em ambos os casos, x ∈ B ∩ (A ∪B). Desta forma, tem-se que B ∩ (A ∪ C) ⊃ (B ∩ C) ∪A. Portanto, se A ⊂ B enta˜o B ∩ (A ∪ C) = (B ∩ C) ∪A, para qualquer conjunto C. Reciprocamente, suponhamos que exista um conjunto C tal que x ∈ (B ∩ C) ∪A = B ∩ (A ∪ C). Se x ∈ A temos que x ∈ (B ∩ C) ∪ A. Mas, como (B ∩ C) ∪ A = B ∩ (A ∪ C), devemos ter que x ∈ B. Logo, conclui-se que A ⊂ B. 14 Exerc´ıcio 1.8: Suponhamos que A e B sejam subconjuntos de E. Prove que A = B se, e somente se,( A ∩ (E\B)) ∪ ((E\A) ∩B) = ∅. Suponhamos que A = B. Neste caso, temos que E\A = E\B. Logo, A ∩ (E\B) = A ∩ (E\A) = ∅ e B ∩ (E\A) = B ∩ (E\B) = ∅. Portanto, ( A ∩ (E\B)) ∪ (B ∩ (E\A)) = ∅ ∪ ∅ = ∅. Reciprocamente, consideremos o caso em que( A ∩ (E\B)) ∪ (B ∩ (E\A)) = ∅. Seja x ∈ A. Se supusermos, por absurdo, que x /∈ B teremos que x ∈ A ∩ (E\B) e, consequentemente, x ∈ (A ∩ (E\B)) ∪ (B ∩ (E\A)) = ∅. Uma contradic¸a˜o. De modo inteiramente ana´logo e´ imposs´ıvel que x ∈ B e x /∈ A. Portanto, A = B. 15 Exerc´ıcio 1.9: Prove que (A\B) ∪ (B\A) = (A ∪B)\(A ∩B). • (A\B) ∪ (B\A) ⊂ (A ∪B)\(A ∩B) Seja x ∈ (A\B) ∪ (B\A). Neste caso, x ∈ A\B ou x ∈ B\A. Se x ∈ B\A enta˜o temos que x ∈ A e x /∈ B. Logo, x ∈ A∪B e x /∈ A∩B, ou seja, x ∈ (A∪B)\(A∩B). Analogamente, x ∈B\A implica x ∈ (A∪B)\(A∩B). • (A\B) ∪ (B\A) ⊃ (A ∪B)\(A ∩B) Seja x ∈ (A∪B)\(A∩B). Neste caso, x ∈ A∪B e x /∈ A∩B. Se x ∈ A enta˜o x /∈ B, uma vez que x /∈ A∩B. Isto e´, se x ∈ A enta˜o x ∈ A\B. Analogamente, se x ∈ B, temos que x ∈ B\A. Portanto, x ∈ (A\B) ∪ (B\A). 16 Exerc´ıcio 1.10: Para conjuntos A e B, definimos o conjunto A∆B := (A\B) ∪ (B\A). Prove que A∆B = A∆C implica que B = C. Examine a validade um resultado ana´logo com ∩, ∪ ou × em vez de ∆. Suponhamos que A∆B = A∆C. Mostraremos que os conjuntos B ∩ A e B\A esta˜o contidos em C. Desta forma, como B = (B ∩ A) ∪ (B\A), concluiremos que B ⊂ C. Seja x ∈ B∩A. Temos que x /∈ A∆B = (A\B)∪ (B\A), pois x /∈ A\B e x /∈ B\A. Assim, como A∆B = A∆C, temos que x /∈ A∆C = (A\C) ∪ (C\A) e, consequentemente, x /∈ A\C. Logo, x ∈ C pois x ∈ A e x /∈ A\C. Como x ∈ B ∩A e´ arbitra´rio, concluimos que B ∩A ⊂ C. Seja x ∈ B\A. Logo, x ∈ (A\B) ∪ (B\A) = A∆B. E, como A∆B = A∆C, temos que x ∈ A∆C. Sendo x ∈ A∆C = (A\C) ∪ (C\A), segue que x ∈ A\C ou x /∈ C\A. Assim, ja´ que x /∈ A, devemos ter que x ∈ C\A e, consequentemente, x ∈ C. Como x ∈ B\A e´ arbitra´rio, concluimos que B\A ⊂ C. Por fim, como B ∩ A e B\A esta˜o contidos em C, devemos ter que B ⊂ C. E, de forma ana´loga, prova-se que C ∩A e C\A esta˜o contidos em B. Logo, C ⊂ B. Portanto, supondo que A∆B = A∆C, temos que B = C. Consideremos agora a validade dos casos ana´logos para ∩, ∪ e × ao inve´s de ∆. Existem A, B e C tais que • A ∩B = A ∩ C e B 6= C. Por exemplo: A = {1}, B = {1, 2} e C = {1, 2, 3}; • A ∪B = A ∪ C e B 6= C. Por exemplo: A = {1}, B = {2} e C = {1, 2}; • A×B = A× C e B 6= C. Por exemplo: A = ∅, B = {1} e C = {2}. 17 Exerc´ıcio 1.11: Prove as seguintes afirmac¸o˜es: (a) (A ∪B)× C = (A× C) ∪ (B × C); (b) (A ∩B)× C = (A× C) ∩ (B × C); (c) (A−B)× C = (A× C)− (B × C); (d) A ⊂ A′, B ⊂ B′ =⇒ A×B ⊂ A′ ×B′. (a) Temos que a igualdade (A ∪B)× C = (A× C) ∪ (B × C) e´ va´lida pois (x, c) ∈ (A ∪B)× C ⇐⇒ x ∈ A ∪B e c ∈ C ⇐⇒ (x ∈ A e c ∈ C) ou (x ∈ B e c ∈ C) ⇐⇒ (x, c) ∈ A× C ou (x, c) ∈ B × C ⇐⇒ (x, c) ∈ (A× C) ∪ (B × C). (b) Temos que a igualdade (A ∩B)× C = (A× C) ∩ (B × C) e´ va´lida pois (x, c) ∈ (A ∩B)× C ⇐⇒ x ∈ (A ∩B) e c ∈ C ⇐⇒ (x ∈ A e c ∈ C) e (x ∈ B e c ∈ C) ⇐⇒ (x, c) ∈ A× C e (x, c) ∈ B × C ⇐⇒ (x, c) ∈ (A× C) ∩ (B × C). (c) Temos que a igualdade (A−B)× C = (A× C)− (B × C) e´ va´lida pois (x, c) ∈ (A−B)× C ⇐⇒ x ∈ A−B e c ∈ C ⇐⇒ (x ∈ A e c ∈ C) e (x /∈ B e c ∈ C) ⇐⇒ (x, c) ∈ A× C e (x, c) /∈ B × C ⇐⇒ (x, c) ∈ (A× C)− (B × C). (d) Seja (a, b) ∈ A × B. Enta˜o, a ∈ A′ e b ∈ B′ pois A ⊂ A′ e B ⊂ B′. Logo, (a, b) ∈ A′ × B′. Portanto, concluimos que A×B ⊂ A′ ×B′. 18 Exerc´ıcio 1.12: Dada uma func¸a˜o f : A→ B: (a) Prove que se tem f(X\Y ) ⊃ f(X)\f(Y ), sejam quais forem os subconjuntos X e Y de A; (b) Mostre que se f for injetora enta˜o f(X\Y ) = f(X)\f(Y ) para quaisquer X e Y contidos em A. (a) Suponhamos que z ∈ f(X)\f(Y ). Desta forma, temos que z ∈ f(X) e, consequentemente, existe x ∈ X tal que f(x) = z. Como z /∈ f(Y ) e z = f(x), devemos ter que x /∈ Y . Logo, x ∈ X\Y . Assim, concluimos que z = f(x) ∈ f(X\Y ). Portanto, devemos ter que f(X\Y ) ⊂ f(X)\f(Y ). (b) Pelo item (a), temos que f(X\Y ) ⊂ f(X)\f(Y ). Logo, basta verificarmos que f(X\Y ) ⊃ f(X)\f(Y ). Seja z ∈ f(X\Y ). Enta˜o, podemos escolher x ∈ X\Y tal que f(x) = z. Assim, z = f(x) ∈ f(X) pois x ∈ X. Por outro lado, como f e´ injetivo, f(x) = z e x /∈ Y , nenhum y ∈ Y e´ tal que f(y) = z. Logo, z /∈ f(Y ). Portanto, z ∈ f(X)\f(Y ). Com isso, concluimos que f(X\Y ) = f(X)\f(Y ). 19 Exerc´ıcio 1.13: Mostre que a func¸a˜o f : A→ B e´ injetora se, e somente se, f(A\X) = f(A)\f(X) para todo X ⊂ A. Se f : A→ B e´ injetiva, pelo item (b) do exerc´ıcio 1.12, a igualdade f(A\X) = f(A)\f(X) e´ va´lida para todo X ⊂ A. Suponhamos que a igualdade f(A\X) = f(A)\f(X) seja va´lida para todo X ⊂ A. Seja a ∈ A e denotemos por b o elemento f(a) ∈ B. Assim, b /∈ f(A\{a}) = f(A)\f({a}). Logo, na˜o existe a′ ∈ A\{a} tal que f(a′) = b = f(a). Desta forma, como a ∈ A e´ arbitra´rio, concluimos que f e´ injetivo. 20 Exerc´ıcio 1.14: Dada a func¸a˜o f : A→ B, prove que: (a) f−1(f(X)) ⊃ X para todo X ⊂ A; (b) f e´ injetora se, e somente se, f−1(f(X)) = X para todo X ⊂ A. (a) Se x ∈ X enta˜o x ∈ f−1(f(X)) pois f(x) ∈ f(X). Assim, devemos ter que f−1(f(X)) ⊃ X. (b) Suponhamos que f e´ injetora e fixemos X ⊂ A. Provaremos que f−1(f(X)) ⊂ X e concluiremos, pelo item (a), que f−1(f(X)) = X. Desta forma, podemos concluir que se f e´ injetora enta˜o f−1(f(X)) = X, para qualquer X ⊂ A. Seja y ∈ f−1(f(X)). Segue que f(y) ∈ f(X). Assim, existe x ∈ X tal que f(x) = f(y). Sendo f injetiva, conclui-se que y = x ∈ X. Portanto, como y ∈ f−1(f(X)) e´ arbitra´rio, temos que f−1(f(X)) ⊂ X. Suponhamos, por outro lado, que f seja tal que f−1(f(X)) = X, para qualquer X ⊂ A. Sejam x e y ∈ A tais que f(x) = f(y). Neste caso, temos que f({x}) = f({x, y}). Assim, f−1(f({x})) = f−1(f({x, y})) e, pela hipo´tese, {x} = f−1(f({x})) = f−1(f({x, y})) = {x, y}. Desta forma, y ∈ {x} e, consequentemente, x = y. Com isso, concluimos que se x e y ∈ A sa˜o tais que f(x) = f(y) enta˜o x = y. Portanto, f e´ injetiva. 21 Exerc´ıcio 1.15: Dada f : A→ B, prove: (a) Para todo Z ⊂ B, tem-se que f(f−1(Z)) ⊂ Z; (b) f e´ sobrejetora se, e somente se, f(f−1(Z)) = Z para todo Z ⊂ B. (a) Seja z ∈ f(f−1(Z)). Existe x ∈ f−1(Z) tal que f(x) = z. Assim, como x ∈ f−1(Z), z = f(x) ∈ Z. Portanto, podemos concluir que f(f−1(Z)) ⊂ Z. (b) Suponhamos que f seja sobrejetora. Provaremos, para um Z ⊂ B arbitra´rio, que f(f−1(Z)) = Z. Pelo item (a), temos que f(f−1(Z)) ⊂ Z. Seja z ∈ Z. Como f e´ sobrejetiva, existe x ∈ A tal que z = f(x). Desta forma, como f(x) = z ∈ Z, segue que x ∈ f−1(Z). Logo, z = f(x) ∈ f(f−1(Z)). Desta forma, concluimos que f(f−1(Z)) ⊃ Z. Portanto, devemos ter que f(f−1(Z)) = Z. Suponhamos, por outro lado, que f(f−1(Z)) = Z, para todo Z ⊂ B. Seja z ∈ B. Definindo Z = {z}, temos que f(f−1(Z)) = Z = {z}. Desta forma, temos que z ∈ f(f−1(Z)). Assim, existe x ∈ f−1(Z) ⊂ A tal que f(x) = z. Portanto, neste caso, f e´ sobrejetiva. 22 Exerc´ıcio 1.16: Dada uma famı´lia de conjuntos (Aλ)λ∈L, seja X um conjunto com as seguintes propriedades: (1a) Para todo λ ∈ L, tem-se X ⊃ Aλ; (2a) Se Y ⊃ Aλ, para todo λ ∈ L, enta˜o Y ⊃ X. Prove que, nestas condic¸o˜es, tem-se X = ⋃ λ∈L Aλ. Pela primeira condic¸a˜o, temos que X ⊃ Aλ para cada λ ∈ L. Assim, ⋃ λ∈L Aλ ⊂ X pois cada x ∈ ⋃ λ∈L Aλ pertence a Aλ ⊂ X, para algum λ ∈ L. O conjunto ⋃ λ∈L Aλ e´ tal que ⋃ λ∈L Aλ ⊃ Aλ, para todo λ ∈ L. Logo, pela segunda condic¸a˜o, ⋃ λ∈L Aλ ⊃ X. Portanto, X = ⋃ λ∈L Aλ. 23 Exerc´ıcio 1.17: Enuncie e demonstre um resultado ana´logo ao anterior, caracterizando ⋂ λ∈L Aλ. Enunciado: Dada uma famı´lia de conjuntos (Aλ)λ∈L, seja X um conjunto com as seguintes propriedades: (1a) Para todo λ ∈ L, tem-se X ⊂ Aλ; (2a) Se Y ⊂ Aλ para todo λ ∈ L, enta˜o Y ⊂ X. Nestas condic¸o˜es, tem-se X = ⋂ λ∈L Aλ. Demonstrac¸a˜o: Todo elemento x de X pertence a ⋂ λ∈L Aλ pois x ∈ X ⊂ Aλ, pela primeira hipo´tese sobre X. Logo, ⋂ λ∈L Aλ ⊃ X. O conjunto ⋂ λ∈L Aλ e´ tal que ⋂ λ∈L Aλ ⊂ Aλ, para todo λ ∈ L. Assim, pela segunda hipo´tese sobre X, ⋂ λ∈L Aλ ⊂ X. Portanto, X = ⋂ λ∈L Aλ. 24 Exerc´ıcio 1.18: Seja f : P(A) −→ P(A) uma func¸a˜o tal que X ⊂ Y =⇒ f(Y ) ⊂ f(X) e f(f(X)) = X. Prove que f(∪Xλ) = ∩f(Xλ) e f(∩Xλ) = ∪f(Xλ).[Aqui X,Y e cada Xλ sa˜o subconjuntos de A]. Fac¸amos cada inclusa˜o separadamente. (i) f ( ⋃ Xλ) ⊂ ⋂ f (Xλ) Como ∪Xλ ⊃ Xλ, para todo λ, temos por hipo´tese que f(∪Xλ) ⊂ f(Xλ), para todo λ. Da´ı, f(∪Xλ) ⊂ ∩f(Xλ). (ii) f ( ⋃ Xλ) ⊃ ⋂ f(Xλ) Por (ii), temos que f(∩f(Xλ)) ⊃ ∪f(f(Xλ)) = ∪Xλ. Da´ı, f(f(∩f(Xλ))) ⊂ f(∪Xλ).Logo, ∩f(Xλ) ⊂ f(∪Xλ). (iii) f ( ⋂ Xλ) ⊃ ⋃ f (Xλ) Como ∩Xλ ⊂ Xλ, para todo λ, temos por hipo´tese que f(∩Xλ) ⊃ f(Xλ), para todo λ. Da´ı, f(∩Xλ) ⊃ ∪f(Xλ). (iv) f ( ⋂ Xλ) ⊂ ⋃ f (Xλ) Por (i), temos que f(∪f(Xλ)) ⊂ ∩f(f(Xλ)) = ∩Xλ. Da´ı, f(f(∪f(Xλ))) ⊃ f(∩Xλ). Logo, ∪f(Xλ) ⊃ f(∩Xλ). De (i) e (ii), temos que f(∪Xλ) = ∩f(Xλ) e de (iii) e (iv), temos f(∩Xλ) = ∪f(Xλ). 25 Exerc´ıcio 1.19: Dadas as famı´lias (Aλ)λ∈L e (Bµ)µ∈M , forme duas famı´lias com ı´ndices em L×M considerando os conjuntos (Aλ ∪Bµ)(λ,µ)∈L×M e (Aλ ∩Bmu)(λ,µ)∈L×M . Prove que se tem (⋃ λ∈L Aλ ) ∩ ⋃ µ∈M Bµ = ⋃ (λ,µ)∈L×M (Aλ ∩Bµ), (⋂ λ∈L Aλ ) ∪ ⋂ µ∈M Bµ = ⋂ (λ,µ)∈L×M (Aλ ∪Bµ). Primeiramente provemos que(⋃ λ∈L Aλ ) ∩ ⋃ µ∈M Bµ = ⋃ (λ,µ)∈L×M (Aλ ∩Bµ). Como ⋃ λ∈L Aλ ⊃ Aλ ⊃ Aλ ∩Bµ, para todo (λ, µ) ∈ L×M, temos que ⋃ λ∈L Aλ ⊃ ⋃ (λ,µ)∈L×M (Aλ ∩Bµ). Analogamente, mostra-se que ⋃ µ∈M Bµ ⊃ ⋃ (λ,µ)∈L×M (Aλ ∩Bµ). Assim, segue que (⋃ λ∈L Aλ ) ∩ ⋃ µ∈M Bµ ⊃ ⋃ (λ,µ)∈L×M (Aλ ∩Bµ) . Seja x ∈ (∪λ∈LAλ) ∩ (∪µ∈MBµ). Desta forma, x ∈ ∪λ∈LAλ e x ∈ ∪µ∈MBµ. Assim, existem λ ∈ L e µ ∈ M tais que x ∈ Aλ e x ∈ Bµ. Logo, x ∈ Aλ ∩Bµ ⊂ ⋃ (λ,µ)∈L×M (Aλ ∩Bµ) . Com isso, podemos concluir que(⋃ λ∈L Aλ ) ∩ ⋃ µ∈M Bµ ⊂ ⋃ (λ,µ)∈L×M (Aλ ∩Bµ) . Mostremos agora que (⋂ λ∈L Aλ ) ∪ ⋂ µ∈M Bµ = ⋂ (λ,µ)∈L×M (Aλ ∪Bµ). Como (Aλ ∪Bµ) ⊃ Aλ ⊃ ⋂ λ∈L Aλ, para todo (λ, µ) ∈ L×M , temos que ⋂ (λ,µ)∈L×M (Aλ ∪Bµ) ⊃ ⋂ λ∈L Aλ. 26 Analogamente, mostra-se que ⋂ (λ,µ)∈L×M (Aλ ∪Bµ) ⊃ ⋂ µ∈M Bµ. Assim, segue que ⋂ (λ,µ)∈L×M (Aλ ∪Bµ) ⊃ (⋂ λ∈L Aλ ) ∪ ⋂ µ∈M Bµ . Seja x ∈ ∩(λ,µ)∈L×M (Aλ∪Bµ). Suponhamos, por absurdo, que x /∈ (∩λ∈LAλ)∪(∩µ∈MBµ). Enta˜o, x /∈ ∩λ∈LAλ e x /∈ ∩µ∈MBµ. Assim, existem λ ∈ L e µ ∈M tais que x /∈ Aλ e x /∈ Bµ. Com igual raza˜o, existe (λ, µ) ∈ L×M tal que x /∈ Aλ∪Bµ. Um absurdo, pois como Aλ∪Bµ ⊂ ∩(λ,µ)∈L×M (Aλ∪Bµ), ter´ıamos que x /∈ ∩(λ,µ)∈L×M (Aλ∪Bµ). Logo, devemos ter que x ∈ (∩λ∈LAλ) ∪ (∩µ∈MBµ). Com isso, concluimos que ⋂ (λ,µ)∈L×M (Aλ ∪Bµ) ⊂ (⋂ λ∈L Aλ ) ∪ ⋂ µ∈M Bµ . 27 Exerc´ıcio 1.20: Seja (Aij)(i,j)∈N×N uma famı´lia de subconjuntos com ı´ndices em N× N. Prove, ou disprove por contra-exemplo, a igualdade ∞⋃ j=1 ( ∞⋂ i=1 Aij ) = ∞⋂ i=1 ∞⋃ j=1 Aij . A igualdade e´ falsa em geral. De fato, tomando-se Aij := { {1}, se i = j, ∅, se i 6= j, temos que ∞⋃ j=1 ( ∞⋂ i=1 Aij ) = ∞⋃ j=1 (∅) = ∅ e ∞⋂ i=1 ∞⋃ j=1 Aij = ∞⋂ i=1 ({1}) = {1}. 28 Exerc´ıcio 1.21: Dados os conjuntos A,B,C, estabelec¸a uma bijec¸a˜o entre F(A×B;C) e F(A;F(B;C)). Seja f : A × B → C. Podemos definir uma func¸a˜o ϕf : A → F(B;C) definindo ϕf (a) : B → C como sendo a func¸a˜o dada por ( ϕf (a) ) (b) := f(a, b), para todo b ∈ B. Verificaremos que a func¸a˜o ϕ : F(A×B;C)→ F(A;F(B;C)), dada por ϕ(f) := ϕf , para cada f ∈ F(A×B;C), e´ uma bijec¸a˜o. Suponhamos que f e g ∈ F(A×B;C) sejam tais que ϕ(f) = ϕ(g). Assim, ϕf = ϕg. Logo, dado (a, b) ∈ A×B, temos que ϕf (a) = ϕg(a) e, consequentemente, f(a, b) = ( ϕf (a) ) (b) = ( ϕg(b) ) (b) = g(a, b). Portanto, f = g. Com isso, concluimos que ϕ e´ injetiva. Seja ψ : A→ F(B;C). Podemos definir uma func¸a˜o f : A×B → C por f(a, b) := ( ψ(a) ) (b), para todo (a, b) ∈ A×B. Seja a ∈ A. Temos que( ϕf (a) ) (b) = f(a, b) = ( ψ(a) ) (b), para todo b ∈ B. Desta forma ϕf (a) = ψ(a). Portanto, como a e´ arbitra´rio, conclu´ımos que ϕf = ψ. Com isso, concluimos que ϕ e´ sobrejetiva. Portanto, ϕ : F(A×B;C)→ F(A;F(B;C)) e´ uma bijec¸a˜o como quer´ıamos demonstrar. 29 Cap´ıtulo 2 Conjuntos Finitos, Enumera´veis e Na˜o-Enumera´veis 30 Exerc´ıcio 2.1: Prove que, na presenc¸a dos axiomas P1 e P2, o axioma A abaixo e´ equivalente a P3: A : Para todo subconjunto na˜o-vazio X ⊂ N, tem-se X\s(X) 6= ∅. Relembremos as propriedades: P1 : s : N→ N e´ injetora; P2 : N\s(N) = {1}; P3 : Se X ⊂ N e´ tal que 1 ∈ X e, para todo n ∈ X, s(n) ∈ X, enta˜o X = N. Suponhamos que as afirmac¸o˜es P1, P2 e P3 sejam va´lidos. Concluiremos que o axioma A e´ valido mostrando que se X ⊂ N e´ tal que X\s(X) = ∅ enta˜o X = ∅. Equivalentemente, se X ⊂ s(X) enta˜o N\X = N. Primeiramente, temos que 1 ∈ N\X, pois, caso contra´rio, 1 ∈ s(N) ja´ que X ⊂ s(X) ⊂ s(N), contradizendo P2. Por P1, s(N\X) = s(N)\s(X) ⊃ s(N)\X. Desta forma, se n ∈ N\X enta˜o s(n) /∈ X e, consequentemente, s(n) ∈ N\X. Assim, por P3, concluimos que N\X = N. Reciprocamente, suponhamos que os axiomas P1, P2 e A sejam va´lidos. Seja X ⊂ N tal que 1 ∈ X e, para todo n ∈ X, s(n) ∈ X. Provaremos que X = N e concluiremos da´ı que P3 e´ va´lido. Suponhamos por absurdo que N\X 6= ∅. Por A, segue que existe n ∈ (N\X)\s(N\X). Como 1 /∈ N\X, devemos ter que n 6= 1 e, por P2, existe m ∈ N tal que s(m) = n. Por P1, m /∈ N\X ja´ que s(m) = n /∈ s(N\X). Assim, m ∈ X e s(m) = n /∈ X, contradizendo a hipo´tese sobre X. 31 Exerc´ıcio 2.2: Dados os nu´meros naturais a e b, prove que existe um nu´mero natural m tal que m · a > b. Se a = 1, basta tomar m = b+ 1, pois 1(b+ 1) = b+ 1 > b. Se a 6= 1 enta˜o a > 1 ja´ que a ∈ Z+. Assim, pela monoticidade da multiplicac¸a˜o em Z+, ba > b. Logo, para m := b, temos que ma > b. 32 Exerc´ıcio 2.3: Seja a um nu´mero natural. Se um conjunto X e´ tal que a ∈ X e, ale´m disso, n ∈ X ⇒ n+ 1 ∈ X, enta˜o X conte´m todos os nu´meros naturais ≥ a. Seja A := {k ∈ Z+ : a+ k ∈ X}. Pela definic¸a˜o da relac¸a˜o 6 em Z+, b > a se e somente se b = a+k para algum k ∈ Z>0. Desta forma, provando que A = Z+ podemos concluir que X conte´m todos os nu´meros naturais > a. Como a ∈ X, temos, pela propriedade de X, que a+ 1 ∈ X. Logo, 1 ∈ A. Suponhamos que k ∈ A. Pela definic¸a˜o de A, isto implica que a+ k ∈ X. Assim pela propriedade de X, temos que a+ k + 1 ∈ X. Logo, k + 1 ∈ A. Portanto, pelo PIF, segue que A = Z+. 33 Exerc´ıcio 2.4: Tente descobrir, independentemente, algumas das demonstrac¸o˜es omitidas no texto. Associatividade: m+ (n+ p) = (m+ n) + p. Provada no livro. Comutatividade: m+ n = n+m. Primeiramente mostraremos que m+ 1 = 1 +m, para todo m ∈ Z+. O caso em que m = 1 e´ tautolo´gico. Supondo, como hipo´tese de induc¸a˜o, que m+ 1 = 1 +m para algum m ∈ Z+, segue que s(m) + 1 = s(s(m)) = s(m+ 1) = s(1 +m) = 1 + s(m). Assim, pelo PIF, temos que m+ 1 = 1 +m, para todo m ∈ Z+. Por fim, provaremos, para m ∈ Z+ arbitra´rio e por induc¸a˜o em n ∈ Z+, que m+ n = n+m. O caso n = 1 foi provado no para´grafo anterior. Supondo, como hipo´tese de induc¸a˜o, que m+ n = n+m para algum n ∈ Z+, segue que m+ s(n) = s(m+ n) = s(n+m) = n+ s(m) = n+ (m+ 1) = n+ (1 +m) = (n+ 1) +m = s(n) +m. E o resultado segue pelo PIF. Lei do Corte: m+ n = m+ p⇒ n = p. Sejam n e p ∈ Z+. Provaremos, por induc¸a˜o em m ∈ Z+, que se m+ n = m+ p enta˜o n = p. O caso em que m = 1 resume-se a` injetividade da func¸a˜o s : Z+ → Z+. Isto e´, como s(n) = n+ 1 = 1 + n = 1 + p = p+ 1 = s(p), temos que n = p. Suponhamos, como hipo´tese de induc¸a˜o, que m+n = m+p implique que n = p. Assim, se s(m)+n = s(m)+p enta˜o s(m+ n) = s(n+m) = n+ s(m) = s(m) + n = s(m) + p = p+ s(m) = s(p+m) = s(m+ p). Assim, se s(m) + n = s(m) + p temos, novamente pela injetividade de s : Z+ → Z+, que m + n = m + p e, pela hipo´tese de induc¸a˜o, n = p. E o resultado segue pelo PIF. Tricotomia: Dados m e n ∈ Z+, exatamente uma das treˆs alternativas seguintes podem ocorrer: ou m = n, ou existe p ∈ Z+ tal que m = n+ p, ou, enta˜o, existe q ∈ Z+ com n = m+ q. Dizemos que (m,n) ∈ Z+×Z+ satisfaz a condic¸a˜o C se exatamente uma das exatamente uma das treˆs alterna-tivas ocorre: 34 • m = n; • m = n+ p, para algum p ∈ Z+; • n = m+ q, para algum q ∈ Z+. Seja X o subconjunto de Z+ × Z+ definido por T := {(m,n) ∈ Z+ × Z+ : (m,n) satisfaz C}. Observemos que, como T = ⋃ m∈Z+ {m} × Tm, onde Tm := {n ∈ Z+ : (m,n) satisfaz C}, mostrando que Tm = Z+, para cada m ∈ Z+, podemos concluir que T = ⋃ m∈Z+ {m} × Tm = ⋃ m∈Z+ {m} × Z+ = Z+ × Z+. Portanto, concluimos a Lei da Tricotomia. Procederemos com a demonstrac¸a˜o de que Tm = Z+ por induc¸a˜o em m ∈ Z+. Consideremos o caso em que m = 1. Se n = 1 temos que n = m. Ale´m disso, como 1 /∈ s(Z), segue que m = 1 6= sp(n) = n+ p e n = 1 6= sq(m) = m+ q, para todos p e q ∈ Z+. Logo, (1, 1) satisfaz a condic¸a˜o C e, consequentemente, 1 ∈ T1. Supondo que n ∈ T1, como na˜o se pode ter que 1 = m+ q = sq(m) ja´ que 1 /∈ s(Z+), temos que exatamente uma das duas alternativas ocorre: • n = 1 e, equivalentemente, s(n) = 1 + 1; • n = 1 + q e, equivalentemente, s(n) = s(1 + q) = 1 + s(q). Logo, se n ∈ T1 enta˜o s(n) ∈ T1. Com isso, concluimos, pelo PIF, que T1 = Z+. Suponhamos, como hipo´tese de induc¸a˜o, que Tm = Z+. Provaremos que Ts(m) = Z+. Como X1 = Z+, temos imediatamente que (1, s(m)) satisfaz a condic¸a˜o C e, consequentemente, (s(m), 1) satisfaz a condic¸a˜o C. Logo, 1 ∈ Ts(m). Supondo que n ∈ Ts(m), temos que exatamente uma das treˆs alternativas ocorrem: • n = s(m): Neste caso, s(n) = s(s(m)) = s(m) + 1; • n = s(m) + q, para algum q ∈ Z+: Neste caso, s(n) = s(s(m) + q) = s(m) + s(q); • s(m) = n+ p, para algum p ∈ Z+: Neste caso, se p = 1 enta˜o s(m) = s(n). E, se p ∈ Z+\{1} = s(Z+), existe p˜Z+ tal que p = s(p˜), e assim s(m) = n+ p = n+ s(p˜) = n+ (1 + p˜) = (n+ 1) + p˜ = s(n) + p˜. Assim, se n ∈ Ts(m), temos que exatamente uma das treˆs alternativas ocorrem: • s(n) = s(m) (no caso em que n = s(m)); • s(n) = s(m) + q˜ (no caso em que n = s(m) ou n = s(m) + q, onde q˜ = s(q)); • s(m) = s(n) + p˜ (no caso em que s(m) = n+ p, onde p = s(p˜)). 35 Logo, se n ∈ Ts(m) enta˜o s(n) ∈ Ts(m). Com isso, concluimos, pelo PIF, que Ts(m) = Z+. Portanto, Xm = Z+, para todo m ∈ Z+. Transitividade: se m < n e n < p enta˜o m < p. Se, para m, n e p ∈ Z+, tivermos que m < n e n < p enta˜o existem r e s ∈ Z+ tais que m+ r = n e n+ s = p. Desta forma, p = n+ s = (m+ r) + s = m+ (r + s). Logo, m < p. Tricotomia: dados m e n ∈ Z+ exatamente uma das alternativas seguintes pode ocorrer: ou m = n, ou m < n ou n < m. Sejam m e n ∈ Z+. Segundo a tricotomia da adic¸a˜o (provada acima), exatamente uma das treˆs condic¸o˜es e´ va´lida: ou m = n; ou existe p ∈ Z+ tal que m = n+ p e, portanto, m > n; ou existe q ∈ Z+ tal que n = m+ q e, portanto, m < n. Monoticidade da adic¸a˜o: se m < n enta˜o, para todo p ∈ Z+, tem-se m+ p < n+ p. Provada no livro. Associatividade: m · (n · p) = (m · n) · p. Provada no livro. Comutatividade: m · n = n ·m. Primeiramente, provaremos que m · 1 = 1 ·m, para todo m ∈ Z+. Depois, supondo, como hipo´tese de induc¸a˜o, que n ∈ Z+ e´ tal que m · n = n ·m, para todo m ∈ Z+, provaremos que n+ 1 e´ tal que m · (n+ 1) = (n+ 1) ·m. Como isso, o resultado segue pelo Princ´ıpio da Induc¸a˜o Finita. Provaremos a igualdade m · 1 = 1 ·m por induc¸a˜o em m ∈ Z+. Para m = 1 a igualdade e´ trivial. Suponhamos, como hipo´tese de induc¸a˜o, que m · 1 = 1 ·m, para algum m ∈ Z+. Desta forma, temos que (m+ 1) · 1 = m+ 1 = m · 1 + 1 = 1 ·m+ 1 = 1 · (m+ 1). Logo, pelo PIF, a igualdade e´ va´lida. Suponhamos que n ∈ Z+ seja tal que m · n = n ·m, para todo m ∈ Z+. Mostraremos, por induc¸a˜o em m, que m · (n+ 1) = (n+ 1) ·m, para todo m ∈ Z+. Para m = 1, o resultado segue do para´grafo anterior. E, supondo que m · (n+ 1) = (n+ 1) ·m, temos que (m+ 1) · (n+ 1) = (m+ 1) · n+ (m+ 1) = n · (m+ 1) + (m+ 1) = n ·m+ n+m+ 1 = m · n+m+ n+ 1 = m · (n+ 1) + (n+ 1) = (n+ 1) ·m+ (n+ 1) = (n+ 1) · (m+ 1). E temos o resultado. Distributividade: m(n+ p) = m · n+m · p. 36 Provada no livro. Lei do Corte: m · p = n · p⇒ m = n. Suponhamos que m, n e p ∈ Z+ sa˜o tais que m · p = n · p. Pela tricotomia, exatamente uma das treˆs condic¸o˜es e´ satisfeita: ou m = n+ q, para algum q ∈ Z+; ou m = n+ q, m = n + q, para algum q ∈ Z+; ou m = n. Provaremos que as duas primeiras condic¸o˜es na˜o sa˜o poss´ıveis e, com isso, teremos o resultado. Suponhamos que m = n+ q, para algum q ∈ Z+. Segue que n · p = m · p = (n+ q) · p = p · (n+ q) = p · n+ p · q = n · p+ p · q. Contradizendo a tricotomia. De forma ana´loga, na˜o podemos ter n = m+ q, para algum q ∈ Z+. Monoticidade: m < n⇒ m · p < n · p. Sejam n e m ∈ Z+ tais que m < n. Provaremos que m · p < n · p, para todo p ∈ Z+, por induc¸a˜o em p. Para p = 1, a desigualdade e´ imediata. Suponhamos, como hipo´tese de induc¸a˜o, que m · p < n · p, para um certo p ∈ Z+. Como m < n, existe q ∈ Z+ tal que n = m+ q. Assim, n · (p+ 1) = (m+ q) · (p+ 1) = (p+ 1) · (m+ q) = (p+ 1) ·m+ (p+ 1) · q = m · (p+ 1) + (p+ 1) · q. e, consequentemente, n · (p+ 1) < m · (p+ 1). E o resultado segue, como quer´ıamos, pelo PIF. 37 Exerc´ıcio 2.5: Um elemento a ∈ Z+ chama-se antecessor de b ∈ Z quando se tem a < b mas na˜o existe c ∈ Z+ tal que a < c < b. Prove que, exceto 1, todo nu´mero natural possui um antecessor. Seja x ∈ Z+\{1}. Mostraremos que x possui um antecesor. Pelo axioma de Peano P2, x = s(y) = y + 1 para algum y ∈ Z+. Logo, y < x. Suponhamos que z ∈ Z+ e´ tal que z < x. Mostraremos que z 6 y. Temos que x = z + n, para algum n ∈ Z+. Se n = 1 temos que y + 1 = x = z + 1 e, consequentemente, pela Lei do Corte, y = z. Se n ∈ Z+\{1} enta˜o, novamente pelo axioma de Peano P2, existe m ∈ Z+ tal que n = s(m). Assim, s(y) = x = z + n = z + s(m) = s(z +m) e, pela injetividade da func¸a˜o s (axioma de Peano P1), y = z +m. Logo, z < y. Portanto, y e´ um antecessor de x. 38 Exerc´ıcio 2.6: Use induc¸a˜o para demonstrar os seguintes fatos: (a) 2(1 + 2 + 3 + · · ·+ n) = n(n+ 1); (b) 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n+ 1) = (n+ 1)2; (c) (a− 1)(1 + a+ a2 + · · ·+ an) = an+1 − 1, seja quais forem a, n ∈ Z+; (d) n ≥ 4⇒ n! > 2n. (a) Para n = 1, temos a igualdade ja´ que 2(1) = 2 = 1(1 + 1). Supondo que a igualdade seja verdadeira para n = k, segue que 2(1 + 2 + 3 + · · ·+ k + (k + 1)) = 2(1 + 2 + 3 + · · ·+ k) + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1) = (k + 2)(k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1). Portanto, pelo PIF, temos o resultado. (b) Para n = 1, temos a igualdade ja´ que 1 + 3 = 4 = (1 + 1)2. Supondo que a igualdade seja verificada para n = k, segue que 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k + 1) + (2(k + 1) + 1) = (k + 1)2 + (2(k + 1) + 1) = (k + 1)2 + 2(k + 1)1 + 12 = ((k + 1) + 1)2. Portanto, pelo PIF, temos o resultado. (c) Para n = 1, temos a igualdade ja´ que (a− 1)(1 + a) = a2 − 1. Supondo que a igualdade seja verdadeira para n = k, segue que (a− 1)(1 + a+ a2 + · · ·+ ak + ak+1) = (a− 1)(1 + a+ a2 + · · ·+ ak) + (a− 1)(ak+1) = (ak+1 − 1) + (ak+2 − ak+1) = ak+2 − 1. Portanto, pelo PIF, temos o resultado. (d) Para n = 4, temos a desigualdade ja´ que 4! = 24 > 16 = 24. Supondo que a desigualdade seja verdadeira para n = k > 4, segue que (k + 1)! > (k!)(k + 1) > 2k > 2k2 = 2k+1. Portanto, pelo PIF, temos o resultado. 39 Exerc´ıcio 2.7: Use o Segundo Princ´ıpio de Induc¸a˜o para demonstrar a unicidade de decomposic¸a˜o de um nu´mero natural em fatores primos. O resultado do enunciado e´ comumente demonstrado nos livros sobre Teoria do Nu´meros utilizando-se resultados provados com o uso do conceito de ma´ximo divisor comum como, por exemplo, a implicac¸a˜o: Se p ∈ Z+ e´ primo e p divide o produto mn dos elementos m e n ∈ Z+enta˜o p divide m ou n. Para evitarmos a utilizac¸a˜o de ferramentas de fora do texto, faremos uma demonstrac¸a˜o mais longa, mas que usa somente as propriedades da soma, multiplicac¸a˜o(apresentadas neste cap´ıtulo) e da subtrac¸a˜o (que sera´ muito brevemente tratada no pro´ximo cap´ıtulo). Esta demonstrac¸a˜o e´ uma adapatac¸a˜o de uma demonstrac¸a˜o encontrada em: • http://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental theorem of arithmetic Seja n ∈ Z+ tal que todo m < n em Z+ possui uma u´nica decomposic¸a˜o em fatores primos. Provaremos que n possui uma u´nica decomposic¸a˜o em fatores primos e concluiremos, do Segundo Princ´ıpio da Induc¸a˜o, que todo n ∈ Z+ possui uma u´nica fatorac¸a˜o em fatores primos. Suponhamos que α1α2 . . . αp e β1β2 . . . βq sejam duas decomposic¸o˜es de n em fatore primos αi e βj . Devemos mostrar que a sequeˆncia α1, α2, . . . , αp e´ uma permutac¸a˜o da sequeˆncia β1, β2, . . . , βq. Podemos supor, sem perda de generalidade, que α1 6 β1. Tambe´m podemos supor que m na˜o e´ primo, pois pela pro´pria definic¸a˜o de nu´mero primo, m teria imediatamente uma u´nica fatorac¸a˜ em fatores primos. Ou seja, p e q sa˜o maiores que 1. Se α1 = βi para algum i ∈ {1, . . . , q}, temos, pela Lei do Corte, que α2α3 . . . αp = β1 . . . βi−1βi+1 . . . βq. Assim, como α2α3 . . . αp < n, devemos ter, pela hipo´tese de induc¸a˜o que β2, α3, . . . , αp e´ uma permutac¸a˜o da sequeˆncia β1, . . . , βi−1, βi+1, . . . , βq. Portanto, α1, α2, α3, . . . , αp e´ uma permutac¸a˜o da sequeˆncia β1, . . . , βi−1, βi, βi+1, . . . , βq. No restante desta demonstrac¸a˜o, encontraremos uma contradic¸a˜o supondo que α1 ∈ {β1, . . . , βq}. Assim, como mostrado acima, teremos o resultado. Suponhamos que α1 /∈ {β1, . . . , βq}. Segue que α1 < β1. O inteiro m := (β1 − α1)(β2 . . . βq) e´ positivo, pois β1 − α1 > 0 e β2 . . . βq > 0. Ale´m disso, m = (β1 − α1)(β2 . . . βq) = n− α1β2 . . . βq < n. Devemos ter que β1 − α1 = 1 e m = β2 . . . βq; ou β1 − α1 = γ1 . . . γs e m = γ1 . . . γsβ2 . . . βq, para nu´meros primos γ1, . . . , γs ∈ Z+. Tambe´m temos que m = (β1 − α1)(β2 . . . βq) = n− α1β2 . . . βq = α1α2 . . . αp − α1β2 . . . βq = α1(α2 . . . αp − β2 . . . βq) Como m e α1 sa˜o positivos, devemos ter que α2 . . . αp−β2 . . . βq tambe´m e´ positivo. Logo, α2 . . . αp−β2 . . . βq = 1 e m = α1; ou α2 . . . αp − β2 . . . βq = θ1 . . . θr e m = α1θ1 . . . θr, para nu´meros primos θ1, . . . , θr ∈ Z+. 40 Com isso, concluimos que {β2, . . . , βq} ou {γ1, . . . , γs, β2, . . . , βq} e´ uma permutac¸a˜o de {α1} ou {α1, θ1, . . . , θr}, ja´ que m < n possui uma u´nica fatorac¸a˜o em fatores primos. Em especial, devemos ter que α1 ∈ {β2, . . . , βq} ou {γ1, . . . , γs, β2, . . . , βq}. Logo, como α1 /∈ {β1, . . . , βq}, devemos ter que α1 ∈ {γ1, . . . , γs}. Por fim, para algum k ∈ Z+, α1k = γ1 . . . γs = β1 − α1 e, consequentemente, α1(k + 1) = β1. Contradizendo o fato de β1 ser primo. 41 Exerc´ıcio 2.8: Seja X um conjunto com n elementos. Use induc¸a˜o para provar que o conjunto das bijec¸o˜es (ou permutac¸o˜es) f : X → X tem n! elementos. Seja X o conjunto formado pelos elementos (distintos) x1, x2, . . . , xn. Provaremos, por induc¸a˜o em n ∈ Z+, que o conjunto SX , das bijec¸o˜es f : X → X, tem n! elementos. O resultado e´ va´lido para n = 1 uma vez que, neste caso, so´ existe uma func¸a˜o f : X → X e esta e´ bijetiva. Suponhamos que n > 1 e, como hipo´tese de induc¸a˜o, que o conjunto Y = X\{xn} seja tal que o conjunto SY , das func¸o˜es bijetivas g : Y → Y , tenha (n− 1)! elementos. Sejam SX,k := {f ∈ SX : f(xn) = xk}, para todo k = 1, . . . , n. Segue desta definic¸a˜o que SX,i ∩ SX,j = ∅ quando i 6= j e que SX = SX,1 ∪ SX,2 ∪ · · · ∪ SX,n. Assim, pelo Corola´rio 1 do Teorema 6, temos que card(SX) = card(SX,1) + card(SX,2) + · · ·+ card(SX,n). Desta forma, mostrando que card(SX,1) = card(SX,2) = · · · = card(SX,n) = SY = (n− 1)! concluiremos que card(SX) = n · (n− 1)! = n!, como quer´ıamos demonstrar. Dado f ∈ SX,n, temos que f(xn) = xn e, como f e´ uma bijec¸a˜o, f(Y ) = Y . Assim, cada f ∈ SX,n define uma bijec¸a˜o φ(f) : Y → Y dada por ( φ(f) ) (y) = f(y), em cada y ∈ Y . Com isso, temos uma func¸a˜o φ : SX,n → SY . Se f1 e f2 ∈ SX,n sa˜o tais que φ(f1) = φ(f2) enta˜o f1(y) = ( φ(f1) ) (y) = ( φ(f2) ) (y) = f2(y), f1(xn) = xn = f2(xn) e, consequentemente, f1 = f2. Dado g ∈ SY , podemos definir uma func¸a˜o f ∈ SX por f(xi) = { g(xi), se i = 1, . . . , n− 1, xn, se i = n. Desta forma, φ(f) = g. Portanto, concluimos que φ : SX,n → SY e´ uma bijec¸a˜o e, consequentemente, que card(SX,n) = card(SY ). Provaremos, para k = 1, . . . , n− 1, que card(SX,k) = card(SX,n). 42 Considermos a bijec¸a˜o σ ∈ SX dada por σ(xi) = xi, se i 6= k, n,xn, se i = k, xk, se i = n. Segue desta definic¸a˜o que σ ◦ σ = IX (a func¸a˜o identidade em X). Dado h ∈ SX,k, temos que σ ◦h : X → X e´ uma composic¸a˜o de bijec¸o˜es e, logo, uma bijec¸a˜o. Ale´m disso, como σ ◦ h(xn) = σ(xk) = xn, temos que σ ◦ h ∈ SX,n. Assim, podemos definir uma func¸a˜o ψ : SX,k → SX,n por ψ(h) = σ ◦ h, para cada h ∈ SX,k. De forma ana´loga, verifica-se que uma func¸a˜o ρ : SX,n → SX,k fica bem definida pela igualdade ρ(f) = σ ◦ f, para cada f ∈ SX,n. Por fim, para cada f ∈ SX,n, ψ ◦ ρ(f) = ψ(σ ◦ f) = σ ◦ (σ ◦ f) = (σ ◦ σ) ◦ f = f e, para cada h ∈ SX,k, ρ ◦ ψ(h) = ρ(σ ◦ h) = σ ◦ (σ ◦ h) = (σ ◦ σ) ◦ h = h. Logo, ρ e´ uma inversa para ψ : SX,k → SX,n. E, portanto, card(SX,k) = card(SX,n). Como quer´ıamos demonstrar. 43 Exerc´ıcio 2.9: Sejam X e Y conjuntos finitos. a) Prove que card(X ∪ Y ) + card(X ∩ Y ) = card(X) + card(Y ). b) Qual seria a fo´rmula correspondente para treˆs conjuntos? c) Generalize. (a) A func¸o˜es dada por x ∈ X → (1, x) ∈ {1} ×X e´ uma bijec¸a˜o entre X e {1} ×X. Logo, card(X) = card({1} ×X). Analogamente, tambe´m temos que card(Y ) = card({2} × Y ). card(X ∪ Y ) = card({3} × (X ∪ Y )) e card(X ∩ Y ) = card({4} × (X ∩ Y )). Consideremos os conjuntos A := ({1} ×X) ∪ ({2} × Y ) e B := ({3} × (X ∪ Y )) ∪ ({4} × (X ∩ Y )). Como ({1} ×X) ∩ ({2} × Y ) = ({3} × (X ∪ Y )) ∩ ({4} × (X ∩ Y )) = ∅, temos, pelo Teorema 6 do Cap´ıtulo II, que card(A) = card({1} ×X) + card({2} × Y ) e card(B) = card ({3} × (X ∪ Y ))+ card ({4} × (X ∩ Y )). Seja f : A→ B a func¸a˜o definida por f(n, z) = (3, z), se (n, z) ∈ {1} ×X,(3, z), se (n, z) ∈ {2} × (Y \X), (4, z), se (n, z) ∈ {2} × (X ∩ Y ). E´ fa´cil verificar que f e´ injetiva e sobrejetiva. Com isso, card(A) = card(B). Portanto, temos que card(X ∪ Y ) + card (X ∩ Y ) = card ({3} × (X ∪ Y ))+ card ({4} × (X ∩ Y )) = card(B) = card(A) = card({1} ×X) + card({2} × Y ) = card(X) + card(Y ). (b) 44 Sejam X, Y e Z conjuntos finitos. Temos, pelo item (a), que card(X) + card(Y ) + card(Z) = card(X) + card(Y ∪ Z) + card(Y ∩ Z) = card ( X ∪ (Y ∪ Z))+ card (X ∩ (Y ∪ Z))+ card(Y ∩ Z) = card(X ∪ Y ∪ Z) + card ((X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z))+ card(Y ∩ Z) = card(X ∪ Y ∪ Z) + card(X ∩ Y ) + card(X ∩ Z)− card ((X ∩ Y ) ∩ (X ∩ Z)) + card(Y ∩ Z) = card(X ∪ Y ∪ Z) + card(X ∩ Y ) + card(X ∩ Z) + card(Y ∩ Z) − card(X ∩ Y ∩ Z). (c) Provaremos, por induc¸a˜o em n > 2 em Z+, que se Xi, i = 1, . . . , n, sa˜o conjuntos finitos, enta˜o n∑ i=1 card(Xi) = card ( n⋃ i=1 Xi ) + n∑ k=2 (−1)k ∑ 16i1<···<ik6n card ( k⋂ p=1 Xip ) . O caso n = 2 e´ exatamente o tratado no item (a). Suponhamos que Xi, i = 1, . . . , n + 1, sejam conjuntos finitos e que a igualdade que queremos provar seja va´lida para quaisquer n conjuntos finitos dados. Desta forma, temos que n+1∑ i=1 card(Xi) = = card ( n⋃ i=1 Xi ) + n∑ k=2 (−1)k ∑ 16i1<···<ik6n card ( k⋂ p=1 Xip ) + card(Xn+1) = ( card ( n⋃ i=1 Xi ) + card(Xn+1) ) + n∑ k=2 (−1)k ∑ 16i1<···<ik6n card ( k⋂ p=1 Xip ) = ( card (( n⋃ i=1Xi ) ∪Xn+1 ) + card (( n⋃ i=1 Xi ) ∩Xn+1 )) + n∑ k=2 (−1)k ∑ 16i1<···<ik6n card ( k⋂ p=1 Xip ) = card ( n+1⋃ i=1 Xi ) + card ( n⋃ i=1 (Xi ∩Xn+1) ) + n∑ k=2 (−1)k ∑ 16i1<···<ik6n card ( k⋂ p=1 Xip ) = card ( n+1⋃ i=1 Xi ) + n∑ k=2 (−1)k ∑ 16i1<···<ik6n card ( k⋂ p=1 Xip ) + n∑ i=1 card(Xi ∩Xn+1)− n∑ k=2 (−1)k ∑ 16i1<···<ik6n card ( k⋂ p=1 (Xip ∩Xn+1) ) = card ( n+1⋃ i=1 Xi ) + n∑ k=2 (−1)k ∑ 16i1<···<ik<n+1 card ( k⋂ p=1 Xip ) + n+1∑ k=2 (−1)k ∑ 16i1<···<ik=n+1 card ( k⋂ p=1 (Xip) ) = card ( n+1⋃ i=1 Xi ) + n+1∑ k=2 (−1)k ∑ 16i1<···<ik6n+1 card ( k⋂ p=1 Xip ) . Portanto, o resultado segue do PIF. 45 Exerc´ıcio 2.10: Dado um conjunto finito X, prove que uma func¸a˜o f : X → X e´ injetora se, e somente se, e´ sobrejetora. Consideremos a func¸a˜o g : X → f(X) definida por g(x) = f(x), para todo x ∈ X. Se f for injetiva, devemos ter, diretamente da definic¸a˜o de g, que g e´ uma bijec¸a˜o. Assim, o subconjunto g(X) = f(X) de X estaria em bijec¸a˜o com o pro´prio conjunto X. Logo, como X e´ finito, temos, pelo Teorema 4 do Cap´ıtulo II, que f(X) = X. Ou seja, f seria sobrejetora. Suponhamos que f seja sobrejetiva. Deve existir uma func¸a˜o h : X → X que e´ a inversa a` direita de X, isto e´, f ◦ h e´ a identidade em X (veja o final do Cap´ıtulo I). Por sua vez, h possui uma invesa a` esquerda e, logo, e´ injetiva. Pelo que foi mostrado acima, isto implica que h e´ sobrejetiva. Logo, existe f˜ : X → X tal que h ◦ f˜ e´ a identidade idX : X → X em X. Assim, f = f ◦ idX = f ◦ (h ◦ f˜) = (f ◦ h) ◦ f˜ = idX ◦f˜ = f˜ . Portanto, f e´ injetiva pois possui h como inversa a` esquerda. 46 Exerc´ıcio 2.11: Formule matematicamente e demonstre o seguinte fato (conhecido como princ´ıpio das gavetas). Se m < n, enta˜o de qualquer modo como se guardem n objetos em m gavetas, havera´ sempre uma gaveta, pelo menos, que contera´ mais de um objeto. Princ´ıpio das Gavetas: f : In → Im com n > m na˜o e´ injetiva. Seja f : In → Im, com n > m, uma func¸a˜o. Suponhamos, por absurdo, que f seja injetiva. Segue que f |Im tambe´m e´ injetiva. Assim, pelo Exerc´ıcio 2.10, f |Im seria tambe´m sobrejetiva. Logo, f seria sobrejetiva. Desta forma, f seria uma bijec¸a˜o entre um conjunto finito e um de seus subconjuntos pro´prios, contradizendo o Corola´rio 2 do Teorema 3 do Cap´ıtulo II. 47 Exerc´ıcio 2.12: Seja X um conjunto com n elementos. Determine o nu´mero de func¸o˜es injetivas f : Ip → X. Princ´ıpio da contagem. Escolhamos um dos n elementos de X para ser f(1). Da´ı escolhamos 1 dos n − 1 elementos restantes para ser f(2). E assim sucessivamente temos que o nu´mero de func¸o˜es injetivas poss´ıveis e´ n(n− 1)(n− 2)...(n− p+ 1). 48 Exerc´ıcio 2.13: Quantos subconjuntos com p elementos possui um subconjunto X, sabendo-se que X tem n elementos? Se n < p, vem de P1 que na˜o existe subconjunto de X com p elementos. Caso contra´rio podemos definir uma func¸a˜o f : [1, p] ∩ N→ X(pelo axioma da escolha). Pelo princ´ıpio da contagem, temos que f pode ser definida de n! p!(n− p)! modos distintos. Pore´m, para cada imagem de f, f pode ter sido definida de p! formas. Sendo assim, existem n! p!(n− p)! imagens de f. 49 Exerc´ıcio 2.14: Prove que se A tem n elementos, enta˜o P (A) tem 2n elementos. Associemos a cada X ∈ P (A) uma func¸a˜o fX : A → {0, 1} dada por f(x) = 1 se x ∈ X e f(x) = 0 se x /∈ X. Temos enta˜o que a aplicac¸a˜o X → fX e´ uma bijec¸a˜o. E como, pelo princ´ıpio da contagem, e´ poss´ıvel se fazer 2 func¸o˜es f : A→ {0, 1} diferentes, temos que a ordem de P (A) e´ exatamente 2. 50 Exerc´ıcio 2.15: Defina um func¸a˜o sobrejetiva f : N→ N tal que, para todo n ∈ N, o conjunto f−1(n) seja infinito. Seja f : N→ N tal que f(2n3m) = n e f(x) = 1 para x divis´ıvel por qualquer primo diferente de 2 e 3. Portanto, f−1(N) ⊃ {2n3, 2n32, ..., 2n3m, ...}. 51 Exerc´ıcio 2.16: Prove que se X e´ infinito enumera´vel, o conjunto das partes finitas de X tambe´m e´ (infinito) enumera´vel. Seja X = {x1, x2, ...}. Temos que P = ∞⋃ i=1 {A ⊂ {x1, x2, ..., xi}} = ∞⋃ i=1 Fi. Temos que cardFi = 2 i. Como P e´ uma reunia˜o enumera´vel de conjuntos enumera´veis, P e´ enumera´vel. 52 Exerc´ıcio 2.17: Seja f : X → X uma func¸a˜o. Um subconjunto Y ⊂ X chama-se esta´vel relativamente a` f quando f(Y ) ⊂ Y. Prove que um subconjunto X e´ finito se, e somente existe um func¸a˜o f : X → X que so´ admite os subconjuntos esta´veis ∅ e X. (⇒) Seja X = {x1, x2, ..., xn} e f : X → X dado por f(xi) = xi+1 se 1 ≤ i < n e f(xn) = x1. Se f e´ esta´vel em A e xp ∈ A, temos que xq = fq−p(modn)(xp) ∈ A. Logo, A = X. (⇐) Dado x0 ∈ X (se X 6= ∅, X e´ finito) consideremos o conjunto A = {x0, f(x0), f2(x0), ..., fn(x0), ...}. Da´ı X = A, pois f e´ esta´vel em A e A 6= ∅. Se na˜o existir k ∈ N tal que fk(x0) = x0, A − {x0} e´ esta´vel por f e logo A − {x0} = X − {x0} = ∅, ou seja, X = {x0}, ou A = X = A− {x0}, absurdo. Por outro lado, se existir k ∈ N tal que fk(x0) = x0 o conjunto {x0, f(x0), f2(x0), ..., fk−1(x0)} e´ esta´vel por A e na˜o vazio, logo e´ igual a X. 53 Exerc´ıcio 2.18: Seja f : X → X uma func¸a˜o injetiva tal que f(X) 6= X. Tomando x ∈ X − f(X), prove que os elementos x, f(x), f(f(x)), ... sa˜o dois a dois distintos. Provaremos por induc¸a˜o em n que para todo p ∈ N, temos que fn(x) 6= fn+p(x) e a proposic¸ ao estar´a demonstrada. Com x /∈ f(X), temos que x 6= fp(x), para todo p ∈ N. Suponhamos que fn(x) 6= fn+p(x). Enta˜o fn+1(x) 6= fn+1+p(x) pois f e´ injetora. Pelo PIF o resultado segue. 54 Exerc´ıcio 2.19: Dado um conjunto finito X, prove que uma func¸a˜o f : X → X e´ injetora se, e somente se, e´ sobrejetora. Consideremos a func¸a˜o g : X → f(X) definida por g(x) = f(x), para todo x ∈ X. Se f for injetiva, devemos ter, diretamente da definic¸a˜o de g, que g e´ uma bijec¸a˜o. Assim, o subconjunto g(X) = f(X) de X estaria em bijec¸a˜o com o pro´prio conjunto X. Logo, como X e´ finito, temos, pelo Teorema 4 do Cap´ıtulo II, que f(X) = X. Ou seja, f seria sobrejetora. Suponhamos que f seja sobrejetiva. Deve existir uma func¸a˜o h : X → X que e´ a inversa a` direita de X, isto e´, f ◦ h e´ a identidade em X (veja o final do Cap´ıtulo I). Por sua vez, h possui uma invesa a` esquerda e, logo, e´ injetiva. Pelo que foi mostrado acima, isto implica que h e´ sobrejetiva. Logo, existe f˜ : X → X tal que h ◦ f˜ e´ a identidade idX : X → X em X. Assim, f = f ◦ idX = f ◦ (h ◦ f˜) = (f ◦ h) ◦ f˜ = idX ◦f˜ = f˜ . Portanto, f e´ injetiva pois possui h como inversa a` esquerda. 55 Exerc´ıcio 2.20: (a) Se X e´ finito e Y e´ enumera´vel, enta˜o F(X,Y ) e´ enumera´vel. (b) Para cada func¸a˜o f : N → N seja Af = {n ∈ N; f(n) 6= 1}. Prove que o conjunto X das func¸o˜es f : N → N tais que Af e´ finito e´ um conjunto enumera´vel. Item (a) Seja X = {x1, ..., xn}. Definimos φ : F(X,Y ) → Y n f → (f(x1), ..., f(xn)). Temos que φ e´ claramente injetiva. Logo, F(X,Y ) esta´ em bijec¸a˜o com o conjunto φ(F(X,Y )) ⊂ Y n. Como Y e´ enumera´vel, Y n e´ enumera´vel (pois e´ produto finito de conjuntos enumera´veis). Assim, φ(F(X,Y )) ⊂ Y n e´ anumera´vel e, consequentemente, F(X,Y ) e´ enumera´vel. Item (b) Seja Fn := {Y ⊂ N; cardY = n}. Definimos φ : Fn → Y n Y = {y1, ..., yn} → (y1, ..., yn). Claramente, φ e´ injetiva. Como Y n e´ enumera´vel, segue que Fn e´ enumera´vel. Portanto, F := ∞⋃ n=1 Fn e´ enumera´vel. Seja ψ : X → ⋃Y ∈FF(Y,N) f → f |Af . Temos que ψ e´ injetiva. De fato, se f, g ∈ X sa˜o tais que ψ(f) = ψ(g) temos que f |Af = g|Ag implicando que Af = Ag, f |Af = g|Ag , e f
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