Preparação P2

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Calculo III -A-
Lista preparato´ria para a segunda prova.
1. Calcule a integral
∫
C y
2dx + 3xydy de duas formas diferentes, onde C e´ a curva que forma a
fronteira do anel {(x, y) : 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4}.
A integral acima e´ independente do caminho?
2. Sejam F1(x, y) = (
−y
x2+y2
, x
x2+y2
) e F2(x, y) = (y, x− y sin y).
(a) Diga se F1 e F2 sa˜o campos conservativos. Justifique a resposta e, se algum for conservativo,
calcule a func¸a˜o potencial f .
(b) Calcule o trabalho feito por F1 ao longo de um pentaˆgono centrado na origem.
(c) Calcule o trabalho feito por F2 ao longo de um triaˆngulo centrado na origem.
3. Seja F (x, y, z) = (z, y
√
x2 + z2, x + ln(x2 + 1)).
(a) Calcule o fluxo do campo F atrave´s da superficie dada pelo paraboloide y = x2 + z2 com
y ≤ 4.
(b) Se F representa o campo de velocidades de um gas, o que podemos dizer sobre o comporta-
mento do gas? Esta´ em expansa˜o ou contrac¸a˜o dentro do paraboloide?
(c) Existe um campo G tal que rotG = F?
4. Calcule a integral de linha
∫
C(3y+ z)dx+ (x+ 4y)dy+ (2x+ y)dz, onde C e´ a curva obtida como
intersec¸a˜o da esfera x2 + y2 + z2 = 9 com o plano y + z = 3.
5. Calcule de duas formas diferentes o trabalho feito pelo campo F (x, y, z) = (xy, 2z, 3y) ao longo
da curva C dada pela intersec¸a˜o do plano x + z = 5 e o cilindro x2 + y2 = 9.
Se o campo fosse F (x, y, z) = (xy+
√
z2 + 1, 2z, 3y), qual dos dois procedimentos voceˆ escolheria
para calcular o trabalho feito pelo campo ao longo da curva C?