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Introduc¸a˜o a` Teoria de Ane´is
Cristina Maria Marques
Departamento de Matema´tica-UFMG
1999 ( com revisa˜o em 2005)
2
Prefa´cio
Esta apostila consta das notas de aula feitas para as disciplinas A´lgebra I e Estruturas Alge´bricas,
as quais que ja´ lecionei va´rias vezes na UFMG. Ele tem por objetivo introduzir a estrutura alge´brica
dos ane´is .
O pre´ requisito para a leitura desse livro e´ a disciplina Fundamentos de A´lgebra, ou seja, uma
introduc¸a˜o aos nu´meros inteiros. Fazemos uma recordac¸a˜o dessa disciplina no Cap´ıtulo 1.
Esta apostila foi escrita com o intuito de ajudar aos alunos na leitura de outros textos de
A´lgebra como por exemplo o excelente livro do Gallian [1]. Va´rios ane´is sa˜o apresentados como os
ane´is quocientes, ane´is de polinoˆmios sobre ane´is comutativos e outros. No Cap´ıtulo 7 e´ feita uma
generalizac¸a˜o desses ane´is, definindo domı´nios euclidianos, domı´nios de fatorac¸a˜o u´nica e domı´nios
de ideais principais. Tambem apresentamos o Teorema Fundamental dos Homomorfismos que
permite a compararac¸a˜o de ane´is.
Espero alcanc¸ar meu objetivo.
Cristina Maria Marques.
Belo Horizonte,9/3/99.
i
Suma´rio
Prefa´cio i
1 Inteiros 1
1.1 Propriedades ba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Teorema Fundamental da Aritme´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Induc¸a˜o matema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Relac¸a˜o de equivaleˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Exerc´ıcios do cap´ıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Ane´is 10
2.1 Definic¸o˜es e propriedades ba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Subane´is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Domı´nios Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Caracter´ıstica de um anel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6 Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Ideais e ane´is quocientes 19
3.1 Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Ane´is quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Ideais primos e ideais maximais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Homomorfismos de ane´is 26
4.1 Definic¸a˜o e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2 Propriedades dos homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3 O teorema fundamental dos homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.4 O corpo de frac¸o˜es de um domı´nio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.5 Lista de exerc´ıcios do Cap´ıtulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5 Ane´is de Polinoˆmios 34
5.1 Definic¸a˜o e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.2 O Algoritmo da divisa˜o e consequ¨eˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3 Lista de exerc´ıcios do Cap´ıtulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
ii
SUMA´RIO iii
6 Fatorac¸a˜o de polinoˆmios 41
6.1 Testes de redutibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.2 Testes de irredutibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.3 Fatorac¸a˜o u´nica em Z[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.4 Lista de exerc´ıcios do Cap´ıtulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7 Divisibilidade em domı´nios 51
7.1 Irredut´ıveis e primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.2 Domı´nios de Fatorac¸a˜o u´nica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.3 Domı´nios Euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.4 Lista de exerc´ıcios do Cap´ıtulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8 Algumas aplicac¸o˜es da fatorac¸a˜o u´nica em domı´nios 60
8.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
8.2 O anel Z[ω] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.3 A equac¸a˜o X3 + Y 3 + Z3 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.4 A equac¸a˜o Y 2 + 1 = 2X3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
iv SUMA´RIO
Cap´ıtulo 1
Inteiros
1.1 Propriedades ba´sicas
Vamos recordar aqui as principais propriedades dos inteiros Z = {...,−2,−1, 0, 1, 2, ...} as quais
sera˜o consideradas como axiomas.Elas sera˜o usadas em todo nosso curso.
• Fecho: Se a e b sa˜o inteiros enta˜o a+ b e a.b tambe´m sa˜o.
• Propriedade comutativa: a+ b = b+ a e a.b = b.a para quisquer inteiros a e b.
• Propriedade associativa: (a+ b)+ c = a+(b+ c) e (a.b).c = a.(b.c) para quaisquer inteiros
a, b e c.
• Propriedade distributiva: (a+ b).c = a.c+ b.c para quisquer inteiros a, b e c.
• Elementos neutros: a+ 0 = a e a.1 = a para todo inteiro a.
• Inverso aditivo: Para todo inteiro a existe um inteiro x que e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o a+x = 0.
Tal x e´ denominado inverso aditivo e tem a notac¸a˜o −a.
Obs: a notac¸a˜o b− a significa b+ (−a).
• Cancelamento: Se a, b e c sa˜o inteiros com a.c = b.c com c 6= 0 enta˜o a = b
Tais axiomas nos permitem provar outras propriedades de Z bastante comuns.
Exemplo 1.1.1. Para todo a, b e c em Z temos a.(b+ c) = a.b+ a.c
Com efeito, como sabemos que o produto e´ comutativo em Z segue que
a(b+ c) = (b+ c).a
Pela propriedade distributiva temos que
(b+ c).a = b.a+ c.a
Finalmente usando a propriedade comutativa do produto segue o resultado.
1
2 CAPI´TULO 1. INTEIROS
Exemplo 1.1.2. Podemos provar que 0.a = 0. Para isto, observe que como
0 = 0 + 0
0.a = (0 + 0)a = 0.a+ 0.a
Somando de ambos os lados −0.a teremos que
0 = 0.a = a.0
pela comutatividade do produto.
Exerc´ıcio 1.1.3. Prove que para todo a, b e c em Z temos:
1. (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2
2. (−1)a = −a
3. −(ab) = a(−b)
4. (−a)(−b) = ab
5. −(a+ b) = (−a) + (−b)
A ordem em Z e´ definida usando os inteiros positivos { 1,2,3,...}.
Definic¸a˜o 1.1.4. Se a e b sa˜o inteiros dizemos que a e´ menor que b, e denotamos por a < b
quando b− a for positivo.
Se a < b escrevemos tambe´m b > a.
As principais propriedades da ordem dos inteiros sa˜o :
• Fecho dos inteiros positivos: a soma e o produto de dois inteiros positivos sa˜o positivas.
• Tricotomia : para todo inteiro a, temos que ou a > 0, ou a < 0 ou a = 0.
Outras propriedades da ordem de Z podem ser obtidas atrave´s dessas.
Exemplo 1.1.5. Suponha que a, b e c sa˜o inteiros com a < b e c > 0. Vamos provar que ac < bc.
Por definic¸a˜o a < b significa que
b− a > 0
Pela propriedade do fecho
(b− a)c > 0.
Pela propriedade distributiva e o exerc´ıcio anterior, segue o resultado.
Exerc´ıcio 1.1.6. Prove que se a, b e c ∈ Z, a < b e c < 0 enta˜o ac > bc.
1.1. PROPRIEDADES BA´SICAS 3
Uma propriedade muito importante de Z e´ o princ´ıpio da boa ordenac¸a˜o :
Princ´ıpio da boa ordenac¸a˜o (PBO) Todo subconjunto na˜o vazio de inteiros positivos possui
um menor elemento.
O PBO diz que se S e´ um subconjunto na˜o vazio dos inteiros positivos enta˜o existe um s0 ∈ S
tal que s ≥ s0 para todo s em S.O conceito de divisibilidade e´ muito importante na teoria dos nu´meros e sera´ estendido na teoria
de ane´is em geral. Dizemos que um inteiro na˜o nulo t e´ divisor de um inteiro s se existe um inteiro
u tal que s = tu. Escrevemos neste caso que t|s ( lemos t divide s )
Quando t na˜o e´ um divisor de s, no´s escrevemos t 6 | s. Um primo e´ um inteiro positivo maior que
1 cujo u´nicos divisores positivos sa˜o 1 e ele mesmo.
Como nossa primeira aplicac¸a˜o do PBO temos uma propriedade fundamental do inteiros:
Teorema 1.1.7 (Algoritmo de Euclides (AE)). Sejam a e b inteiros com b > 0. Enta˜o existem
inteiros q e r tais que a = bq + r onde b > r ≥ b. Tais q e r sa˜o u´nicos.
Demonstrac¸a˜o :
Existeˆncia: Considere o conjunto S = {a− bk | k ∈ Z e a− bk ≥ 0}.
Se 0 ∈ S, existe q ∈ Z tal que a− bq = 0. Fazendo r = 0 o algoritmo esta´ provado.
Se 0 6∈ S vamos aplicar o PBO.
Para isto temos que provar que S 6= ∅.
Se a > 0, a− b0 = a > 0 e enta˜o S 6= ∅.
Se a < 0, a− b2a = a(1− 2b) > 0 e enta˜o S 6= ∅.
Pelo PBO, S possui um menor elemento que chamaremos de r. Assim, existem q, r ∈ Z tais que
a− bq = r , r e´ o menor elemento de S e r > 0. So´ falta provar que r < b.
Se r = b
a− bq = r = b
a− bq = b
a− b(q + 1) = 0
Isto indica que 0 ∈ S, o que na˜o acontece neste caso.
Se r > b
a− bq = r > b
a− bq − b > 0
a− b(q + 1) > 0
Isto indica que a− b(q + 1) pertence a S o que e´ um absurdo pois e´ menor que r = a− bq e r e´ o
menor elemento de S.
Unicidade
Suponha que existam q, q′, r, r′ tais que
a = bq + r = bq′ + r′
4 CAPI´TULO 1. INTEIROS
com 0 ≤ r, r′ < b. Como
r′ − r = b(q′ − q)
temos que b | (r′ − r). Mas como r′ − r < b concluimos que r′ − r = 0, r′ = r e q = q′.
Notac¸a˜o : q sera´ chamado de quociente e r sera´ chamado de resto da divisa˜o de a por b.
Exemplo 1.1.8. Se a = 34 e b = 7 o algoritmo diz que 34 = 7.4 + 6; para a = −49 e b = 6, o
algor´ıtmo de Euclides diz que −49 = 6.(−9) + 5.
Definic¸a˜o 1.1.9 (Ma´ximo divisor comum). O ma´ximo divisor de dois inteiros a e b na˜o nulos e´ o
maior de todos os divisores comuns de a e b. Ele sera´ denotado por mdc(a, b) ou quando na˜o causar
du´vidas simplesmente por (a, b). Quando mdc(a, b) = 1 dizemos que a e b sa˜o relativamente
primos.
Podemos definir mdc(a, b) da seguinte forma: mdc(a, b) = d se e somente se
1. d > 0
2. d|a e d|b.
3. se existir um inteiro c tal que c|a e c|b enta˜o c|d.
Temos de provar que as duas definic¸o˜es sa˜o equivalentes. Para isto precisamos do pro´ximo teorema
que diz que o mdc(a, b) e´ uma combinac¸a˜o linear de a e b. Esta e´ nossa segunda aplicac¸a˜o do PBO.
Teorema 1.1.10 (mdc e´ uma combinac¸a˜o linear). Se a e b sa˜o inteiros na˜o nulos enta˜o existem
inteiros s e r tais que mdc(a, b) = sa+ tb
Demonstrac¸a˜o Considere o conjunto S = {am+ bn |m,n ∈ Z e am+ bn > 0}.
S 6= ∅ porque se voceˆ achar uma combinac¸a˜o am + bn < 0 enta˜o multiplique por −1 e tera´ uma
combinac¸a˜o positiva.
Pelo PBO, S possui um menor elemento. Seja d o menor elemento de S. Assim existem s, t ∈ Z
tais que d = sa+ tb .
Afirmac¸a˜o : d = mdc(a, b)
Com efeito, pelo algoritmo de Euclides, existem q, r ∈ Z tais que a = dq+ r e 0 ≤ r < d. Se r > 0,
enta˜o 0 < r = a−dq = a− (as+ tb)q = a(1− s) + (−tq)b ∈ S . Isto e´ um absurdo pois d e´ o menor
elemento de S, Assim r = 0 e d|a. Analogamente, d|b
Seja agora d′ outro divisor comum de a e b. Assim a = d′k e b = d′h para certos k e h em Z,
d = as+ bt = d′ks+ d′ht = d′(ks+ ht) e portanto d′|d.
Logo d = mdc(a, b).
Definic¸a˜o 1.1.11 (Mı´nimo mu´ltiplo comum ). O mı´nimo mu´ltiplo comum de dois interos na˜o
nulos e´ o menor mu´ltiplo comum positivo de a e b.
Notac¸a˜o : mmc(a, b)
Podemos definir o mmc(a, b) na forma : mmc(a, b) = m se e somente se
1. m > 0
2. a|m e b|m
3. Se existir m′ inteiro tal que a|m′ e b|m′ enta˜o m|m′
Exerc´ıcio 1.1.12. Prove que as duas definic¸o˜es de mdc sa˜o equivalentes.
1.2. TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITME´TICA 5
1.2 Teorema Fundamental da Aritme´tica
O teorema fundamental da aritme´tica e´ um resultado importante o qual mostra que os nu´meros
primos sa˜o os construtores dos inteiros.
Teorema 1.2.1 (Teorema Fundamental da Aritme´tica (TFA) ). Todo inteiro maior que um se
escreve de maneira u´nica como um produto de primos.
Para provarmos este teorema temos de provar algumas propriedades dos primos.
Lema 1.2.2 (Lema de Euclides). Se p e´ um primo que divide a.b enta˜o p divide a ou p divide b.
Demonstrac¸a˜o :
Suponha que p e´ um primo que divide ab mas que p 6 |a.Como p e´ primo podemos afirmar que p e
a sa˜o relativamente primos .Assim existem inteiros r e s tais que ra+ sp = 1. Enta˜o rab+ rpb = b.
Como p|ab e p|rpb temos que p|b.
Note que o Lema de Euclides falha se p na˜o for primo ; por exemplo 6|4.3 ,6 6 |4 e 6 6 |3
Demonstrac¸a˜o do Teorema Fundamental da Aritme´tica
Unicidade Suponha que exista duas fatorac¸o˜es em primos de n:
n = p1p2...pr = q1q2...qs.
Pelo Lema de Euclides p1|qi para algum qi e como p1 e qi sa˜o primos temos que p1 = qi para
algum i ∈ {1, 2, ..., s}. Analogamente p2 = qj para algum j ∈ {1, 2, ..., s} e assim por diante . Pela
propriedade do cancelamento teremos 1 = qi1 ...qik se s > r. Mas isto e´ um absurdo pois nenhum
primo e´ invert´ıvel. Analogamente se r < s chegamos num absurdo. Logo s = r e os primos sa˜o os
mesmos.
Existeˆncia: Se´ra feito depois do segundo princ´ıpio da induc¸a˜o matema´tica na pro´xima sec¸a˜o .
1.3 Induc¸a˜o matema´tica
Existem dois tipos de prova usando induc¸a˜o matema´tica. Ambas sa˜o equivalentes ao PBO e veˆm
do se´culo XVI.
Primeiro princ´ıpio da induc¸a˜o matema´tica (1oPIM)
Seja S um subconjunto de Z contendo a. Suponha que S tem a propriedade de possuir n+1 sempre
que S possuir n com n ≥ a. Enta˜o S contem todo inteiro maior ou igual a a.
Assim, para provarmos que uma afirmac¸a˜o e´ verdadeira para todo inteiro positivo, no´s devemos
primeiro verificar que a afirmac¸a˜o e´ verdadeira para o inteiro 1. No´s enta˜o supomos que a afirmativa
e´ verdadeira para o inteiro n e usamos esta afirmativa para provar que a afirmativa e´ va´lida para
n+ 1.
6 CAPI´TULO 1. INTEIROS
Exemplo 1.3.1. Podemos usar o (10PIM) para provar que n! ≤ nn para todo inteiro positivo n.
A afirmativa e´ va´lida para n = 1 pois 1! = 1 ≤ 11 = 1. Agora suponha que n! ≤ nn ; esta e´ a
hipo´tese de induc¸a˜o .Temos de provar que (n+ 1)! ≤ (n+ 1)(n+1). Usando a hipo´tese de induc¸a˜o
(n+ 1)! = (n+ 1).n!
(n+ 1)! ≤ (n+ 1).nn
(n+ 1)! ≤ (n+ 1).(n+ 1)n
(n+ 1)! ≤ (n+ 1)(n+1)
Isto completa a prova.
Segundo princ´ıpio de induc¸a˜o matema´tica.(2oPIM)
Seja S um subconjunto de Z contendo a. Suponha que S tenha a propriedade de sempre conter
n quando S contiver todos os inteiros menores que n e maiores que a. Enta˜o S contem todo inteiro
maior ou igual a a.
Para usar esta forma de induc¸a˜o , no´s primeiro provamos que a afirmativa e´ va´lida para a.
Depois mostramos que se a afirmativa e´ verdadeira para todos os inteiros maiores ou iguais a a e
menores que n enta˜o ela e´ verdadeira para n.
Exemplo 1.3.2 (Existeˆncia do TFA). No´s usamos o 2oPIM com a = 2 para provar a parte da
existeˆncia do TFA. Seja S ⊂ Z formado de inteiros maiores que 1 que sa˜o primos ou um produto
de primos. Claramente 2 ∈ S. Agora no´s assumimos que para algum inteiro n, S conte´m todos
os inteiros k com 2 ≤ k < n. No´s devemos mostrar que n ∈ S. Se n e´ primo, enta˜o n ∈ S por
definic¸a˜o . Se n na˜o for primo, n podera´ ser escrito na forma n = ab onde 1 < a < n e 1 < b < n.
Como estamos assumindo que a e b pertencem a S, no´s sabemos que eles sa˜o primos ou produto
de primos. Assim, n tambe´m e´ um produto de primos. Isto completa a prova.
1.4 Relac¸a˜o de equivaleˆncia
Em matema´tica objetos diferentes num contexto podem ser vistos como iguais noutro. Por exemplo,
como i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1 temos que para efeito de achar potencias de i os nu´meros sa˜oiguais
se tiverem o mesmo resto na divisa˜o por 4. Assim, aqui 5 = 1, 240 = 0, 243 = 3.
O que e´ necessa´rio fazer para que estas distinc¸o˜es fiquem claras, e´ uma generalizac¸a˜o apropriada da
noc¸a˜o de igualdade; isto e´, no´s necessitamos de mecanismo formal para especificar quando ou na˜o
duas quantidades sa˜o iguais numa certa colocac¸a˜o . Tais mecanismos sa˜o as relac¸o˜es de equivalencia.
Definic¸a˜o 1.4.1 (Relac¸a˜o de Equivaleˆncia). Uma relac¸a˜o de equivaleˆncia num conjunto S e´ um
conjunto R de pares ordenados de elementos de S de modo que:
1. (a, a) ∈ R para todo a ∈ S ( propriedade reflexiva )
2. (a, b) ∈ R implica (b, a) ∈ R ( propriedade sime´trica ).
3. (a, b) ∈ R e (b, c) ∈ R implica (a, c) ∈ R ( propriedade transitiva )
1.4. RELAC¸A˜O DE EQUIVALEˆNCIA 7
Quando R for uma relac¸a˜o de equivaleˆncia num conjunto S, escrevemos aRb ao inve´s de
(a, b) ∈ R. Tambe´m como uma relac¸a˜o de equivaleˆncia e´ uma generalizac¸a˜o de igualdade, s´ımbolos
sugestivos sa˜o ≈, ≡, ou ∼.
Se ∼ for uma relac¸a˜o de equivaleˆncia num conjunto S e a ∈ S , enta˜o o conjunto [a] = {x ∈ S |x ∼
a} e´ chamado de classe de equivalencia de S contendo a .
Exemplo 1.4.2 ((a ≡ b mod n)). Em Z definimos a relac¸a˜o de equivaleˆncia:
a ≡ b mod n⇔ n|(a− b)
E´ fa´cil ver que ≡ modn e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia ;
1. a ≡ a mod n pois n|0
2. Se a ≡ b mod n enta˜o b ≡ a mod n pois se n|(a− b) enta˜o n|(b− a).
3. Se a ≡ b mod n e b ≡ c mod n temos que n|(a− b) e n|(b− c) e enta˜o n|(a− c). Isto mostra
que a ≡ c mod n
As classes de equivalencia de Z mod n sera˜o as classes dos restos da divisa˜o por n. Com
efeito, dado a em Z pelo algor´ıtmo de Euclides temos a = qn + r com 0 ≤ r < n. Isto mostra
que a ≡ r mod n. Denotaremos por Zn o conjunto das classes de equivalencia de Z mo´dulo n.
Usaremos a notac¸a˜o a¯ para [a].Assim
Zn = {0¯, 1¯, ..., n− 1}
.
Definic¸a˜o 1.4.3 (Partic¸a˜o de um conjunto S). Uma partic¸a˜o de um conjunto S e´ uma colec¸a˜o de
subconjuntos na˜o vazios disjuntos de S cuja unia˜o e´ S.
Teorema 1.4.4. As classes de equivalencia de um conjunto S formam uma partic¸a˜o de S. Reci-
procamente, para toda partic¸a˜o P de um conjunto S, existe uma relac¸a˜o de equivalencia em S cujas
classes de equivalencia sa˜o os elementos de P .
Demonstrac¸a˜o :
Seja ≡ uma relac¸a˜o de equivalencia em S. Para todo a ∈ S temos que a ∈ [a] pela propriedade
reflexiva. Assim [a] 6= ∅ e a unia˜o de todas as classes de equivalencia de S e´ S. Vamos agora provar
que duas classes de equivalencia distintas sa˜o disjuntas . Com efeito, suponha que [a] e [b] possuem
um elemento x em comum. Isto implica que x ≡ a e x ≡ b. Pela propriedade transitiva a ≡ b e
portanto [a] = [b].
A rec´ıproca e´ deixada como exerc´ıcio.
Exemplo 1.4.5. Pelo exemplo anterior temos que Z = [0] ∪ [1] ∪ ... ∪ [n− 1].
8 CAPI´TULO 1. INTEIROS
1.5 Exerc´ıcios do cap´ıtulo 1
1. Se a e b sa˜o inteiros positivos enta˜o ab = mdc(a, b).mmc(a, b)
2. Suponha que a e b sa˜o inteiros que dividem o inteiro c.
Se a e b sa˜o relativamente primos, mostre que ab|c.
Mostre com um exemplo, que se a e b na˜o sa˜o relativamente primos enta˜o ab na˜o necessita
dividir c.
3. O conjunto dos racionais positivos satisfaz o PBO ?
4. Mostre que mdc(a, bc) = 1⇔ mdc(a, b) = 1 e mdc(a, c) = 1
5. Se existem inteiros a, b, s e t de modo que at+ bs = 1 mostre que mdc(a, b) = 1.
6. Seja d = mdc(a, b). Se a = da
′
e b = db
′
mostre que mdc(a
′
, b
′
) = 1
7. Sejam p1, p2, ..., pn primos distintos.
Mostre que p1p2...pn + 1 na˜o e´ divis´ıvel por nenhum desses primos.
8. Mostre que existem infinitos primos. Sug: Use 7.
9. Prove que para todo n, 1 + 2 + ...+ n = n(n+ 1)/2
10. Para todo inteiro positivo n, prove que um conjunto com n elementos tem exatamente 2n
subconjuntos(contando com o vazio e o todo).
11. Prove o Lema generalizado de Euclides: Se p e´ um primo e p|a1...an, prove que p|ai para
algum i, i = 1, 2, ..., n.
12. Seja S um subconjunto de R.
Se a e b pertencem a S, defina a ∼ b se a− b e´ um inteiro.
Mostre que ∼ e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia em S.
13. Seja S = Z.
Se a, b ∈ S defina aRb se ab ≥ 0.
R e´ uma relac¸a˜o de equivalencia em S ?
14. Uma relac¸a˜o num conjunto S e´ um conjunto de pares ordenados de elementos de S. Ache
um exemplo de uma relac¸a˜o que seja sime´trica, reflexiva mas na˜o transitiva.
15. Ache um exemplo de uma relac¸a˜o que seja reflexiva , transitiva mas na˜o sime´trica.
16. Ache um exemplo de uma relac¸a˜o que seja sime´trica, transitiva e na˜o reflexiva.
17. Sejam n e a inteiros positivos e d = (a, n). Mostre que a equac¸a˜o ax ≡ 1modn tem uma
soluc¸a˜o ⇔ d = 1.
18. Prove que o 1o PIM e´ uma consequeˆncia do PBO.
1.5. EXERCI´CIOS DO CAPI´TULO 1 9
19. Seja (x0, y0) uma soluc¸a˜o de ax + by = c com a, b e c inteiros. Mostre que todas as soluc¸o˜es
de ax+ by = c teˆm a forma x = x0 + t(b/d), y = y0 − t(a/d) onde d = mdc(a, b) e t ∈ Z.
20. Se u e v sa˜o positivos, mdc(u, v) = 1 e uv = a2, mostre que u e v sa˜o quadrados onde u, v e
a pertencem a Z.
21. Prove por induc¸a˜o sobre n , que n3 + 2n e´ sempre divis´ıvel por 3.
22. Se n e´ um natural ı´mpar, prove que n3 − n e´ sempre divis´ıvel por 24.
23. Seja n um natural composto. Enta˜o n tem um divisor primo p tal que p ≤ √n.
24. Prove que existe um nu´mero infinito de primos da forma 4n− 1.
Cap´ıtulo 2
Ane´is
2.1 Definic¸o˜es e propriedades ba´sicas
Um anel e´ um conjunto A, cujos elementos podem ser adicionados e multiplicados ( isto e´, sa˜o
dadas duas operac¸o˜es (x, y)→ x+y e (x, y)→ x.y aos pares de elementos de A em A) satisfazendo
as seguintes condic¸o˜es :
1. Para todo x e y ∈ A no´s temos a comutatividade da soma, a saber
x+ y = y + x
2. Para todo x e y ∈ A no´s temos a associatividade da soma, a saber,
(x+ y) + z = x+ (y + z)
3. Existe um elemento e em A tal que x+ e = x para todo x ∈ A.
Not: e = 0. Este e´ chamado elemento neutro da adic¸a˜o .
4. Para todo elemento x ∈ A existe um elemento y em A tal que x+ y = 0.
Not: y = −x Este e´ tambe´m chamado de sime´trico de x.
5. Para todo x, y, z ∈ A no´s temos a associatividade da multiplicac¸a˜o , a saber
(x.y).z = x.(y.z)
6. Para todo x, y, z ∈ A no´s temos a distributividade da multiplicac¸a˜o a` direita e esquerda , a
saber
x(y + z) = x.y + x.z
e
(y + z).x = y.x+ z.x
Observac¸o˜es : 1) Observe que a multiplicac¸a˜o na˜o necessita ser comutativa. Quando isto
ocorrer, dizemos que A e´ um anel comutativo
10
2.1. DEFINIC¸O˜ES E PROPRIEDADES BA´SICAS 11
2) Um anel na˜o necessita ter elemento neutro da multiplicac¸a˜o (isto e´, um elemento y tal que
xy = yx = x para todo x ∈ A). Este elemento e´ chamado de unidade do anel e denotado por 1.
Quando um anel A possui o elemento neutro da multiplicac¸a˜o dizemos que A e´ um anel com unidade.
3) Os elementos na˜o nulos de um anel na˜o necessitam ter inversos multiplicativos (isto e´, y e´
inverso multiplicativo de x se e somente se xy = yx = 1). Os elementos de um anel A que possuem
inverso multiplicativo sa˜o chamados de invert´ıveis de A ou unidades de A.
Usaremos a notac¸a˜o U(A) = {x ∈ A|x e´ uma unidade de A}.
Exemplo 2.1.1. O conjunto dos inteiros Z com a adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o usuais e´ um anel.
Exemplo 2.1.2. Os conjuntos Q, R, C com as operac¸o˜es usuais sa˜o exemplos de ane´is. Observe
que U(Q) = Q− {0}, U(R) = R− {o}, U(C) = C− {0}.
Exemplo 2.1.3 (O anel Zn). Ja´ definimos Zn no cap´ıtulo 1.
Zn = {0¯, 1¯, ..., n− 1}
Vimos tambe´m quando duas classes sa˜o iguais,isto e´,
a¯ = b¯ ⇔ n|(a− b)
Em Zn definimos as operac¸o˜es :
Zn × Zn→ Zn Zn × Zn→ Zn
(a¯, b¯) → a+ b (a¯, b¯) → a.b
Como estamos trabalhando com classes, as quais sa˜o conjuntos, temos de mostrar que estas
operac¸o˜es esta˜o bem definidas, isto e´ , se a¯ = a1 e b¯ = b1 enta˜o a+ b = a1 + b1 e a.b = a1.b1.
Pela igualdade das classes temos que existemx, y ∈ Z tais que
a− a1 = xn e b− b1 = yn
Somando estas duas equac¸o˜es temos que
(a+ b)− (a1 + b1) = (x+ y)n
Isto significa que
a+ b = a1 + b1
Tambe´m ,
a.b = (xn+ a1)(yn+ b1) = xyn
2 + xnb1 + a1yn+ a1b1
e esta equac¸a˜o indica que n|(ab− a1b1) ou seja a.b = a1.b1 .
Como a soma e a multiplicac¸a˜o de duas classes dependem essencialmente da soma e multiplicac¸a˜o
em Z, respectivamente, temos que va´rias propriedades dessas operac¸o˜es de Zn sa˜o herdadas de Z.E´
o caso da comutatividade da soma, associatividade da soma e produto e distributividade. Observe
que o elemento neutro da soma de Zn vai ser a classe 0¯ que representa os mu´ltiplos de n. O sime´trico
da classe a¯ e´ a classe −a. O anel Zn e´ comutativo com unidade sendo a unidade a classe 1¯.
12 CAPI´TULO 2. ANE´IS
Exemplo 2.1.4. O conjunto Z[x] de todos os polinoˆmios na varia´vel x com coeficientes inteiros
com a multiplicac¸a˜o e adic¸a˜o usuais e´ um anel comutativo com unidade. Recorde que se
f(x) = a0 + a1x+ ...+ anx
n
e
g(x) = b0 + b1x+ ...bmx
m
enta˜o
f(x) + g(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x+ ...+ (ak + bk)x
k onde k = max{n,m}
f(x).g(x) = c0 + c1x+ ...+ cn+mx
n+m onde cj = aj.b0 + aj−1.b1 + ...+ a0.bj
Agora verifique que Z[x] realmente um anel comutativo e a sua unidade e´ f(x) = 1
Exemplo 2.1.5. O conjunto M2(Z) das matrizes 2 × 2 com entradas inteiras e´ um anel na˜o
comutativo com unidade
(
1 0
0 1
)
. Verifique isto!
Exemplo 2.1.6. O anel 2Z com a soma e produto usuais e´ um anel comutativo sem unidade.
Exemplo 2.1.7. O conjunto das func¸o˜es reais cont´ınuas a uma varia´vel cujo gra´fico passa pelo
ponto (1, 0) e´ um anel comutativo sem unidade com as operac¸o˜es : (f + g)(a) = f(a) + g(a) e
(fg)(a) = f(a)g(a)
Exemplo 2.1.8. Se A1 e A2 sa˜o ane´is , no´s podemos definir um novo anel A1×A2 = {(a1, a2)|ai ∈
Ai} com as operac¸o˜es componente a componente:
(a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2) e (a1, a2).(b1, b2) = (a1.b1, a2.b2)
Este anel e´ chamado de soma direta de A1 e A2.
Vamos ver agora como podemos operar com ane´is.
Teorema 2.1.9 (Regras da soma e do produto). Sejam a, b e c elementos de um anel A. Enta˜o:
1. Vale a lei de cancelamento para a soma, isto e´, se a+ b = a+ c enta˜o b = c.
2. O elemento neutro aditivo e´ u´nico.
3. O inverso aditivo e´ u´nico.
4. a.0 = 0.a = 0
5. a(−b) = (−a)b = −(ab)
6. (−a)(−b) = ab
7. a(b− c) = ab− ac e (b− c)a = ba− ca.
Se A tem unidade 1 enta˜o
2.2. SUBANE´IS 13
8. (−1)a = −a
9. (−1)(−1) = 1
10. O elemento neutro da multiplicac¸a˜o e´ u´nico.
11. O inverso multiplicativo e´ u´nico.
Demonstrac¸a˜o
1. Basta somar a ambos os lados da igualdade o inverso aditivo de a.
2. Suponha que existam dois elementos neutros, a saber, e e e1. Usando a definic¸a˜o de elemento
neutro temos e = e+ e1 = e1.
3. Suponha que o elemento a possui dois inversos aditivos: a1 e a2. Enta˜o a+ a1 = a+ a2 = 0.
Segue enta˜o pelo cancelamento provado em 1 que a1 = a2.
4. Utilizando a distributividade temos a.0 = a(0+0) = a.0+a.0. pelo cancelamento em 1 temos
que a.0 = 0. Analogamente 0.a = 0.
5. Queremos provar que a(−b) e´ o sime´trico de ab. Para isto basta somar a(−b) + ab e ver se o
resultado e´ zero. Como a(−b) + ab = a(−b+ b) = a.0 = 0, segue o resultado. Analogamente
para (−a)b e´ o sime´trico de ab.
6. (−a)(−b) = −[a(−b)] = −[−ab] pelo ı´tem anterior. E´ fa´cil ver que −(−a) = a para todo a
em A.
7. a(b− c) = a(b+ (−c)) = ab+ a(−c) = ab+ (−ac) = ab− ac pelas propriedades anteriores.
8. (−1)a = −(1a) = −a por 5.
9. Direto de 6.
10. Suponha que existam duas unidades em A: 1 e b . Pela definic¸a˜o de unidade teremos 1 =
1.b = b.
11. Suponha que o elemento a de A tenha dois inversos multiplicativos : b e c. Assim ba = ab =
ac = ca = 1 e b = b1 = bac = 1c = c utilizando a associatividade da multiplicac¸a˜o .
2.2 Subane´is
Um subconjunto S de um anel A e´ um subanel de A se S for um anel com as operac¸o˜es de A.
Exemplo 2.2.1. Z e´ um subanel de Q, Q e´ um subanel de R e R e´ um subanel de C.
Teorema 2.2.2 ( Teste para saber se e´ um subanel). Um subconjunto S de um anel A e´ um subanel
de A se:
14 CAPI´TULO 2. ANE´IS
1. S 6= ∅
2. Para todo a e b em S, a− b ∈ S e ab ∈ S.
Demonstrac¸a˜o
Como as propriedades comutativa, associativa,distributiva sa˜o va´lidas para A, em particular, para
S. Enta˜o faltam apenas verificar se as operac¸o˜es sa˜o fechadas, se o elemento neutro aditivo esta´ em
S e se o inverso aditivo de cada elemento de S esta´ em S. Por hipo´tese, se a e b ∈ S enta˜o ab ∈ S.
Como S 6= ∅, tome x em S.Por hipo´tese x − x = 0 ∈ S. Tambe´m, por hipo´tese 0 − a = −a ∈ S
para todo a ∈ S Logo, se a e b ∈ S ,a+ b = a− (−b) ∈ S por hipo´tese e o teste esta´ provado.
Exemplo 2.2.3. {0} e A sa˜o subane´is de A.
Exemplo 2.2.4. {0¯, 2¯, 4¯} e´ um subanel de Z6. Construa as tabelas para verificar isto.
Exemplo 2.2.5. Os subane´is de Z sa˜o da forma nZ .
Exemplo 2.2.6 (Inteiros de Gauss). Z[i] = {a+ bi | a e b ∈ Z} e´ um subanel de C.
Com efeito, Z[i] 6= ∅.
(a+ bi)(c+ di) = (ac− bd) + (ad+ bc)i ∈ Z[i]
(a+ bi)− (c+ di) = (a− c) + (b− d)i ∈ Z[i]
Pelo teste, Z[i] e´ um subanel de C.
2.3 Domı´nios Integrais
O anel Z tem propriedades que em geral um anel qualquer na˜o tem. Veremos algumas delas nesta
sec¸a˜o .
Definic¸a˜o 2.3.1 (Divisor de zero). Um elemento na˜o nulo a em um anel comutativo A e´ chamado
um divisor de zero se existe um elemento na˜o nulo b em A tal que ab = 0.
Definic¸a˜o 2.3.2 (Domı´nio integral). Um anel comutativo com unidade e´ chamado de domı´nio
integral ou simplesmente domı´nio se ele na˜o tem nenhum divisor de zero.
Assim, num domı´nio integral ab = 0⇔ a = 0 ou b = 0
Exemplo 2.3.3. Z,Q,C,R sa˜o domı´nios . Z6 na˜o e´ um domı´nio pois 2¯.3¯ = 0¯ e 2¯, 3¯ 6= 0¯
Exemplo 2.3.4. O anel dos inteiros de Gauss Z[i] = {a + bi|a, b ∈ Z} e´ um domı´nio pois e´
comutativo com unidade e na˜o tem divisores de zero porque esta´ contido em C
Exemplo 2.3.5. Z[x] e´ um domı´nio .Com efeito, sejam
f(x) = a0 + a1x+ ...+ anx
n
e
g(x) = b0 + b1x+ ...bmx
m
em Z[x] tal que f(x)g(x) = 0. Suponha que f(x) e g(x) na˜o sa˜o nulos. Tome ai0 ∈ Z tal que i0 e´
o menor coeficiente de f(x) tal que ai0 6= 0 . Analogamente tome bj0 em g(x) tal que j0 e´ o menor
ı´ndice tal que bj0 6= 0 . Se f(x)g(x) = c0 + c1x+ c2x2 + ...+ cn+mxn+m teremos pela nossa escolha
de i0 e j0 que ci0+j0 = ai0bj0 6= 0, o que e´ um absurdo.
Logo f(x) ou g(x) e´ nulo.
2.4. CORPOS 15
Exemplo 2.3.6. Z[
√
2] = {a+ b√2 | a, b ∈ Z} e´ um domı´nio . Observe que Z[√2] ⊂ R
Exemplo 2.3.7. Zp e´ um domı´nio ⇔ p e´ primo. Com efeito, suponha que p e´ primo e a¯b¯ = 0¯; isto
indica que ab = 0¯ ou p|ab. Pelo Lema de Euclides temos p|a ou p|b, ou seja a¯ = 0¯ ou b¯ = 0¯.
Reciprocamente suponha que Zp e´ um domı´nio e p na˜o e´ primo. Enta˜o existem inteiros a e b tais
que p = ab e 1 < a, b < p. Temos enta˜o o¯ = a¯b¯. Como Zp e´ um domı´nio temos que a¯ = 0¯ ou b¯ = 0¯,
ou seja p|a ou p|b . E´ facil ver que isto na˜o acontece e chegamos assim num absurdo.
Uma das propriedaes mais importantes dos domı´nios e´ a propriedade de cancelamento.
Teorema 2.3.8 (Cancelamento). Sejam a, b e c pertencem a um domı´nio integral. Se a 6= 0 e
ab = ac enta˜o b = c.
Demonstrac¸a˜o
De ab = ac temos a(b− c) = 0 e como a 6= 0 e estamos num domı´nio temos que b = c.
2.4 Corpos
Em muitas aplicac¸o˜es , um tipo especial de domı´nio e´ usado.
Definic¸a˜o 2.4.1. Um anel comutativo com unidade e´ chamado um corpo se todo elemento na˜o
nulo e´ uma unidade.
Frequentemente usamos a notac¸a˜o ab−1 como a dividido por b. Pensando nisto podemos dizer
que um corpo e´ um conjunto o qual e´ fechado em relac¸a˜o a` adic¸a˜o , subtrac¸a˜o , multiplicac¸a˜o e
divisa˜o.
Exemplo 2.4.2. Q, R, C sa˜o os exemplos mais famosos de corpos.
O teorema seguinte diz que no caso finito, corpos e domı´nios sa˜o os mesmos.Teorema 2.4.3. Se D e´ um domı´nio finito enta˜o D e´ um corpo.
Demonstrac¸a˜o
Como D e´ um domı´nio, D ja´ e´ um anel comutativo com unidade. Assim so´ falta provar que todo
elemento na˜o nulo e´ invert´ıvel. Seja a 6= 0 um elemento de D. Como D e´ finito, a sequencia
a, a2, a3, a4, ... comec¸ara´ a se repetir, isto e´, existe um i > j tal que ai = aj. Enta˜o pela lei do
cancelamento aj(ai−j − 1) = 0 e como a 6= 0 temos que ai−j = 1 . Se i− j = 1 , a = 1 e portanto e´
invert´ıvel. Se i− j > 1, ai−j−1 e´ o inverso de a e enta˜o a e´ invert´ıvel.
Corola´rio 2.4.4. Se p e´ primo Zp e´ um corpo.
Usando o exemplo 2.3.7 anterior temos
Corola´rio 2.4.5. Zn e´ corpo se e somente se n e´ primo.
Exemplo 2.4.6 (Corpo com 49 elementos). Seja Z7[i] = {a + bi | a, b ∈ Z7 e i2 = −1}. Este e´ o
anel dos inteiros de Gauss mo´dulo 7. Elementos sa˜o adicionados e multiplicados como em nu´meros
complexos, exceto que e´ mo´dulo 7. Mostre que Z7[i] e´ um corpo.
Exemplo 2.4.7. Q[
√
2] e´ um corpo . Prove isto.
16 CAPI´TULO 2. ANE´IS
2.5 Caracter´ıstica de um anel
Note que para todo x ∈ Z7[i] no´s temos 7x = 0¯. Similarmente no anel {0¯, 3¯, 6¯, 9¯} contido em Z12
no´s temos 4x = 0¯ para todo x. Esta observac¸a˜o motiva a definic¸a˜o seguinte.
Definic¸a˜o 2.5.1 (caracter´ıstica de um anel). A caracter´ıstica de um anel A e´ o menor inteiro
positivo n tal que nx = 0 para todo x ∈ A . Se tal elemento n na˜o existe no´s dizemos que A tem
caracter´ıstica 0. Not: car(A)
Exemplo 2.5.2. Z tem caracter´ıstica zero e Zn tem caracter´ıstica n. Um anel infinito pode ter
caracter´ıstica na˜o nula. Por exemplo, o anel Z2[x] de todos os polinoˆmios com coeficientes em Z2
tem caracter´ıstica 2.
Quando um anel tem unidade, o processo de achar a caracter´ıstica e´ simplificado;
Teorema 2.5.3 (caracter´ıstica de um anel com unidade). Seja A um anel com unidade 1. Se
n.1 = 0 e n e´ o menor inteiro positivo tal que n.1 = 0 temos que a caracter´ıstica de A e´ n. Se na˜o
existe n inteiro positivo tal que n.1 = 0 enta˜o a caracter´ıstica de A e´ 0.
Demonstrac¸a˜o
Suponha que na˜o existe n inteiro positivo tal que n.1 = 0; pela definic¸a˜o de caracter´ıstica deA,
car(A) = 0. Se n e´ o menor inteiro positivo tal que n.1 = 0 temos que nx = n(1x) = (n.1)x = 0
para todo x em A. Isto prova que car(A) = n
Teorema 2.5.4 (caracter´ıstica de domı´nio). A caracter´ıstica de um domı´nio e´ 0 ou um nu´mero
primo.
Demostrac¸a˜o
Seja D um domı´nio . Pelo teorema 2.5.3, como D possui unidade basta verificar a unidade. Se na˜o
existe n inteiro positivo tal que n.1 = 0, enta˜o a caracter´ıstica de D e´ 0.Suponha agora que existe
um inteiro positivo m tal que m.1 = 0 e seja n o menor inteiro positivo tal que n.1 = 0. Queremos
provar que n e´ primo. Suponha que n na˜o e´ primo. Enta˜o existem inteiros s, t tal que n = st com
1 < s, t < n. Assim 0 = n.1 = (st).1 = (s.1)(t.1) e como D e´ domı´nio temos que s.1 = 0 ou t.1 = 0.
Mas isto contraria o fato de n ser o menor inteiro positivo tal que n.1 = 0. Logo n e´ primo.
2.6. EXERCI´CIOS DO CAPI´TULO 2 17
2.6 Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 2
1. Ache o erro na prova seguinte de (−a)(−b) = ab sabendo que a e b sa˜o elementos de um anel R.
(−a)(−b) = (−1)a(−1)b = (−1)(−1)ab = 1ab = ab
2. Ache todos os subane´is de Z.
3. Mostre que se m e n sa˜o inteiros e a e b sa˜o elementos de um anel, enta˜o (ma)(nb) = (mn)(ab).
Observe que ma = a+ a+ ...+ a, m vezes se m for positivo e ma = (−a) + (−a) + ...+ (−a),
−m vezes quando m for negativo. Observe que usamos isto no teorema 2.5.4.
4. Z6 e´ um subanel de Z12?
5. A unidade de um subanel tem de ser a mesma do anel todo? Se sim, prove! Sena˜o , deˆ um
exemplo.
6. Mostre que 2Z ∪ 3Z na˜o e´ um subanel de Z.
7. Determine o menor subanel de Q que contem 1/2, isto e´, um subanel X tal que se S for um
subanel de Q que conte´m 1/2 enta˜o S vai conter X.
8. Determine o menor subanel de Q que contem 2/3.
9. Suponha que exista um inteiro positivo par n tal que an = a para todo elemento a de um
anel R. Mostre que −a = a para todo a em R.
10. Seja Z[
√
2] = {a + b√2 | a, b ∈ Z}. Prove que Z[√2] e´ um anel com as operac¸o˜es +, . usuais
dos reais.
11. Ache um inteiro n que mostre que Zn na˜o necessita ter as propriedades abaixo, as quais Z
tem:
(a) a2 = a ⇒ a = 0 ou a = 1
(b) ab = 0 ⇒ a = 0 ou b = 0
(c) ab = ac e a 6= 0 ⇒ b = c.
Este inteiro n e´ primo? Mostre que as tres propriedades acima sa˜o va´lidas em Zn quando
n for primo.
12. Prove que um anel comutativo com a propriedade de cancelamento (na multiplicac¸a˜o ) na˜o
tem divisores de zero.
13. Liste todos os divisores de zero de Z20. Qual a relac¸a˜o entre os divisores de zero de Z20 e as
unidades de Z20?
14. Mostre que todo elemento na˜o nulo de Zn e´ um unidade ou um divisor de zero.
15. Ache um elemento na˜o nulo num anel que na˜o e´ um divisor de zero nem uma unidade.
18 CAPI´TULO 2. ANE´IS
16. Seja R um anel comutativo finito com unidade. Prove que todo elemento na˜o nulo de R ou
e´ um divisor de zero ou uma unidade. O que acontece se tirarmos a hipo´tese finito de R?
17. Descreva todos os divisores de zero e unidades de Z×Q× Z.
18. Ache um divisor de zero em Z5[i] = {a+ bi | a, b ∈ Z5 , i2 = −1}.
19. Seja d um inteiro positivo que na˜o e´ um quadrado.
Prove que Q[
√
d] = {a+ b√d | a, b ∈ Q} e´ um corpo.
20. Seja S o conjunto das matrizes 2× 2 com entradas em Z da forma
(
a b
0 0
)
.
(a) Mostre que S e´ um subanel de M2(Z).
(b) Mostre que S tem um elemento neutro multiplicativo a esquerda, mas nenhum a direita.
(c) Mostre que S tem un nu´mero infinito de elementos neutros multiplicativos a esquerda.
21. Prove que se um anel tem um u´nico elemento neutro multiplicativo a esquerda,ele tambe´m e´
um elemento neutro multiplicativo a direita e portanto e´ o elemento neutro multiplicativo do
anel.
22. Ache o inverso multiplicativo de 2¯x2 +2¯x+3¯ ∈ Z4[x] e o inverso multiplicativo de 4¯x3 +6¯x2 +
2¯x+ 5¯ ∈ Z8[x].
Os exerc´ıcios abaixo esta˜o relacionados entre si.
23. Seja A um anel . Um elemento x de A e´ chamado de nilpotente se existir um inteiro positivo
n tal que xn = 0. Deˆ exemplos de elementos nilpotentes.
24. Seja x um elemento nilpotente de um anel comutativo com unidade A.
(a) Mostre que 1 + x e´ uma unidade de A.
(b) Mostre que a soma de um nilpotente com uma unidade e´ uma unidade de A.
25. Seja A um anel comutativo com unidade, A[x] o anel dos polinoˆmios com coeficientes em A
e f(x) = anx
n + an−1xn−1 + ...+ a0 ∈ A[x].
Prove que f(x) e´ uma unidade em A[x] ⇔ a0 e´ uma unidade em A e a1, a2, ..., an sa˜o nilpo-
tentes. (Sug.: Se b0 + b1x + ...bmx
m e´ o inverso de f , prove por induc¸a˜o que ar+1n bm−r = 0.
Portanto an e´ nilpotente e enta˜o use o exerc´ıcio anterior).
26. Complete os exemplos 2.4.6 e 2.4.7 do texto.
Cap´ıtulo 3
Ideais e ane´is quocientes
Definiremos agora um subanel que nos permitira´ definir novos ane´is a partir dele.
3.1 Ideais
Definic¸a˜o 3.1.1 (Ideal). Um subanel I de um anel A e´ chamado um ideal de A se para todo a ∈ A
e todo x ∈ I, xa ∈ I e ax ∈ I .
Assim, um subanel de um anel A e´ um ideal se ele absorve os elementos de A, isto e´, aI ⊆ I e
Ia ⊆ I para todo a em A.
Um ideal I de A e´ pro´prio se I 6= A.
Enunciaremos agora um teste para saber quando um subconjunto de A e´ um ideal de A. A sua
demonstrac¸a˜o resulta direto do teste para saber se um subconjunto de A e´ um subanel e da definic¸a˜o
de ideal.
Teorema 3.1.2 (Teste para saber se e´ ideal). Um subconjunto na˜o vazio de um anel I e´ um ideal
de A se:
1. a− b ∈ I, para todo a, b ∈ I
2. xa e ax esta˜o em I quando a ∈ A e x ∈ I .
Exemplo 3.1.3. Para todo anel A, {0} e A sa˜o ideais de A. O ideal {0} e´ chamado de trivial.
Exemplo 3.1.4. nZ com n ∈ Z e´ um ideal de Z. Como ja´ provamos no exerc´ıcio 2 do cap´ıtulo 2
que os u´nicos subane´is de Z sa˜o os da forma nZ, estes tambe´msa˜o os u´nicos ideais de Z.
Exemplo 3.1.5. Seja A um anel comutativo com unidade e x ∈ A. O conjunto < x >= {ax|a ∈ A}
e´ um ideal de A chamado de ideal gerado por x
Exemplo 3.1.6. Sejam R[x] = { f(x)| f(x) e´ um polinoˆmio com coeficientes em R} e I = { f(x)
∈ R[x]|f(0) = 0}. E´ fa´cil provar que I e´ um ideal de R[x]
Exemplo 3.1.7. Seja A = {f : R → R onde f e´ uma func¸a˜o } e S = { func¸o˜es diferencia´veis de
R em R}. Prove que S na˜o e´ um ideal de A.
19
20 CAPI´TULO 3. IDEAIS E ANE´IS QUOCIENTES
3.2 Ane´is quocientes
Seja A um anel e I um ideal de A. Defina em A a relac¸a˜o :
x ∼ y ⇔ x− y ∈ I
E´ fa´cil ver que ∼ e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia:
1. x ∼ x pois x− x = 0 ∈ I
2. se x ∼ y enta˜o y ∼ x pois x− y ∈ I implica em y − x = −(x− y) ∈ I porque I e´ um ideal.
3. se x ∼ y e y ∼ z enta˜o x ∼ z pois se x − y ∈ I e y − z ∈ I, somando temos que x − z ∈ I
pela definic¸a˜o de ideal.
Assim, como toda relac¸a˜o de equivaleˆncia determina uma partic¸a˜o temos que A vai ser a reunia˜o
disjunta das classes de equivaleˆncia :
A =
⋃
x∈A
[x]
onde
[x] = {y ∈ A | y ∼ x} = {y ∈ A | y − x ∈ I} = {y ∈ A | y ∈ x+ I}
Usaremos as notac¸o˜es
x + I = [x]
e
A/I = {x+ I | x ∈ A}.
Queremos transformar A/I em um anel. Para isto vamos definir em A/I duas operac¸o˜es e de-
pois provar que elas esta˜o bem definidas, pois como estamos trabalhando com classes, e portanto
conjuntos , elas na˜o podera˜o depender do representante da classe. As operac¸o˜es va˜o ser:
(x1 + I) + (x2 + I) = (x1 + x2) + I
e
(x1 + I).(x2 + I) = (x1.x2) + I
Suponha que x1 + I = y1 + I e x2 + I = y2 + I. Enta˜o x1 − y1 ∈ I e x2 − y2 ∈ I . Como I e´
um ideal (x1 − y1) + (x2 − y2) ∈ I ,ou seja, (x1 + x2) − (y1 + y2) ∈ I . Pela definic¸a˜o da relac¸a˜o
de equivaleˆncia isto indica que (x1 + x2) + I = (y1 + y2) + I e fica provado que a soma esta´ bem
definida. Para provar que o produto esta´ bem definido,observe que
x1x2 − y1y2 = x1x2 − y1x2 + y1x2 − y1y2 = (x1 − y1)x2 + y1(x2 − y2)
Como I e´ um ideal, (x1 − y1)x2 ∈ I e y1(x2 − y2) ∈ I. Logo o produto fica bem definido .
Exerc´ıcio 3.2.1. Prove que (A/I,+, .) e´ um anel com elemento neutro 0 + I e o inverso aditivo
de x+ I e´ −x+ I.
3.2. ANE´IS QUOCIENTES 21
Exerc´ıcio 3.2.2. Prove que se A e´ um anel comutativo com unidade enta˜o A/I tambe´m e´ um anel
comutativo com unidade.
Chamaremos A/I de anel quociente.
Exemplo 3.2.3. Z/4Z = {0 + 4Z, 1 + 4Z, 2 + 4Z, 3 + 4Z}. Com efeito, todo n em Z e´ da forma
n = 4q + r onde q ∈ Z e 0 ≤ r ≤ 3 pelo Algor´ıtmo de Euclides.Pela definic¸a˜o da classe de
equivaleˆncia temos que n+ 4Z = r + 4Z com r = 0, 1, 2, 3
Exemplo 3.2.4. 2Z/6Z = {0 + 6Z, 2 + 6Z, 4 + 6Z}. Observe que 6Z e´ um ideal de 2Z e que todo
elemento da forma 2n e´ da forma 2(3q + r) quando aplicamos o Algor´ıtmo de Euclides para n e 3.
Assim os elementos de 2Z/6Z va˜o ser 0 + 6Z, 2 + 6Z e 4 + 6Z.
Exemplo 3.2.5. Sejam
A = {
(
a1 a2
a3 a4
)
tal que a1, a2, a3, a4 ∈ Z}
e
I = {
(
a1 a2
a3 a4
)
tal que a1, a2, a3, a4 ∈ 2Z}
E´ fa´cil de provar que I e´ um ideal de A e que
A/I = {
(
a1 a2
a3 a4
)
+ I tal que ai ∈ {0, 1}}.
Observe que A/I e´ um anel na˜o comutativo com unidade com 16 elementos.
Exemplo 3.2.6. Sejam R[x] = { f(x)| f(x) e´ um polinoˆmio com coeficientes em R} e < x2 + 1 > o
ideal gerado por x2 + 1. Enta˜o
R[x]
< x2 + 1 >
= {ax+ b+ < x2 + 1 > |a e b ∈ R}
Para provar isto, tome f(x) ∈ R[x] e divida f(x) por x2 + 1 obtendo um quociente q(x) e um resto
da forma ax+ b em R[x]. Podemos escrever f(x) = q(x)(x2 + 1) + ax+ b e enta˜o a classe de f(x)
mo´dulo < x2 + 1 > vai ser ax+ b+ < x2 + 1 >. Observe que
(x+ < x2 + 1 >)2 = x2+ < x2 + 1 >= −1+ < x2 + 1 >
e enta˜o substituindo a classe x+ < x2 + 1 > por i teremos que
R[x]
< x2 + 1 >
= {ai+ b | a, b ∈ R e i2 = −1} = C
.
Vemos assim que ane´is quocientes nos permite a criac¸a˜o de certos tipos especiais de ane´is.
22 CAPI´TULO 3. IDEAIS E ANE´IS QUOCIENTES
3.3 Ideais primos e ideais maximais
Definic¸a˜o 3.3.1 (ideal primo). Um ideal pro´prio I de um anel A e´ primo se quando x, y ∈ A e
xy ∈ I enta˜o x ∈ I ou y ∈ I.
Exemplo 3.3.2 (ideais primos de Z). Os ideais primos na˜o nulos de Z sa˜o os pZ onde p e´ um
primo de Z. Para ver isto seja nZ um ideal de Z e suponha que nZ e´ um ideal primo. Se n na˜o for
primo existem a e b em Z tais que n = ab e 1 < a, b < n. Como por hipo´tese estamos supondo que
nZ e´ primo temos que a ou b pertencem a nZ. Suponha que a = kn com k ∈ Z. Temos enta˜o que
n = knb ou n(1− kb) = 0, e como estamos no domı´nio Z isto implica que n = 0 ou 1− kb = 0, isto
e´, n = 0 ou b = 1. Como n 6= 0 e b 6= 1 concluimos que n tem que ser primo.
Por outro lado suponha que p e´ primo e xy ∈ pZ. Logo p divide xy e pelo Algor´ıtmo de Euclides
p divide x ou p divide y, isto e´, x ∈ pZ ou y ∈ pZ e enta˜o pZ e´ um ideal primo.
Definic¸a˜o 3.3.3 (ideal maximal). Um ideal pro´prio I de um anel A e´ maximal se quando existir
um ideal B de A tal que I ⊆ B ⊆ A enta˜o I = B ou B = A
Exemplo 3.3.4. < x2 + 1 > e´ um ideal maximal de R[x]
Com efeito, suponha que exista um ideal B de R[x] tal que < x2 + 1 >⊂ B ⊂ R[x] e que <
x2 + 1 >6= B. Enta˜o existe um f em B tal que f 6∈< x2 + 1 > isto e´, o resto da divisa˜o de f por
x2 + 1 na˜o e´ zero e podemos escrever f = q(x2 + 1) +ax+ b para algum q ∈ R[x] e a, b em R onde a
e b na˜o sa˜o simultaneamente nulos. Isolando ax+ b vemos que ax+ b = f − q(x2 + 1) ∈ B e enta˜o
(ax+ b)(ax− b) = a2x2 − b2 = a2(x2 + 1)− (a2 + b2) ∈ B
Como x2 + 1 ∈ B temos que a2 + b2 ∈ B. Observe que a2 + b2 6= 0 e enta˜o 1
a2+b2
.a2 + b2 = 1 ∈ B o
que implica que B = R[x]. Isto mostra que < x2 + 1 > e´ um ideal maximal de R[x].
Teorema 3.3.5 (A/I e´ domı´nio ⇔ I e´ primo). Seja A um anel comutativo com unidade e I um
ideal pro´prio de A. Enta˜o A/I e´ domı´nio ⇔ I e´ primo.
Demonstrac¸a˜o
Como A e´ comutativo com unidade temos que A/I e´ um anel comutativo com unidade. Sejam
a, b ∈ A tal que ab ∈ I. Passando para classes teremos
ab+ I = (a+ I)(b+ I) = 0 + I
Como A/I e´ um domı´nio temos que a+ I = 0 + I ou b+ I = 0 + I , isto e´, a ∈ I ou b ∈ I.
Reciprocamente, suponha que I e´ primo e que (a+ I)(b+ I) = 0 + I, isto e´, ab+ I = 0 + I, ou
seja ab ∈ I. Como I e´ um ideal primo de A temos que a ∈ I ou b ∈ I, o que significa em termos
de classes que a + I = 0 + I ou b + I = 0 + I e que A/I na˜o tem divisores de zero. Como A/I e´
comutativo com unidade porque A e´, temos que A/I e´ domı´nio.
Teorema 3.3.6 (A/I e´ corpo ⇔ I e´ maximal). Seja A um anel comutativo com unidade e I um
ideal de A. Enta˜o A/I e´ corpo ⇔ I e´ maximal.
3.3. IDEAIS PRIMOS E IDEAIS MAXIMAIS 23
Demonstrac¸a˜o
Como A e´ comutativo com unidade temos que A/I e´ um anel comutativo com unidade.
Suponha que exista um ideal B de A tal que I ⊆ B ⊆ A e que I 6= B. Enta˜o existe um x ∈ B e
x 6∈ I. Em termos de classe temos que x+ I 6= 0 + I e como A/I e´ um corpo existe y+ I ∈ A/I tal
que xy+ I = 1 + I, isto e´, xy− 1 ∈ I. Como x ∈ B temos que xy ∈ B e portanto, 1 ∈ B e B = A.
Reciprocamente suponha que I e´ maximal e vamos mostrar que A/I e´ um corpo. Para isto tome
x+ I 6= 0 + I em A/I . Isto significa que x 6∈ I e temos enta˜o a cadeia de ideais I ⊂ I+ < x >⊂ A.
Como I e´ maximal temos que I+ < x >= A. Assim existe y ∈ I e a ∈ A tal que 1 = y + ax ou
1− ax ∈ I. Em termos de classe significa que
(a+ I)(x+ I) = 1 + I
isto e´, x+ I e´ invert´ıvel e A/I e´ um corpo.
24 CAPI´TULO 3. IDEAIS E ANE´IS QUOCIENTES
3.4 Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 3
1. Sejam x e y elementos de um domı´nio de caracter´ıstica p.
(a) Mostre que (x+ y)p = xp + yp
(b) Mostre que para todo inteiro positivo n, (x+ y)p
n
= xp
n
+ yp
n
.
(c) Ache um anel de caracter´ıstica 4 tal que (x+ y)4 6= x4 + y4
2. Se I e J sa˜o dois ideais de um anel A, mostre que a soma de ideais definida por I + J =
{x+ y|x∈ I e y ∈ J} e´ um ideal de A.
3. No anel dos inteiros, ache um inteiro positivo a tal que
(a) < a >=< 2 > + < 3 >
(b) < a >=< 6 > + < 3 >
(c) < a >=< m > + < n >
4. Se I e J sa˜o dois ideais de um anel A, mostre que o produto de ideais definido por
I.J = {a1b1 + a2b2 + ...+ anbn|ai ∈ I e bi ∈ J e n e´ um inteiro positivo } e´ um ideal de A.
5. No anel dos inteiros, ache um inteiro positivo a tal que
(a) < a >=< 3 > . < 4 >
(b) < a >=< 6 > . < 8 >
(c) < a >=< m > . < n >
6. Sejam I e J ideais de um anel A. Prove que IJ ⊆ I ∩ J
7. Se I e J sa˜o ideais de um anel comutativo com unidade A e I + J = A mostre enta˜o que
IJ = I ∩ J
8. Se um ideal I de um anel A conte´m uma unidade, mostre que A = I.
9. Prove que o ideal < x2 + 1 > e´ primo em Z[x], mas na˜o e´ maximal. Sug.: use um fato que
veremos no cap´ıtulo 5 que Z[x] possui algoritmo da divisa˜o para polinoˆmios cujo coeficiente
l´ıder e´ 1 ou −1. Ver exerc´ıcio 15 do Cap.5 .
10. Se A e´ um anel comutativo com unidade e I e´ um ideal de A, mostre que A/I e´ um anel
comutativo com unidade.
11. Prove que R[x]/ < x2 + 1 > e´ um corpo.
12. Seja A um anel comutativo com unidade. Mostre que todo ideal maximal e´ primo.
13. Mostre que I = {(3x, y)|x, y ∈ Z} e´ um ideal maximal de Z× Z.
14. Seja A o anel das func¸o˜es cont´ınuas de R em R. Mostre que I = {f ∈ A|f(0) = 0} e´ um ideal
maximal de A.
3.4. EXERCI´CIOS DO CAPI´TULO 3 25
15. Quantos elementos tem Z[i]/ < 3 + i > ? Deˆ razo˜es para sua resposta.
16. Em Z[x], o anel dos polinoˆmios com coeficientes inteiros, seja I = {f ∈ Z[x]|f(0) = 0}. Prove
que I na˜o e´ um ideal maximal de Z[x]
17. Prove que I =< 2 + 2i > na˜o e´ um ideal primo de Z[i]. Quantos elementos tem Z[i]/I ? Qual
e´ a caracter´ıstica de Z[i]/I.
18. Em Z5[x], seja I =< x2 + x+ 1 >. Ache o inverso multiplicativo de 2x+ 3 + I em Z5[x]/I.
19. Mostre que Z2[x]/ < x2 + x+ 1 > e´ um corpo.
20. Mostre que Z3[x]/ < x2 + x+ 1 > na˜o e´ um corpo.
21. Ache todos os ideais maximais de Z.
22. Se D e´ um domı´nio de ideais principais, isto e´, domı´nio onde todo ideal e´ da forma < a >
para algum a em D, prove que D/I e´ um anel de ideais principais onde I e´ um ideal de D.
23. Mostre que todo ideal na˜o nulo de Zn e´ da forma < d¯ > onde d e´ um divisor de n.
24. Ache todos os ideais maximais de
(a) Z8
(b) Z10
(c) Z12
(d) Zn
Cap´ıtulo 4
Homomorfismos de ane´is
4.1 Definic¸a˜o e exemplos
Podemos descobrir informac¸o˜es sobre um anel examinando sua interac¸a˜o com outros ane´is. Fazemos
isto atrave´s dos homomorfismos . Um homomorfismo e´ uma aplicac¸a˜o que preserva as operac¸o˜es
soma e produto dos ane´is.
Definic¸a˜o 4.1.1 (Homomorfismo e isomorfismo de ane´is). Um homomorfismo φ de um anel R
em um anel S e´ uma aplicac¸a˜o de R em S a qual preserva as operac¸o˜es de um anel, isto e´,
φ(a+ b) = φ(a) + φ(b)
φ(ab) = φ(a).φ(b)
para todo a e b em R.
Um homomorfismo de ane´is o qual e´ injetivo e sobrejetivo e´ chamado um isomorfismo de ane´is.
Neste caso dizemos que R e S sa˜o isomorfos.
Observe que na definic¸a˜o acima as operac¸o˜es a` esquerda do sinal de igual sa˜o as de R, enquanto
as da direita sa˜o de S.
Quando temos um isomorfismo φ : R→ S isto significa que R e S sa˜o algebricamente ideˆnticos .
Exemplo 4.1.2. Para todo inteiro n a aplicac¸a˜o k 7−→ k mod n e´ um homomorfismo de Z em Zn.
Com efeito
(a+ b) mod n = a mod n+ b mod n
(a.b) mod n = a mod n.b mod n
Este homomorfismo e´ chamado homomorfismo canoˆnico.
Observe que toda classe k mod n e´ imagem do inteiro k e assim o homomorfismo canoˆnico e´ sobre-
jetivo.
Exemplo 4.1.3. Em geral se I e´m ideal de um anel R a aplicac¸a˜o que associa a cada elemento r
de R a sua classe r + I e´ um homomorfismo de ane´is chamado homomorfismo canoˆnico .
26
4.1. DEFINIC¸A˜O E EXEMPLOS 27
Exemplo 4.1.4. Seja φ : R[x] → R que associa f(x) 7−→ f(1). Enta˜o φ e´ um homomorfismo
sobrejetivo pois
φ(f + g) = (f + g)(1) = f(1) + g(1) = φ(f) + φ(g)
φ(f.g) = (f.g)(1) = f(1).g(1) = φ(f).φ(g)
Para todo a ∈ R, a = f(1) onde f(x) = a ∈ R[x].Isto mostra que φ e´ sobrejetivo.
Exemplo 4.1.5. A aplicac¸a˜o a+ bi 7−→ a− bi e´ um isomorfismo de C em C.
Prove isto.
Exemplo 4.1.6. A aplicac¸a˜o φ : x 7−→ 4x de Z3 → Z12 e´ um homomorfismo . Temos primeiro
que verificar que esta aplicac¸a˜o esta´ bem definida pois estamos trabalhando com classes e portanto
tem que independer do representante da classe. Suponha enta˜o que em Z3 as classes a¯ = b¯. Assim
a − b = 3k para algum k em Z. Multiplicando esta expressa˜o por 4 temos 4a − 4b = 12k. Isto
mostra que as classes 4a = 4b em Z12 e assim temos que φ(a¯) = φ(b¯) e φ esta´ bem definida.
Vamos agora provar que φ e´ um homomorfismo. Pela definic¸a˜o de φ ,
φ(a¯+ b¯) = φ(a+ b) = 4(a+ b) = 4a+ 4b = φ(a¯) + φ(b¯)
φ(a¯.b¯) = φ(a.b) = 4a.b
Por outro lado em Z12,
φ(a¯).φ(b¯) = 4a.4b = 16ab = 4ab.
Logo φ e´ um homomorfismo.
Exemplo 4.1.7. A aplicac¸a˜o φ : Z5 → Z10 que leva x¯ 7−→ 5x na˜o esta´ bem definida pois 1¯ = 6¯ em
Z5 mas φ(1¯) = 5 6= 30 = φ(6¯) em Z10.
Exemplo 4.1.8. Podemos usar homomorfismos para concluir fatos soˆbre teoria de nu´meros. Por
exemplo, para provar que a sequencia 2, 10, 18, 26, ... na˜o conte´m nenhum cubo , suponha que um
elemento da forma 8k + 2 com k ∈ Z seja um cubo a3. Aplicando o homomorfismo canoˆnico
φ : Z 7−→ Z8 teremos que 2¯ = φ(8k+2) = φ(a)3. Mas e´ fa´cil verificar que em Z8 na˜o existe nenhum
elemento cujo cubo deˆ 2¯. Assim, a sequencia acima na˜o tem nenhum cubo.
Exemplo 4.1.9 (Teste de divisibilidade por 9). Um inteiro n cuja representac¸a˜o decimal e´ akak−1...a0
e´ divis´ıvel por 9 se e somente se ak + ak−1 + ...+ a0 for divis´ıvel por 9.
Para provar isto, observe que
n = ak10
k + ak−110k−1 + ...+ a0100
e seja φ : Z 7−→ Z9 o homo canoˆnico.
Assim 9|n⇔ φ(n) = 0¯.
Como φ(10) = 1¯ teremos:
φ(n) = φ(ak10
k + ak−110k−1 + ...+ a0100) = ak1¯k + ak−11¯k−1 + ...+ a01¯0
= ak + ak−1 + ...+ a0 = ak + ak−1 + ...a0
Assim 9|n se e somente se ak + ak−1 + ...a0 = 0¯, isto e´, 9|(ak + ak−1 + ...+ a0)
28 CAPI´TULO 4. HOMOMORFISMOS DE ANE´IS
4.2 Propriedades dos homomorfismos
Aqui vamos aprender a trabalhar com homomorfismos.
Teorema 4.2.1 (Propriedades dos homomorfismos de ane´is). Seja φ um homomorfismo de um
anel R em um anel S. Enta˜o:
1. φ(0) = 0
2. φ(−r) = −φ(r) para todo r em R.
3. Para todo r em R e todo inteiro positivo n, φ(nr) = nφ(r) e φ(rn) = φ(r)n.
4. Se A e´ um subanel de R enta˜o φ(A) e´ um subanel de S.
5. Se I e´ um ideal de R e φ e´ sobrejetivo enta˜o φ(I) e´ um ideal de S.
6. Se J e´ um ideal de S enta˜o φ−1(J) e´ um ideal de R.
7. Se R e´ comutativo enta˜o φ(R) e´ comutativo.
8. Se R tem unidade 1 e φ e´ sobrejetivo enta˜o φ(1) e´ a unidade de S se S for na˜o nulo.
9. φ e´ um isomorfismo se e somente se φ e´ sobrejetivo e kerφ = {r ∈ R|φ(r) = 0} = {0}.
10. Se φ e´ um isomorfismo de R sobre S enta˜o φ−1 e´ um isomorfismo de S sobre R.
Demonstrac¸a˜o
1. Aplicando φ a` expressa˜o 0 + 0 = 0 teremos φ(0 + 0) = φ(0) e assim φ(0) + φ(0) = φ(0), isto
e´, 2φ(0)− φ(0) = 0 e finalmente φ(0) = 0.
2. Aplicando φ a` expessa˜o r + (−r) = 0 teremos que φ(r) + φ(−r) = φ(0) = 0. Somando de
ambos os lados −φ(r) temos φ(−r) = −φ(r) como quer´ıamos provar.
3. φ(nr) = φ(r+r+r+...r) = nφ(r) e φ(rn) = φ(rr...r) = φ(r)n pela definic¸a˜o de homomorfismo.
4. Sejam x, y ∈ φ(A). Enta˜o x = φ(a1) e y = φ(a2) onde a1 e a2 esta˜o em A. Pelo teste, basta
provar que x− y ∈ φ(A) e xy ∈ φ(A). Mas x− y = φ(a1)− φ(a2) = φ(a1 − a2) ∈ φ(A) pois
A e´ um subanel. Pelo mesmo motivo xy = φ(a1)φ(a2) = φ(a1a2) ∈ φ(A).
5. Como I e´ um subanel pelo item anterior φ(I) ja´ e´ um subanel de S. So´ falta provar que
S.φ(I) ⊂ φ(I). Como φ e´ sobre, todo s em S e´ da forma s = φ(r) para algum r em R. Assim,
sφ(a) = φ(r).φ(a) = φ(ra) ∈ φ(I) para todo a ∈ I.
6. Aplicando o teste para saber see´ um ideal, sejam x, y ∈ φ−1(J). Existem enta˜o j1 e j2 em
J tais que φ(x) = j1 e φ(y) = j2. Como φ(x − y) = φ(x) − φ(y) = j1 − j2 ∈ J temos que
x− y ∈ φ−1(J). Tambe´m, para todo r ∈ R e x ∈ φ−1(J) temos φ(rx) = φ(r)φ(x) ∈ J o que
mostra que rx ∈ φ−1(J)
7. Basta observar que φ(r1)φ(r2) = φ(r1r2) = φ(r2r1) = φ(r2)φ(r1) para todo r1 e r2 em R.
4.3. O TEOREMA FUNDAMENTAL DOS HOMOMORFISMOS 29
8. Para todo s ∈ S, s = φ(r) para algum r em R porque φ e´ sobre. Assim sφ(1) = φ(r)φ(1) =
φ(r1) = φ(r) = s. Analogamente φ(1)s = s.
9. Se φ e´ isomorfismo enta˜o φ e´ sobre e injetiva, isto e´, se φ(r1) = φ(r2) enta˜o r1 = r2. Se
r ∈ kerφ enta˜o φ(r) = φ(0) = 0 e portanto r = 0. Assim kerφ = {0}.
Reciprocamente suponha que φ e´ sobre e kerφ = {0}. Vamos provar que φ e´ injetiva. Para
isto suponha que φ(r1) = φ(r2). Enta˜o φ(r1 − r2) = 0 o que mostra que r1 − r2 = 0 porque
kerφ = {0}. Assim φ e´ injetivo e sobre e portanto um isomorfismo.
10. Temos de provar que φ−1(s1 + s2) = φ−1(s1) + φ−1(s2) e φ−1(s1.s2) = φ−1(s1).φ−1s2.
Suponha que φ−1(s1) = r1 e φ−1(s2) = r2 . Logo φ(r1) = s1 , φ(r2) = s2 e φ(r1 + r2) =
φ(r1) + φ(r2) = s1 + s2. Isto mostra que φ
−1(s1 + s2) = r1 + r2 = φ−1(s1) + φ−1(s2).
Analogamente φ−1(s1.s2) = φ−1(s1).φ−1s2.
Teorema 4.2.2. Seja φ um homomorfismo de um anel R no anel S. Enta˜o o conjunto kerφ =
{r ∈ R | φ(r) = 0} e´ um ideal de R.
Demonstrac¸a˜o Exerc´ıcio.
4.3 O teorema fundamental dos homomorfismos
Teorema 4.3.1 (Teorema fundamental dos homomorfismos (TFH)). Seja φ um homomorfismo de
um anel R no anel S. Enta˜o φ(R) e´ isomorfo ao anel quociente R
kerφ
.Em s´ımbolos, φ(R) ≈ R
kerφ
Demonstrac¸a˜o
Defina a aplicac¸a˜o
ψ : R
kerφ
→ φ(R)
r + kerφ 7−→ φ(r)
Temos que mostrar que ψ e´ um isomorfismo. Em primeiro lugar vamos provar que ψ esta´ bem
definida, isto e´, que independe da escolha da classe. Suponha que r1 + kerφ = r2 + kerφ. Enta˜o
r1 − r2 ∈ kerφ, isto e´ φ(r1) = φ(r2) e ψ(r1 + kerφ) = ψ(r2 + kerφ) e ψ esta´ bem definida.
ψ e´ um homomorfismo pois
ψ(r1+kerφ+r2+kerφ) = ψ(r1+r2+kerφ) = φ(r1+r2) = φ(r1)+φ(r2) = ψ(r1+kerφ)+ψ(r2+kerφ)
ψ((r1 + kerφ).(r2 + kerφ)) = ψ(r1.r2 + kerφ) = φ(r1.r2) = φ(r1).φ(r2) = ψ(r1 + kerφ).ψ(r2 + kerφ)
ψ e´ injetiva pois kerψ = {r + kerφ ∈ R
kerφ
|φ(r) = 0} = {0 + kerφ}.
E´ fa´cil ver que ψ e´ sobre.
Exemplo 4.3.2. Queremos mostrar que R[x]
<x2+1>
e´ isomorfo a C. Utilizando o teorema fundamental
dos homomorfismos basta criar um homo φ sobre entre R[x] e C tal que kerφ seja igual a
< x2 + 1 >.
Defina
φ : R[x] → C
f(x) 7−→ f(i)
30 CAPI´TULO 4. HOMOMORFISMOS DE ANE´IS
E´ fa´cil ver que φ e´ um homo sobre e que < x2 + 1 >⊂ kerφ.
Seja agora f(x) ∈ kerφ. Dividindo f(x) por x2 + 1 temos que existem q(x) ∈ R[x] e a, b ∈ R
tais que f(x) = (x2 + 1)q(x) + ax+ b. Queremos provar que a e b sa˜o nulos. Como f(x) ∈ kerφ ,
aplicando φ na expressa˜o acima temos que ai+ b = 0. Logo a = b = 0 e f(x) ∈< x2 + 1 >. Assim
kerφ =< x2 + 1 > e pelo TFH, C ≈ R[x]
<x2+1>
.
Todo anel com unidade de caracter´ıstica 0 possui uma co´pia de Z e todo anel com unidade de
caracter´ıstica n tem uma co´pia de Zn. E´ o que veremos a seguir.
Teorema 4.3.3 (Homomorfismo de Z em ane´is com unidade). Seja R um anel com unidade 1. A
aplicac¸a˜o
φ : Z → R
n 7−→ n.1
e´ um homomorfismo de ane´is.
Demonstrac¸a˜o
φ(n + m) = (n + m).1 = n.1 + m.1 = φ(n) + φ(m) e φ(nm) = (nm).1 = (n.1)(m.1) = φ(n)φ(m)
como ja´ provamos no Cap.2.
Corola´rio 4.3.4 (Um anel com unidade conte´m Z ou Zn). Se R e´ um anel com unidade de carac-
ter´ıstica n enta˜o R conte´m um subanel isomorfo a Zn.Se R e´ um anel com unidade de caracter´ıstica
0 enta˜o R conte´m um subanel isomorfo a Z.
Demonstrac¸a˜o
Vimos que a aplicac¸a˜o
φ : Z → R
m 7−→ m.1
e´ um homomorfismo de ane´is.
Se a caracter´ıstica de R for n enta˜o kerφ = {m ∈ Z|m.1 = 0} = nZ. (Prove isto!). Enta˜o pelo
TFH, φ(Z) ≈ Z/nZ = Zn e φ(Z) e´ o subanel de R procurado.
Se a caracter´ıstica de R for 0 enta˜o kerφ = {m ∈ Z|m.1 = 0} = {0}. Enta˜o pelo TFH,
φ(Z) ≈ Z/{0} = Z, Como φ(Z) e´ um subanel de R, este e´ o subanel procurado.
Corola´rio 4.3.5 (Um corpo conte´m Zp ou Q). Se F e´ um corpo de caracter´ıstica p enta˜o F
conte´m um subcorpo isomorfo a Zp. Se F e´ um corpo de caracter´ıstica 0 enta˜o F conte´m um
subcorpo isomorfo a Q.
Demonstrac¸a˜o Como todo corpo e´ um domı´nio , ele tem unidade e sua caracter´ıstica ou e´
0 ou um nu´mero primo p. Se caracter´ıstica de F for p enta˜o pelo corola´rio anterior F vai ter um
subanel isomorfo a Zp, o qual vai ser um subcorpo de F . Se caracter´ıstica de F for 0 enta˜o F vai ter
um subanel S isomorfo a Z. Como F e´ um corpo F vai conter todos os inversos de S. Considerando
o conjunto T = {ab−1|a, b ∈ S e b 6= 0} temos que T ⊂ F e T e´ isomorfo a Q(prove isto !).
4.4. O CORPO DE FRAC¸O˜ES DE UM DOMI´NIO 31
4.4 O corpo de frac¸o˜es de um domı´nio
Note que Q e´ constitu´ıdo das frac¸o˜es de Z. Podemos repetir esta construc¸a˜o a todos os domı´nios .
Teorema 4.4.1. Seja D um domı´nio. Enta˜o existe um corpo F (chamado corpo das frac¸o˜es ou
corpo quociente de D) que contem um subanel isomorfo a D.
Demonstrac¸a˜o
Repetiremos a construc¸a˜o de Q. Seja S = {(a, b)|a, b ∈ D e b 6= 0}.
Em S definimos a relac¸a˜o de equivaleˆncia
(a, b) ∼= (c, d)⇔ ad = bc
Denotamos por [(a,b)] a classe de equivaleˆncia de (a, b) e F := {[(a, b)]|(a, b) ∈ S}.
Em F definimos uma soma e um produto:
[(a, b)] + [(c, d)] = [(ad+ bc, bd)]
[(a, b)].[(c, d)] = [(ac, bd)]
E´ trabalhoso, mas fa´cil, provar que estas operac¸o˜es esta˜o bem definidas e que (F,+, .) e´ um
anel.Observe que o elemento neutro da soma e´ [(0,1)] e o da multiplicac¸a˜o e´ [(1,1)]. O inverso de um
elemento [(a, b)] 6= 0 e´ [(b,a)]. Usando a notac¸a˜o a
b
= [(a, b)] podemos trabalhar com F do mesmo
modo que trabalhamos com Q. Finalmente vamos mostrar que F contem um subanel isomorfo a
D. Basta considerar a aplicac¸a˜o
φ : D → F
d 7−→ d
1
e mostrar que φ e´ um homomorfismo injetivo . Isto e´ deixado para o leitor assim como todos os
detalhes dessa demonstrac¸a˜o .
Exemplo 4.4.2. O corpo de frac¸o˜es do domı´nio Z[x] e´ {f(x)
g(x)
|g(x) 6= 0}. Este corpo e´ chamado de
conjunto das func¸o˜es racionais e denotado por Z(x)
32 CAPI´TULO 4. HOMOMORFISMOS DE ANE´IS
4.5 Lista de exerc´ıcios do Cap´ıtulo 4
1. Mostre que a correspondencia x 7−→ 5x de Z5 para Z10 na˜o esta´ bem definida.
2. Mostre que a correspondencia x 7−→ 3x de Z4 para Z12 esta´ bem definida e preserva a adic¸a˜o
mas na˜o a multiplicac¸a˜o .
3. Crie um crite´rio de divisibilidade por 4.
4. O anel 2Z e´ isomorfo a 3Z? O anel 2Z e´ isomorfo a 4Z?
5. Seja Z3[i] = {a+ bi|a, b ∈ Z3}. Mostre que Z3[i] e´ isomorfo a Z3[x]<x2+1> como corpos.
6. Seja
S = {
(
a b
−b a
)
|a, b ∈ R}.
Mostre que φ : C→ S dada por φ(a+ bi) =
(
a b
−b a
)
e´ um isomorfismo de ane´is.
7. Seja Z[
√
2] = {a+ b√2‖ a, b ∈ Z} e H = {
(
a 2b
b a
)
|a, b ∈ Z}.
Mostre que Z[
√
2] e H sa˜o isomorfos como ane´is.
8. Considere a aplicac¸a˜o de M2(Z) em Z dada por
(
a b
c d
)
7−→ a. Esta aplicac¸a˜o e´ um homo-
morfismo de ane´is?
9. A aplicac¸a˜o de Z5 em Z30 dada por x 7−→ 6x e´ um homomorfismo de ane´is? Note que a
imagem da unidade e´ a unidade da imagem mas na˜o a unidade de Z30
10. A aplicac¸a˜o x 7−→ 2x de Z10 em Z10 e´ um homomorfismo de ane´is?
11. Ache o kernel do homomorfismo φ : R[x]→ R dado por φ(f(x)) = f(1).
12. Ache todos os homomorfismos de Z em Z
13. Ache todos os homomorfismos de Q em Q
14. Prove que a sequencia 3, 7, 11, 15, ... na˜o tem nenhuma soma de dois quadrados.
15. Prove que a soma dos quadrados de tres inteiros consecutivos na˜o pode ser um quadrado.
16. Seja n um inteiro positivo obtido rearranjando os d´ıgitos de m de algum jeito (por exemplo,
4567 e´ um rearranjamento de 6754). Mostre que m− n e´ divis´ıvelpor 9.
17. Sejam R e S ane´is comutativos com unidade. Se φ e´ um homomorfismo de R sobre S e a
caracter´ıstica de R e´ na˜o nula, prove que a caracter´ıstica de S divide a caracter´ıstica
de R.
4.5. LISTA DE EXERCI´CIOS DO CAPI´TULO 4 33
18. Se R e´ um anel comutativo de caracter´ıstica p, p primo, mostre que a aplicac¸a˜o de Frobenius
x 7−→ xp e´ um homomorfismo de R em R.
19. Seja φ um homomorfismo de um anel comutativo R com unidade sobre S e A um ideal de S.
(a) Se A e´ primo em S enta˜o φ−1(A) e´ um ideal primo de R.
(b) Se A e´ maximal em S enta˜o φ−1(A) e´ um ideal maximal de R.
20. Prove que a imagem por homomorfismo de um anel de ideais principais e´ um anel de ideais
principais. Prove que Zn e´ um anel de ideais principais e que todo anel quociente de um anel
de ideais principais e´ um anel de ideais principais.
21. Prove que se m e n sa˜o inteiros positivos distintos enta˜o os ane´is nZ e mZ na˜o sa˜o isomorfos.
22. R e C sa˜o isomorfos como ane´is?
23. Determine todos os homomorfismos de R em R.
24. Mostre que Q[
√
2] e Q[
√
3] na˜o sa˜o isomorfos.
25. Mostre que o corpo quociente de Z[i] e´ isomorfo a Q[i].
26. Mostre que o nu´mero de Fermat 22
5
+ 1 na˜o e´ primo. Para isto, observe que 641 sendo primo
implica que Z/641Z e´ um corpo.
Observe tambe´m que 641 = 24 + 54 e 641 = 27.5 + 1. Da segunda igualdade, tire a expressa˜o
de 5 mod 641, substitua na primeira e veja que 641 divide 22
5
+ 1.
27. Seja D um domı´nio e F seu corpo quociente. Mostre que se E e´ um corpo que conte´m D
enta˜o E conte´m um subcorpo isomorfo a F (assim o corpo quociente de um domı´nio D e´ o
menor corpo que conte´m D).
28. Seja A um anel e I um ideal de A. Mostre que existe uma correspondeˆncia biun´ıvoca entre
os ideais de A que conteˆm I e os ideais do anel quociente A/I.
29. Ache todos os ideais de Z36.
30. Ache todos os ideais de Zn. Quantos existem ?
31. Mostre que Z5[x]
<x2+x+1>
e´ isomorfo a Z5[x]
<x2+x+2>
como corpos.
Cap´ıtulo 5
Ane´is de Polinoˆmios
Trabalharemos com ane´is de polinoˆmios do mesmo jeito que voceˆs aprenderam no segundo grau.
So´ tem que agora estamos preocupados com a sua estrutura de anel .Veremos que mudando o anel
onde os coeficientes pertencem teremos ane´is de estruturas diferentes.
5.1 Definic¸a˜o e exemplos
Definic¸a˜o 5.1.1. Seja R um anel comutativo. O conjunto dos s´ımbolos formais
R[x] = {anxn + an−1xn−1 + ...+ a0 | ai ∈ R, n ∈ N}
e´ chamado o anel de polinoˆmios soˆbre R na indeterminada x .
Dois polinoˆmios
anx
n + an−1xn−1 + ...+ a0
e
bmx
m + bm−1xm−1 + ...+ b0
sa˜o considerados iguais se e somente se ai = bi para todo i ∈ N (defina ai = 0 quando i > n e
bi = 0 quando i > m)
Nesta definic¸a˜o , os s´ımbolos x1, x2, ..., xn na˜o representam varia´veis do anel R. Sua finalidade e´
servir como lugares convenientes para separar os elementos do anel R ; a1, a2, ..., an. No´s poder´ıamos
ter evitado os x,s definindo um polinoˆmio como uma sequencia infinita a0, a1, a2, ..., an, 0, 0, ... mas
nosso me´todo tem a vantagem da experiencia de x como varia´vel. A desvantagem do nosso me´todo
e´ a confusa˜o que se pode fazer entre polinoˆmio e a func¸a˜o que ele pode representar. Por exemplo,
em Z3[x] os polinoˆmios f(x) = x4 + x e g(x) = x2 + x representam a mesma func¸a˜o de Z3 em Z3
pois f(a) = g(a) para todo a ∈ Z3, mas f(x) e g(x) sa˜o elementos diferentes de Z3[x].
Para fazer R[x] um anel definimos a adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o de modo usual.
34
5.1. DEFINIC¸A˜O E EXEMPLOS 35
Definic¸a˜o 5.1.2 (soma e multiplicac¸a˜o de polinoˆmios ). Sejam R um anel comutativo e
f(x) = anx
n + an−1xn−1 + ...+ a0
g(x) = bmx
m + bm−1xm−1 + ...+ b0
polinoˆmios pertencentes a R[x].
Enta˜o
f(x) + g(x) = (as + bs)x
s + (as−1 + bs−1)xs−1 + ...+ (a0 + b0)
onde ai = 0 para todo i > s e bi = 0 se i > m. Tambe´m
f(x)g(x) = cm+nx
m+n + cm+n−1xm+n−1 + ...+ c0
onde ck = akb0 + ak−1b1 + ...+ a1bk−1 + a0bk para k = 0, ...,m+ n.
A definic¸a˜o da multiplicac¸a˜o parece confusa mas na˜o e´. Ela e´ a formalizac¸a˜o do processo familiar
da distributividade e colecionando termos iguais.
Exemplo 5.1.3. Sejam f(x) = x3 + 2x+ 1 e g(x) = 2x2 + 2 ∈ Z3[x].
f(x) + g(x) = x3 + 2x2 + 2x+ 0
f(x)g(x) = (x3 + 2x+ 1)(2x2 + 2) = 2x5 + 2x3 + x3 + x+ 2x2 + 2 = 2x5 + 2x2 + x+ 2
Nossa definic¸a˜o de soma e produto de polino˜mios foram formuladas de tal forma que R[x] e´ um
anel comutativo . Prove isto!
Vamos agora introduzir alguma terminologia para polinoˆmios. Se
f(x) = anx
n + ...+ an−1xn−1 + ...+ a1x1 + a0
onde an 6= 0, no´s dizemos que f(x) tem grau n ; o termo an e´ chamado de coeficiente l´ıder
de f(x); se o coeficiente l´ıder de f(x) for a unidade do anel dizemos que f e´ moˆnico. Na˜o definimos
grau para o polinoˆmio nulo f(x) = 0 . Polinoˆmios do tipo f(x) = a0 sa˜o chamados de polinoˆmios
constantes. No´s geralmente escrevemos grf = n para indicar que grau de f e´ n.
Muitas propriedades de R sa˜o levadas para R[x]. Nosso primeiro teorema mostra um exemplo:
Teorema 5.1.4. Se D e´ um domı´nio enta˜o D[x] e´ um domı´nio.
Demonstrac¸a˜o
Como no´s ja´ sabemos que D[x] e´ um anel, o que precisamos provar e´ que D[x] e´ comutativo
com unidade sem divisores de zero. Claramente D[x] e´ comutativo porque D o e´. Se 1 for a
unidade de D enta˜o e´ fa´cil ver que f(x) = 1 e´ a unidade de D[x]. Finalmente suponha que
f(x) = anx
n + an−1xn−1 + ... + a0 e g(x) = bmxm + bm−1xm−1 + ... + b0 onde an 6= 0 e bm 6= 0
. Enta˜o pela definic¸a˜o do produto, f(x)g(x) tem coeficiente l´ıder anbm 6= 0 porque D e´ domı´nio.
Logo f(x)g(x) 6= 0 e D[x] e´ um domı´nio.
36 CAPI´TULO 5. ANE´IS DE POLINOˆMIOS
Exemplo 5.1.5. Como todo corpo K e´ um domı´nio enta˜o K[x] e´ um domı´nio . Tambe´m K[x, y] :=
K[x][y] e´m domı´nio.
5.2 O Algoritmo da divisa˜o e consequ¨eˆncias
Uma das propriedades dos inteiros que usamos repetidas veˆzes e´ o algoritmo da divisa˜o: se a e b
sa˜o inteiros e b 6= 0, enta˜o existem inteiros u´nicos q e r tais que a = bq + r onde 0 ≤ r < |b|. O
teorema a seguir e´ um ana´logo para os polinoˆmios sobre um corpo.
Teorema 5.2.1 (algoritmo da divisa˜o para polinoˆmios). Sejam F um corpo, f(x) e g(x) ∈ F [x]
com g(x) 6= 0. Enta˜o existem polinoˆmios q(x) e r(x) em F [x] tais que f(x) = g(x)q(x) + r(x) com
r(x) = 0 ou gr r(x) < gr g(x). Tais q(x) e r(x) sa˜o u´nicos .
Demonstrac¸a˜o
Existencia de q(x) e r(x): Se f(x) = 0 ou gr f < gr g no´s colocamos q(x) = 0 e r(x) = f(x).
Enta˜o vamos assumir que n = grf ≥ grg = m.
Sejam f(x) = anx
n + an−1xn−1 + ...+ a0 e
g(x) = bmx
m + bm−1xm−1 + ...+ b0. Usaremos o 2oPIM no grau de f .
Se grf = 0, f e g sa˜o constantes em F , tome q(x) = f/g e r(x) = 0.
Vamos supor agora que grf > 0 e colocamos f1 = f(x)− anbm−1xn−mg(x).
Enta˜o f1 = 0 ou grf1 < grf . Pela nossa hipo´tese de induc¸a˜o existem q1(x) e r1(x) em F [x] tais
que f1 = g(x)q1(x) + r1(x) onde r1 = 0 ou gr r1 < gr g. Assim
f(x) = anbm
−1xn−mg(x) + f1(x) = anbm
−1xn−mg(x) + q1(x)g(x) + r1(x)
= [anbm
−1xn−m + q1(x)]g(x) + r1(x).
e esta parte do teorema esta´ provada.
Unicidade:
Suponhamos f(x) = q0(x)g(x) + r0(x) = g(x)q1(x) + r1(x) onde ri = 0 ou gr ri < gr g, i = 1, 2.
Subtraindo as duas equac¸o˜es temos que
0 = g(x)(q0(x)− q1(x)) + (r0(x)− r1(x))
ou
r0(x)− r1(x) = g(x)(−q0(x) + q1(x))
. Como o grau de r0(x) − r1(x) e´ menor que o grau de g(x) e g(x) divide r0(x) − r1(x), isto so´ e´
poss´ıvel se r0(x)− r1(x) = 0. Assim r1 = r0 e q1 = q0.
5.2. O ALGORITMO DA DIVISA˜O E CONSEQU¨EˆNCIAS 37
Os polinoˆmios q(x) e r(x) sa˜o chamados de quociente e resto da divisa˜o.
Seja agora D um domı´nio. Se f e g ∈ D[x] dizemos que g|f isto e´, g divide f se existe um
polinoˆmio h ∈ D[x] tal que f = gh. Neste caso no´s chamamos g de fator de f . Um elemento
a ∈ D e´ um zero de f se f(a) = 0. Quando F e´ um corpo, a ∈ F e f(x) ∈F [x], no´s dizemos que
a e´ um zero de multiplicidade k se (x − a)k divide f mas (x − a)k+1 na˜o divide f . Com estas
definic¸o˜es , podemos dar va´rias consequ¨eˆncias do algor´ıtmo da divisa˜o .
Corola´rio 5.2.2 (o teorema do resto). Se F e´ um corpo, a ∈ F e f(x) ∈ F [x] enta˜o f(a) e´ o resto
da divisa˜o de f por x− a.
Corola´rio 5.2.3 (o teorema do fator). Seja F um corpo, a ∈ F e f ∈ F [x]. Enta˜o a e´ zero de f
se e somente se x− a e´ fator de f .
Corola´rio 5.2.4 (polinomios de grau n teˆm no ma´ximo n zeros). Um polinoˆmio de grau n sobre
um corpo tem no ma´ximo n zeros contando multiplicidades.
Demonstrac¸a˜o
Usamos induc¸a˜o em n. Claramente um polinoˆmio de grau 1 tem exatamente 1 zero . Agora suponha
que a afirmativa e´ va´lida para todo polinoˆmio de grau menor que n e n e´ maior que 1. Seja f um
polinoˆmio de grau n sobre um corpo e seja a um zero de multiplicidade k. Enta˜o f(x) = (x−a)kg(x)
onde g(a) 6= 0 e n = k + grg o que mostra que grg < n. Se f na˜o tem nenhum zero diferente de a
enta˜o na˜o temos nada mais a demonstrar. Se f tiver outro zero b 6= a enta˜o 0 = f(b) = (b−a)kg(b)
e enta˜o g(b) = 0 .Como grg < n segue pela nossa hipo´tese de induc¸a˜o que o nu´mero de zeros de g
e´ menor ou igual ao grau de g e assim nu´mero de zeros contando multiplicidades de f e´ menor ou
igual a k + grg = k + n− k = n e o nosso corola´rio esta´ demonstrado.
No´s observamos que o u´ltimo corola´rio na˜o e´ verdade para ane´is de polioˆmios arbitra´rios. Por
exemplo x2 + 3x+ 2 tem 4 zeros em Z6.
Exemplo 5.2.5. Os zeros de xn−1 ∈ C[x] sa˜o wi com w = cos3600/n+isen3600/n e i = 1, 2, ..., n.
Para ver isto use a fo´rmula de Moivre. Pelo corola´rio anterior esses sa˜o os u´nicos zeros de xn − 1.
O nu´mero complexo w e´ chamado de raiz primitiva da unidade.
No´s terminamos esse cap´ıtulo apresentando uma aplicac¸a˜o teo´rica do algoritmo da divisa˜o mos-
trando que F [x] e Z sa˜o bem parecidos. Para isto vamos definir domı´nios de ideais principais.
Definic¸a˜o 5.2.6 (domı´nio de ideais principais). Um domı´nio de ideais principais (DIP) e´ um
domı´nio R no qual todo ideal tem a forma < a >= {ra | r ∈ R}
Teorema 5.2.7. Se F um corpo enta˜o F [x] e´ um DIP.
Demonstrac¸a˜o
Pelo teorema sabemos que F [x] e´ um domı´nio. Seja agora I um ideal de F [x]. Se I = 0 nada
a demonstrar. Suponha enta˜o que I 6= 0 e seja g o polinoˆmio de menor grau que pertence a I .
38 CAPI´TULO 5. ANE´IS DE POLINOˆMIOS
Vamos provar que I =< g >. Como g ∈ I, gF [x] ⊂ I e enta˜o < g >⊂ I. Tome h ∈ I. Pelo
algor´ıtmo da divisa˜o temos que existem q e r em F [x] tais que h = qg+ r com r = 0 ou grr < grg.
Temos que r = h − qg ∈ I e enta˜o pela escolha de g, r so´ pode ser 0. Logo g|h o que prova que
I ⊂< g > e portanto I =< g >.
O teorema acima mostra tambe´m como achar um gerador dos ideais de F [x]:
Teorema 5.2.8. Seja I um ideal de F [x] , F um corpo e g um elemento de F [x]. Enta˜o g gera I,
isto e´, I =< g > se e so´mente se g e´ um elemento na˜o nulo de grau mı´nimo em I.
Faremos agora uma aplicac¸a˜o desse teorema:
Exemplo 5.2.9. Considere o homo φ de R[x] em C dado por f(x) 7−→ f(i). Enta˜o x2 + 1 ∈ kerφ
e e´ claramente o polinoˆmio de menor grau em kerφ. Assim kerφ =< x2 + 1 > e R[x]
<x2+1>
≈ C pelo
TFH.
Observe que na˜o temos unicidade no gerador de um ideal I de F [x], mas podemos determinar
as relac¸o˜es entre geradores de um ideal na˜o nulo de um domı´nio D. Com efeito, suponha que
I =< g >=< g1 >. Assim g|g1 e g1|g. Logo g = g1.h1 e g1 = g.h onde h1 e h esta˜o em D..
Substituindo as duas expresso˜es temos g = g.h.h1 , g(1− hh1) = 0 e como estamos num domı´nio,
g = 0 ou h1.h = 1, isto e´, g e g1 diferem por unidades. Dizemos neste caso que g e g1 sa˜o associados.
Exemplo 5.2.10. < x2 + 1 >=< 2(x2 + 1) >=< 1
3
(x2 + 1) > em R[x].
< 3 >=< −3 > em Z.
< 2x2 + 6x+ 2 >=< x2 + 3x+ 1 > em Q[x]
< x+ i >=< ix− 1 > em C[x].
5.3. LISTA DE EXERCI´CIOS DO CAPI´TULO 5 39
5.3 Lista de exerc´ıcios do Cap´ıtulo 5
1. Seja R um anel comutativo. Mostre que a caracter´ıstica de R[x] e´ igual a` caracter´ıstica de R.
2. Se φ : R −→ S um homomorfismo de ane´is, defina φ¯ : R[x] −→ S[x] por φ¯(anxn + ...+ a0) =
φ(an)x
n + ...+ φ(a0). Mostre que φ¯ e´ um homomorfismo de ane´is .
3. Seja f(x) = x3 + 2x+ 4 e g(x) = 3x+ 2 em Z5[x]. Determine o quociente e o resto da divisa˜o
de f(x) por g(x).
4. Mostre que o polinoˆmio 2x + 1 em Z4[x] tem inverso multiplicativo. Em Z[x] existem po-
linoˆmios na˜o constantes com inverso multiplicativo?
5. Prove que o ideal < x > em Z[x] e´ primo e na˜o maximal.
6. Prove que o ideal < x > em Q[x] e´ maximal.
7. Seja F um corpo infinito e f(x) ∈ F [x] Se f(a) = 0 para um nu´mero infinito de elementos a
de F , enta˜o f(x) = 0
8. Seja F um corpo infinito e f(x), g(x) ∈ F [x]. Se f(a) = g(a) para um nu´mero infinito de
elementos a de F , enta˜o f(x) = g(x).
9. Seja F um corpo e p(x) ∈ F [x]. Se f(x), g(x) ∈ F [x], gr f < gr p e gr g < gr p, mostre que
f(x)+ < p(x) >= g(x)+ < p(x) > implica que f(x) = g(x).
10. Se I e´ um ideal de um anel R, prove que o conjunto I[x] dos polinoˆmios de R[x] cujos
coeficientes esta˜o em I e´ um ideal de R[x]. Deˆ um exemplo de um anel comutativo R com
unidade e um ideal maximal I de R de modo que I[x] na˜o e´ um ideal maximal de R[x].
11. Seja R um anel comutativo com unidade. Se I e´ um ideal primo de R, prove que I[x] e´ um
ideal primo de R[x]
12. Prove que Q[x]
<x2−2> e´ isomorfo a Q[
√
2] = {a+ b√2|a, b ∈ Q}.
13. Prove que Z3[x]
<x2+1>
e´ isomorfo a Z3[i] = {a+ bi | a, b ∈ Z3}.
14. Seja f(x) ∈ R[x]. Suponha que f(a) = 0 e que f ′(a) 6= 0. Mostre que a e´ um zero de f(x) de
multiplicidade 1.
15. Seja f(x) ∈ R[x]. Suponha que f(a) = 0 e que f ′(a) = 0. Mostre que (x− a)2 divide f(x).
16. Seja R um anel comutativo com unidade e f(x) ∈ R[x]. Suponha que g(x) = bmxm+ ...+b0 ∈
R[x]
e bm seja invers´ıvel em R. Prove que o algor´ıtmo de divisa˜o existe para f e g, isto e´,
∃q(x), r(x) ∈ R[x] tais que f(x) = g(x)q(x) + r(x) com r(x) = 0 ou gr r(x) < gr g(x) .
Prove que temos tambe´m unicidade neste caso.
17. Sejam A um anel comutativo com unidade, f(x) ∈ A[x] e a ∈ A. Enta˜o f(a) = 0⇔ ∃t(x) ∈
A[x] tal que f(x) = (x− a)t(x).
40 CAPI´TULO 5. ANE´IS DE POLINOˆMIOS
18. Seja D um dom. e 0 6= f(x) ∈ D[x]. Enta˜o o nu´mero de ra´ızes de f(x) em D (contando
multiplicidades) e´ menor ou igual ao grau de f .
19. Se K e´ um corpo, K[x, y] = K[x][y] = anel de polinoˆmios em y com coeficientes em K[x]
(a) Mostre que K[x, y] e´ um domı´nio e na˜o e´ principal.
(b) Mostre que o ideal < x, y > e´ maximal em K[x, y].
Cap´ıtulo 6
Fatorac¸a˜o de polinoˆmios
6.1 Testes de redutibilidade
Como vimos no cap´ıtulo anterior, o anel de polinoˆmios K[x] com K corpo e´ bem parecido com o
anel dos inteiros. Temos tambe´m o ana´logo a nu´mero primo:
Definic¸a˜o 6.1.1 (pol. irredut´ıvel e redut´ıvel). Se D um domı´nio, um polinoˆmio f(x) ∈ D[x] e´
irredut´ıvel sobre D se
1. f 6= 0 e f na˜o e´ uma unidade de D[x].
2. Sempre que f = gh enta˜o g ou h e´ uma unidade de D[x].
Um polinoˆmio f ∈ D[x] e´ redut´ıvel se f na˜o e´ nulo nem uma unidade de D[x] e se f na˜o for
irredut´ıvel.
Antes de darmos exemplos de irredut´ıveis precisamos saber quais sa˜o as unidades de D[x], ou
seja, quais sa˜o os elementos invers´ıveis de D[x].
Sabemos que D[x] e´ um domı´nio e enta˜o vale que gr(f.g) = grf + grg. Seja f uma unidade
de D[x]. Enta˜o existe um g ∈ D[x] tal que f.g = 1. Aplicando o grau , temos que grf + grg = 0.
Assim grf = grg = 0, f, g ∈ D e f.g = 1 provando assim que f e g sa˜o unidades de D e acabamos
de provar o teorema:
Teorema 6.1.2. Os elementos invers´ıveis de D[x], onde D e´ um domı´nio, sa˜o as unidades de D.
Exemplo 6.1.3. Vamos calcular o conjunto das unidades de alguns ane´is de polinoˆmios
1. U(Z[x]) = {−1, 1}.
2. U(R[x]) = R− {0}.
3. U(K[x]) = K − {0} se

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