Álgebra - Apostila

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Primeiros conceitos da teoria dos
an¶eis
1.1 Coisas elementares
De¯ni»c~ao 1.1.1 Um anel ¶e uma estrutura alg¶ebrica (A;+; ¢), (isto ¶e, um conjunto
n~ao vazio A, juntamente com duas opera»c~oes + e ¢ em A), satisfazendo µas seguintes
propriedades
1. A estrutura alg¶ebrica (A;+) ¶e um grupo abeliano. Isto quer dizer que a opera»c~ao
+ em A tem as seguintes propriedades
(a) 8a; b; c 2 A, (a+ b) + c = a+ (b+ c) (a opera»c~ao + ¶e associativa)
(b) 8a; b 2 A, a+ b = b+ a (a opera»c~ao + ¶e comutativa)
(c) Existe um elemento 0A 2 A que ¶e elemento neutro da opera»c~ao +, ou seja,
8a 2 A, a+ 0A = 0A + a = a
(d) Para cada a 2 A, existe um elemento (¡a) 2 A que ¶e elemento oposto ou
inverso aditivo de a, ou seja, tem-se a+ (¡a) = (¡a) + a = 0A
2. A opera»c~ao ¢ ¶e associativa, isto ¶e, 8a; b; c 2 A; (a ¢ b) ¢ c = a ¢ (b ¢ c)
3. A opera»c~ao ¢ ¶e distributiva em rela»c~ao µa opera»c~ao +, ou seja, 8a; b; c 2 A, tem-se
a ¢ (b+ c) = (a ¢ b) + (a ¢ c), bem como tamb¶em (b+ c) ¢ a = (b ¢ a) + (c ¢ a)
Por simplicidade, escreveremos ab em lugar de a ¢ b, sempre que isto n~ao suscitar
confus~ao. Tamb¶em ¶e habitual escrever ab + cd em lugar de (ab) + (cd). De¯ne-se
tamb¶em a diferen»ca de dois elementos a e b do anel A como sendo a¡ b = a+ (¡b).
De¯ni»c~ao 1.1.2 Sendo (A;+; ¢) um anel, dizemos que
1. A ¶e um anel comutativo se a opera»c~ao ¢ ¶e comutativa
1
2. A ¶e um anel com unidade se a opera»c~ao ¢ tem um elemento neutro 1A 2 A, isto
¶e, se 8a 2 A, a ¢ 1A = 1A ¢ a = a
3. A ¶e um corpo se A ¶e um anel comutativo, com unidade e, al¶em disso, (A¤; ¢)
¶e um grupo (A¤ = A ¡ f0g), isto ¶e, 8a 2 A¤, existe a¡1 2 A¤ satisfazendo
a ¢ a¡1 = a¡1 ¢ a = 1A. (O elemento a¡1 ¶e chamado inverso multiplicativo de a).
4. A ¶e um anel de integridade se A ¶e um anel comutativo, com unidade, satisfazendo
µa propriedade:
8a; b 2 A; ab = 0) a = 0 ou b = 0
ou, equivalentemente,
8a; b 2 A; a6= 0 e b6= 0) ab6= 0
5. A ¶e um anel com divis~ao se A ¶e um anel com unidade, no qual cada elemento
a 6= 0 tem um inverso multiplicativo a¡1. (Um corpo ¶e um anel com divis~ao
comutativo).
Constituem-se exemplos elementares de an¶eis os seguintes:
Exemplo 1.1.1 O conjunto Z dos n¶umeros inteiros, com as opera»c~oes + e ¢ ¶e um
exemplo de anel de integridade, pois ¶e um anel comutativo, com unidade 1, no qual o
produto de inteiros n~ao nulos ¶e sempre um inteiro n~ao nulo.
Exemplo 1.1.2 O conjunto
M(2;R) =
½µ
a b
c d
¶ ¯¯¯¯ a; b; c; d 2 R ¾
das matrizes quadradas 2 por 2, munido das opera»c~oes adi»c~ao e multiplica»c~ao de ma-
trizes, dadas por µ
a b
c d
¶
+
µ
x y
z w
¶
=
µ
a+ x b+ y
c+ z d+ w
¶
;µ
a b
c d
¶
¢
µ
x y
z w
¶
=
µ
ax+ bz ay + bw
cx+ dz cy + dw
¶
¶e um anel com unidade I =
¡
1 0
0 1
¢
, a matriz identidade. No entanto n~ao ¶e um anel
comutativo. Al¶em do mais, em M(2;R) existem elementos X e Y satisfazendo X6= 0,
Y 6= 0, e XY = 0. ¶E f¶acil gerar exemplos de tais matrizes tomando X e Y , n~ao nulas,
com muitos zeros. Elementos dessa natureza num anel s~ao chamados divisores pr¶oprios
de zero.
De¯ni»c~ao 1.1.3 (Divisores pr¶oprios de zero) Sendo (A;+; ¢) um anel, um elemento
a 2 A ¶e um divisor pr¶oprio de zero se a6= 0 e se existe b 2 A, b6= 0 tal que ab = 0 ou
ba = 0. (Neste caso, obviamente, b tamb¶em ¶e um divisor pr¶oprio de zero).
2
De¯ni»c~ao 1.1.4 (Elementos invert¶³veis de um anel) Suponhamos que A ¶e um anel
com unidade 1A. Dizemos que um elemento a 2 A ¶e um elemento invert¶³vel do anel A
se existe existe a¡1 2 A satisfazendo a¢a¡1 = a¡1 ¢a = 1A. (O elemento a¡1 ¶e chamado
inverso multiplicativo de a). O conjunto dos elementos invert¶³veis do anel (A;+; ¢) ser¶a
denotado por U(A)
Exemplo 1.1.3 Os ¶unicos elementos invert¶³veis no anel (Z;+; ¢) s~ao os inteiros 1 e ¡1,
ou seja, U(Z) = f1;¡1g. J¶a num corpo todo elemento n~ao nulo ¶e invert¶³vel.
Exemplo 1.1.4 Os elementos invert¶³veis no anel M(2;R) s~ao as matrizes de determi-
nante n~ao nulo. Para ver isto, siga o racioc¶³nio abaixo:
Sendo X =
µ
a b
c d
¶
, de¯ne-se a matriz cofatora de X como sendo
cofX =
µ
d ¡c
¡b a
¶
e ent~ao a matriz adjunta de X como sendo a matriz transposta da matriz cofatora de
X,
adjX = (cofX)t =
µ
d ¡b
¡c a
¶
¶E f¶acil ver ent~ao que
X ¢ (adjX) = (adjX) ¢X =
µ
¸ 0
0 ¸
¶
sendo ¸ = detX = ac¡ bd.
Da¶³, se detX = ¸6= 0, teremos (veri¯que isto)
X ¢ (¸¡1 ¢ adjX) = (¸¡1 ¢ adjX) ¢X =
µ
1 0
0 1
¶
Portanto detX6= 0) X ¶e invert¶³vel.
Para veri¯car que se X ¶e matriz invert¶³vel ent~ao detX6= 0, notamos primeiramente
que, sendo A e B duas matrizes quaisquer em M(2;R), tem-se a igualdade det(AB) =
(detA)(detB) (voce^ pode veri¯car isto diretamente). Se X ¶e invert¶³vel, existe uma
matriz Y satisfazendo XY = Y X = I =
¡
1 0
0 1
¢
. Logo, (detX)(det Y ) = det(XY ) =
det I = 1 e ent~ao, como detX ¶e invert¶³vel em R, tem-se detX6= 0.
Assim, provamos que U(M(2;R)) = fX 2M(2;R) j detX6= 0g.
1.2 Algumas proposi»c~oes elementares
Proposi»c~ao 1.2.1 Seja (A;+; ¢) um anel. Ent~ao, 8a; b 2 A,
3
1. 0 ¢ a = a ¢ 0 = 0
2. (¡a) ¢ b = a ¢ (¡b) = ¡(ab)
3. (¡a) ¢ (¡b) = a ¢ b
Demonstra»c~ao..
1. Seja a ¢ 0 = x. Ent~ao, x = a ¢ 0 = a ¢ (0 + 0) = a ¢ 0 + a ¢ 0 = x + x. Logo,
x+ x = x) x = 0 (porque^?), ou seja a ¢ 0 = 0.
2. Por um lado, temos que [(¡a)+a]b = (¡a)b+ab. Por outro, temos que [(¡a)+
a]b = 0 ¢ b = 0. Logo, aplicando o resultado do item 1, (¡a)b + ab = 0 )
¡(ab) = (¡a)b.
3. Fa»ca voce^ mesmo.
Proposi»c~ao 1.2.2 Seja (A;+; ¢) um anel.
1. Se A ¶e um anel de integridade, ent~ao vale a lei do cancelamento da multiplica»c~ao,
isto ¶e
8a; b; c 2 A; c6= 0; ac = bc) a = b
2. Se A ¶e anel comutativo com unidade, e se vale a lei do cancelamento da multipli-
ca»c~ao em A, ou seja ,se vale a implica»c~ao
ac = bc) a = b
sempre que a; b e c s~ao elementos de A, com c 6= 0, ent~ao A ¶e um anel de
integridade.
Demonstra»c~ao.. Fa»ca voce^ mesmo.
Proposi»c~ao 1.2.3 Seja (A;+; ¢) um anel com elemento unidade. Se a 2 A ¶e divisor
pr¶oprio de zero, ent~ao a n~ao ¶e invert¶³vel. Equivalentemente, se a 2 A ¶e elemento
invert¶³vel, ent~ao a n~ao ¶e divisor pr¶oprio de zero.
Demonstra»c~ao.. Fa»ca voce^ mesmo.
1.3 O anel dos inteiros m¶odulo m
1.3.1 Congrue^ncia m¶odulo m em Z
De¯ni»c~ao 1.3.1 Dados tre^s inteiros a, b e m, dizemos que a ¶e congruente a b
m¶odulo m, e denotamos a ´ b (mod m) ou a
m´
b, se m divide a¡ b.
4
Observa»c~ao 1.3.1 Alternativamente, dados tre^s inteiros a, b e m, temos:
a ´ b (mod m)
, mj(a¡ b) (m divide a¡ b)
, a¡ b = q ¢m, para algum q 2 Z,
, a = b+ qm, para algum q 2 Z.
Proposi»c~ao 1.3.1 Sendo m um inteiro, a rela»c~ao de congrue^ncia m¶odulo m, de¯nida
em Z, ¶e uma rela»c~ao de equivale^ncia em Z, ou seja, satisfaz µas seguintes tre^s
propriedades:
1. 8a 2 Z, a
m´
a;
2. 8a; b 2 Z, se a
m´
b ent~ao b
m´
a;
3. 8a; b; c 2 Z, se a
m´
b e b
m´
c ent~ao a
m´
c.
Demonstra»c~ao.. Para cada a, cada b e cada c, todos inteiros, temos:
1. mj0) mj(a¡ a)) a
m´
a
2. a
m´
b) mj(a¡ b)) mj ¡ (a¡ b)) mj(b¡ a)) b
m´
a
3. a
m´
b e b
m´
c) mj(a¡b) emj(b¡c)) mj[(a¡b)+(b¡c)]) mj(a¡c)) a
m´
c
Proposi»c~ao 1.3.2 (Compatibilidade da rela»c~ao de congrue^ncia m¶odulo m
com as opera»c~oes em Z) Seja m um inteiro ¯xado. Dados a; b; c e d inteiros, e n
natural, tem-se:
1. a
m´
b, a+ c
m´
b+ c
2.
a
m´
b
c
m´
d
)
) a+ c
m´
b+ d
3. a
m´
b) ac
m´
bc
4.
a
m´
b
c
m´
d
)
) ac
m´
bd
5. a
m´
b) an
m´
bn
Demonstra»c~ao..
1. a
m´
b, mj(a¡ b), mj[(a+ c)¡ (b+ c)], a+ c
m´
b+ c
5
2.
a
m´
b
c
m´
d
)
) mj(a¡ b) e mj(c¡ d)
) mj[(a¡ b) + (c¡ d)]
) mj[(a+ c)¡ (b+ d)]
) a+ c
m´
b+ d
3. a
m´
b) mj(a¡ b)) mj(a¡ b)c) mj(ac¡ bc)) ac
m´
bc
4.
a
m´
b
c
m´
d
)
)
(ac
m´
bc
bc
m´
bd
)
) ac
m´
bd
5. A prova ¶e feita por indu»c~ao sobre n (exerc¶³cio para o leitor).
Observa»c~ao 1.3.2 (Congrue^ncias Irrelevantes)
1. Se m = 0, dados dois inteiros a e b,
a
m´
b, a
0´
b, 0j(a¡ b), a¡ b = 0, a = b
Assim, a rela»c~ao de congrue^ncia m¶odulo 0 coincide com a rela»c~ao de igualdade em
Z.
2. Se m = 1, dados dois inteiros a e b,
a
m´
b, a
1´
b, 1j(a¡ b)
Como 1 divide qualquer inteiro, quaisquer dois inteiros a e b s~ao congruentes
m¶odulo 1.
Em vista dos itens 1 e 2 acima, as congrue^ncias m¶odulo 0 e m¶odulo 1 s~ao casos
desinteressantes de congrue^ncia.
3. Dado m 2 Z e inteiros a e b,
a
m´
b, mj(a¡ b), (¡m)j(a¡ b), a
¡´m
b
Assim, as congrue^ncias m¶odulo m e m¶odulo ¡m s~ao a mesma rela»c~ao de con-
grue^ncia.
Em vista das tre^s observa»c~oes feitas a partir dos itens 1, 2 e 3 acima, doravante
trataremos de estudar a rela»c~ao de congrue^ncia m¶odulo m em Z apenas para
m ¸ 2.
Proposi»c~ao 1.3.3 (O resto da divis~ao por m via congrue^ncia m¶odulo m)
Sejam a, b e m inteiros com m ¸ 2. Ent~ao
1. Se r ¶e o resto da divis~ao de a por m ent~ao a
m´
r
2. Se a
m´
s (s 2 Z) e 0 · s < m ent~ao s ¶e o resto da divis~ao de a por m.
3. a
m´
b, os restos das divis~oes de a e b por m s~ao iguais.
6
Demonstra»c~ao..
1. a = mq + r, com q 2 Z) a¡ r = mq ) mj(a¡ r)) a
m´
r.
2. Sendo a
m´
s, temos a¡ s = mq para um certo inteiro q. Da¶³, a = mq + s, com
q e s inteiros e 0 · s < jmj = m. Pelo teorema do algoritmo da divis~ao em Z,
s ¶e o resto da divis~ao de a por m, j¶a que o resto e o quociente dessa divis~ao s~ao
¶unicos.
3. Seja r o resto da divis~ao de a por m. Pelo item 1, a
m´
r. Como a
m´
b,
pelas propriedades da rela»c~ao de congrue^ncia m¶odulom, proposi»c~ao 1.3.1, teremos
b
m´
r. Como 0 · r < m, pelo item 2 acima, r ¶e o resto da divis~ao de b por m.
1.3.2 O conjunto Zm das classes de congrue^ncia m¶odulo m
Seja m ¸ 2 um inteiro. Em Z de¯ne-se a rela»c~ao
m´
, a rela»c~ao de congrue^ncia m¶odulo
m, dada por
8a; b 2 Z; a
m´
b, m divide a¡ b
A rela»c~ao
m´
¶e uma rela»c~ao de equivale^ncia em Z.
Para cada inteiro a, de¯ne-se a classe de congrue^ncia m¶odulom determinada
por a como sendo o conjunto
a = fx 2 Z j x
m´
ag
O conjunto dessas classes (o assim chamado conjunto quociente de Z pela
rela»c~ao
m´
) ¶e chamado conjunto das classes de congrue^ncia m¶odulo m em Z ou
conjunto dos inteiros m¶odulo m. Tal conjunto ¶e denotado por Zm.
Assim,
Zm = fa j a 2 Zg
sendo, para cada inteiro a,
a = fx 2 Z j x ´ a (mod m)g
Proposi»c~ao 1.3.4 Fixado m 2 Z, m ¸ 2, o conjunto Zm dos inteiros m¶odulo m tem
precisamente m elementos, a saber,
Zm = f0; 1; : : : ;m¡ 1g
.
Lema 1.3.1 Seja m 2 Z, m ¸ 2 e sejam a e b dois inteiros. As seguintes a¯rma»c~oes
s~ao equivalentes:
7
(a) a
m´
b
(b) a 2 b
(c) b 2 a
(d) b = a
Em outras palavras, vale uma das quatro a¯rma»c~oes acima quando e somente quando
ocorrem todas as demais.
Demonstra»c~ao. do lema 1.3.1. Provaremos que (a) ) (b), (b) ) (c), (c) ) (d) e (d)
) (a).
(a) ) (b):
Por de¯ni»c~ao
b = fx 2 Z j x
m´
bg
Se a
m´
b, tem-se imediatamente que a 2 b.
(b) ) (c):
a 2 b) a
m´
b) b
m´
a, e portanto tamb¶em b 2 a.
(c) ) (d):
b 2 a ) b
m´
a. Como
m´
¶e uma rela»c~ao de equivale^ncia, temos ent~ao b
m´
a e
a
m´
b.
Tomemos ent~ao um inteiro x qualquer.
Se x 2 b ent~ao x
m´
b. Como b
m´
a, temos ent~ao x
m´
a, logo x 2 a.
Portanto, b ½ a.
Reciprocamente, se x 2 a ent~ao x
m´
a. Como tamb¶em a
m´
b, temos ent~ao x
m´
b,
logo x 2 b.
Portanto, a ½ b.
Logo, a = b.
(d) ) (a):
Sendo a = b, temos que a 2 a) a 2 b) a
m´
b.
Demonstra»c~ao. da proposi»c~ao 1.3.4. Para cada a 2 Z, temos que a
m´
r, onde r ¶e o
resto da divis~ao euclidiana de a por m. Como sabemos, 0 · r · m¡ 1.
Logo, pelo lema 1.3.1, a = r e portanto a coincide com uma das classes 0, 1, : : :,
m¡ 1.
S¶o nos resta ent~ao provar que as classes 0; 1; : : : ;m¡ 1 s~ao duas a duas distintas.
Mas isto ¶e f¶acil de se ver pois se r1 e r2 s~ao inteiros satisfazendo 0 · r1 < r2 · m¡ 1,
8
ent~ao r1 6´r2 (mod m), pois r1
m´
r2 , mj(r2 ¡ r1), e como 0 < r2 ¡ r1 < m,
torna-se imposs¶³vel a divisibilidade de r2 ¡ r1 por m.
Assim, se r1 e r2 s~ao inteiros com 0 · r1 < r2 · m¡ 1 ent~ao r1 6= r2.
Logo, Zm = fa j a 2 Zg tem precisamente m elementos, distintos dois a dois, sendo
eles 0; 1; : : : ;m¡ 1.
1.3.3 A estrutura de anel em Zm
A seguir veremos que, uma vez ¯xado o inteiro m ¸ 2, podemos de¯nir opera»c~oes
de adi»c~ao e multiplica»c~ao em Zm que lhe conferem uma estrutura de anel comutativo
com unidade { nosso primeiro exemplo de anel ¯nito, isto ¶e, com um n¶umero ¯nito de
elementos. Veremos tamb¶em que, conforme as carater¶³sticas aritm¶eticas do inteiro m,
o anel Zm tem propriedades peculiares, tais como a de que Zm ¶e corpo somente quando
m ¶e primo.
De¯ni»c~ao 1.3.2 As opera»c~oes de adi»c~ao e multiplica»c~ao em Zm s~ao de¯nidas por:
Para cada inteiro a e cada inteiro b,
² a+ b = a+ b
² a ¢ b = a ¢ b
Teorema 1.3.1 As opera»c~oes de adi»c~ao e multiplica»c~ao em Zm s~ao bem-de¯nidas, ou
seja, se a; b; a0; b0 s~ao inteiros, com a = a0 e b = b0, ent~ao
a+ b = a0 + b0 e a ¢ b = a0 ¢ b0
Em outras palavras, as classes de congrue^ncia em Zm que de¯nem a+ b e a ¢ b n~ao
dependem dos inteiros a e b que representam essas classes.
Demonstra»c~ao.. Dados inteiros a; b; a0; b0,
a = a0 e b = b0 ) a
m´
a0 e b
m´
b0 ) a+ b
m´
a0+ b0 e a ¢ b
m´
a0 ¢ b0 ) a+ b = a0 + b0
e a ¢ b = a0 ¢ b0.
Teorema 1.3.2 Seja m ¸ 2 um inteiro. Ent~ao (Zm;+; ¢) ¶e um anel comutativo com
unidade.
Demonstra»c~ao.. ¶E f¶acil ver que (Zm;+) ¶e um grupo abeliano, de elemento neutro 0, e
onde o elemento oposto de a, com a 2 Z, ¶e a classe de congrue^ncia ¡a.
Al¶em disso, a opera»c~ao multiplica»c~ao em Zm ¶e associativa, comutativa, tem 1 como
elemento neutro, e ¶e distributiva em rela»c~ao µa adi»c~ao em Zm.
9
A prova de cada a¯rma»c~ao acima ¶e totalmente rotineira, e faz uso sempre da estrutura
alg¶ebrica do anel Z dos n¶umeros inteiros. Como ilustra»c~ao do que a¯rmamos, provaremos
que a multiplica»c~ao em Zm ¶e associativa e deixaremos a prova das demais propriedades
a cargo do leitor.
Dados a, b e c inteiros, temos, em Zm,
a ¢ (b ¢ c) = a ¢ b ¢ c (pela de¯ni»c~ao de ¢ em Zm
= a ¢ (b ¢ c) (ainda pela de¯ni»c~ao de ¢ em Zm
= (a ¢ b) ¢ c (pela associatividade de ¢ em Z)
= a ¢ b ¢ c (pela de¯ni»c~ao de ¢ em Zm)
= (a ¢ b) ¢ c (pela de¯ni»c~ao de ¢ em Zm)
Observa»c~ao 1.3.3 Como vimos, para m ¸ 2, Zm = f0; 1; : : : ; n¡ 1g.
Nas opera»c~oes de adi»c~ao e multiplica»c~ao em Zm, ¶e de interesse representar a soma
e o produto de duas classes a e b, com 0 · a · m ¡ 1 e 0 · b · m ¡ 1, ainda como
uma classe r, com 0 · r · m¡ 1.
Em vista disso, fazemos as seguintes observa»c~oes, cujas demonstra»c~oes deixamos ao
leitor como exerc¶³cio:
Sendo a e b inteiros dados nas condi»c~oes acima, temos:
² a+ b = r1, onde r1 ¶e o resto da divis~ao de a+ b por m
² ab = r2, onde r2 ¶e o resto da divis~ao de ab por m.
² Se 1 · a · m¡ 1, ent~ao ¡a = m¡ a; ¡0 = 0
Exemplo 1.3.1 O anel (Z6;+; ¢).
Z6 = f0; 1; 2; 3; 4; 5g
Utilizando os dados da observa»c~ao acima, temos que as t¶abuas das opera»c~oes + e ¢
em Z6 s~ao dadas por:
+ 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 0
2 2 3 4 5 0 1
3 3 4 5 0 1 2
4 4 5 0 1 2 3
5 5 0 1 2 3 4
¢ 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5
2 0 2 4 0 2 4
3 0 3 0 3 0 3
4 0 4 2 0 4 2
5 0 5 4 3 2 1
Note por exemplo, que:
10
4 + 5 = 3, visto que 4 + 5 = 9 deixa resto 3 na divis~ao por 6,
¡4 = 6¡ 4 = 2, ¡3 = 6¡ 3 = 3.
Observe tamb¶em que o anel Z6 n~ao ¶e um anel de integridade, ou seja, Z6 possui
divisores pr¶oprios de zero:
26= 0 e 36= 0, mas 2 ¢ 3 = 6 = 0.Finalmente, observe que os ¶unicos elementos invert¶³veis do anel Z6 s~ao 1 e 5, sendo
1
¡1
= 1 e 5
¡1
= 5.
De¯ni»c~ao 1.3.3 M¶ultiplos de elementos de um anel. Seja (A;+; ¢) um anel. Para cada
elemento a 2 A, e cada inteiro n, de¯ne-se um elemento n ¢ a 2 A (tamb¶em denotado
por na), pela seguinte lei de forma»c~ao:
1. 0a = 0 (Nesta igualdade, o primeiro zero ¶e um n¶umero inteiro, enquanto que o
segundo ¶e o elemento zero do anel A)
2. (n+ 1)a = na+ a, se n 2 N
3. (¡n)a = ¡(na), se n 2 N
Em outras palavras, se n ¸ 2,
na = a+ : : :+ a| {z }
n parcelas
e (¡n)a = ¡(na)
enquanto que 0a = 0, 1a = a e (¡1)a = ¡a.
Exemplo 1.3.2 No anel (Zm;+; ¢), sendo a 2 Zm (onde a 2 Z) e n um inteiro, tem-se
n ¢ a = na. Prove isto como exerc¶³cio.
1.3.4 Divisores de zero e elementos invert¶³veis no anel Zm
Proposi»c~ao 1.3.5 Sejam a e m inteiros, com m ¸ 2. Ent~ao
1. a ¶e elemento invert¶³vel do anel Zm se e somente se a e m s~ao primos entre si, ou
seja, se e somente se mdc(a;m) = 1.
2. Se a e m s~ao primos entre si, existem inteiros r e s satisfazendo ra + sm = 1.
Nesse caso, o inverso de a em Zm ¶e dado por a
¡1 = r.
Demonstra»c~ao..
Suponhamos que a ¶e invert¶³vel em Zm. Ent~ao existe b 2 Zm, com b 2 Z, satisfazendo
ab = 1.
Da¶³, teremos ab = 1) ab
m´
1) mj(ab¡ 1)) ab¡ 1 = mq, para algum inteiro q
) ab¡mq = 1. Logo, mdc (a;m) = 1 (porque^?), ou seja, a e m s~ao primos entre si.
11
Reciprocamente, se a e m s~ao primos entre si, ent~ao ra+sm = 1 para certos inteiros
r e s. Da¶³,
ra+ sm = 1 ) ra + sm = 1 ) r ¢ a + s ¢ m = 1. Como m = 0, chegamos a
r ¢ a = 1, e portanto a ¶e invert¶³vel, j¶a que a multiplica»c~ao em Zm ¶e comutativa.
Sendo assim, provamos simultaneamente as duas propriedades enunciadas.
Corol¶ario 1.3.1 Se p > 0 ¶e um n¶umero primo, ent~ao (Zp;+; ¢) ¶e um corpo.
Demonstra»c~ao.. Como (Zp;+; ¢) ¶e um anel comutativo com unidade 1, s¶o nos resta
provar que cada elemento n~ao nulo em Zp ¶e multiplicativamente invert¶³vel.
Seja a 2 Zp (a 2 Z), com a6= 0.
a6= 0) a 6´0 (mod p)) p n~ao divide a. Como p ¶e primo, p6j a) mdc (a; p) =
1 ) a ¶e invert¶³vel em Zp.
Proposi»c~ao 1.3.6 Se m ¸ 2 ¶e um inteiro composto (isto ¶e, n~ao primo), ent~ao o anel
Zm possui divisores pr¶oprios de zero. Mais precisamente, para cada inteiro a, com a6= 0,
tal que mdc (a;m)6= 1, ou seja, tal que a e m possuem um fator primo comum, a ¶e um
divisor pr¶oprio de zero em Zm.
Demonstra»c~ao.. Seja m = p1 ¢ p2 : : : ps, com s ¸ 2 uma decomposi»c~ao de m em fatores
primos positivos.
Seja a um inteiro que tem um fator primo comum com m, com a6= 0. Suponhamos
que p1 ¶e esse fator comum. Isto signi¯ca que a = p1 ¢ q para algum inteiro q. Seja
b = p2 : : : ps. Como 0 < p2 : : : ps < m, temos b6= 0. No entanto
ab = (p1q)(p2 : : : ps) = q ¢ (p1p2 : : : ps) = qm
e portanto ab = qm = q ¢m = q ¢0 = 0, e portanto a (bem como b) ¶e um divisor pr¶oprio
de zero em Zm.
Exemplo 1.3.3 Consideremos o anel (Z10;+; ¢). S~ao invert¶³veis em Z10 todas as classes
de congrue^ncia a com mdc (a; 10) = 1. Tomando 0 · a < 10, temos que os elementos
invert¶³veis do anel Z10 s~ao 1; 3; 7 e 9. Uma r¶apida inspe»c~ao nos revela que 3
¡1
= 7 (e
portanto 7
¡1
= 3) e que 9
¡1
= 9.
Os divisores pr¶oprios de zero em Z10 s~ao, segundo a proposi»c~ao acima, os elementos
a, com a6= 0, onde o inteiro a tem um fator comum com 10, sendo eles portanto 2; 4; 5; 6
e 8. Esta a¯rma»c~ao ¶e veri¯cada diretamente notando-se que 2¢5 = 4¢5 = 6¢5 = 8¢5 = 0.
12
1.4 Problemas do Cap¶³tulo 1
1. Prove os teoremas deixados sem demonstra»c~ao no Cap¶³tulo 1.
2. Mostre que cada uma das estruturas alg¶ebricas abaixo ¶e um corpo.
(a) (K;+; ¢), sendo K =
n
X 2M(2;R) j X =
µ
a b
¡b a
¶
; com a e b reais
o
[Sugest~ao: Para simpli¯car seu trabalho, use o fato de que M(2;R) ¶e um
anel. S¶o lhe restar¶a mostrar que + e ¢ s~ao de fato opera»c~oes em K, ou seja,
que K ¶e fechado nas duas opera»c~oes: 8X; Y 2 K, tem-se X + Y 2 K e
XY 2 K.]
(b) (Q[
p
p];+; ¢), sendo p > 0 um inteiro primo e Q[pp] = fa+bpp j a; b 2 Qg
[Sugest~ao: Use a sugest~ao do exerc¶³cio acima, agora usando o fato de que R
¶e um anel.]
3. Mostre que cada uma das estruturas alg¶ebricas abaixo ¶e anel comutativo com
unidade, mas n~ao ¶e um anel de integridade.
(a) (Zm;+; ¢), sendo m ¸ 2 um inteiro composto, isto ¶e, n~ao primo.
[Sugest~ao: Use o fato conhecido de que (Zm;+; ¢) ¶e um anel comutativo com
unidade.]
(b) (C[0; 1];+; ¢), sendo C[0; 1] = ff j f : [0; 1] ! R ¶e uma fun»c~ao cont¶³nuag.
[Sendo f e g duas fun»c~oes cont¶³nuas [0; 1] ! R, as fun»c~oes f + g e f ¢ g
s~ao de¯nidas por: 8x 2 [0; 1]; (f + g)(x) = f(x) + g(x) e (f ¢ g)(x) =
f(x) ¢ g(x)].
4. Descreva os elementos invert¶³veis do anel do item (b) do exerc¶³cio anterior.
5. Seja p um inteiro primo e seja Z(p) o conjunto dos n¶umeros racionais cuja forma
irredut¶³vel m=n ¶e tal que n n~ao ¶e divis¶³vel por p (O n¶umero racional m=n est¶a na
forma irredut¶³vel quando mdc(a; b) = 1).
6. Descreva os elementos invert¶³veis do anel do exerc¶³cio anterior.
7. Sejam A ¶e um anel de integridade e a 6= 0 um elemento de A. Mostre que a
fun»c~ao
f :A ! A
x 7! ax
¶e injetora.
8. Mostre que se (A;+; ¢) ¶e um anel de integridade ¯nito (isto ¶e, com um n¶umero
¯nito de elementos) ent~ao A ¶e um corpo. [Sugest~ao: Use o fato estabelecido no
exerc¶³cio anterior e mostre ent~ao que, para cada a 2 A, a6= 0, a equa»c~ao ax = 1
tem solu»c~ao.]
9. Mostre que todo corpo ¶e um anel de integridade.
10. Liste os elementos invert¶³veis do anel (Zm;+; ¢), nos casos
(a) m = 32 (b) m = 36 (c) m = 53
13
11. Mostre que, no anel (Z420;+; ¢), 17 e 121 s~ao elementos invert¶³veis e determine
seus inversos.
12. Liste os divisores de zero do anel (Zm;+; ¢) nos casos
(a) m = 36 (b) m = 53 (c) m = 100
13. Explique porque^, no anel M(2;R) das matrizes quadradas 2£2 de n¶umeros reais,
n~ao vale a f¶ormula
(X + Y )2 = X2 + 2XY + Y 2
14. Seja R o produto cartesiano S £T de an¶eis S e T . De¯na adi»c~ao e multiplica»c~ao
em R por:
(s; t) + (s0; t0) = (s+ s0; t+ t0); (s; t) ¢ (s0; t0) = (ss0; tt0)
(a) Mostre que R ¶e um anel (chamado o produto direto dos an¶eis S e T ).
(b) Quais s~ao os elementos invert¶³veis de T?
(c) Quais s~ao os divisores pr¶oprios de zero em T?
14
2
An¶eis de polino^mios
2.1 Primeiros conceitos
Seja A um anel comutativo, com elemento unidade 1.
Express~oes simb¶olicas da forma
p(x) = a0 + : : :+ anx
n =
nX
k=0
akx
k = anx
n + : : :+ a0
em que a0; : : : an 2 A e n 2 N, s~ao chamadas polino^mios sobre A (ou com
coe¯cientes em A), na indeterminada x.
Na nota»c~ao de polino^mios, convenciona-se que x0 = 1; x1 = x = 1¢x, e 1¢xk = xk,
para cada k 2 N. Assim, por exemplo, em Z3[x], x
2+x+2 ¶e o polino^mio 1x2+1x+2.
Desde j¶a, denotaremos por A[x] o conjunto desses polino^mios.
De¯ni»c~ao 2.1.1 (Igualdade de polino^mios) Dados dois polino^mios em A[x],
f(x) = anx
n + : : :+ a0 e g(x) = bmx
m + : : :+ b0;
com n ¸ m, dizemos que f(x) = g(x) se e somente se
ak = bk; para 0 · k · m e ak = 0 se k > m
De¯ni»c~ao 2.1.2 (Adi»c~ao de polino^mios) Dados dois polino^mios em A[x],
f(x) = anx
n + : : :+ a0 e g(x) = bmx
m + : : :+ b0;
com n ¸ m, de¯ne-se
f(x) + g(x) = (an + bn)x
n + : : :+ (a0 + b0);
convencionando-se que bk = 0 para k > m.
15
De¯ni»c~ao 2.1.3 (Multiplica»c~ao de polino^mios) Sendo
f(x) = anx
n + : : :+ a0 e g(x) = bmx
m + : : :+ b0;
dois polino^mios em A[x], de¯ne-se
f(x) ¢ g(x) =
m+nX
k=0
ckx
k = cn+mx
n+m + : : :+ c0;
sendo ck =
P
i+j=k aibj , para cada k, 0 · k · m+ n.
Para ilustrar a de¯ni»c~ao acima, tomemos o caso n = 3;m = 2, ou seja, f(x) =
a3x
3 + a2x
2 + a1x+ a0, e g(x) = b2x
2 + b1x+ b0.
Ent~ao
f(x) ¢ g(x) = (a3x
3 + a2x
2 + a1x+ a0)(b2x
2 + b1x+ b0)
= a3b2x
5+ (a3b1 + a2b2)x
4 + (a3b0 + a2b1 + a1b2)x
3+
(a2b0 + a1b1 + a0b2)x
2 + (a1b0 + a0b1)x+ a0b0
Teorema 2.1.1 Sendo A um anel comutativo, com unidade, o conjunto A[x], com as
opera»c~oes + e ¢ de¯nidas acima, ¶e um anel comutativo com unidade u(x) = 1, elemento
zero z(x) = 0, em que, se p(x) =
Pn
k=0 akx
k 2 A[x], ent~ao seu inverso aditivo (oposto)
¶e o polino^mio ¡p(x) =
Pn
k=0(¡ak)x
k 2 A[x].
Demonstra»c~ao.. A demonstra»c~ao deste teorema ¶e f¶acil mas rotineiramente longa, e ser¶a
omitida aqui.
De¯ni»c~ao 2.1.4 (Grau de um polino^mio) Sendo f(x) =
Pn
k=0 akx
k, n ¸ 0, dize-
mos que f(x) tem grau n, e denotamos grau (f(x)) = n, se an 6= 0. Neste caso,
dizemos tamb¶em que an ¶e o coe¯ciente dominante de f(x) (e que anx
n ¶e o termo
dominante ou termo de maior grau de f(x)). Se f(x) ¶e o polino^mio nulo, diremos
que f(x) tem grau ¡1 (\menos in¯nito"). Note que, neste caso, o grau de f(x) ¶e
apenas simb¶olico, signi¯cando que o grau de f(x) n~ao ¶e um n¶umero natural
Proposi»c~ao 2.1.1 Seja A um anel comutativo com unidade e sejam
f(x) = anx
n + : : :+ a0 e g(x) = bmx
m + : : :+ b0
polino^mios em A[x]. Ent~ao
1. grau (f(x) + g(x)) · maxfgrau (f(x)); grau (g(x))g (convencionando-se que
¡1 < n; 8n 2 N)
2. Se an 6= 0 e an n~ao ¶e divisor pr¶oprio de zero, ent~ao
grau (f(x)g(x)) = grau (f(x)) + grau (g(x))
convencionando-se, caso necess¶ario, que n+ (¡1) = ¡1.
16
Demonstra»c~ao..
1. Se f(x) = 0 ou g(x) = 0, nada temos a provar.
Se f(x)6= 0 e g(x)6= 0, suponhamos que grau (f(x)) = n ¸ m = grau (g(x)).
Se n > m ent~ao o termo dominante de f(x)+g(x) ser¶a anx
n e teremos grau (f(x)+
g(x)) = n = maxfn;mg.
Se n = m, ent~ao f(x) + g(x) = (an+ bn)x
n+ : : :+ (a0+ b0). Da¶³, grau (f(x) +
g(x)) = n, se an+ bn 6= 0, enquanto que grau (f(x)+ g(x)) < n, se an+ bn = 0.
2. Se an 6= 0 e bm 6= 0, ent~ao f(x)g(x) = anbmx
n+m + termos de menor grau, e
assim, como anbm 6= 0 (pois an n~ao ¶e divisor pr¶oprio de zero), temos
grau (f(x)g(x)) = n+m = grau (f(x)) + grau (g(x))
Se g(x) = 0, teremos f(x)g(x) = 0, e ent~ao grau (f(x)g(x)) = ¡1 = n +
(¡1) = grau (f(x)) + grau (g(x)).
Corol¶ario 2.1.1 Seja A um anel de integridade e sejam f(x) e g(x) polino^mios em
A[x]. Ent~ao vale a igualdade
grau f(x)g(x) = grau f(x) + grau g(x)
convencionando-se que (¡1) + (¡1) = ¡1 e, 8n 2 N, n+ (¡1) = (¡1) + n =
¡1.
Demonstra»c~ao.. Suponhamos f(x) = anx
n + : : : + a0 e g(x) = bmx
m + : : : + b0. Se
an 6= 0 ou bm 6= 0, usamos diretamente o resultado da proposic~ao 2.1.1, j¶a que, num
anel de integridade n~ao h¶a divisores pr¶oprios de zero.
Se f(x) = 0 ou g(x) = 0, temos
grau (f(x)g(x)) = ¡1 = (¡1) + (¡1)
ou (¡1) +m
ou n+ (¡1)
= grau (f(x)) + grau (g(x))
Corol¶ario 2.1.2 Se A ¶e um anel de integridade ent~ao A[x] tamb¶em ¶e um anel de
integridade.
Demonstra»c~ao.. Se f(x) e g(x) s~ao polino^mios em A[x], ambos n~ao nulos, ent~ao o grau
de cada um ¶e um n¶umero natural. Assim,
grau (f(x)g(x)) = grau (f(x)) + grau (g(x)) 2 N;
de onde f(x)g(x)6= 0.
Logo, A[x] n~ao possui divisores pr¶oprios de zero e ent~ao, como ¶e um anel comu-
tativo com elemento unidade, ¶e um anel de integridade.
17
De¯ni»c~ao 2.1.5 (Fun»c~ao polinomial induzida por um polino^mio) Dado um poli-
no^mio p(x) = anx
n+ : : :+a0 2 A[x], a ele corresponde uma fun»c~ao p:A! A, de¯nida
por
p(¸) = an¸
n + : : :+ a0 =
nX
k=0
ak¸
k; 8¸ 2 A
Essa fun»c~ao p ¶e chamada fun»c~ao polinomial associada ao polino^mio p(x) ou
fun»c~ao polinomial induzida pelo polino^mio p(x).
Observa»c~ao 2.1.1 Dois polino^mios diferentes podem induzir fun»c~oes polinomiais iguais!
Por exemplo, em Z3[x], os polino^mios p(x) = x
3 e q(x) = x s~ao diferentes. Mas para
cada a 2 Z3 = f0; 1; 2g, tem-se a
3 = a (veri¯que). Assim, as fun»c~oes polinomiais
induzidas p e q s~ao iguais.
De¯ni»c~ao 2.1.6 (Ra¶³zes ou zeros de um polino^mio) Dado um polino^mio p(x) 2
A[x], dizemos que um elemento c 2 A ¶e raiz ou zero de p(x) se p(c) = 0.
2.2 Divis~ao euclidiana
Teorema 2.2.1 (Algoritmo da divis~ao euclidiana em K[x], K um corpo)
Suponhamos que K ¶e um corpo. Ent~ao, dados dois polino^mios f(x) e g(x) em K[x],
com g(x)6= 0, existem polino^mios q(x) e r(x) em K[x], satisfazendo
f(x) = g(x) ¢ q(x) + r(x); e grau (r(x)) < grau (g(x))
(convencionando-se que ¡1 < m; 8m 2 N)
Al¶em disso, os polino^mios q(x) e r(x), nas condi»c~oes acima, s~ao ¶unicos.
Prova da existe^ncia de q(x) e r(x).
Suponhamos f(x) = anx
n + : : : + a0, e g(x) = bmx
m + : : : + b0, sendo bm 6= 0
(por hip¶otese, g(x)6= 0).
Se grau (f(x)) < grau (g(x)) ent~ao a existe^ncia de q(x) e r(x) est¶a automati-
camente garantida: f(x) = g(x) ¢ 0 + f(x) e, assim sendo, basta tomar q(x) = 0 e
r(x) = f(x) para termos f(x) = g(x)q(x) + r(x) com grau (r(x)) < grau (g(x)).
Suponhamos ent~ao que grau (f(x)) > grau (g(x)) e fa»camos a prova da existe^ncia
de q(x) e r(x) por indu»c~ao sobre n = grau (f(x)), utilizando o segundo princ¶³pio de
indu»c~ao ¯nita.
Seja k um inteiro ¸ 0 e suponhamos que propriedade de existe^ncia de q(x) e r(x)
se veri¯ca quando grau (f(x)) · k.
Suponhamos ent~ao que grau (f(x)) = k + 1, sendo k + 1 > m = grau (g(x)).
Considere o polino^mio r1(x) = f(x)¡ ak+1b
¡1
m x
k+1¡mg(x). Temos ent~ao
r1(x) = f(x)¡ ak+1x
k+1¡mg(x)
18
= (ak+1x
k+1 + : : :+ a0)¡ ak+1b
¡1
m x
k+1¡m(bmx
m + : : :+ b0)
= (ak+1x
k+1 + : : :+ a0)¡ (ak+1x
k+1 + termos de menor grau)
Note que no c¶alculo acima, o termo ak+1x
k+1 ¶e cancelado, logo grau (r1(x)) < k + 1,
ou seja grau (r1(x)) · k. Por hip¶otese de indu»c~ao,
r1(x) = g(x)q1(x) + r(x); com grau (r(x)) < grau (g(x))
Logo,
f(x) = r1(x) + ak+1b
¡1
m x
k+1¡mg(x)
= g(x)q1(x) + r(x) + ak+1b
¡1
m x
k+1¡mg(x)
= g(x)[q1(x) + ak+1b
¡1
m x
k+1¡m] + r(x)
= g(x)q(x) + r(x)
sendo grau (r(x)) < grau (g(x)).
Prova da unicidade de q(x) e r(x).
Suponhamos que existam polino^mios q1(x); q2(x); r1(x) e r2(x), satisfazendo
f(x) = g(x)q1(x) + r1(x) = g(x)q2(x) + r2(x)
com grau (r1(x)) < grau (g(x)) e grau (r2(x)) < grau (g(x)).
Ent~ao teremos
g(x)[q1(x)¡ q2(x)] = r2(x)¡ r1(x)
Se q1(x)¡ q2(x)6= 0, ent~ao,
grau (r2(x)¡ r1(x)) = grau (g(x)[q1(x)¡ q2(x)])
= grau (g(x)) + grau (q1(x)¡ q2(x))
¸ grau (g(x))
Por outro lado,
grau (r2(x)¡ r1(x)) · maxfgrau (r1(x)); grau (r2(x))g < grau (g(x))
e temos ent~ao uma contradi»c~ao.
Portanto os polino^mios q(x) e r(x) s~ao determinados de maneira ¶unica.
Observa»c~ao 2.2.1 Sendo f(x) e g(x)6= 0 polino^mios em K[x], denotamos
f(x) g(x)
r(x) q(x)
para representar o fato de que f(x) = g(x)q(x) + r(x).
Se grau (r(x)) < grau (q(x)), diremos que q(x) e r(x) s~ao, respectivamente, o
quociente e o resto da divis~ao euclidiana de f(x) por g(x).
19
Proposi»c~ao 2.2.1 (Divis~ao euclidiana em A[x], A um anel comutativo com
unidade) SejamA um anel comutativo com unidade e sejam f(x) e g(x) dois polino^mios
dados em A[x], com g(x)6= 0. Se o coe¯ciente dominante de g(x) ¶e invert¶³vel em A,
ent~ao existem polino^mios q(x) e r(x) em A[x], satisfazendo
f(x) = g(x) ¢ q(x) + r(x); e grau (r(x)) < grau (g(x))
(convencionando-se que ¡1 < m; 8m 2 N)
Al¶em disso, os polino^mios q(x) e r(x), nas condi»c~oes acima, s~ao ¶unicos.
Demonstra»c~ao.. A prova desta proposi»c~ao ¶e a mesma usada para provar o Teorema
2.2.1. Note que l¶a, para provar a existe^ncia de q(x) e r(x) ¯zemos uso t~ao somente
do fato de que o coe¯ciente dominante de g(x) ¶e invert¶³vel. Para a prova da unicidade
de q(x) e r(x) ¯zemos uso do resultado da proposi»c~ao 2.1.1. Aqui tamb¶em temos
\grau (g(x)[q1(x) ¡ q2(x)]) = grau (g(x)) + grau (q1(x) ¡ q2(x))", pois o coe¯ciente
dominante de g(x), sendo invert¶³vel, n~ao ¶e divisor pr¶oprio de zero.
Proposi»c~ao 2.2.2 Sejam A um anel comutativo com unidade, f(x) 2 A[x], e a 2 A.
O resto da divis~ao euclidianade f(x) por x¡ a ¶e a constante f(a).
Demonstra»c~ao.. Notemos primeiramente que o coe¯ciente dominante de x ¡ a ¶e 1,
que ¶e invert¶³vel em A. Assim sendo, a divis~ao euclidiana de f(x) por x¡ a ¶e poss¶³vel.
Como grau (x¡ a) = 1, o resto da divis~ao de f(x) por x¡ a ¶e um polino^mio constante
r(x) = k.
Temos ent~ao f(x) = (x¡ a)q(x) + k para algum polino^mio q(x) em A[x].
Logo, f(a) = (a¡ a)q(a) + k = k.
De¯ni»c~ao 2.2.1 Sendo f(x) e f(x) polino^mios em A[x], A um anel comutativo com
unidade, dizemos que f(x) ¶e fator de g(x), ou que f(x) divide g(x), ou ainda que
g(x) ¶e divis¶³vel por f(x), e denotamos f(x) j g(x), se g(x) = f(x)q(x) para algum
polino^mio q(x) 2 A[x].
Corol¶ario 2.2.1 Sejam A um anel comutativo com unidade, f(x) 2 A[x], e a 2 A.
Ent~ao a ¶e raiz de f(x) se e somente se x ¡ a ¶e um fator de f(x) (ou seja f(x) =
(x¡ a)q(x) para algum polino^mio q(x) 2 A[x]).
Demonstra»c~ao.. Utilizando a proposi»c~ao anterior, a ¶e raiz de f(x) , f(a) = 0 , o
resto da divis~ao de f(x) por x¡ a ¶e 0. Logo, a ¶e raiz de f(x) , f(x) ¶e divis¶³vel por
x¡ a.
Exemplo 2.2.1 Daremos aqui um exemplo de uma divis~ao euclidiana em Z12[x].
Consideremos em Z12[x], f(x) = 4x
4 + 2x3 + 6x+ 2 e g(x) = 5x2 + x+ 2.
Como o coe¯ciente dominante de g(x), 5, ¶e invert¶³vel em Z12, existem q(x) e r(x)
satisfazendo f(x) = g(x)q(x) + r(x), e grau (r(x)) < 2 = grau (g(x)). Al¶em disso,
20
conforme a proposi»c~ao 2.2.1, os polino^mios q(x) e r(x), satisfazendo tais condi»c~oes, s~ao
¶unicos.
Para calcular q(x) e r(x) usamos o m¶etodo da chave.
Dispomos inicialmente os polino^mios f(x) e g(x) num diagrama como segue:
4x4 + 2x3 + 0x2 + 6x+ 2 5x2 + x+ 2
Em seguida, calculamos o \quociente dos termos dominantes," (4x4)=(5x2) =
5
¡1
¢4x2 = 5 ¢4x2 = 20x2 = 8x2, e completamos o diagrama iniciado acima, escrevendo
o termo 8x2 abaixo da \chave." Este termo ¶e o termo dominante do quociente q(x).
4x4 + 2x3 + 0x2 + 6x+ 2 5x2 + x+ 2
8x2
A seguir, calculamos o produto 8x2 ¢(5x2+x+2) = 4x4+8x3+4x2 e escrevemo-lo
sob o \dividendo" f(x):
4x4 + 2x3 + 0x2 + 6x+ 2 5x2 + x+ 2
4x4 + 8x3 + 4x2 8x2
Obtemos ent~ao o primeiro \resto intermedi¶ario" r1(x), calculando a diferen»ca
f(x)¡ 8x2 ¢ g(x) = f(x)¡ (4x4 + 8x3 + 4x2).
4x4 + 2x3 + 0x2 + 6x+ 2 5x2 + x+ 2
4x4 + 8x3 + 4x2 8x2
6x3 + 10x2 + 6x+ 2
Reiteramos ent~ao o algoritmo, agora como se part¶³ssemos de dividir r1(x) = 6x
3+
10x2+6x+2 por g(x). Agora somamos (6x3)=(5x2) = 5
¡1
¢6x = 5 ¢6x = 30x = 6x ao
termo 8x2 previamente calculado, calculamos ent~ao o produto 6x ¢ g(x), escrevemo-lo
abaixo do primeiro resto intermedi¶ario r1(x) e calculamos a diferen»ca r1(x)¡ 6x ¢ g(x).
4x4 + 2x3 + 0x2 + 6x+ 2 5x2 + x+ 2
4x4 + 8x3 + 4x2 8x2 + 6x
6x3 + 10x2 + 6x+ 2
6x3 + 6x2
4x2 + 6x+ 2
Tendo obtido ent~ao um segundo \resto intermedi¶ario," r2(x) = 4x
2+6x+2. Note
que r2(x) = r1(x)¡ 6x ¢ g(x) = f(x)¡ 8x
2 ¢ g(x)¡ 6x ¢ g(x) = f(x)¡ (8x2+6x)g(x).
Finalmente completamos o quociente q(x) com o termo (4x2)=(5x2) = 5
¡1
¢ 4 = 5 ¢ 4 =
20 = 8 e ¯nalizamos a divis~ao euclidiana subtraindo 4x2 + 8x+ 4 de 4x2 + 6x+ 2:
21
4x4 + 2x3 + 0x2 + 6x+ 2 5x2 + x+ 2
4x4 + 8x3 + 4x2 8x2 + 6x+ 8
6x3 + 10x2 + 6x+ 2
6x3 + 6x2
4x2 + 6x+ 2
4x2 + 8x+ 4
10x+ 10
Assim, obtemos q(x) = 8x2 + 6x + 8 e r(x) = 10x + 10, satisfazendo f(x) =
q(x)g(x) + r(x) (veri¯que), e grau (r(x)) = 1 < grau (g(x)).
2.3 M¶aximo divisor em K[x], K um corpo
De¯ni»c~ao 2.3.1 (Polino^mio mo^nico) Sendo A um anel comutativo com unidade, um
polino^mio p(x) 2 A[x] ¶e dito ser mo^nico se p(x) 6= 0 e o seu coe¯ciente dominante
(coe¯ciente do termo de maior grau) ¶e igual a 1, a unidade do anel A.
Assim, um polino^mio mo^nico em A[x] ¶e um polino^mio da forma p(x) = xn +
an¡1x
n¡1 + : : :+ a0.
Proposi»c~ao 2.3.1 Sejam K um corpo e f(x), g(x) e h(x) polino^mios em K[x].
1. Se f(x) j g(x) ent~ao (¸f(x)) j g(x), 8¸ 2 K, ¸6= 0.
2. Se f(x) j g(x) e g(x) jh(x) ent~ao f(x) jh(x).
3. Se f(x) j g(x) e f(x) jh(x) ent~ao f(x) j (®g(x) + ¯h(x)), 8®; ¯ 2 K.
4. Se f(x) j g(x) e f(x) j (g(x)§ h(x)) ent~ao f(x) jh(x).
5. Se f(x) j h(x) e h(x) j f(x) ent~ao f(x) = ¸h(x), para algum ¸ 2 K, ¸6= 0.
6. Se f(x) j h(x) e h(x) j f(x), e ambos s~ao polino^mios mo^nicos, ent~ao f(x) = h(x).
De¯ni»c~ao 2.3.2 Sendo f(x) e g(x) dois polino^mios em K[x], K um corpo, dizemos
que d(x) 2 K[x] ¶e um m¶aximo divisor comum de f(x) e g(x), se d(x) satisfaz as duas
propriedades:
1. d(x) divide (¶e fator de) ambos f(x) e g(x);
2. todo polino^mio p(x) que divide f(x) e g(x) tamb¶em divide d(x) (simbolicamente:
8p(x) 2 K[x]; p(x) j f(x) e p(x) j g(x)) p(x) j d(x))
Proposi»c~ao 2.3.2 Sejam K um corpo, e f(x) e g(x) polino^mios em K[x].
22
1. Se f(x) = g(x) = 0, ent~ao d(x) = 0 ¶e m¶aximo divisor comum de f(x) e g(x).
Reciprocamente, d(x) = 0 ¶e m¶aximo divisor comum de f(x) e g(x) somente se
f(x) = g(x) = 0.
2. Se d(x) 2 K[x] ¶e m¶aximo divisor comum de f(x) e g(x), ent~ao, para cada ¸ 2 K,
¸6= 0, ¸d(x) tamb¶em ¶e m¶aximo divisor de f(x) e g(x).
3. Se d1(x) e d2(x) s~ao m¶aximos divisores comuns de dois polino^mios f(x) e g(x),
ent~ao d1(x) = ¸d2(x), para algum ¸ 2 K, ¸6= 0.
4. Se d1(x) e d2(x) s~ao polino^mios mo^nicos, e ambos s~ao m¶aximos divisores comuns
de dois polino^mios f(x) e g(x), ent~ao d1(x) = d2(x), ou seja, s¶o pode haver um
m¶aximo divisor comum mo^nico de dois polino^mios f(x) e g(x).
Demonstra»c~ao..
1. Um m¶aximo divisor comum d(x) de f(x) e g(x) ¶e fator de ambos os polino^mios.
Al¶em disso, segundo a de¯ni»c~ao 2.3.2, d(x) ¶e divis¶³vel por todo fator de f(x) e
g(x). Se f(x) = g(x) = 0, d(x) deve ser divis¶³vel por 0, logo s¶o pode ser 0.
Reciprocamente, se d(x) = 0 ¶e um m¶aximo divisor comum de f(x) e g(x) ent~ao
¶e fator de ambos, logo f(x) = g(x) = 0.
2. A prova ¶e deixada como exerc¶³cio.
3. Sendo d1(x) e d2(x) ambos m¶aximos divisores comuns de f(x) e g(x), pela se-
gunda condi»c~ao na de¯ni»c~ao 2.3.2, temos que f(x) j g(x) e g(x) j f(x), logo pela
proposi»c~ao 2.3.1, f(x) = ¸g(x) para algum ¸ 2 K, ¸6= 0.
4. ¶E conseqÄue^ncia imediata do item 3.
Observa»c~ao 2.3.1 Dados dois polino^mios f(x) e g(x) em K[x], K um corpo, denota-
mos
d(x) = mdc (f(x); g(x))
se d(x) ¶e mo^nico e ¶e um m¶aximo divisor comum de f(x) e g(x). Conforme o ¶ultimo
item da proposi»c~ao 2.3.2, um m¶aximo divisor comum de tal natureza ¶e ¶unico. Tamb¶em
usaremos a mesma nota»c~ao no caso 0 = mdc (0; 0).
Teorema 2.3.1 (Existe^ncia de mdc (f(x); g(x))) Sendo f(x) e g(x) dois polino^mios
em K[x], K um corpo, n~ao simultaneamente nulos, existe um polino^mio mo^nico d(x)
que ¶e m¶aximo divisor comum de f(x) e g(x).
Demonstra»c~ao.. Considere o conjunto
A = fp(x) j p(x) = a(x)f(x) + b(x)g(x); com a(x) e b(x) em K[x]; e p(x)6= 0g
Notemos que A6= ¿: como f(x)6= 0 ou g(x)6= 0, um dos polino^mios 1 ¢ f(x) +
0 ¢ g(x) e 0 ¢ f(x) + 1 ¢ g(x) ¶e n~ao nulo.
23
Como o grau de cada polino^mio em A ¶e um n¶umero natural, pelo princ¶³pio do
menor n¶umero natural, existe em A um polino^mio d(x), digamos d(x) = ®(x)f(x) +
¯(x)g(x), de menor grau poss¶³vel.
A¯rmamos que d(x) ¶e um m¶aximo divisor comum de f(x) e g(x).
Provaremos primeiramente que d(x) j f(x).
Pelo teorema do algoritmo da divis~ao em K[x], K um corpo, temos que existem
q(x); r(x) 2 K[x], com f(x) = d(x)q(x) + r(x) e grau (r(x)) < grau (d(x)).
Se r(x) = 0, ent~ao f(x) = d(x)q(x) e portanto d(x) j f(x).
Mostraremos ent~ao a impossibilidade de termos r(x)6= 0:
Supondo r(x)6= 0, teremos
r(x) = f(x)¡ d(x)q(x)
= f(x)¡ [®(x)f(x) + ¯(x)g(x)]q(x)
= [1¡ ®(x)q(x)]f(x) + [¡q(x)¯(x)]g(x)
logo, r(x) 2 A. Mas 0 · grau (r(x)) < grau (d(x)) e temos ent~ao uma contradi»c~ao,
pois dentre os polino^mios de A, d(x) ¶e o de menor grau.
Analogamente, prova-se que d(x) j g(x).
Para ¯nalizar a prova de que d(x) ¶e um m¶aximo divisor comum de f(x) e g(x),
suponhamosque h(x) ¶e um polino^mio em K[x] tal que h(x) j f(x) e h(x) j g(x). Ent~ao,
h(x) j (®(x)f(x) + ¯(x)g(x)), ou seja, h(x) j d(x).
Portanto, conforme a de¯ni»c~ao 2.3.2, d(x) ¶e um m¶aximo divisor comum de f(x)
e g(x).
2.4 Algoritmo euclidiano para o c¶alculo do mdc em
K[x], K um corpo
Lema 2.4.1 Sejam f(x) e g(x) dois polino^mios em K[x], K um corpo, com g(x)6= 0,
e seja r(x) o resto da divis~ao euclidiana de f(x) por g(x). Ent~ao
mdc (f(x); g(x)) = mdc (g(x); r(x))
Demonstra»c~ao.. Seja d(x) = mdc (f(x); g(x)).
Por hip¶otese, f(x) = g(x)q(x) + r(x), ou seja, r(x) = f(x)¡ g(x)q(x).
Como d(x) j f(x) e d(x) j g(x), temos que d(x) j r(x).
Assim, d(x) j g(x) e d(x) j r(x).
Seja agora p(x) um polino^mio em K[x] que divide g(x) e r(x). Mostraremos que
p(x) divide d(x).
24
Como f(x) = g(x)q(x) + r(x), temos que p(x) j f(x). Logo, p(x) j f(x) e
p(x) j g(x)) p(x) j d(x).
Assim, pela de¯ni»c~ao 2.3.2, d(x) = mdc (g(x); r(x)).
Lema 2.4.2 Sejam K um corpo, f(x) e g(x) polino^mios em K[x], ambos n~ao nulos,
e de¯namos uma seqÄue^ncia de polino^mios em K[x] da seguinte forma:
1. r1(x) = f(x);
2. r2(x) = g(x);
3. Para cada ¶³ndice k, com k ¸ 2, se rk(x) 6= 0, de¯ne-se rk+1(x) como sendo o
resto da divis~ao euclidiana de rk¡1(x) por rk(x):
rk¡1(x) rk(x)
rk+1(x) ¤
e se rk(x) = 0, a seqÄue^ncia termina em rk(x).
Ent~ao a seqÄue^ncia r1(x); r2(x); : : : ¶e ¯nita e termina num zero, ou seja, existe um
indice n tal que rn(x)6= 0 e rn+1(x) = 0.
Demonstra»c~ao.. Temos que r1(x) e r2(x) s~ao polino^mios n~ao nulos e r3(x) ¶e o resto da
divis~ao de r1(x) por r2(x). Ent~ao ou r3(x) = 0.
Se r3(x) = 0, tomamos n = 2 e temos o resultado enunciado.
Se r3(x)6= 0, temos 0 · grau (r3(x)) < grau (r2(x)) e de¯nimos r4(x), o resto
da divis~ao de r2(x) por r3(x).
Teremos ent~ao grau (r4(x)) < grau (r3(x)) < grau (r2(x)).
Suponhamos ent~ao que para um determinado ¶³ndice k, temos grau (rk(x)) <
grau (rk¡1(x)) < : : : < grau (r2(x)).
Ent~ao, ou rk(x) = 0 ou podemos de¯nir rk+1(x), o resto da divis~ao de rk¡1(x)
por rk(x).
Teremos ent~ao
grau (rk+1(x)) < grau (rk(x)) < grau (rk¡1(x)) < : : : < grau (r2(x))
A seque^ncia de graus tem um primeiro elemento, que ¶e ¡1, sucedido pela
seqÄue^ncia de n¶umeros naturais, logo n~ao pode decrescer inde¯nidamente, de onde existe
um ¶³ndice n tal que rn(x)6= 0 mas rn+1(x) = 0.
Teorema 2.4.1 (Algoritmo Euclidiano para o c¶alculo do mdc) Seja K um
corpo, e sejam f(x) e g(x) polino^mios n~ao nulos em K[x], e seja r1(x), r2(x),: : :,
rn(x), rn+1(x), a seqÄue^ncia de¯nida pelo lema 2.4.2.
Ent~ao rn(x) ¶e um m¶aximo divisor comum de f(x) e g(x).
25
Demonstra»c~ao.. Pelas hip¶oteses do lema 2.4.2, temos
r3(x) ¶e o resto da divis~ao de r1(x) por r2(x)
: : :
rk+1(x) ¶e o resto da divis~ao de rk¡1(x) por rk(x) (se rk(x)6= 0)
: : :
rn(x) ¶e o resto da divis~ao de rn¡2(x) por rn¡1(x)
rn¡1 ¶e divis¶³vel por rn(x) (visto que rn+1(x) = 0).
Temos ent~ao, usando repetidas vezes o resultado do lema 2.4.1,
rn(x) = mdc (rn¡1(x); rn(x))
= mdc (rn¡2(x); rn¡1(x))
...
= mdc (rk¡1(x); rk(x))
= mdc (rk(x); rk+1(x)
...
= mdc (r3(x); r2(x))
= mdc (r2(x); r1(x))
= mdc (g(x); f(x)) = mdc (f(x); g(x))
26
2.5 Problemas do Cap¶³tulo 2
1. Liste todos os polino^mios de grau 2 em Z3[x].
2. Quantos s~ao os polino^mios de grau 3 em Z4[x]?
3. Calcule o quociente e o resto da divis~ao euclidiana de x7+1 por 2x3+1 em Q[x].
4. Calcule o quociente e o resto da divis~ao euclidiana de x7+1 por 2x3+1 em Z3[x].
5. Calcule d(x) = mdc (f(x); g(x)), nos casos:
(a) f(x) = x5 + x4 + x3 + 1, g(x) = x5 + x2 + x+ 1, em Z2[x].
(b) f(x) = x4 + x3 + x2 + 2, g(x) = x4 + 1, em Z3[x].
(c) f(x) = x27 ¡ 1, g(x) = x16 ¡ 1, em Q[x].
6. Quantas ra¶³zes em Z6 possui o polino^mio p(x) = x
3 + 5x 2 Z6[x]?
7. Em Z6[x], (2x + 3)(3x + 5) = x + 3. Isto n~ao contradiz a propriedade de que
grau (f(x)g(x)) = grau (f(x)) + grau (g(x))?
8. Prove os resultados enunciados na proposi»c~ao 2.3.1.
9. Prove que se f(x) e g(x) s~ao polino^mios sobre K, K um corpo, n~ao simultane-
amente nulos, ent~ao mdc (f(x); g(x)) ¶e o polino^mio mo^nico d(x) de maior grau
que ¶e fator de ambos f(x) e g(x).
10. Seja A um anel comutativo com unidade. Mostre (prove) que
(a) Um divisor pr¶oprio de zero em A ¶e tamb¶em um divisor pr¶oprio de zero em
A[x].
(b) Se A[x] tem divisores pr¶oprios de zero, ent~ao A tamb¶em os tem.
(c) A[x] ¶e um anel de integridade se e somente se A ¶e um anel de integridade.
11. Mostre que se p ¶e primo, ent~ao, em Zp[x], (x+ a)
p = xp+ap. [Sugest~ao: Mostre
que se p ¶e primo e 1 · n · p ¡ 1 ent~ao o n¶umero binomial
¡
p
n
¢
¶e divis¶³vel por
p. Depois aplique a f¶ormula do bino^mio de Newton, (x+ a)p =
Pp
n=0
¡
p
n
¢
xnap¡n.
Note que
¡
p
n
¢
= p!
n!(p¡n)!
¶e sempre um inteiro, pois ¶e o n¶umero de combina»c~oes de
p objetos, tomados n a n. Repare tamb¶em que se 1 · n < p, os inteiros n! e
(p¡ n)! n~ao cont¶em o primo p como fator, mas p! sim.]
12. (Algoritmo de Briot-Ru±ni para divis~ao por x¡ a) Sejam A um anel comutativo
com unidade e seja a um elemento de A. Dado um polino^mio f(x) 2 A[x], de
grau n ¸ 1, para efetuar divis~ao euclidiana de f(x) por x¡ a podemos recorrer a
um algoritmo pr¶atico que dispensa a divis~ao pelo m¶etodo da chave.
Suponhamos que f(x) = anx
n + an¡1x
n¡1 + : : :+ a1x+ a0. Dispomos os coe¯-
cientes de f(x) no diagrama
an an¡1 : : : a1 a0
a bn bn¡1 : : : b1 b0
27
no qual os coe¯cientes bn; bn¡1; : : : ; b1 e b0 s~ao calculados da seguinte forma:
bn = an
bn¡1 = a ¢ bn + an¡1
...
b1 = a ¢ b2 + a1
b0 = a ¢ b1 + a0
Mostre que os polino^mios quociente e resto da divis~ao de f(x) por x ¡ a s~ao
respectivamente q(x) = bnx
n¡1 + bn¡1x
n¡2 + : : :+ b2x+ b1 e r(x) = b0.
[Sugest~ao: (autor: Robinson) Deduza que grau (q(x)) = n ¡ 1 e escreva q(x) =
bnx
n¡1 + bn¡1x
n¡2 + : : : + b2x + b1 e r(x) = b0. Agora, usando o fato de que
g(x) = (x¡a)q(x)+r(x) e comparando os coe¯cientes de ambos os termos desta
igualdade, obtenha as rela»c~oes acima].
Note que o algoritmo de Briot-Ru±ni tamb¶em nos prove^ um m¶etodo alternativo
para calcular f(a) = b0.
28
3
Sub-an¶eis, ideais e an¶eis quocientes
3.1 Sub-an¶eis e ideais
De¯ni»c~ao 3.1.1 (Sub-anel de um anel) Seja (A;+; ¢) um anel e seja B um subcon-
junto n~ao vazio de A.
Dizemos que B ¶e um sub-anel de A se
1. B ¶e fechado nas opera»c~oes + e ¢ de A, ou seja
8a; b 2 B; tem-se a+ b 2 B e a ¢ b 2 B
2. A estrutura alg¶ebrica (B;+; ¢), em que + e ¢ s~ao as restri»c~oes das opera»c~oes de
A ao subconjunto B, ¶e um anel.
Proposi»c~ao 3.1.1 Sejam A um anel e B um subconjunto n~ao vazio de A. Ent~ao B ¶e
sub-anel de A se e somente se
8a; b 2 B; tem-se a¡ b 2 B e a ¢ b 2 B
Demonstra»c~ao..
(Se) ou (() Suponhamos que 8a; b 2 B; tem-se a¡ b 2 B e a ¢ b 2 B.
Temos ent~ao que, 8a; b 2 B,
(i) b¡ b 2 B, logo 0 2 B;
(ii) 0¡ b 2 B (pois 0 2 B e b 2 B), logo ¡b 2 B;
(iii) a¡ (¡b) 2 B (pois a 2 B e ¡b 2 B, logo a+ b 2 B.
Assim, B ¶e fechado na opera»c~ao + do anel A, e podemos portanto restringir
tal opera»c~ao ao conjunto B. Como a adi»c~ao de A ¶e associativa e comutativa,
sua restri»c~ao a B mant¶em estas propriedades. Pelos propriedades veri¯cadas nos
29
itens (i) e (ii) acima, temos ent~ao que a estrutura alg¶ebrica (B;+) ¶e um grupo
abeliano.
Por hip¶otese, a opera»c~ao multiplica»c~ao de A pode ser restringida ao conjunto B,
e como a multiplica»c~ao de A ¶e associativa e tamb¶em distributiva em rela»c~ao µa
adi»c~ao, sua restri»c~ao a B mant¶em estas propriedades.
Assim sendo, temos que a estrutura (B;+; ¢) ¶e um anel, e portanto B ¶e um
sub-anel de A.
(Somente se) ou ()) Sendo B um sub-anel de A, temos que 8a; b 2 B, temos
tamb¶em ¡b 2 B, logo a¡ b = a+ (¡b) 2 B e a ¢ b 2 B.
Exemplo 3.1.1 Consideremos o anelA = M(2;R) das matrizes quadradas 2 £ 2 de
n¶umeros reais, e seja B o sub-conjunto de A constitu¶³do de todas as matrizes da formaµ
a b
¡b a
¶
.
Sendo X =
µ
a b
¡b a
¶
e Y =
µ
c d
¡d c
¶
dois elementos de B (a; b; c e d todos
reais), temos
X ¡ Y =
µ
a¡ c b¡ d
¡(b¡ d) a¡ c
¶
;
X ¢ Y =
µ
ac¡ bd ad+ bc
¡(ad+ bc) ac¡ bd
¶
Logo, X ¡ Y e XY tem o formato das matrizes de B. Pela proposi»c~ao 3.1.1, B ¶e um
sub-anel do anel M(2;R).
Exemplo 3.1.2 (A unidade de um sub-anel pode n~ao ser a do anel) Considere
o anel Z12 e seu subconjunto B = f0; 3; 6; 9g. ¶E f¶acil veri¯car que para cada x 2 B e
cada y 2 B, tem-se x¡ y 2 B e xy 2 B. Assim, B ¶e um sub-anel de Z12.
Agora note que 9 ¢3 = 3, 9 ¢6 = 6 e 9 ¢9 = 9. Portanto, denotando 1B = 9, temos
1B ¢ x = x, 8x 2 B. Como ¢ ¶e comutativa, temos que 1B = 9 ¶e elemento unidade da
opera»c~ao multiplica»c~ao em B.
Assim, B ¶e sub-anel (comutativo) com unidade, muito embora seu elemento
unidade n~ao seja a unidade do anel Z12, que ¶e a classe 1.
De¯ni»c~ao 3.1.2 (Ideal de um anel) Sejam A um anel e I ½ A um sub-conjunto n~ao
vazio. Dizemos que I ¶e um ideal do anel A se
1. I ¶e um sub-anel de A;
2. Para cada a 2 A, e para cada x 2 I, tem-se a ¢ x 2 I e x ¢ a 2 I.
30
Observa»c~ao 3.1.1 Sendo A um anel e I um sub-conjunto n~ao vazio de A, combinando
o resultado da proposi»c~ao 3.1.1 e a de¯ni»c~ao de ideal, ¶e f¶acil concluir que:
I ¶e um ideal de A se e somente se
8x; y 2 I;8a 2 A; tem-se x¡ y 2 I; xa 2 I e ax 2 I
A prova desta observa»c~ao ¶e deixada como exerc¶³cio para o leitor
Exemplo 3.1.3 (Nem todo sub-anel ¶e um ideal) Considere o anel (corpo) Q dos
n¶umeros racionais e seu sub-anel Z dos n¶umeros inteiros. Conven»ca-se primeiramente
que Z ¶e sub-anel de Q.
Agora note que 1 2 Z, 1
2
2 Q, mas 1
2
¢ 1 = 1
2
62 Z. Assim, Z n~ao ¶e ideal de Q.
Exemplo 3.1.4 Considere o anel Z dos n¶umeros inteiros e seja I o conjunto dos
m¶ultiplos de 5 em Z:
I = f5n j n 2 Zg
Dados x; y 2 I, x = 5r e y = 5s para certos r; s 2 Z. Temos ent~ao x ¡ y =
5r¡5s = 5(r¡s) 2 I. Al¶em disso, se a ¶e um inteiro qualquer, ax = a(5r) = 5(ar) 2 I,
e xa = (5r)a = 5(ra) 2 I.
Logo, pela observa»c~ao 3.1.1, I ¶e um ideal de Z.
3.1.1 Ideais gerados por subconjuntos ¯nitos. Ideais principais
Proposi»c~ao 3.1.2 Sejam A um anel comutativo e S = fa1; : : : ; ang um subconjunto
de A.
O conjunto, denotado por (S) (ou por (a1; : : : ; an)), de¯nido por
(S) = fx1a1 + : : :+ xnan j x1; : : : ; xn 2 Ag;
¶e um ideal de A.
Demonstra»c~ao.. Seja (S) = fx1a1 + : : :+ xnan jx1; : : : ; xn 2 Ag.
Sendo ® = x1a1+: : :+xnan e ¯ = y1a1+: : :+ynan, com x1; : : : ; xn; y1; : : : ; yn 2
A, temos:
®¡ ¯ = (x1 ¡ y1)a1 + : : :+ (xn ¡ yn)an 2 (S)
e, para cada r 2 A,
r® = r(x1a1 + : : :+ xnan) = (rx1)a1 + : : :+ (rxn)an 2 (S);
®r = (x1a1+ : : :+ xnan)r = (x1a1)r+ : : :+(xnan)r = (rx1)a1+ : : :+(rxn)an 2 (S)
(combinando as propriedades comutativa e associativa de ¢ de A).
Pela observa»c~ao 3.1.1, (S) ¶e ideal do anel A.
31
De¯ni»c~ao 3.1.3 Sejam A um anel comutativo e S um subconjunto de A. O ideal
(S) = fx1a1 + : : : + xnan j x1; : : : ; xn 2 Ag ¶e chamado ideal gerado pelo conjunto S.
Os elementos a1; : : : ; an s~ao chamados geradores do ideal (S).
No caso que (S) tem um ¶unico elemento a, o ideal (S) = (a) = fxa jx 2 Ag ¶e
chamado ideal principal gerado por a
De¯ni»c~ao 3.1.4 Um anel A ¶e chamado um anel principal ou dom¶³nio de ideais
principais se A ¶e um anel de integridade (tamb¶em chamado de dom¶³nio) e se todo
ideal I de A ¶e um ideal principal.
De¯ni»c~ao 3.1.5 Um anel A ¶e chamado um anel euclidiano ou um dom¶³nio eu-
clidiano se A ¶e um anel de integridade comutativo e se existe uma fun»c~ao ±:A ! N
satisfazendo:
8a; b 2 A; b6= 0; existem q; r 2 A satisfazendo a = bq + r e ±(r) < ±(b)
Exemplo 3.1.5 Como exemplos de an¶eis euclidianos temos os seguintes
1. O anel Z dos n¶umeros inteiros, tomando-se ±(x) = jxj, para cada x 2 Z. Pelo
teorema do algoritmo da divis~ao em Z, para cada par de inteiros a e b, com b6= 0,
existem inteiros q e r satisfazendo a = bq + r e 0 · r < jbj, logo jrj < jbj, ou
seja, ±(r) < ±(b).
2. O anel K[x] dos polino^mios sobre um corpo K, na indeterminada x. Para cada
p(x) 2 K[x], de¯nimos ±(p(x)) = 2 grau (p(x)), de¯nindo-se 2¡1 = 0. Dados dois
polino^mios f(x); g(x) 2 K[x], com g(x)6= 0, pelo teorema do algoritmo da divis~ao
em K[x], existem polino^mios q(x); r(x) 2 K[x] satisfazendo f(x) = g(x)q(x) +
r(x) e grau (r(x)) < grau(g(x)), logo ±(r(x)) = 2 grau (r(x)) < 2 grau (g(x)) =
±(g(x)).
3. Todo corpo K ¶e um anel euclidiano, de¯nido-se ±(0) = 0 e ±(a) = 1, se a 2 K e
a6= 0. Dados a; b 2 K, com b6= 0, podemos escrever a = b(b¡1a) + 0. Assim
a = bq + r, sendo q = b¡1a e r = 0, tendo-se portanto ±(r) = ±(0) = 0 < 1 =
±(b).
Proposi»c~ao 3.1.3 Todo anel euclidiano ¶e um anel principal, ou seja, se A ¶e um anel
euclidiano ent~ao todo ideal de A ¶e um ideal principal.
Demonstra»c~ao.. Seja A um anel euclidiano e seja ±:A ! N a fun»c~ao que d¶a a pro-
priedade euclidiana a A.
Seja I ½ A um ideal de A. Se I = f0g ent~ao I = (0) e portanto ¶e um ideal
principal.
Se I6= f0g, consideremos o conjunto de n¶umeros naturais
D = f±(x) j x 2 A; x6= 0g
32
Pelo princ¶³pio do menor inteiro, D tem um menor n¶umero natural, e a ele corres-
ponde um elemento c 2 A com a propriedade, ±(c) · ±(x), 8x 2 A; x6= 0.
Mostramos que I = (c) = fcx jx 2 Ag, ou seja, que c ¶e o gerador do ideal I.
De fato, para cada elemento a 2 I, se a = 0 ent~ao a = c ¢ 0 2 (c). Se a6= 0,
ent~ao existem elementos q e r em A satisfazendo a = cq + r e ±(r) < ±(c).
Como ±(c) · ±(x) para todo x 2 A, x6= 0, temos que r = 0 (se r6= 0, temos a
seguinte contradi»c~ao: ±(r) < ±(c) e ±(c) · ±(r)).
Logo, a = cq 2 (c).
Portanto I = (c).
Exemplo 3.1.6 (Ideais em Z, ideais num corpo K, ideais em K[x])
Pela proposi»c~ao 3.1.3 e observa»c~ao precedente, o anel Z ¶e um anel principal. Assim todo
ideal I de Z ¶e da forma
I = (m) = fkm j k 2 Zg
para algum inteiro m, e denotamos tamb¶em I = mZ.
Se K ¶e um corpo, o anel de polino^mios K[x] ¶e euclidiano, logo ¶e um anel principal.
Assim, todo ideal de J de K[x] ¶e da forma
J = fp(x)q(x) j q(x) 2 K[x]g
para algum polino^mio p(x) 2 K[x], e denotaremos tamb¶em J = (p(x)) = p(x)K[x].
3.2 O anel quociente de um anel por um ideal
3.2.1 O conjunto quociente de um anel por um ideal
Sejam A um anel e I um ideal de A.
De¯ne-se em A a congrue^ncia m¶odulo I como sendo a rela»c~ao em A dada por
8a; b 2 A; a ´ b (mod I), a¡ b 2 I
(\a ´ b (mod I)" le^-se \a ¶e congruente a b, m¶odulo I")
Proposi»c~ao 3.2.1 A rela»c~ao de congrue^ncia m¶odulo I ¶e uma rela»c~ao de equivale^ncia
em A, ou seja: 8a; b; c 2 A,
1. a ´ a (mod I) (a rela»c~ao ¶e re°exiva);
2. se a ´ b (mod I) ent~ao b ´ a (mod I) (a rela»c~ao ¶e sim¶etrica);
3. se a ´ b (mod I) e b ´ c (mod I) ent~ao a ´ c (mod I) (a rela»c~ao ¶e transitiva)
33
Demonstra»c~ao.. 8a; b; c 2 A, como I ¶e um sub-anel de A,
1. a¡ a = 0 2 I, logo a ´ a (mod I).
2. se a ´ b (mod I) ent~ao a ¡ b 2 I. Logo, ¡(a ¡ b) = b ¡ a 2 I, e portanto
b ´ a (mod I).
3. se a ´ b (mod I) e b ´ c (mod I) ent~ao, a ¡ b 2 I e b ¡ c 2 I. Logo,
(a¡ b) + (b¡ c) = a¡ c 2 I e portanto a ´ c (mod I).
De¯ni»c~ao 3.2.1 (Classes laterais do ideal I em A) Sejam A um anel e I um ideal
de A. Para cada a 2 A, a classe de equivale^ncia de A, com respeito µa rela»c~ao de
congrue^ncia m¶odulo I, ¶e chamada classe lateral de I, determinada por a.
Tal classe de equivale^ncia ¶e o conjunto
a = fx 2 A j x ´ a (mod I)g
Notemos agora que, 8x 2 A,
x 2 a , x ´ a (mod I)
, x¡ a 2 I
, x¡ a = r para algum r 2 I
, x = a+ r para algum r 2 I
Portanto, a = fa + r j r 2 Ig. Denotando a + I = fa+ r j r 2 Ig, acabamos de ver
que a classe lateral do ideal I, determinada porum elemento a do anel A, ¶e dada por
a = a+ I = fa+ r j r 2 Ig
De¯ni»c~ao 3.2.2 (Conjunto quociente do anel A pelo ideal I) Sendo A um
anel e I um ideal de A, o conjunto das classes laterais a + I, com a 2 A, ¶e chamado
conjunto quociente do anel A pelo ideal I, e ¶e denotado por A=I. Simbolica-
mente
A=I = fa+ I j a 2 Ag
3.2.2 Estrutura de anel em A=I, sendo I um ideal do anel A
Sejam A um anel e I um ideal de A. No conjunto quociente A=I, de¯niremos duas
opera»c~oes, tamb¶em denotadas por + e ¢, ambas \induzidas" pelas opera»c~oes de A, as
quais dar~ao uma estrutura de anel a A=I. Antes por¶em estabeleceremos a
Proposi»c~ao 3.2.2 (Igualdade de classes laterais) Sejam A um anel, I um ideal de
A,e x e y elementos de A. Ent~ao
x+ I = y + I , x¡ y 2 I
(em particular, x 2 I , x+ I = I)
34
Demonstra»c~ao..
(Se) Suponhamos x¡ y 2 I. Ent~ao x¡ y = r, para algum r 2 I. Mostraremos ent~ao
que x+ I ½ y + I e que y + I ½ x+ I.
Para cada a 2 A, a 2 x+I, temos a = x+s, para algum s 2 I. Como x¡y = r,
temos ent~ao a = (y + r) + s = y + (r + s) 2 y + I, j¶a que r + s 2 I. Portanto
a 2 x+ I ) a 2 y + I. Logo, x+ I ½ y + I
Analogamente, prova-se que y + I ½ x+ I.
(Somente se) Suponhamos que x+ I = y + I. Tome um elemento x + r 2 x + I.
Ent~ao x+r 2 y+I. Da¶³, existe s 2 I, tal que x+r = y+s. Logo x¡y = s¡r 2 I.
De¯ni»c~ao 3.2.3 (Adi»c~ao e multiplica»c~ao em A=I) Sejam A um anel, I um
ideal de A e A=I o conjunto quociente de A por I.
De¯nem-se em A=I as opera»c~oes + e ¢, dadas por: 8x; y 2 A
1. (x+ I) + (y + I) = (x+ y) + I
2. (x+ I) ¢ (y + I) = (xy) + I (tamb¶em denotamos (xy) + I = xy + I)
Teorema 3.2.1 A adi»c~ao e a multiplica»c~ao de duas classes x+ I e y+ I em A=I, n~ao
depende dos representantes x e y dessas classes, ou seja, se x+I = x0+I e y+I = y0+I
ent~ao (x+ y) + I = (x0 + y0) + I e xy + I = x0y0 + I. (Este fato ¶e tamb¶em enunciado
dizendo-se que a adi»c~ao e a multiplica»c~ao em A=I s~ao bem-de¯nidas)
Demonstra»c~ao.. A prova deste teorema ¶e essencialmente conseqÄue^ncia do seguinte
Lema 3.2.1 Sejam A um anel e I um ideal de A. A rela»c~ao de congrue^ncia m¶odulo I
¶e compat¶³vel com as opera»c~oes de adi»c~ao e multiplica»c~ao em A, ou seja,
8x; x0; y; y0 2 A, se x ´ x0 (mod I) e y ´ y0 (mod I), ent~ao x+ y ´ x0 + y0 (mod I)
e xy ´ x0y0 (mod I).
Demonstra»c~ao.. Sendo x; y; x0; y0 2 A, se x ´ x0 (mod I) e y ´ y0 (mod I), ent~ao
x¡ x0 2 I e y ¡ y0 2 I.
Da¶³, como I ¶e ideal de A, temos:
1. (x¡x0)+(y¡y0) 2 I ) (x+y)¡ (x0+y0) 2 I ) (x+y)+ I = (x0+y0)+ I )
x+ y ´ x0 + y0 (mod I)
2. (x¡ x0)y 2 I e x0(y ¡ y0) 2 I ) xy ¡ x0y 2 I e x0y ¡ x0y0 2 I ) (xy ¡ x0y) +
(x0y ¡ x0y0) 2 I ) xy ¡ x0y0 2 I, logo xy ´ x0y0 (mod I)
35
Demonstra»c~ao. do teorema 3.2.1. Se x+ I = x0 + I e y+ I = y0+ I, ent~ao x¡ x0 2 I
e y ¡ y0 2 I. Pelo lema 3.2.1, x + y ´ x0 + y0 (mod I) e xy ´ x0y0 (mod I), logo
(x+ y) + I = (x0 + y0) + I e xy + I = x0y0 + I.
Teorema 3.2.2 Sejam A um anel comutativo e I um ideal de A. O conjunto A=I,
juntamente com as opera»c~oes de adi»c~ao e multiplica»c~ao dadas por
(x+ I) + (y + I) = (x+ y) + I e (x+ I)(y + I) = xy + I; 8x; y 2 A;
¶e um anel, em que
1. 0 + I = I ¶e o elemento neutro da adi»c~ao;
2. (¡x) + I ¶e o elemento oposto (inverso aditivo) de x+ I, 8x 2 A.
Al¶em disso,
3. Se A ¶e anel com unidade 1, ent~ao A=I ¶e anel com unidade 1 + I;
4. Se, alem disso, x ¶e um elemento invert¶³vel do anel A, ent~ao a classe lateral x+ I
¶e elemento invert¶³vel do anel A=I, sendo (x+ I)¡1 = x¡1 + I;
5. Se A ¶e anel comutativo, ent~ao A=I ¶e tamb¶em comutativo;
Demonstra»c~ao.. A demonstra»c~ao deste teorema ¶e f¶acil, por¶em com muitas linhas, e ser¶a
deixada para o leitor.
Para provar por exemplo, que a multiplica»c~ao em A=I ¶e associativa, usamos o fato
de que a multiplica»c~ao em A ¶e associativa:
8x; y; z 2 A,
(x+ I) ¢ [(y + I) ¢ (z + I)] = (x+ I)(yz + I) (pela de¯ni»c~ao de ¢ em A=I)
= x(yz) + I (idem)
= (xy)z + I (pela associatividade de ¢ em A
= (xy + I)(z + I) (pela de¯ni»c~ao de ¢ em A=I)
= [(x+ I) ¢ (y + I)] ¢ (z + I) (idem)
Para provar o item 4, suponhamos que x 2 A ¶e um elemento invert¶³vel. Ent~ao
(x+ I)(x¡1 + I) = (xx¡1) + I = 1 + I
e tamb¶em
(x¡1 + I)(x+ I) = (x¡1x) + I = 1 + I
o que prova que (x+ I)¡1 = x¡1 + I, uma vez que 1 + I ¶e a unidade do anel A=I.
Os demais detalhes ser~ao deixados para o leitor.
36
3.3 Homomor¯smos de an¶eis. O teorema fundamen-
tal do isomor¯smo
Muitas vezes dois an¶eis aparentemente diferentes, comportam-se como se fossem um
mesmo anel. Considere por exemplo, os an¶eis A = Z3 = f[0]; [1]; [2]g e o sub-anel A
0
de Z6 = f0; 1; 2; 3; 4; 5g, dado por A
0 = f0; 2; 4g. Neste exemplo, temos que denotar
as classes de congrue^ncia m¶odulo 6 diferentemente das classes m¶odulo 3, para evitar
confus~ao.
Estabelecendo-se a corresponde^ncia biun¶³voca entre Z3 e A
0,
[0] $ 0
[1] $ 4
[2] $ 2
notamos que [1] + [1] = [2] corresponde a 4 + 4 = 2, [1] + [2] = [0] corresponde a
4 + 2 = 0, [1] ¢ [1] = [1] corresponde a 4 ¢ 4 = 4, etc., ou seja, a soma ou produto
de elementos de A corresponde µa soma ou produto dos elementos correspondentes µas
parcelas (no caso da soma) ou dos fatores (no caso do produto).
Neste caso, dizemos que A e A0 s~ao an¶eis isomorfos, pois tratam-se de um mesmo
anel, embora com \roupagens" diferentes.
De¯ni»c~ao 3.3.1 Sejam (A;+; ¢) e (A0;+; ¢) dois an¶eis (cujas opera»c~oes + e ¢ tem a
mesma nota»c~ao por simplicidade). Uma aplica»c~ao (ou fun»c~ao) f :A ! A0 ¶e chamada
um homomor¯smo de an¶eis, se:
1. f(x+ y) = f(x) + f(y); 8x; y 2 A; e
2. f(x ¢ y) = f(x) ¢ f(y);8x; y 2 A.
De¯ni»c~ao 3.3.2 Sendo f :A! A0 um homomor¯smo de an¶eis, dizemos que
1. f ¶e um endomor¯smo se A = A0;
2. f ¶e um monomor¯smo se a fun»c~ao f ¶e injetora;
3. f ¶e um epimor¯smo se a fun»c~ao f ¶e sobrejetora;
4. f ¶e um isomor¯smo se a fun»c~ao f ¶e bijetora (corresponde^ncia biun¶³voca);
5. f ¶e um automor¯smo se A = A0 e f ¶e um isomor¯smo.
Proposi»c~ao 3.3.1 Seja f :A! A0 um homomor¯smo de an¶eis.
1. f(0A) = 0A0;
2. f(¡x) = ¡f(x), 8x 2 A;
37
3. O conjunto Im(f) = f(A) = ff(x) jx 2 Ag ¶e sub-anel de A0;
4. Se B ¶e sub-anel de A ent~ao f(B) = ff(x) j x 2 Bg ¶e sub-anel de A0;
5. Se A tem elemento unidade 1A ent~ao f(1A) ¶e elemento unidade do anel Im(f)
(sub-anel de A0);
6. Se A tem elemento unidade 1A e f ¶e um epimor¯smo ent~ao f(1A) ¶e elemento
unidade de A0;
7. Se A tem elemento unidade e
(a) x 2 A ¶e elemento invert¶³vel ent~ao f(x) ¶e elemento invert¶³vel do anel Im(f);
(b) x 2 A ¶e elemento invert¶³vel e f ¶e um epimor¯smo ent~ao f(x) ¶e elemento
invert¶³vel do anel A0
Proposi»c~ao 3.3.2 Seja f :A ! A0 um homomor¯smo de an¶eis, e considere o n¶ucleo
ou kernel de f , de¯nido como sendo o conjunto
ker(f) = f¡1(0) = fx 2 A j f(x) = 0g
Ent~ao
1. ker(f) ¶e um ideal de A;
2. Se I 0 ½ A0 ¶e um ideal de A0 ent~ao I = f¡1(I 0) = fx 2 A j f(x) 2 I 0g ¶e um ideal
de A (com ker(f) ½ I)
Proposi»c~ao 3.3.3 Seja f :A! A0 um homomor¯smo de an¶eis. Ent~ao f ¶e um monomor-
¯smo se e somente se ker(f) = f0g.
O teorema que segue ¶e tamb¶em chamado Teorema fundamental do homo-
mor¯smo de an¶eis. Ele estabelece uma ferramenta que nos permite identi¯car, em
termos de isomor¯smo, um anel quociente com um anel \previamente conhecido."
Teorema 3.3.1 (Teorema fundamental do isomor¯smo de an¶eis)
Sejam (A;+; ¢) e (A0;+; ¢) dois an¶eis e seja f :A ! A0 um homomor¯smo de an¶eis.
Seja K = ker(f). Ent~ao a aplica»c~ao
f :A=K ! Im(f)
de¯nida por
8 a+K 2 A=K; f(a+K) = f(a)
¶e bem-de¯nida e ¶e um isomor¯smo de an¶eis.
Simpli¯cando,
A=ker(f) »= Im(f)
atrav¶es do isomor¯smo f .
38
Demonstra»c~ao.. Provemos primeiramente que f ¶e bem-de¯nida, ou seja, f(a+K) n~ao
depende do representante a da classe lateral a+K.
Se a+K = b+K ent~ao, a¡b 2 K = ker(f). Logo,f(a¡b) = 0) f(a)¡f(b) =
0) f(a) = f(b), logo f(a+K) = f(b+K).
Provemos agora que f ¶e um monomor¯smo de an¶eis.
f ¶e injetora:
8a; b 2 A, f(a+K) = f(b+K)) f(a) = f(b)) f(a¡ b) = f(a)¡ f(b) = 0
) a¡ b 2 K = ker(f) ) a+K = b+K.
f ¶e sobrejetora:
Para cada y 2 im(f), y = f(x) para algum x 2 A, logo y = f(x+K).
f ¶e um homomor¯smo de an¶eis:
8a; b 2 A,
f((a+K)+(b+K)) = f((a+b)+K) = f(a+b) = f(a)+f(b) = f(a+K)+f(b+K);
f((a+K) ¢ (b+K)) = f((ab) +K) = f(ab) = f(a)f(b) = f(a+K) ¢ f(b+K)
Portanto, f ¶e um isomor¯smo de an¶eis.
39
3.4 Problemas do Cap¶³tulo 3
1. De^ exemplo de um anel A contendo um sub-anel B, em cada um dos casos:
(a) A tem unidade 1A, B tem unidade 1B, e 1A 6= 1B;
(b) A tem unidade 1A e B n~ao tem unidade;
(c) B tem unidade 1B e A n~ao tem unidade.
2. Sejam A um anel e sejam I e J ideais de A. Prove que
(a) I \ J ¶e um ideal de A
(b) De¯nindo-se I + J = fx+ y jx 2 I; y 2 Jg e
I ¢ J = fx1y1 + : : :+ xnyn jn ¸ 1; x1; : : : ; xn 2 I e y1; : : : ; yn 2 Jg
mostre que I + J e I ¢ J s~ao ideais de A
3. Sejam a e b inteiros e seja I = (a) + (b) = fma + nb jm;n 2 Zg. Mostre que
I = (d) = dZ, sendo d = mdc(a; b).
Mostre ainda que:
(a) (a) ½ (b), b j a.
(b) (a) ¢ (b) = (ab).
(c) (a) \ (b) = (m), sendo m = mmc (a; b) [Sugest~ao: Use a caracteriza»c~ao
natural de m¶³nimo m¶ultiplo comum de dois inteiros: se a6= 0 ou b6= 0,
mmc (a; b) ¶e o menor inteiro positivo que ¶e m¶ultiplo de ambos a e b.]
4. Mostre, com um contra-exemplo que, se I e J s~ao ideais de um anel A, o conjunto
P = fxy jx 2 I e y 2 Jg n~ao ¶e necessariamente um ideal de A.
5. Seja A um anel e seja C = fI® j® 2 ¤g um conjunto (cole»c~ao) de ideais de A.
Mostre que
T
®2¤
I® ¶e um ideal de A.
[Lembre-se de que, por de¯ni»c~ao, \®2¤I® = fa 2 A j a 2 I®; 8® 2 ¤g.]
6. (Ideal gerado por um subconjunto) Sejam A um anel e S um subcon-
junto de A. Seja C o conjunto dos ideais de A que cont¶em S, ou seja, C =
fJ jJ ¶e um ideal de A e S ½ Jg.
De¯ne-se L =
T
J2C
J como sendo a interse»c~ao dos elementos da cole»c~ao C. Ou
seja, L = fa 2 A j a 2 J; 8J 2 Cg.
Mostre que
(a) L ¶e um ideal de A contendo o conjunto S.
(b) L ¶e o menor ideal de A que cont¶em o conjunto S, ou seja, se I ¶e um ideal
de A que tamb¶em cont¶em S ent~ao S ½ J ½ I.
Nota: Tal ideal L, ¶e denotado por L = (S), ¶e chamado ideal gerado por S.
40
7. Mostre que, se A ¶e um anel comutativo e S = fa1; : : : ; ang ¶e um subconjunto de
A ent~ao o ideal gerado por S, L = (S), segundo a de¯ni»c~ao dada no exerc¶³cio
anterior, ¶e o conjunto
J = fx1a1 + : : :+ xnan jx1; : : : ; xn 2 Ag
ou seja, coincide com o ideal gerado por S segundo a de¯ni»c~ao dada na proposi»c~ao
3.1.2.
8. Mostre que os ¶unicos ideais de um corpo K s~ao I = f0g e J = K.
9. Se A ¶e um anel, n~ao necessariamente comutativo, sendo a um elemento de A,
de¯ne-se
(a) = fx1ay1 + : : :+ xsays j s ¸ 1; e x; y 2 Ag
Mostre que (a) ¶e ideal de A (chamado ideal gerado por a). Mostre que, no
caso de A ser comutativo, (a) = fxa jx 2 Ag, ou seja (a) coincide com o ideal
principal gerado por a.
10. (Z ¶e um anel principal, mas Z[x] n~ao o ¶e) Em Z[x], considere o ideal J = (2; x), ou
seja, o ideal gerado pelos elementos 2 e x. Mostre que J n~ao ¶e um ideal principal,
isto ¶e, que n~ao existe p(x) 2 Z[x] tal que J = (p(x)). [Sugest~ao: Supondo que
J = (p(x)), como 2 2 J e x 2 J , temos que 2 = p(x)f(x) e x = p(x)g(x)
para certos polino^mios f(x) e g(x) em Z[x]. Mostre que isto implica p(x) = §1.
Mostre que n~ao existem polino^mios a(x) e b(x) em Z[x] tal que 2a(x)+xb(x) = 1.]
11. Mostre que um homomor¯smo de an¶eis de um corpo K num anel A6= f0g ¶e um
monomor¯smo.
12. Considere o anel Zm dos inteiros m¶odulo m, m ¸ 0, e a aplica»c~ao f :Z ! Zm,
de¯nida por f(a) = a, 8a 2 Z.
(a) Mostre que f ¶e um homomor¯smo de an¶eis.
(b) Mostre que K = ker(f) = mZ = fkm j k 2 Zg.
(c) Aplicando o teorema fundamental do isomor¯smo de an¶eis, mostre que o anel
quociente Z=mZ ¶e isomorfo ao anel Zm, sendo tal isomor¯smo dado pela
aplica»c~ao
f : Z=mZ ! Zm
a+mZ 7! a
13. Seja A um anel com unidade 1A e seja f :Z! A a aplica»c~ao de¯nida por f(n) =
n ¢ 1A.
(a) Mostre que f ¶e um homomor¯smo de an¶eis. Voce^ ter¶a que mostrar primeira-
mente que 8m;n 2 Z, (mn)1A = (m1A)(n1A). [Sugest~ao: Para um inteiro
gen¶erico m, prove primeiramente que o resultado ¶e v¶alido para n 2 N, por in-
du»c~ao sobre n. Depois prove o resultado para n inteiro negativo, escrevendo
n = ¡ jnj e usando a validade do resultado para jnj.]
(b) A imagem do homomor¯smo f , im(f) = f(Z) = fn1A jn 2 Zg ¶e um sub-
anel de A. Mostre que f(Z) ¶e o menor sub-anel de A que cont¶em a unidade
1A.
41
(c) Mostre que f(Z) ¶e isomorfo ao anel Z dos n¶umeros inteiros ou ao anel Zm
para algum inteiro positivo m.
(d) De¯nimos a caracter¶³stica do anel A como sendo o n¶umero natural carac
(A), dado por
carac (A) =
½
0; se ker(f) = f0g,
m; se ker(f) = mZ
Note que, alternativamente,
carac (A) =
½
0; se f(Z) »= Z,
m; se f(Z) »= Zm
Mostre que se carac (A) = m ent~ao ma = 0, 8a 2 A.
14. Mostre que se A ¶e um anel de integridade, ent~ao a caracter¶³stica de A ¶e 0 ou um
n¶umero primo.
15. Mostre que, se A ¶e um anel de integridade, os ¶unicos homomor¯smos f :A ! A
s~ao a aplica»c~ao identidade idA e o homomor¯smo nulo. [O homomor¯smo nulo
f :A! A ¶e a aplica»c~ao de¯nida por f(a) = 0; 8a 2 A.]
16. Seja m inteiro positivo.
(a) Mostre que se f :Z ! Zm ¶e um homomor¯smo de an¶eis e f(1) = a, ent~ao
a2 = a.
(b) Mostre que se a 2 Zm, com a 2 Z, e a
2 = a, ent~ao a aplica»c~ao f :Z! Zm,
dada por f(n) = na ¶e bem-de¯nida e ¶e um homomor¯smo de an¶eis.
(c) Considere a aplica»c~ao f :Z ! Z6, dada por f(n) = 4n. Mostre que f ¶e
um homomor¯smo de an¶eis. Mostre que ker(f) = 3Z e que, aplicando
o teorema fundamental do isomor¯smo de an¶eis, obtemos um isomor¯smo
entre Z3 = f[1]; [2]; [3]g e o sub-anel de Z6, A
0 = f0; 2; 4g, dado ao in¶³cio
da se»c~ao 3.3.
17. Determine todos os homomor¯smos f do anel Z no anel Z12. Em cada caso,
determine o sub-anel A de Z12 que ¶e imagem do homomor¯smo f , e determine,
via teorema fundamental do isomor¯smo, um inteiro k tal que A »= Zk.
42
4
K[x]=(p(x)), K um corpo.
4.1 Introdu»c~ao
No cap¶³tulo 3, ¯zemos um estudo introdut¶orio dos an¶eis quocientes A=I, I um ideal de
A.
Em particular, estabelecemos o teorema fundamental do isomor¯smo de an¶eis:
Teorema. Se f :A! B ¶e um homomor¯smo de an¶eis, ent~ao, a aplica»c~ao
f :A=ker(f)! Im(f);
de¯nida por f(a+Ker(f)) = f(a), ¶e um isomor¯smo de an¶eis.
Neste cap¶³tulo, exploramos a estrutura do anel quociente K[x]=I, em que K ¶e um
corpo e I ¶e um ideal de K[x].
Como visto no cap¶³tulo 3, todo ideal de K[x] ¶e principal | visto que K[x] ¶e um
anel euclidiano | ou seja, para cada ideal I de K[x], existe um polino^mio p(x) tal que
I ¶e gerado por p(x), isto ¶e, I = (p(x)) = ff(x)p(x) j f(x) 2 K[x]g.
Assim sendo estaremos explorando a estrutura de an¶eis K[x]=(p(x)), K um corpo,
p(x) 2 K[x].
Mostraremos que se grau (p(x)) ¸ 1, ent~ao o anel quociente K[x]=(p(x)) ¶e iden-
ti¯cado com um anel de express~oes polinomiais
K[u] = famum + am¡1um¡1 + ¢ ¢ ¢+ a1u+ a0 j am; : : : ; a0 2 Kg;
em que u ¶e um "elemento de fora de K", sendo p(u) = 0.
Assim sendo, o anel quociente K[x]=(p(x)) nos prove^ uma raiz de p(x) que n~ao
pertence ao corpo K. Veremos ainda que se p(x) ¶e irredutivel em K[x], ou seja, se
¶e imposs¶³vel fatorar p(x) como produto de polino^mios n~ao constantes em K[x], ent~ao
K[x]=(p(x)) = K[u] ¶e um corpo. Este ¶e uma extens~ao do corpo K que cont¶em uma
raiz, u, do polino^mio p(x).
43
4.2 Estrutura do anel K[x]=I = K[x]=(p(x))
Sejam ent~ao K um corpo, K[x] o anel de polino^mios sobre K, na indeterminada x, p(x)
um polino^mio em K[x] e I ½ K[x] o ideal de K[x] gerado por p(x).
Notemosprimeiramente que, sendo A ¶e um anel qualquer,
² se I = f0g ent~ao A=I = A=f0g »= A
² se I = A ent~ao A=I = A=A »= f0g
Os fatos acima s~ao facilmente deduzidos notando-se que as aplica»c~oes
f; g:A! A
dadas por
f(x) = 0 e g(x) = x; 8x 2 A
s~ao homomor¯smos de an¶eis. Como ker(f) = A, ker(g) = f0g, Im(f) = f0g e
Im(g) = A, pelo teorema fundamental do homomor¯smo de an¶eis, temos:
A=ker(f) »= Im(f)) A=A »= f0g e
A=ker(g) »= Im(g)) A=f0g »= A.
Se p(x) = 0, ent~ao I = (p(x)) = (0) = f0g.
Neste caso, K=I = K[x]=(p(x)) = K[x]=f0g »= K[x].
Se p(x) = c6= 0, ent~ao I = (p(x)) = (c) = K[x]. A dedu»c~ao deste fato ¶e deixada
como exerc¶³cio.
Neste caso, K[x]=(p(x)) = K[x]=(c) = K[x]=K[x] »= f0g.
4.2.1 O anel K[x]=(p(x)), quando grau (p(x)) ¸ 1
Proposi»c~ao 4.2.1 Sejam K um corpo, e p(x) 2 K[x] um polino^mio de grau ¸ 1. Seja
I = (p(x)). A aplica»c~ao
i:K ! K[x]=I
de¯nida por
i(a) = a+ I; 8a 2 K
¶e um monomor¯smo de an¶eis.
Demonstra»c~ao.. 8a; b 2 K,
i(ab) = ab+ I = (a+ I)(b+ I) = i(a)i(b); e
i(a+ b) = a+ b+ I = (a+ I) + (b+ I) = i(a) + i(b)
e portanto i ¶e um homomor¯smo.
44
Veri¯camos a seguir que ker(i) = f0g, e portanto i ¶e um monomor¯smo:
8a 2 K, i(a) = 0) i(a) = 0+ I (pois 0+ I ¶e o elemento zero do anel quociente
K[x]=(p(x))).
Agora, i(a) = 0 + I , a+ I = 0 + I , a¡ 0 2 I , a 2 I.
Notemos ent~ao que, sendo I = (p(x)), a 2 I se e somente se a = p(x)f(x) para
algum polino^mio f(x) em K[x]. Temos ent~ao grau (p(x)) + grau (f(x)) = grau (a).
Se a6= 0, temos aqui uma contradi»c~ao:
0 = grau (a) = grau (p(x)) + grau (f(x)) ¸ grau (p(x)) ¸ 1
Logo, necessariamente, a = 0.
Portanto, i(a) = 0) a = 0, ou seja, ker(i) = f0g e i ¶e um monomor¯smo.
Observa»c~ao 4.2.1 Como vimos, pela proposi»c~ao 4.2.1, quando grau (p(x)) ¸ 1, a
aplica»c~ao i:K ! K[x]=(p(x)), i(a) = a + (p(x)), ¶e um monomor¯smo. Assim, K »=
Im(i) = fa+ (p(x)) j a 2 Kg.
Mais precisamente, atrav¶es desse isomor¯smo entre o corpo K e sua imagem
pelo monomor¯smo i, podemos identi¯car cada elemento a 2 K com sua imagem
a+ (p(x)) 2 K[x]=(p(x)).
Assim sendo, consideraremos que o anel quociente K[x]=(p(x)) cont¶em uma
\c¶opia" do corpo K.
Os processos de identi¯ca»c~ao como o descrito acima s~ao comuns em estruturas
alg¶ebricas. Por exemplo, o anel Z dos n¶umeros inteiros, ¶e freqÄuentemente identi¯cado
como um sub-anel dos n¶umeros racionais atrav¶es do monomor¯smo
f :Z! Q; f(n) = n
1
.
Deste modo, passamos a considerar o racional n
1
e o inteiro n como sendo iguais.
Proposi»c~ao 4.2.2 Seja p(x) um polino^mio de grau ¸ 1 em K[x], K um corpo. Con-
sidere a classe lateral u = x+ (p(x)) 2 K[x]=(p(x)). Ent~ao, denotando a+ (p(x)) = a
para cada elemento a 2 K, temos que cada elemento do anel quociente K[x]=(p(x)) se
escreve como uma express~ao polinomial
anu
n + ¢ ¢ ¢+ a1u+ a0 =
nX
k=0
aku
k
sendo n ¸ 0 e a0; : : : ; an elementos de K (considerado com sub-anel de K[x]=(p(x))).
Demonstra»c~ao.. Seja ® um elemento (classe lateral) em K[x]=(p(x)).
Temos ® = f(x)+(p(x)), para algum f(x) 2 K[x]. Sendo f(x) = anxn+¢ ¢ ¢+a0,
veremos que ent~ao ® = anu
n + ¢ ¢ ¢+ a0.
45
De fato
® = f(x) + (p(x))
=
h nX
k=0
akx
k
i
+ (p(x))
=
nX
k=0
h
akx
k + (p(x))
i
=
nX
k=0
h
ak + (p(x))
ih
xk + (p(x))
i
=
nX
k=0
h
ak + (p(x))
ih
x+ (p(x))
ik
=
nX
k=0
aku
k = aku
k + ¢ ¢ ¢+ a0
sendo que, na passagem da antepen¶ultima para a pen¶ultima linha, consideramos a iden-
ti¯ca»c~ao ak + (p(x)) = ak (ak 2 K).
Observa»c~ao 4.2.2 Em virtude da proposi»c~ao 4.2.2, sendo u = x+(p(x)), denotaremos
K[x]=(p(x)) = K[u] = fanun + ¢ ¢ ¢+ a0 j an; : : : ; a0 2 Kg
e chamaremos os elementos deste anel de express~oes polinomiais em u, com coe¯cientes
em K.
Proposi»c~ao 4.2.3 Seja K um corpo e considere p(x) 2 K[x], de grau n ¸ 1. Como
no enunciado da proposi»c~ao 4.2.2, seja u = x+ (p(x)). Ent~ao:
1. K[u] ¶e um anel que cont¶em o corpo K como sub-anel. (Isto ¶e precisamente o que
enuncia a proposi»c~ao 4.2.1).
2. u 2 K[u] ¶e raiz do polino^mio p(x), ou seja p(u) = 0.
3. Cada elemento de K[u] se escreve, de maneira ¶unica, na forma
bn¡1u
n¡1 + ¢ ¢ ¢+ b0
com b0; : : : ; bn¡1 2 K (lembre-se: n = grau (p(x))).
Demonstra»c~ao..
1. J¶a demonstrado (proposi»c~ao 4.2.1).
46
2. Suponha p(x) =
Pn
k=0 akx
k. Ent~ao
p(u) =
nX
k=0
aku
k
=
nX
k=0
[ak + (p(x))][x+ (p(x))]
k
=
nX
k=0
[ak + (p(x))][x
k + (p(x))]
=
nX
k=0
[akx
k + (p(x))]
=
h nX
k=0
akx
k
i
+ (p(x))
= p(x) + (p(x)) = 0 + (p(x)) (pois p(x) 2 (p(x)))
= 0
3. Seja ® = cmu
m + ¢ ¢ ¢ + c0 2 K[u]. Temos que ® = f(u), sendo f(x) =
cmx
m + ¢ ¢ ¢+ c0 2 K[x].
Fazendo a divis~ao euclidiana de f(x) por p(x), obtemos polino^mios q(x) e r(x)
em K[x], satisfazendo
f(x) = p(x)q(x) + r(x); com grau (r(x)) < grau (p(x)) = n
Assim, r(x) ¶e da forma r(x) = bn¡1x
n¡1 + ¢ ¢ ¢+ b0, com bn¡1; : : : ; b0 2 K.
Ent~ao ® = f(u) = p(u)q(u) + r(u) = 0 ¢ q(u) + r(u) = r(u) pois, como provado
no item anterior, p(u) = 0.
Logo, ® = r(u) = bn¡1u
n¡1 + ¢ ¢ ¢+ b0.
Para mostrar que os coe¯cientes bn¡1; : : : ; b0 s~ao determinados de maneira ¶unica,
suponhamos que
® = bn¡1u
n¡1 + ¢ ¢ ¢+ b0 = dn¡1un¡1 + ¢ ¢ ¢+ d0
para certos dn¡1; : : : ; d0 2 K.
Ent~ao
0 = ®¡ ® = (bn¡1un¡1 + ¢ ¢ ¢+ b0)¡ (dn¡1un¡1 + ¢ ¢ ¢+ d0)
= (bn¡1 ¡ dn¡1)| {z }
en¡1
un¡1 + ¢ ¢ ¢+ (b0 ¡ d0)| {z }
e0
= en¡1u
n¡1 + ¢ ¢ ¢+ e0
Resta provar que en¡1 = : : : = e0 = 0.
47
Considere ent~ao g(x) = en¡1x
n¡1+ ¢ ¢ ¢+ e0. Como g(u) = 0, isto quer dizer que
g(x)+(p(x)) = 0+(p(x)). Isto, por sua vez, implica em g(x)¡0 = g(x) 2 (p(x)).
Ent~ao existe um polino^mio h(x) 2 K[x] tal que g(x) = p(x)h(x). Logo,
grau (g(x)) = grau (p(x)) + grau (h(x)) = n+ grau (h(x))
Por outro lado grau (g(x)) · n ¡ 1, logo a ¶unica maneira de conciliar a rela»c~ao
entre os graus de g(x); f(x) e h(x) ¶e termos grau (g(x)) = grau (h(x)) = ¡1 e
portanto g(x) = 0, da¶³ ent~ao en¡1 = : : : = e0 = 0.
Observa»c~ao 4.2.3 A proposi»c~ao anterior nos diz que se grau (p(x)) = n ¸ 1,
ent~ao o conjunto un¡1; : : : ; u; 1 ¶e um conjunto de geradores do anel quociente
K[x]=(p(x)) = K[u].
Al¶em disso, esses n geradores s~ao linearmente independentes sobre o corpo K,
ou seja, considerando-se os escalares em K, en¡1u
n¡1 + ¢ ¢ ¢ + e1u + e0 = 0 )
en¡1 = : : : = e0 = 0.
Em outras palavras, o anel K[u] ¶e ent~ao um espa»co vetorial sobre o corpo K,
sendo os elementos un¡1; : : : ; u; 1 uma base desse espa»co.
De¯ni»c~ao 4.2.1 (Polino^mios irredut¶³veis em K[x]) . SendoK um corpo, um
polino^mio p(x) em K[x], ¶e dito ser irredut¶³vel sobre K ou irredut¶³vel em K[x] se
grau (p(x) ¸ 1 e n~ao existem polino^mios f(x); g(x) 2 K[x], com grau (f(x)) ¸
1, grau (g(x)) ¸ 1 e p(x) = f(x)g(x).
Em outras palavras, p(x) ¶e irredut¶³vel se tem grau ¸ 1 e p(x) = f(x)g(x)) f(x)
¶e constante ou g(x) ¶e constante.
Alternativamente, dizemos que p(x) ¶e redut¶³vel sobre K se p(x) se escreve na
forma p(x) = f(x)g(x), com grau (f(x)) ¸ 1 e grau (g(x)) ¸ 1.
Exemplo 4.2.1 Claramente, todo polino^mio de grau 1 ¶e irredut¶³vel, j¶a que im-
poss¶³vel escreve^-lo como produto de dois polino^mios, ambos com grau ¸ 1
Teorema 4.2.1 Se p(x) 2 K[x] ¶e irredut¶³vel sobre K (K um corpo) ent~ao o anel
quociente K[x]=(p(x)) ¶e um corpo.
Demonstra»c~ao.. Provaremos que, em K[x]=(p(x)), toda classe n~ao nula f(x) +
(p(x)) ¶e invert¶³vel.
De fato, se f(x) + (p(x)) 6= 0 + (p(x)) ent~ao f(x) 62 (p(x)). Logo, n~ao existe
q(x) 2 K[x] satisfazendo f(x) = p(x)q(x).
Assim p(x) n~ao ¶e fator de f(x) e conseqÄuentemente, como p(x) ¶e irredut¶³vel,
mdc (p(x); f(x)) = 1
Para veri¯car esta ¶ultima a¯rma»c~ao, notemos que sendo mdc (p(x); f(x)) = d(x),
temos que d(x) ¶e fator (divisor) de ambos p(x) e f(x). Sendo p(x) irredut¶³vel,
48
seus ¶unicos divisores