Álgebra - Notas para um Curso de Álgebra Abstrata I (Em Espanhol) (Universidade dos Andes)

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Notas para un curso de A´lgebra
Abstracta I
Camilo Sanabria y Mario Valencia-Pabon
Universidad de los Andes
Departamento de Matema´ticas
Bogota´ - Colombia.
II
I´ndice general
1. Grupos 1
1.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Tabla de operacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4. Grupos C´ıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5. Grupos generados y producto directo . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6. Grupos de permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7. Coconjuntos y el Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . 14
2. Homomorfismos 17
2.1. Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2. Propiedades de Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3. Subgrupos normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4. Isomorfismos y el Teorema de Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5. Grupo Factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6. Teorema Fundamental del Homomorfismo . . . . . . . . . . . . . 23
2.7. Ca´lculo de Grupo Factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.8. Grupos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.9. El centro y el conmutador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3. Conjugacio´n 33
3.1. Elementos y subgrupos conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2. An para n ≥ 5 es simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4. Accio´n de grupo sobre un conjunto 37
4.1. G-conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2. Subgrupo estabilizador y o´rbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3. La fo´rmula de Burnside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
IV I´NDICE GENERAL
5. Teoremas de Isomorfismos y Series de Grupos 43
5.1. Teoremas de Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2. Series de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.3. Cadena Central Ascendente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6. Teoremas de Sylow y Grupos libres 53
6.1. Teoremas de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.2. Aplicaciones de la teor´ıa de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.3. Grupos abelianos libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.4. Teorema fundamental de los grupos abelianos . . . . . . . . . . . 59
6.5. Grupos libres y representaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
I´ndice de figuras
1.1. Subgrupos de Z8 y de Z12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. transformaciones del cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3. ret´ıculo de subgrupos de D4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1. Fibras y Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. Teorema Fundamental del Homomorfismo . . . . . . . . . . . . . 24
4.1. Rotaciones del cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1. Primer Teorema de Isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2. Tercer Teorema de Isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.3. Lema de la Mariposa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.4. Teorema de Schreier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.1. Grupo abeliano libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2. Grupo libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
VI I´NDICE DE FIGURAS
Cap´ıtulo 1
Grupos
1.1. Grupos
1.1 Definicio´n (Grupo): Una estructura < G, ·, e >, que consta de un
conjunto G, una operacio´n binaria ·, y un elemento distintivo e, es un grupo,
si satisface los siguientes axiomas:
G1: · es asociativa
∀x, y, z ∈ G(x · (y · z) = (x · y) · z)
G2: e es neutro en ·
∀x ∈ G(x · e = x ∧ e · x = x)
G3: existencia de inversa
∀x ∈ G ∃y ∈ G(x · y = e ∧ y · x = e)
Teorema 1.2 (Unicidad del neutro y de las inversas) Sea < G, ·, e > un
grupo, entonces:
i) Si e′ es tal que para todo x ∈ G, x · e′ = e′ · x = x, entonces e′ = e.
ii) Dado un x ∈ G, si y, y′ ∈ G son tales que x · y = y · x = e = x · y′ = y′ · x,
entonces y′ = y.
Demostracio´n: Por hipo´tesis e · e′ = e y por G2, e · e′ = e′, luego e = e′.
Por hipo´tesis x · y′ = e y por G2, y = y · e, luego y = y · (x · y′), as´ı por G1,
y = (y · x) · y′, pero y · x = e por hipo´tesis, entonces por G2 y = y′. F
1.3 Notacio´n y observacio´n. En general, a < G, ·, e >, la denotaremos
simplemente G, excepto cuando se deba especificar para evitar confusiones. Si
no especificamos un nombre diferente para el elemento distintivo, lo denotaremos
2 Cap´ıtulo 1. Grupos
e. A x · y, lo denotaremos xy, cuando sea claro el contexto, adema´s dado que la
operacio´n binaria es asociativa, x(yz) o´ (xy)z lo denotaremos xyz.
Por otro lado el teorema anterior, justifica la siguiente definicio´n.
1.4 Definicio´n (el neutro, la inversa) y notacio´n: Sea < G, ·, e > un
grupo,
i) a e lo llamamos el elemento neutro o la identidad.
ii) Dado g ∈ G, al elemento g′ ∈ G tal que gg′ = g′g = e, lo llamamos la
inversa, o el inverso, de g,y lo notamos g−1.
1.5 Ejemplos: Las siguientes estructuras son grupos, cuya demostracio´n se
deja al lector.
i) < Z,+, 0 >, < Q,+, 0 >, < R,+, 0 >, < C,+, 0 >.
ii) < Q∗, ·, 1 >, < R∗, ·, 1 >, < C∗, ·, 1 >.
iii) < Zn,+n, [0]=n >, donde a =n b si n|a− b y Zn = Z/ =n.
iu) < GLn(R), ·, In >, donde GLn(R) es el conjunto de matrices invertibles
de dimensio´n n× n.
u) < S1, ·, 1 >, donde S1 = {z ∈ C : |z| = 1}.
ui) Si V es un espacio vectorial, el conjunto de las transformaciones lineales
uno a uno, con la composicio´n como la operacio´n y la identidad como el
neutro.
Teorema 1.6 (ley cancelativa) Sea G un grupo. Si x, y, z ∈ G son tales que
xz = yz, entonces x = y.
Demostracio´n: Si xz = yz, entonces x = xe = (xz)z−1 = (yz)z−1 = ye = y. F
1.7 Notacio´n y observacio´n. Si x ∈ G y n ∈ N, notamos:
xn =
{
e si n = 0
x · xn−1 de lo contrario
Dado que xn(x−1)n = xn(xn)−1 = e, entonces extendemos la notacio´n a todo Z
con x−n = (x−1)n. Cuando la operacio´n se denote aditiva (ver ejemplo 1.5 i)),
notaremos xn por nx, y x−1 por −x.
Observe que xnxm = xn+m, para todo n,m ∈ Z, pero (xy)n no es necesaria-
mente igual a xnyn, por ejemplo:
Teorema 1.8 (xy)−1 = y−1x−1
Demostracio´n: (xy)(y−1x−1) = e. F
Subgrupos 3
1.9 Posiblemente ya se habra´ dado cuenta de cual es la condicio´n para que
(xy)n = xnyn para todo x, y ∈ G. En honor al noruego Niels Henrik Abel
(1802-1829):
1.10 Definicio´n (Grupo abeliano): Un grupo G, en el cual la operacio´n
sea conmutativa (i.e. ∀a, b ∈ G(ab = ba)), se dice abeliano.
1.11 En el ejemplo 1.5, los grupo de i), ii), iii) y u) son abelianos, los de iu)
y u) no lo son. Si V = Rn estos dos u´ltimos grupos son bastante parecidos (ya
formalizaremos eso).
1.12 Ejercicios:
1. Pruebe que si G es un grupo finito con identidad e y con un numero par de
elementos, entonces existe un elemento a ∈ G, con a 6= e, tal que a2 = e.
2. Pruebe que todo grupo G con identidad e y tal que a2 = e para todo
a ∈ G, es abeliano.
3. Sea G un grupo finito y sea x un elemento de G cuyo orden es n, donde n
es impar. Pruebe que existe k ∈ N tal que x = (x2)k.
1.2. Subgrupos
1.13 Definicio´n (Subgrupo):Si < G, ·, e > es un grupo, diremos que
< H, •, e′ > es un subgrupo de G, y lo notaremos H ≤ G, si:
i) H ⊆ G
ii) < H, •, e′ > es grupo
iii) • = · �H×H
1.14 Observacio´n a la definicio´n 1.13. Sea H ≤ G y h ∈ H , como h =
h•e′ = h ·e′, y h = h ·e entonces por la ley cancelativa, e = e′. As´ı un subgrupo
esta un´ıvocamente determinado por el conjuntoH , pues la identidad es la misma
que en G y la operacio´n es la restriccio´n. Esto justifica nuestra notacio´n H ≤ G.
Por otro lado < {e}, · �{e}×{e}, e > es subgrupo de G.
1.15 Definicio´n (Grupo trivial, subgrupo propio)
i) Al grupo < {e}, ·, e >, lo llamamos grupo trivial.
ii) Si H ≤ G y H 6= G, decimos que H es subgrupo propio de G, y lo
notamos H < G.
1.16 Cada grupo de 1.5 i) es subgrupo del siguiente. Lo mismo sucede en
1.5 ii). Demostrar que un grupo es subgrupo de otro puede ser bastante en-
gorroso bajo nuestra definicio´n, afortunadamente existen caracterizaciones ma´s
adecuadas para esto:
4 Cap´ıtulo 1. Grupos
Teorema 1.17 Sea < G, ·, e > un grupo. Las siguientes afirmaciones son equi-
valentes:
i) H ≤ G
ii) H no es vac´ıo, es cerrado mediante la operacio´n de G, y mediante inver-
sio´n. Esto es:
H 6= ∅, ∀x, y ∈ H(xy ∈ H), ∀x ∈ H(x−1 ∈ H)
iii) H 6= ∅, ∀x, y ∈ H(xy−1 ∈ H)
Demostracio´n:
i) ⇒ ii): Como H ≤ G, e ∈ H luego H no es vac´ıo. Las otras dos condiciones
se siguen inmediatamente del hecho que H sea grupo y que la operacio´n en H
es la restriccio´n de la G.
ii) ⇒ iii): Si x, y ∈ H , y−1 ∈ H luego xy−1 ∈ H .
iii) ⇒ i): Tomemos • = · �H×H , veamos que • es una operacio´n binaria en
H . Sea x ∈ H , el cual existe pues H no es vac´ıo. Entonces e = x · x−1 ∈ H , y
as´ı x−1 = e·x−1 ∈ H . Luego si x, y ∈ H , y−1 ∈ H y x•y = x·y = x·(y−1)−1 ∈ H ,
entonces • es una operacio´n binaria en H , as´ı se cumple G1. Adema´s, e ∈ H y
tambie´n se cumple G2 pues • = · �H×H . Por esto u´ltimo vemos tambie´n que se
cumple G3 pues dado x ∈ H , x−1 ∈ H . F
1.3. Tabla de operacio´n
1.18 Dado un grupoG finito podemos representar completamente la operacio´n
gracias a una tabla, al igual que sol´ıamos hacer tablas de multiplicacio´n en
los nu´meros naturales. Esto es, en la primera entrada (la superior izquierda),
ponemos el signo de la operacio´n, en el resto de la primera columna de la tabla
ponemos los elementos de G y hacemos lo mismo, y en el mismo orden, en la
primera fila. Luego llenamos el resto de la tabla como indica la operacio´n.
Por el axioma G3 sabemos que en cada fila debe aparecer e una vez, y por la
unicidad de la inversa, una u´nica vez. Segu´n la ley cancelativa, lo mismo sucede
con cada elemento. Este mismo feno´meno se repite con las columnas. Si el grupo
es abeliano la tabla sera´ sime´trica. Estas pautas nos permiten generar grupos
nuevos (ver el cuadro 1.3).
Z4
+4 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
4-grupo de Klein V
· e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e
Cuadro 1.1: Los dos u´nicos grupos de cuatro elementos
Grupos C´ıclicos 5
1.4. Grupos C´ıclicos
1.19 Definicio´n (Orden de un grupo, orden de un elemento):
i) el orden de un grupo G, que notamos ord(G) (o simplemente |G|), es el
nu´mero de elementos de G, si G es infinito notamos ord(G) = +∞,
ii) el orden de un elemento g ∈ G, que notamos ord(g), es el mı´nimo n ∈ N∗
tal que gn = e. Si dicho n no existe notamos ord(g) = +∞.
Lema 1.20 Si am = e, ord(a) | m.
Demostracio´n: Sea n = ord(a). Por definicio´n, n es el menor entero positivo
tal que an = e y por lo tanto m ≥ n. Usando el algoritmo de la divisio´n,
podemos escribir a m como m = qn + r, donde q ≥ 1 y 0 ≤ r < n. Ahora,
e = am = aqn+r = (an)qar = eqar = ar. Si r 6= 0, entonces se tiene una
contradiccio´n a la minimalidad de n. Luego r = 0 y as´ı n | m. F
Teorema 1.21 Sea a ∈ G, y H = {an}n∈Z. Entonces H ≤ G y ord(H) =
ord(a).
Demostracio´n: Como e = a0 ∈ H , anam = an+m ∈ H y (an)−1 = a−n, por el
teorema 1.17, H ≤ G.
Suponga que ord(a) = +∞. Si i, j ∈ Z con i ≤ j son tales que ai = aj , aj−i = e
luego j − i = 0. Entonces si i 6= j, ai 6= aj , luego ord(H) = +∞.
Ahora sea n = ord(a). Si i, j ∈ {0, 1, . . . , n−1} con i ≤ j, son tales que ai = aj ,
por el lema anterior n|j − i, luego j − i = 0, esto es i = j. Entonces n ≤ |H |. Y
si m ≥ n, y m = qn+ r, con 0 ≤ r < n, am = ar, luego |H | = n. F
1.22 Definicio´n (Grupo generado por un elemento, grupo c´ıclico):
Sea G un grupo.
i) Dado a ∈ G, llamamos a {an}n∈Z, el grupo generado por a, y lo notamos
< a >.
ii) Decimos que G es c´ıclico si es un grupo generado por un elemento.
1.23 Ejemplos.
i) Z =< 1 >, es un grupo c´ıclico de orden infinito.
ii) Zn =< 1 >, es un grupo c´ıclico de orden n.
Ya veremos que todo grupo c´ıclico tiene esta forma.
1.24 Ahora nos interesaremos en la estructura de los grupos c´ıclicos, esto
es, estudiaremos como son sus subgrupos. Estos grupos, fuera de tener una
estructura bastante visualisable e intuitiva, son supremamente importantes.
Teorema 1.25 Todo grupo c´ıclico es abeliano.
6 Cap´ıtulo 1. Grupos
Demostracio´n: Sea G =< a >. As´ı dos elementos elementos arbitrarios en G,
son de la forma am, y an, con m,n ∈ Z. Pero como vimos en 1.7, aman =
am+n = anam. Luego G es abeliano. F
Teorema 1.26 Un subgrupo de un grupo c´ıclico es c´ıclico.
Demostracio´n: Sea G =< a > y H ≤ G. Si H es el grupo trivial, H =< e >, es
c´ıclico. Suponga que H no es trivial, es decir, H contiene al menos un elemento
diferente de e. Como H ≤ G y G =< a >, entonces todos los elementos de H
son potencias de a. Sea m el menor entero positivo tal que am ∈ H . Se probara
entonces que b = am genera H , es decir, H =< b >. Para ello, tomemos un
elemento arbitrario c ∈ H y probemos que c es una potencia de b. Como c ∈ H ,
H ≤ G y G =< a >, entonces c = an para algu´n n entero positivo. Por la
minimalidad de m, podemos usar el algoritmo de la divisio´n, y escribir n como
n = qm + r, donde q > 0 y 0 ≤ r < m. Entonces, an = aqm+r = (am)qar.
Por lo tanto, como an ∈ H y (am)−q ∈ H puesto que am ∈ H , entonces,
ar = (am)−qan ∈ H , puesto que H es grupo. Si r 6= 0, entonces se tiene una
contradiccio´n a la minimalidad de m. Por lo tanto, r = 0, y n = qm, obteniendo
si que c = an = aqm = (am)q = bq, es decir, c es una potencia de b, lo cual
implica que H =< b > y por lo tanto H es c´ıclico. F
Corolario 1.27 Si G =< a > es de orden infinito todo subgrupo de G es de
orden infinito.
1.28 Observacio´n. Todo subgrupo de Z es de la forma < n >= nZ = {nk :
k ∈ Z}, para algu´n n. Aqu´ı usamos la notacio´n aditiva.
Teorema 1.29 Sea G =< a > de orden n. Entonces:
i) Si s | n, entonces < as >= {e, as, a2s, . . . , a
n−1
s s} tiene taman˜o n/s.
ii) Todo subgrupo de G es de la forma < ar >, con r ∈ Z, | < ar > | = n(n,r)
y < ar >=< a(n,r) >.
iii) Todo subgrupo de G es de la forma < as > donde s | n.
iu) El orden de todo subgrupo de G divide el orden de G.
u) Por cada divisor s de n, existe exactamente un subgrupo de G de taman˜o
s, que es < a
n
s >.
ui) si H,K ≤ G entonces, H ≤ K si y so´lo si |H | | |K|.
Demostracio´n: Note que una vez probado ii); i), iii) y iu) son consecuencias
inmediatas, tomando s = (n, r) y recordando el teorema 1.21.
Probemos entonces ii). Ya vimos en el teorema 1.26 que todo subgrupo, de G
es de la forma < ar >. Ahora sea s = (n, r), entonces existe q tal que r = qs.
As´ı ar = (as)q , luego < ar >≤< as >. Por otro lado existen u, v ∈ Z tales que
un+ vr = s luego as = (an)u(ar)v = (ar)v , y as´ı < as >≤< ar >. Es claro que
Grupos C´ıclicos 7
enunciado de i) que | < a(n,r) > | = n(n,r)
Probemos ahora la unicidad que se afirma en u). Por lo que acabamos de ver
si s | n, (n, n/s) = n/s y as´ı | < a
n
s > | = nn/s = s. Ahora, si < a
r > es un
subgrupo de G de orden s, entonces por ii) s = n/(n, r), luego (n, r) = n/s y
as´ı, < ar >=< a
n
s >.
Finalmente veamos ui). Suponga que K=< ak > y H =< ah > con k, h
divisores de n, suponsicio´n valida en vista de u). As´ı si H ≤ K por iu), poniendo
K como G, |H | | |K|. Ahora, si |H | | |K|. existe q tal que ord(ah)q = ord(ak),
pero por u), ord(ah) = n/h y ord(ak) = n/k, luego kq = h, as´ı (ak)q = ah,
entonces < ah >≤< ak >. F
1.30 Observacio´nes.
i) Dado un grupo G, como todo grupo tiene por subgrupo el trivial, pode-
mos representar sus cadenas de subgrupos por un ret´ıculo (i.e. lattice, en
ingle´s).
ii) El resultado 1.29 iu) se pueden generalizar a todos los grupos de orden
finito como se vera en el Teorema de Lagrange. Con el teorema anterior
quedan completamente caracterizados los grupos c´ıclicos (ver figura 1.1),
en este momento el lector ya se puede hacer la idea de porque todo grupo
c´ıclico es de la forma de Z, o de Zn.
PSfrag replacements
Z8
< 2 >
< 4 >
{0}
Z12
< 3 > < 2 >
< 6 > < 4 >
{0}
Figura 1.1: Subgrupos de Z8 y de Z12
1.31 Ejercicios:
1. Pruebe que si H y K son subgrupos de un grupo abeliano G, entonces
HK = {hk : n ∈ H y k ∈ K} es un subgrupo de G.
2. Pruebe que un grupo c´ıclico con u´nicamente un generador puede tener a
los sumo dos elementos.
3. Pruebe que si G es un grupo abeliano con identidad e, entonces todos los
elementos x ∈ G tales que x2 = e forman un subgrupo de G. Generalice
al caso donde n ≥ 1 es un entero fijo y H = {x ∈ G : xn = e}.
8 Cap´ıtulo 1. Grupos
4. Sea G un grupo y sea a un elemento de fijo de G. Pruebe que Ha = {x ∈
G : xa = ax} es un subgrupo de G. Sea S ⊆ G, y sea HS = {x ∈ G :
xs = sx para todo s ∈ S}. Pruebe que HS ≤ G. Si S = G, entonces HG
es llamado el centro de G. Pruebe que HG es un grupo abeliano.
5. Pruebe que un grupo sin subgrupos propios no triviales es c´ıclico.
6. Pruebe que un grupo que tiene un numero finito de subgrupos es finito.
7. Pruebe que Zp no tiene subgrupos propios no triviales si p es primo.
8. Sea G un grupo abeliano y sean H y K subgrupos c´ıclicos finitos con
|H | = r y |K| = s.
(a) Pruebe que si (r, s) = 1, entonces G contiene un subgrupo c´ıclico de
orden rs.
(b) Pruebe que G contiene un subgrupo c´ıclico de orden [r, s] (recuerde
que [r, s] denota al ma´ximo comu´n mu´ltiplo de r y s).
1.5. Grupos generados y producto directo
1.32 Dado que los subgrupos de un grupo forman un ret´ıculo, podemos buscar
los mı´nimos subgrupos, en la relacio´n ser subgrupo, que contienen un subcon-
junto de los elementos del grupo.
Teorema 1.33 Sea {Hi}i∈J una coleccio´n indexada de subgrupos de G, enton-
ces: ⋂
i∈J
Hi ≤ G
Demostracio´n: Como cada Hi contiene e,
⋂
i∈J Hi 6= ∅. Ahora sean x, y ∈⋂
i∈J Hi, como y ∈ Hi, y
−1 ∈ Hi, para cada i ∈ J . As´ı xy−1 ∈ Hi, para
todo i ∈ J , esto es xy−1 ∈
⋂
i∈J Hi, luego por el teorema 1.17
⋂
i∈J Hi ≤ G. F
Corolario 1.34 Sea A ⊆ G, con A 6= ∅ y H = {H ≤ G : A ⊆ H}. Entonces⋂
H∈HH ≤ G.
Teorema 1.35 Sea A ⊆ G, con A 6= ∅ y H = {H ≤ G : A ⊆ H}. Si HA ∈ H
es tal que, si H ∈ H, HA ≤ H entonces HA =
⋂
H∈HH ≤ G.
Demostracio´n: Esto es trivial, pues HA ∈ H, luego
⋂
H∈H H ⊆ HA. Por otro
lado como A ⊆
⋂
H∈HH , entonces
⋂
H∈H H ∈ H as´ı HA ≤
⋂
H∈HH , y HA =⋂
H∈HH ≤ G. F
1.36 Observacio´n. Los dos teoremas anteriores justifican nuestra pro´xima
definicio´n, el teorema que le sigue la explica. Note como se extiende el concepto
de 1.22
1.37 Definicio´n (grupo generado, grupo finitamente generado):
Grupos generados y producto directo 9
i) Dado A ⊆ G, con A 6= ∅. Al mı´nimo subgrupo que contiene A lo llamamos
el grupo generado por A, y lo notamos < A >.
ii) Decimos que un grupo G es finitamente generado si G =< A > para
algu´n A ⊂ G finito.
Teorema 1.38 Dado A ⊆ G, < A >= {am11 a
m2
2 . . . a
mn
n : ai ∈ A,mi ∈ Z}.
Demostracio´n: Sea HA = {a
m1
1 a
m2
2 . . . a
mn
n : ai ∈ A,mi ∈ Z}. Como A 6=
∅, HA 6= ∅. Si x, y ∈ HA, x = a
m1
1 a
m2
2 . . . a
mn
n e y = b
p1
1 b
p2
2 . . . b
pq
q , para
algunos ai, bj ∈ A y mi, pi ∈ Z. As´ı, y−1 = b
−pq
q . . . b
q2
2 b
q1
1 , luego xy
−1 =
am11 a
m2
2 . . . a
mn
n b
−pq
q . . . b
−q2
2 b
−q1
1 ∈ HA. EntoncesHA ≤ G. Ahora comoA ⊆ HA,
< A >≤ HA. Por otro lado un elemento arbitrario de HA es de la forma de
x, pero cada ai ∈ A, luego como un subgrupo es cerrado por multiplicacio´n,
x ∈< A >. As´ı HA ⊆< A > y HA =< A >. F
Teorema 1.39 Sea {Gi}i∈{1,2,...,n} una coleccio´n de grupos. G1×G2× . . .×Gn
bajo la operacio´n ((x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , yn)) 7→ (x1y1, x2y2, . . . , xnyn) es
un grupo.
Demostracio´n: La operacio´n es asociativa, pues la operacio´n de cada Gi lo es.
Si ei es el neutro de Gi, (e1, e2, . . . , en) es el neutro para nuestra operacio´n. Fi-
nalmente (x1, x2, . . . , xn)(x
−1
1 , x
−1
2 , . . . , x
−1
n ) = (e1, e2, . . . , en), luego cada ele-
mento tiene inversa. Esto completa la demostracio´n. F
1.40 Definicio´n (Producto directo): Dada {Gi}i∈{1,2,...,n} una coleccio´n
de grupos. Al grupo G1 ×G2 × . . .×Gn bajo la operacio´n:
((x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , yn)) 7→ (x1y1, x2y2, . . . , xnyn)
lo llamamos el producto directo (externo) de G1, G2, . . . , Gn.
1.41 Cuando dec´ıamos que dos grupos tienen la misma forma, formalmente
nos refer´ıamos a lo siguiente (a esto volveremos luego con ma´s detalle):
1.42 Definicio´n (Isomorfismo, isomorfo): Sean < G, ·, e >, < G′, •, e′ >
dos grupos dados. Una biyeccio´n φ : G → G′ es un isomorfismo si φ(x · y) =
φ(x) • φ(y), para todo x, y ∈ G. Dos grupos se dicen isomorfos si existe un
isomorfismo entre ellos.
1.43 Ejemplo: φ : R → R∗+ definida por φ(x) = e
x, es un isomorfismo entre
< R,+, 0 > y < R∗+, ·, 1 > pues e
x+y = exey.
Teorema 1.44 Sea G =< a >. Si ord(G) = +∞, G es isomorfo a Z, si
ord(G) = n, G es isomorfo a Zn.
Demostracio´n: Si ord(G) = +∞, defina φ : Z → G, por φ(k) = ak y si ord(G) =
n, defina φ : Zn → G, por φ(k) = ak. Es claro que φ es sobreyectiva, ahora
si φ(m1) = φ(m2), entonces a
m1−m2 = e. As´ı si +∞ = ord(G) = ord(a),
m1 −m2 = 0 o´ m1 = m2. Si n = ord(a), por el lema 1.20, n | m1 −m2 luego
m1 = m2. De esto concluimos que φ es biyectiva. Finalmente como a
k1ak2 =
ak1+k2 , φ es isomorfismo. F
10 Cap´ıtulo 1. Grupos
Teorema 1.45 Sean m,n ∈ Z. Existe un isomorfismo entre Zm×Zn y Zmn si
y solo si (m,n) = 1.
Demostracio´n: Por el teorema 1.44, basta ver que Zm × Zn es c´ıclico de orden
mn si y so´lo si (m,n) = 1. Suponga primero (m,n) = 1 y sea k = ord((1, 1)).
As´ı (1, 1)k = (0, 0) luego m | k y n | k pero si k′ ∈ Z es tal que m | k′ y n | k′,
(1, 1)k
′
= (0, 0) luego k es el mı´nimo comu´n mu´ltiplo de m y n, este es mn.
Entonces Zm × Zn =< (1, 1) >
Ahora suponga que Zm × Zn es c´ıclico de orden mn con Zm × Zn =< (a, b) >.
Entonces en particular Zm =< a > y Zn =< b >. As´ı, si k es el mı´nimo comu´n
mu´ltiplo de m y n, (a, b)k = (0, 0) luego por el lema 1.20, mn | k. As´ı k = mn
y (m,n) = 1. F
Corolario 1.46 Zm1 × Zm2 × . . .× Zmn es isomorfo a Zm1m2...mn si y so´lo si
(m1,m2, . . . ,mn) = 1
1.47 Los grupos abelianos finitamente generados tienen una estructura par-
ticular. El siguiente teorema los caracteriza y nos dice que los Zpn , con p primo,
son como los ladrillos para construirlos. Su demostracio´n la pospondremos para
cuando tengamos un poco ma´s de experiencia, y esta nos parezca ma´s natu-
ral. Dicho teorema se conoce como el Teorema Fundamental de los grupos
abelianos finitamente generados, y al cual nos referiremos como al teorema
TFGAFG por comodidad.
Teorema 1.48 (TFGAFG) Todo grupo abeliano finitamente generado es iso-
morfo a un u´nico grupo de la forma Zpr1
1
× Zpr2
2
× . . . × Zprnn × Z × . . . × Z,
con los pi, para i ∈ {1, . . . , n}, primos tales que pi ≤ pi+1, y los ri naturales no
nulos tales que ri ≤ ri+1 si pi = pi+1.
1.49 Ejemplos:
i) Si
∏n
i=1 p
ri
i es la expresio´n de m en potencias de primoscon pi < pi+1,
Zm es isomorfo a
∏n
i=1 Zprii
.
ii) El 4-grupo de Klein V es isomorfo a Z2 × Z2.
1.50 Ejercicios:
1. Encuentre el orden del elemento (3, 10, 9) en el grupo Z4 × Z12 × Z15.
2. Pruebe que un grupo abeliano finito no es c´ıclico si y solo si este contiene
un subgrupo isomorfo a Zp × Zp para algu´n primo p.
3. Pruebe que si un grupo abeliano finito tiene orden una potencia de un
primo p, entonces el orden de cada elemento en el grupo es una potencia
de p.
4. Sean G, H , y K grupos abelianos finitamente generados. Pruebe que si
G×K es isomorfo a H ×K, entonces G es isomorfo a H .
Grupos de permutaciones 11
1.6. Grupos de permutaciones
1.51 Definicio´n (Permutacio´n): Sea A un conjunto. Una permutacio´n
de A es una funcio´n biyectiva de A en A. Al conjunto de las permutaciones de
A lo notamos SA. Si A = {1, 2, . . . , n}, SA lo notamos Sn.
1.52 Observacio´nes.
i) |Sn| = n!
ii) La composicio´n de dos permutaciones es una permutacio´n. La identidad
es una permutacio´n y la inversa de un permutacio´n es una permutacio´n.
En resumen, se tiene lo siguiente:
1.53 Definicio´n (Grupo de Permutacio´n). Sea A un conjunto. Al grupo
< SA, ◦, id >, donde ◦ es la composicio´n, lo llamamos el grupo de permuta-
ciones de A.
Teorema 1.54 Si A = {ai}i∈{1,...,n}, SA y Sn son isomorfos.
Demostracio´n: Defina φ : Sn → SA por φ(τ) : τ(i) 7→ aτ(i). Sea α ∈ SA y
defina σ : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} por σ(i) = j si α(ai) = aj . Como α es
una permutacio´n σ tambie´n y φ(σ) = α, luego φ es sobreyectiva. Verificar que
tambie´n es inyectiva es pura rutina, as´ı que se lo dejamos al lector. Ahora:
φ(σ ◦ σ′)(ai) = aσ◦σ′(i) = φ(σ)(aσ′(i)) = φ(σ) ◦ φ(σ
′)(ai)
as´ı φ(σ ◦ σ′) = φ(σ) ◦ φ(σ). Luego φ es un isomorfismo. F
1.55 Notacio´n. A la permutacio´n σ ∈ Sn, la notamos
(
1 2 . . . n
σ(1) σ(2) . . . σ(n)
)
.
1.56 Ejemplo: S3 = {id, ρ, ρ2, σ, ρσ, ρ2σ} con id =
(
1 2 3
1 2 3
)
, ρ =
(
1 2 3
2 3 1
)
,
ρ2 =
(
1 2 3
3 1 2
)
, σ =
(
1 2 3
2 1 3
)
, ρσ =
(
1 2 3
3 2 1
)
, y ρ2σ =
(
1 2 3
1 3 2
)
. Note
que σρ = ρ2σ.
1.57 Definicio´n (Orbita): Sea σ ∈ SA y sea a ∈ A. Al conjunto {σk(a) :
k ∈ Z} lo llamamos la o´rbita de a segu´n σ.
Teorema 1.58 Sea σ ∈ SA. Las o´rbitas de σ forman una particio´n de A.
Demostracio´n: Defina en A la relacio´n ∼ por: a ∼ b si existe k ∈ Z tal que
σk(a) = b. As´ı a ∼ b si y so´lo si b esta en la o´rbita de a segu´n σ. Ahora σ0 = id
luego ∼ es reflexiva. Si b = σk(a), entonces a = σ−k(b), luego ∼ es sime´trica.
Ahora bien si b = σk1(a) y c = σk2(b), c = σk2+k1(a), luego ∼ es transitiva.
Ahora como ∼ es relacio´n de equivalencia, sus clases, que son las o´rbitas de σ
forman un particio´n de A. F
1.59 Definicio´n (Ciclo, transposicio´n):
12 Cap´ıtulo 1. Grupos
i) Una permutacio´n con a lo ma´s una o´rbita de ma´s de un elemento es un
ciclo. Si σ ∈ SA es un ciclo tal que la o´rbita con ma´s de un elemento es
{σi(a)}i∈{0,1,...,n−1}, notamos σ por (a σ(a) σ
2(a) . . . σn−1(a)), y decimos
que σ es un n-ciclo.
ii) Una transposicio´n es un 2-ciclo.
iii) Dos ciclos se dicen disyuntos si sus o´rbitas de ma´s de un elemento son
disyuntas.
1.60 Ejemplo. Continuando con 1.56, en S3, ρ = (1 2 3), ρ
2 = (1 3 2),
σ = (1 2), ρσ = (1 3) y ρ2σ = (2 3).
Lema 1.61 Todo n-ciclo se puede expresar como producto de n− 1 transposi-
ciones.
Demostracio´n: Sea σ ∈ SA un n-ciclo, con σ = (a1 a2 . . . an). Tenemos entonces
σ = (a1 an)(a1 an−1) . . . (a1a2). F
Teorema 1.62 Toda permutacio´n en Sn se puede escribir como producto ciclos
disyuntos.
Demostracio´n: Sea σ ∈ Sn, y {Oi}i∈{1,...,m} la coleccio´n de sus o´rbitas. Sea
σi ∈ Sn tal que σi(a) = σ(a) si a ∈ Oi y σi(a) = a de lo contrario. As´ı los σi son
ciclos disyuntos y σ =
∏
i∈{1,...,m} σi (observe que como los ciclos son disyuntos
no importa el orden en que los multipliquemos, por eso tenemos el derecho de
usar la productoria aunque el grupo no sea abeliano). F
Corolario 1.63 Toda permutacio´n en Sn, con n > 1, se puede expresar como
producto de transposiciones.
1.64 Veamos ahora que Sn se divide en dos clases disyuntas, las permutaciones
que son el producto de un nu´mero par de transposiciones, y las que son el
producto de un nu´mero impar.
1.65 Definicio´n (Signo) Sea σ ∈ Sn, el signo de σ que notamos sg(σ), esta
definido por:
sg(σ) =
∏
1≤i<j≤n
σ(i)− σ(j)
i− j
Lema 1.66 sg(σ) es 1 o´ −1.
Demostracio´n: si i − j aparece en el denominador, en el numerador aparece o
bien σ(σ−1(i))− σ(σ−1(j)), o bien σ(σ−1(j))− σ(σ−1(i)). F
Lema 1.67 sg(σρ) = sg(σ)sg(ρ).
Grupos de permutaciones 13
Demostracio´n:
sg(σρ) =
∏
1≤i<j≤n
σρ(i)− σρ(j)
i− j
·
ρ(i)− ρ(j)
ρ(i)− ρ(j)
=
∏
i≤i<j≤n
σρ(i)− σρ(j)
ρ(i)− ρ(j)
∏
i≤i<j≤n
ρ(i)− ρ(j)
i− j
= sg(σ)sg(ρ)
sg(σ) =
∏
i≤i<j≤n
σρ(i)−σρ(j)
ρ(i)−ρ(j) , pues
σρ(i)−σρ(j)
ρ(i)−ρ(j) =
σρ(j)−σρ(i)
ρ(j)−ρ(i) . F
1.68 Observacio´nes.
i) Si σ ∈ Sn es una transposicio´n, sg(σ) = −1.
ii) Si sg(σ) = sg(ρ) = 1, sg(σρ) = 1.
iii) sg(id) = 1, as´ı sg(σ−1) = sg(σ).
Teorema 1.69 Una permutacio´n en Sn es el producto de un nu´mero par de
transposiciones, o el producto de un nu´mero impar, pero no ambos.
Demostracio´n: Sea σ ∈ Sn, si σ es un producto par de transposiciones sg(σ) =
1, si σ es un producto impar de transposiciones sg(σ) = −1. Luego las dos
posibilidades son excluyentes. F
1.70 Definicio´n (permutacio´n par, permutacio´n impar, subgrupo Al-
ternador):
i) Una permutacio´n σ ∈ Sn es par si sg(σ) = 1, impar si sg(σ) = −1.
ii) El conjunto de las permutaciones pares de Sn es el grupo alternador (o
alternante), y lo notamos An.
1.71 Considere un pol´ıgono regular de n ve´rtices. Las rotaciones y las simetr´ıas
del pol´ıgono que caen sobre e´l mismo, al etiquetar cada ve´rtice con un nu´mero
del 1 al n, se pueden identificar naturalmente con un subgrupo de Sn de 2n
elementos (ver figura 1.2).
1.72 Definicio´n (Subgrupo diedral): Al subgrupo de Sn que se puede
identificar naturalmente con las rotaciones y simetr´ıas de un pol´ıgono regular
de n ve´rtices en si mismo, se le llama el grupo diedral y se nota Dn.
1.73 Ejemplo: D4 = {ρ0, ρ1, ρ2, ρ3, µ1, µ2, δ1, δ2}, donde ρ1 = (1 2 3 4),
µ1 = (1 2)(4 3), µ2 = (1 4)(2 3), δ1 = (1 3), δ2 = (2 4) y, para i ∈ {0, 2, 3}
ρi = ρ
i
1 (ver cuadro 1.6 y figura 1.3).
14 Cap´ıtulo 1. Grupos
1 4 22
34 3
1
2 3 4
1
PSfrag replacements
id
„
1 2 3 4
2 3 4 1
« „
1 2 3 4
2 1 4 3
«
Figura 1.2: transformaciones del cuadrado
◦ ρ0 ρ1 ρ2 ρ3 µ1 µ2 δ1 δ2
ρ0 ρ0 ρ1 ρ2 ρ3 µ1 µ2 δ1 δ2
ρ1 ρ1 ρ2 ρ3 ρ0 δ1 δ2 µ1 µ2
ρ2 ρ2 ρ3 ρ0 ρ1 µ2 µ1 δ2 δ1
ρ3 ρ3 ρ0 ρ1 ρ2 δ2 δ1 µ1 µ2
µ1 µ1 δ2 µ2 δ1 ρ0 ρ2 ρ3 ρ1
µ2 µ2 δ1 µ1 δ2 ρ2 ρ0 ρ1 ρ3
δ1 δ1 µ1 δ2 µ2 ρ1 ρ3 ρ0 ρ2
δ2 δ2 µ2 δ1 µ1 ρ3 ρ1 ρ2 ρ0
Cuadro 1.2: Tabla de operacio´n de D4
1.74 Ejercicios:
1. Pruebe que Sn no es un grupo abeliano para n ≥ 3.
2. Si A es un conjunto, entonces un subgrupo H de SA es transitivo sobre
A , si para cada a, b ∈ A existe σ ∈ H tal que σ(a) = b. Pruebe que si A
no es un conjunto vac´ıo, entonces existe un subgrupo finito c´ıclico K de
SA que es transitivo sobre A, tal que |H | = |A|.
3. Pruebe que para todo subgrupo H de Sn, con n ≥ 2, se cumple que todas
las permutaciones en H son pares o bien exactamente la mitad de ellas
son pares.
1.7. Coconjuntos y el Teorema de Lagrange
1.75 Definicio´n (Coconjunto): Sea H ≤ G. Definimos el coconjunto iz-
quierdo de H determinado por b, que notamos bH , por:
bH := {bh : h ∈ H}
, y el coconjunto derecho por Hb := {hb : h ∈ H}.
Teorema 1.76 Sea H ≤ G. Entonces:
i) {bH}b∈G es una particio´n de G.
Coconjuntos y el Teorema de Lagrange 15
PSfrag replacements
{ρ0}
{ρ0, µ1} {ρ0, µ2} {ρ0, ρ2} {ρ0, δ1} {ρ0, δ2}
{ρ0, ρ2, µ1, µ2} {ρ0, ρ1, ρ2, ρ3} {ρ0, ρ2, δ1, δ2}
D4
Figura1.3: ret´ıculo de subgrupos de D4
ii) Todos los coconjuntos izquierdos de H son equipotentes.
Un resultado similar se tiene para los coconjuntos derechos.
Demostracio´n: Defina en G la relacio´n ∼ por a ∼ b si a−1b ∈ H . Como e ∈ H ,
∼ es reflexiva. Si a−1b ∈ H , (a−1b)−1 = b−1a ∈ H , luego ∼ es sime´trica. Si
a−1b, b−1c ∈ H , a−1bb−1c = a−1c ∈ H , luego ∼ es transitiva. Entonces ∼ es
relacio´n de equivalencia. Suponga a ∈ [b]∼ esto equivale a b−1a = h para algu´n
h ∈ H , o´ a = bh que es lo mismo que a ∈ bH , luego [b]∼ = bH . Con esto
concluimos i).
Ahora defina f : H → bH por f(h) = bh. Es claro que f es sobreyectiva, la
inyectividad es consecuencia inmediata de 1.6. Luego f es un biyeccio´n y as´ı H
y bH son equipotentes.
Para los coconjuntos derechos considere: a ∼ b : ⇐⇒ ab−1 ∈ H . F
1.77 Definicio´n (Indice): Sea H ≤ G. Definimos el indice de H como
nu´mero de coconjuntos izquierdos de H .
1.78 Observacio´nes y notacio´n.
i) {bH}b∈G lo notamos G/H , {Hb}b∈G lo notamos H\G
ii) Al ı´ndice de H lo notamos (G : H). Si (G : H) es finito, entonces (G :
H) := |G/H |.
iii) Observe que |G/H | = |H\G|.
iu) Si a ∈ bH , entonces aH = bH . De igual forma, si a ∈ Hb, Ha = Hb.
Teorema 1.79 (Teorema de Lagrange) Sea G un grupo de orden finito. Si
H ≤ G, entonces |H | | |G|, ma´s au´n |G| = |H |(G : H).
16 Cap´ıtulo 1. Grupos
Demostracio´n: Por el teorema 1.76:
|G| =
∑
bH∈G/H |bH | =
∑
bH∈G/H |H | = (G : H)|H | F
1.80 Los coconjuntos son parte fundamental de la teor´ıa del a´lgebra, toca
entonces entenderlos y sentirlos. De esto se dara´ cuenta el lector a lo largo de
su estudio
1.81 Ejercicios:
1. Sean K ≤ H ≤ G grupos tales que (H : K) y (G : H) son finitos. Probar
que (G : K) = (H : K)(G : H).
2. Sean H y K dos subgrupos finitos de un grupo G. SeaHK un subconjunto
de G definido por HK = {hk : h ∈ H, k ∈ K}. Probar que |HK| = |H||K||H∩K| .
Cap´ıtulo 2
Homomorfismos
2.1. Homomorfismos
2.1 Definicio´n (homomorfismo): Sean G y G′ dos grupos. Una funcio´n
φ : G→ G′ es un homomorfismo si para todo a, b ∈ G se tiene que:
φ(ab) = φ(a)φ(b) (2.1)
2.2 Observaciones sobre definicio´n 2.1.
i) Note que en el lado izquierdo de (2.1) la operacio´n es la de G, mientras
que en el lado derecho la operacio´n es la de G′.
ii) Para todo par de grupos G,G′, existe al menos un homomorfismo φ : G→
G′, denominado el homomorfismo trivial definido por φ(g) = e′, para
todo g ∈ G, donde e′ es el elemento identidad en G′. Sin embargo, este
homomorfismo trivial no nos proporciona mucha informacio´n estructural
sobre G y G′.
2.3 Ejemplos:
i) Sea r ∈ Z y sea φr : Z → Z definido por φr(k) = rk, para todo k ∈ Z.
Entonces para todo m,n ∈ Z se tiene que φr(m + n) = r(m + n) =
rm + rn = φr(m) + φr(n). As´ı, φr es homomorfismo. Note que φ0 es el
homomorfismo trivial, φ1 es le funcio´n identidad, y φ−1 es una funcio´n
sobreyectiva de Z en Z. Para r 6= ±1, φr no es sobreyectiva.
ii) Sea G = G1×G2× . . .×Gi× . . .×Gn un producto directo de n grupos. La
funcio´n proyeccio´n pii : G→ Gi, definida por pii : (g1, . . . , gi, . . . , gn) = gi
es un homomorfismo para cada i ∈ {1, . . . , n}.
iii) Sea φ : Z → Zn dado por φ(m) = r, donde r es el residuo de la divisio´n
de m entre n.
18 Cap´ıtulo 2. Homomorfismos
2.2. Propiedades de Homomorfismos
2.4 Definicio´n (Imagen, rango, imagen inversa): Sea φ : X → Y una
funcio´n del conjunto X al conjunto Y . Sean A ⊆ X y B ⊆ Y .
i) La imagen φ[A] de A en Y bajo φ es el conjunto {φ(a) : a ∈ A}.
ii) El conjunto φ[X ] es el rango de φ.
iii) La imagen inversa φ−1[B] de B en X es el conjunto {x ∈ X : φ(x) ∈ B}.
Teorema 2.5 Sea φ : G→ G′ un homomorfismo de grupos. Entonces:
i) Si e es la identidad en G entonces φ(e) es la identidad e′ de G′.
ii) Si a ∈ G, entonces φ(a−1) = φ(a)−1.
iii) Si H es un subgrupo de G, entonces φ[H ] es un subgrupo de G′.
iv) Si K ′ es un subgrupo de G′, entonces φ−1[K ′] es un subgrupo de G.
Demostracio´n: Como a = ae, para todo a ∈ G, entonces φ(a) = φ(ae) =
φ(a)φ(e). Ahora multiplicando a ambos lados por φ(a)−1 a derecha, se tiene
que e′ = φ(e), que es lo que dice i).
Para ver ii), e′ = φ(e) = φ(aa−1) = φ(a)φ(a−1), y multiplicando a ambos lados
por φ(a)−1 a derecha se tiene φ(a)−1 = φ(a−1).
SeaH ≤ G y sean φ(a) y φ(b) dos elementos en φ[H ]. Entonces φ(a)φ(b) = φ(ab),
luego φ(a)φ(b) ∈ φ[H ] pues ab ∈ H , esto es φ[H ] es cerrado bajo operacio´n de
G′. Ahora, como e′ = φ(e) y φ(a)−1 = φ(a−1) entonces φ[H ] ≤ G′, verificando
iii).
Sea K ′ ≤ G′ y sean a, b ∈ φ−1[K ′]. Entonces φ(a)φ(b) ∈ K ′, puesto que K ′
es grupo. Ahora, la ecuacio´n (2.1) prueba que ab ∈ φ−1[K ′]. As´ı, φ−1[K ′] es
cerrado bajo la operacio´n de G. Adema´s, e′ ∈ K ′ luego como e′ = φ(e), entonces
e ∈ φ−1[{e′}] ⊆ φ−1[K ′]. Y finalmente si a ∈ φ−1[K ′], entonces φ(a) ∈ K ′ y
φ(a)−1 ∈ K ′. Pero φ(a)−1 = φ(a−1) y as´ı a−1 ∈ φ−1[K ′]. Lo que completa la
demostracio´n de iv). F
2.6 Definicio´n (Fibra): Sea φ : G → G′ un homomorfismo y sea a′ ∈ G′.
La imagen inversa φ−1[{a′}] es la fibra sobre a′ bajo φ. De ahora en adelante
notaremos φ−1[{a′}] por φ−1(a′).
2.7 Nota. Como {e′} es un subgrupo de G′, el teorema 2.5 muestra que
la fibra φ−1(e′) bajo un homomorfismo φ : G → G′ es un subgrupo de G.
Demostraremos a continuacio´n que las fibras de G bajo φ son los coconjuntos
del grupo φ−1(e′). As´ı las fibras de G bajo φ forman una particio´n de G (ver
figura 2.1).
Propiedades de Homomorfismos 19
PSfrag replacements
G
G′
e
e′
a
φ(a)
b
φ(b)
φ−1(x′)
x′
Ker(φ)
φ
Figura 2.1: Fibras y Kernel
2.8 Definicio´n (Kernel): Sea φ : G → G′ un homomorfismo, y e′ el neutro
en G. El kernel de φ es la fibra sobre e′ bajo φ, y lo notamos Ker(φ). Formal-
mente:
Ker(φ) := {g ∈ G : φ(g) = e′}
Teorema 2.9 Sean φ : G → G′ un homomorfismo, H = Ker(φ) y a ∈ G.
Entonces la fibra sobre φ(a) bajo φ es el coconjunto izquierdo aH de H, y es el
coconjunto derecho Ha de H. Como consecuencia, las dos particiones de G en
coconjuntos izquierdos y derechos de H son la misma.
Demostracio´n: Se desea probar que {g ∈ G : φ(g) = φ(a)} = aH .
Suponga que a, g ∈ G son tales que φ(g) = φ(a). Entonces φ(a)−1φ(g) = e′,
donde e′ es la identidad en G′. Por el teorema 2.5, sabemos que φ(a)−1 =
φ(a−1), y entonces se tiene φ(a−1)φ(g) = e′. Adema´s, como φ es homomorfis-
mo, φ(a−1)φ(g) = φ(a−1g), luego φ(a−1g) = e′. Esto es a−1g ∈ H , o a−1g = h,
para algu´n h ∈ H , luego g = ah ∈ aH . As´ı {g ∈ G : φ(g) = φ(a)} ⊆ aH .
Para comprobar la inclusio´n opuesta, considere g ∈ aH , entonces g = ah pa-
ra algu´n h ∈ H . Esto implica φ(g) = φ(ah) = φ(a)φ(h) = φ(a)e′ = φ(a).
As´ı g ∈ {g ∈ G : φ(g) = φ(a)}, luego aH ⊆ {g ∈ G : φ(g) = φ(a)}.
Una demostracio´n similar demuestra el mismo resultado para coconjuntos de-
rechos. F
Corolario 2.10 Un homomorfismo φ : G→ G′ es inyectivo si y so´lo si Ker(φ) =
{e}.
Demostracio´n: Suponga que Ker(φ) = {e}, entonces si a, g ∈ G son tales que
φ(a) = φ(g), g ∈ aKer(φ). Pero aKer(φ) = a{e} = {a}. Luego g = a.
Para demostrar la implicacio´n inversa, suponga que φ es inyectiva. Por el teore-
ma 2.5 φ(e) = e′, la identidad de G′. Pero φ es inyectiva, luego el u´nico elemento
enviado a e′ por φ es e, luego Ker(φ) = {e}. F
20 Cap´ıtulo 2. Homomorfismos
2.3. Subgrupos normales
2.11 Definicio´n (Subgrupo normal): Un subgrupo H de G es normal si
sus coconjuntos derechos e izquierdos coinciden, lo que notaremos por H C G.
Es decir:
H C G : ⇐⇒ ∀g ∈ G, gH = Hg
2.12 Observacio´n. Todo subgrupo de un grupo abeliano es normal.
Corolario 2.13 (al Teorema 2.9) Ker(φ) C G para cualquier homomorfis-
mo φ con dominio G.
Teorema 2.14 H C G ⇐⇒ ∀(h, g) ∈ H ×G, ghg−1 ∈ H
Demostracio´n: Suponga que H C G. Sea h ∈ H y g ∈ G. Como gh ∈ gH y por
definicio´n gH = Hg, entonces gh = h′g, para algu´n h′ ∈ H . Luego ghg−1 = h′,
esto implica ghg−1 ∈ H .
Ahora suponga que paratodo h ∈ H y para todo g ∈ G, ghg−1 ∈ H . Considere
algu´n g ∈ G. Sea gh ∈ gH , con h ∈ H , as´ı ghg−1 ∈ H , o´ ghg−1 = h′, para algu´n
h′ ∈ H , luego gh = h′g ∈ Hg. As´ı gH ⊆ Hg. De forma similar establecemos
Hg ⊆ gH . Luego gH = Hg. F
Corolario 2.15 H C G ⇐⇒ ∀g ∈ G, gHg−1 = H
2.16 Nota. Frecuentemente consideraremos la caracterizacio´n del teorema
2.14 y de su corolario 2.15 para hacer demostraciones.
2.17 Ejemplo: Sea S3 el grupo sime´trico sobre {1, 2, 3} y sea H el subgrupo
que consiste de la permutacio´n identidad y de la transposicio´n (1 2). Entonces
H no es normal pues (2 3)−1(1 2)(2 3) = (2 3)(1 2)(2 3) = (1 3) y (1 3) /∈ H .
Lema 2.18 Sea H C G y sean g1, g2 ∈ G. Entonces g1Hg2H = (g1g2)H.
Demostracio´n: g2H = Hg2 as´ı:
g1Hg2H = g1(Hg2)H = g1(g2H)H = (g1g2)H . F
Teorema 2.19 Sea H C G. Entonces el conjunto de todos los coconjuntos de
H en G es un grupo bajo la operacio´n que a (g1H, g2H) le asocia (g1g2)H.
El elemento identidad de este grupo es H, y el inverso de gH es g−1H, para
cualquier g ∈ G.
Demostracio´n: Por el lema anterior el conjunto de los coconjuntos es cerrado
bajo la operacio´n. Sea g ∈ G. El subgrupo H es un coconjunto de H pues H =
eH . Adema´s, gHH = gHeH = (ge)H = gH , HgH = eHgH = (eg)H = H ,
gHg−1H = (gg−1)H = eH = H y finalmente g−1HgH = (g−1g)H = eH = H .
As´ı, el conjunto de todos los coconjuntos de H es un grupo. F
Isomorfismos y el Teorema de Cayley 21
2.20 Observacio´n. Es interesante en este momento observar que el resultado
anterior es otra forma de caracterizar los grupos normales, es decir un subgru-
po es normal si y so´lo la operacio´n del teorema anterior resulta bien definida.
Formalmente: Sea B = {Bi}i∈I una particio´n de G tal que (Bi, Bj) 7→ BiBj es
una operacio´n bien definida de B ×B en B. Entonces B0, la clase de e es un
subgrupo normal de G, B = G/B0 y la operacio´n es (g1B0, g2B0) 7→ (g1g2)B0
(ver ejercicio ??).
Teorema 2.21 Sean K,N ≤ G, con N C G. Entonces:
i) N ∩K C K
ii) N C< N ∪K >
iii) NK =< N ∪K >= KN
iv) si K C G y N ∩K = {e}. Entonces: nk = kn, ∀(n, k) ∈ K ×N
Demostracio´n: Como N C G entonces por la caracterizacio´n 2.14, gng−1 ∈ N ,
para todo n ∈ N y g ∈ G. Luego si n ∈ N ∩ K ⊆ N y k ∈ K, knk−1 ∈ N .
As´ı knk−1 ∈ N ∩K, pues knk−1 ∈ K, de donde i) es verificado.
Como N ≤< N ∪K >, ii) es trivialmente concluido segu´n el teorema 2.14.
Para demostrar iii), observe primero que NK ⊆< N ∪K >, con lo cual u´nica-
mente debemos ver que < N ∪K >⊆ NK. Ahora, un elemento h ∈< N ∪K >
es un producto de la forma n1k1n2k2 . . . nrkr, con ni ∈ N y ki ∈ K, para
i ∈ {1, . . . , r}. Como N C G, entonces, como se vio´ en la demostracio´n de 2.14,
si k ∈ K y n ∈ N , kn = n′k para algu´n n′ ∈ N . En te´rminos pra´cticos esto es,
podemos correr los kis hacia la izquierda y as´ı h = n(k1k2 . . . kr), para algu´n
n ∈ N , luego h ∈ NK, de forma similar h ∈ KN . Y as´ı la inclusio´n que faltaba
es verificada.
Suponga las hipo´tesis adicionales para iv), y sean k ∈ K y n ∈ N . Entonces
nkn−1 ∈ K y kn−1k−1 ∈ N , luego (nkn−1)k−1 ∈ K y n(kn−1k−1) ∈ N , pero
N ∩K = {e} luego nkn−1k−1 = e o´ nk = kn. F
Teorema 2.22 Sean H,K ≤ G, entonces |HK| · |H ∩K| = |H | · |K|, y as´ı (H :
H ∩K) = |HK|/|K| si H y K son finitos.
Demostracio´n: Defina la relacio´n de equivalencia∼ enH×K por (h, k) ∼ (h′, k′)
si hk = h′k′, esto es si (h′)−1h = k′k−1, o mas au´n si (h′, k′) = (gh, gk−1)
para algu´n g ∈ H ∩ K. Entonces cada una de las |HK| clases de equivalencia
es de taman˜o |H ∩ K|. Ahora considere f : H × K/∼ → HK definida por
f([(h, k)]∼) = hk. As´ı, f es biyectiva y |HK| · |H ∩K| = |H | · |K|. F
2.4. Isomorfismos y el Teorema de Cayley
2.23 Definicio´n (Isomorfismo): Un isomorfismo es un homomorfismo
biyectivo.
22 Cap´ıtulo 2. Homomorfismos
Teorema 2.24 Sea C una coleccio´n de grupos, y defina la relacio´n ' en C por
G ' G′ si existe un isomorfismo φ : G → G′. Tenemos que ' es una relacio´n
de equivalencia sobre C.
Demostracio´n: La identidad es un isomorfismo, luego ' es reflexiva.
Si φ : G→ G′ es un isomorfismo, su inversa tambie´n, luego ' es sime´trica.
La composicio´n de dos isomorfismos es un isomorfismo, luego ' es transitiva.F
2.25 Observacio´nes.
i) Toda coleccio´n de grupos se puede particionar mediante la relacio´n '.
ii) La estructura de dos grupos isomorfos es la misma, luego podemos iden-
tificarlos como uno solo, pues su u´nica diferencia es el nombre de los ele-
mentos.
2.26 Para probar que dos grupos G y G′ son isomorfos debemos:
i. Definir una funcio´n φ : G→ G′
ii. Probar que φ es un homomorfismo.
iii. Probar que φ es biyectiva.
Note lo u´til que puede resultar el corolario 2.10 al teorema 2.9 para probar iii..
Teorema 2.27 Todo grupo c´ıclico infinito es isomorfo a < Z,+ >.
Demostracio´n: Sea a un generador de G, as´ı G = {an : n ∈ Z}. Defina φ :
G → Z por φ(an) = n. Ahora φ(anam) = φ(an+m) = n+m = φ(an) + φ(am).
Finalmente observe que φ(an) = 0 si y so´lo si n = 0, luego φ es inyectiva, y
adema´s dado n ∈ Z, φ(an) = n, luego φ es sobreyectiva. F
Teorema 2.28 (Teorema de Cayley) Todo grupo es isomorfo a un subgrupo
de un grupo de permutaciones.
Demostracio´n: Sea G un grupo y SG es grupo sime´trico sobre G. Si a ∈ G defina
λa : G → G por λa(g) = ag. Ahora si λa(g) = λa(g′) entonces ag = ag′ luego
g = g′, y λa(a
−1g) = g, as´ı vemos que λa es una permutacio´n, pues es una
biyeccio´n.
Sea G′ = {λa : a ∈ G}, como λ−1a = λa−1 y λe = Id entonces G
′ ≤ SG. Y
as´ı mismo vemos que g 7→ λg es un isomorfismo. F
2.29 Observacio´n. El teorema de Cayley parece decir algo bastante general.
Pero en la teor´ıa que estamos estudiando aca´ no es de mucha utilidad.
Grupo Factor 23
2.5. Grupo Factor
2.30 En el teorema 2.19 vimos que si H C G entonces el conjunto de los
coconjuntos de H bajo la operacio´n (aH, bH) 7→ abH es un grupo. Esto motiva
la siguiente:
2.31 Definicio´n (Grupo factor): Sea G un grupo. Dado H C G el grupo de
los coconjuntos de H bajo la operacio´n (aH, bH) 7→ abH es el grupos factor
de G mo´dulo H . Lo notaremos G/H .
2.32 Observacio´n. Segu´n el corolario 2.13 dado un homomorfismo con ker-
nel H , podemos definir el grupo factor de G mo´dulo H . Este grupo factor
jugara´ un rol supremamente importante en el resto de la teor´ıa, como empe-
zaremos vie´ndolo en el teorema fundamental del homomorfismo (ver teorema
2.36).
2.33 Ejemplo: Z4×Z2 es abeliano, luego todos sus subgrupos son normales,
en particular {0} × Z2. Entonces (Z4 × Z2)/({0} × Z2), es un grupo y adema´s
es tambie´n abeliano, y as´ı lo podemos clasificar de acuerdo al teorema de los
grupos abelianos finitamente generados (teorema 1.48). Ahora,
Z4 × Z2 = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1), (3, 0), (3, 1)}
y
{0} × Z2 = {(0, 0), (0, 1)}
si podemos G = Z4 × Z2 y
H = {0} × Z2
H1 = H + (1, 0) = {(1, 0), (1, 1)}
H2 = H + (2, 0) = {(2, 0), (2, 1)}
H3 = H + (3, 0) = {(3, 0), (3, 1)}
tenemos G/H = {H,H1, H2, H3}, as´ı como G/H tiene cuatro elementos, solo
hay dos alternativas: G/H ' Z2 × Z2 o´ G/H ' Z4. Pero G/H =< H1 > luego
es c´ıclico, y as´ı es isomorfo Z4.
2.6. Teorema Fundamental del Homomorfismo
Lema 2.34 Si H C G, ρ : G→ G/H definida por ρ(g) = gH es un homomor-
fismo con kernel H.
Demostracio´n: Es consecuencia directa del teorema 2.19. F
2.35 Definicio´n (proyeccio´n cano´nica): Si H C G, a ρH : G → G/H
definida por ρ(g) = gH la llamamos proyeccio´n cano´nica, o´ homomorfismo
cano´nico, de kernel H .
24 Cap´ıtulo 2. Homomorfismos
Teorema 2.36 (Teorema Fundamental del Homomorfismo) Sea φ : G→
G′ un homomorfismo con kernel H. Entonces la funcio´n µ : G/H → φ[G] tal
que φ = µ ◦ ρH , es un isomorfismo.
Demostracio´n Sean g, g′ ∈ G tales que gH = g′H , as´ı g−1g′ ∈ H esto equivale
a φ(g)−1φ(g′) = φ(g−1g′) = e′. Esto es φ(g) = φ(g′), entonces podemos definir
µ por µ(gH) := φ(g). Pero ρH(g) = gH , luego φ = µ ◦ ρH .
Ahora por el teorema2.19 µ es un homomorfismo. Es evidente que µ es sobre-
yectivo, y la inyectividad la podemos deducir de la equivalencia entre gH = g′H
y φ(g) = φ(g′). As´ı µ es isomorfismo.
Su unicidad es evidente, pues si µ : G/H → φ[G] es tal que φ = µ ◦ ρH ,
µ(gH) = φ(g). F
Corolario 2.37 Si φ : G → G′ es un homomorfismo sobreyectivo con kernel
H, G/H ' G′.
2.38 Observacio´n. El teorema fundamental del homomorfismo nos habla de
la dina´mica del grupo G: si tenemos un homomorfismo sobreyectivo de G en
G′ con kernel H , podemos descomponer la operacio´n de G en dos partes una
primera que tiene la dina´mica de H con consecuencias en otra despue´s que tiene
la de G′. Por ejemplo sea a, c ∈ G, b ∈ aH con b = ah′ y d ∈ cH con d = ch,
entonces bd ∈ acH y si h′′ ∈ H es tal que ch′′ = h′c, bd = ac(h′′h) (ver figura
2.2). Una visualizacio´n de esto es la operacio´n de suma en los reales que se
puede descomponer en una parte decimal y en otra entera (1, 75 ∈ 0, 75 + Z,
2, 43 ∈ 0, 43 + Z, 4, 18 = 1, 75 + 2, 43 ∈ 1, 18 + Z = 0, 18 + Z).
PSfrag replacements
G G′
H
cH
aH
acH
h
h′′
h′′h
d = ch
b = ah′
bd = ac(h′′h)
e′
v
u
uv
φ
.
.
.
.
.
.
Figura 2.2: Teorema Fundamental del Homomorfismo
Ca´lculo de Grupo Factor 25
2.7. Ca´lculo de Grupo Factor
2.39 Ejemplos:
i) El subgrupo trivial {0} de Z es un subgrupo normal. Calculemos Z/{0}.
Como N = {0} tiene u´nicamente un elemento, todo coconjunto de N tiene
un solo elemento. Es decir, los coconjuntos son de la forma {m} para algu´n
m entero. As´ı Z/{0} ' Z
ii) Sea n ∈ N∗. El conjunto nR = {nr : r ∈ R} es un subgrupo de R con
la adicio´n. nR es normal puesto que R es abeliano. Calculemos R/nR.
Note que cada x ∈ R es de la forma n( xn ) con
x
n ∈ R. De ah´ı que para
cualquier x ∈ R tenemos que x ∈ nR. Entonces nR = R y en consecuencia
R/nR consta de un u´nico elemento, a saber, nR. A nR/R no le queda mas
alternativa que ser el grupo trivial.
2.40 Observacio´n. Por el teorema fundamental del homomorfismo, podemos
pensar en el grupo factor G/H como un grupo en el cual cada coconjunto de
H colapsa a un so´lo elemento. En particular H colapsa a un neutro. Como
acabamos de ver el colapso puede variar de inexistente (cuando H = {e}), a
“catastro´fico” (cuando H = G). Es claro que estos dos tipos de colapsos no nos
proporcionan mayor informacio´n sobre la dina´mica en G.
2.41 Ejemplos:
i) Comencemos observando lo siguiente: Si G es un grupo finito y G/N tiene
solo dos elementos, entonces |G| = 2|N |. Note adema´s que cualquier sub-
grupo conteniendo la mitad de los elementos de G es forzosamente normal,
puesto que dado a ∈ G, a esta en H o no esta en H . En el primer caso se
tendr´ıa a ∈ H, aH = H = Ha, y en el segundo a /∈ H, aH = Ha forzo-
samente. Ahora bien, como sabemos que |Sn| = 2|An|, entonces el grupo
alternante An es un subgrupo normal de Sn y el grupo cociente tiene dos
elementos. Sabiendo que cualquier grupo de orden dos es isomorfo a Z2
conocemos completamente la operacio´n en Sn/An. Tomando σ /∈ An una
permutacio´n impar y si renombramos σAn por “impar” y An por “par”
verificamos la siguiente propiedad de la dinama´mica de Sn:
(par)(par) = par (impar)(par) = impar
(par)(impar) = impar (impar)(impar) = par
Vemos como conocimiento acerca de la operacio´n en el grupo factor Sn/An
refleja una propiedad de la operacio´n en Sn.
ii) El rec´ıproco del teorema de Lagrange no es cierto. Veamos que
no es cierto que k | |G| implique que exista algu´n H ≤ G tal que |H | =
k. Mostraremos que A4 no tiene subgrupos de orden seis. Suponga por
contradiccio´n que H es un subgrupo de A4 de orden seis. Como |A4| = 12,
H es normal. As´ı A4/H tiene solo dos elementos H y σH para algu´n
26 Cap´ıtulo 2. Homomorfismos
σ /∈ H . Como en un grupo de orden dos el cuadrado de todo elemento
es la identidad, entonces HH = H y σHσH = H . Ahora, el producto
en el grupo factor se puede lograr mediante el producto de elementos
representativos de los los coconjuntos, luego tenemos que para cualquier
α ∈ A4, α2 ∈ H . Pero en A4 se tiene (123) = (132)2 y (132) = (123)2 luego
(123) y (132) esta´n en H . De la misma forma se verifica que (124), (142),
(134), (143), (234) esta´n todos en H . Esto muestra que H tiene al menos
ocho elementos, contradiciendo la hipo´tesis de que H tenia seis elementos.
iii) Calculemos el grupo factor Z4 × Z6/ < (0, 1) >. Sea H =< (0, 1) >,
as´ı H = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5)}Como H tiene 6 elementos,
todos los coconjuntos de H tambie´n deben tener 6 elementos y |(Z4 ×
Z6)/H | = 4. Como Z4×Z6 es abeliano, entonces Z4×Z6/H tambie´n. Los
coconjuntos de H en Z4 × Z6 son:
H = (0, 0) +H
H1 = (1, 0) +H
H2 = (2, 0) +H
H3 = (3, 0) +H
As´ı Z4 × Z6/ < (0, 1) > es c´ıclico, luego es isomorfo a Z4.
Teorema 2.42 Sea G = H × K el producto de dos grupos H y K. Entonces
H¯ = {(h, e) : h ∈ H} es un subgrupo normal de G. Adema´s, G/H¯ es isomorfo
a K. Similarmente, G/K¯ ' H
Demostracio´n: Considere el homomorfismo pi2 : H ×K → K, donde pi2(h, k) =
k. Como Ker(pi2) = H¯ y pi2 es sobreyectiva, el teorema 2.36 nos dice que
H ×K/H¯ ' K. F
Teorema 2.43 Un grupo factor de un grupo c´ıclico es c´ıclico.
Demostracio´n: Sea G =< a >, y N ≤ G. As´ı N C G, y co´mo a genera todo G,
aN genera todo G/N . Luego G/N =< aN > es c´ıclico. F
2.44 Observacio´n. Ya vimos que un grupo factor de un grupo no c´ıclico bien
podra ser c´ıclico (por ejemplo, Sn/An, para n ≥ 3). El teorema 2.42 nos muestra
como algunos grupos factor colapsan separadamente, este no siempre es el caso
como lo veremos ahora mismo.
2.45 Ejemplos:
i) Calculemos Z4×Z6/ < (0, 2) >. Sea H =< (0, 2) >= {(0, 0), (0, 2), (0, 4)}.
En primera instancia note que Z4 × Z6 es abeliano, luego el grupo factor
tambie´n es abeliano, y como |H | = 3, es de orden 8. Usando el teorema
fundamental de los grupos abelianos finitamente generados, sabemos que
Grupos simples 27
el grupo factor debe ser isomorfo a uno de los siguientes grupos: Z8, Z4×Z2
o´ Z2 × Z2 × Z2. Con un poco de paciencia calculamos los coconjuntos:
H = (0, 0) +H = {(0, 0), (0, 2), (0, 4)} H4 = (2, 0) +H = {(2, 0), (2, 2), (2, 4)}
H1 = (0, 1) +H = {(0, 1), (0, 3), (0, 5)} H5 = (2, 1) +H = {(2, 1), (2, 3), (2, 5)}
H2 = (1, 0) +H = {(1, 0), (1, 2), (1, 4)} H6 = (3, 0) +H = {(3, 0), (3, 2), (3, 4)}
H3 = (1, 1) +H = {(1, 1), (1, 3), (1, 5)} H7 = (3, 1) +H = {(3, 1), (3, 3), (3, 5)}
y los subgrupos generados son:
< H1 >= {H,H1}
< H2 >= {H,H2, H4, H6}
< H3 >= {H,H3, H4, H7}
< H4 >= {H,H4}
< H5 >= {H,H5}
< H6 >=< H2 >
< H7 >=< H3 >
Como no hay ningu´n elemento de orden 8, entonces no puede ser isomorfo a
Z8. Como no todo elemento tiene orden 2, entonces tampoco lo puede ser a
Z2×Z2×Z2. Entonces no quedendo ma´s alternativa, es isomorfo a Z4×Z2.
Este es un ejemplo de como los coconjuntos colapsan separadamente.
ii) Calculemos el grupo factor (Z4 ×Z6)/ < (2, 3) >. Sea H =< (2, 3) >, en-
tonces H = {(0, 0), (2, 3)}. Como H es de orden 2, entonces (Z4 × Z6)/H
es de orden 12. Se podr´ıa cometer el error de pensar que Z4 y Z6 sepa-
radamente colapsan en grupos isomorfos a Z2 y que y entonces el grupo
factor ser´ıa isomorfo a Z2 × Z2. De esta manera el grupo factor tendr´ıa
orden 4 y no 12 como de hecho es. Tenga cuidado en no pensar que los fac-
tores siempre colapsan separadamente!! Ahora bien, los grupos abelianos
de orden 12 son: Z4×Z3 (que es isomorfo a Z12), Z6×Z2 y Z2×Z2×Z3.
Adema´s Z4×Z3 es el u´nico que tiene un elemento de orden 4. Probaremos
que el coconjunto (1, 0) + H es un elemento de orden 4. Para encontrar
la potencia mas pequen˜a de un coconjunto que de la identidad, basta es-
coger la potencia mas pequen˜a del representante que este en H . Ahora,
4(1, 0) = (1, 0) + (1, 0) + (1, 0) + (1, 0) = (0, 0). Por lo tanto (Z4 × Z6)/H
tiene un elemento de orden 4 y as´ı es isomorfo a Z4 × Z3.
2.8. Grupos simples
Teorema2.46 Sea φ : G→ G′ un homomorfismo. Si N C G, φ[N ] C φ[G]. Si
N ′ C φ[G], φ−1[N ′] C G.
Demostracio´n: Sean N C G y N ′ C φ[G]. φ[N ] ≤ φ[G] y φ−1[N ′] ≤ G por el
teorema 2.5. Ahora si (φ(g), φ(n)) ∈ φ[G] × φ[N ], gng−1 ∈ N y φ(gng−1) =
φ(g)φ(n)φ(g)−1 ∈ φ[N ], luego φ[N ] C φ[G]. Por otro lado si g, n ∈ G×φ−1[N ′],
φ(gng−1) = φ(g)φ(n)φ(g)−1 ∈ N ′ y gng−1 ∈ φ−1[N ′], luego φ−1[N ′] C G. F
28 Cap´ıtulo 2. Homomorfismos
2.47 Ejemplo: En S3 considere µ = (2 3). Defina el homomorfismo φ : Z2 →
S3 por φ(0) = 0 y φ(1) = µ. Ahora bien Z2 C Z2, pero {id, µ} = φ[Z2] no es
subgrupo normal de S3, como ya se vio previamente.
2.48 Observaciones.
i) Como lo muestra el ejemplo anterior, au´n si N C G, φ[N ] puede no ser
subgrupo normal de G′.
ii) Sabiendo que construir grupos factor nos ilustra sobre la dina´mica del
grupo, podemos preguntarnos en que condiciones un grupo no admite sino
colapsos triviales.
2.49 Definiciones (Grupo simple, subgrupo normal maximal):
i) Un grupo G es llamado simple si su u´nico subgrupo propio normal es {e}.
ii) Un subgrupo propio normal M de G es llamado maximal, si:
N C G ∧M < N ⇒ N = G
2.50 Observaciones a la definicio´n 2.49.
i) Semejante a los nu´meros primos, el grupo trivial no es simple.
ii) Un subgrupo es normal maximal si y so´lo si el u´nico subgrupo normal que
lo contiene propiamente es todo el grupo.
Teorema 2.51 M es un subgrupo normal maximal de G si y so´lo si G/M es
simple.
Demostracio´n: Sea M un subgrupo normal maximal de G. Considere la proyec-
cio´n cano´nica ρM , y tome N
′ C G/M . Ahora, por el teorema 2.46, ρ−1[N ′] C G.
Entonces si N ′ = {M}, ρ−1[N ′] = Ker(ρM ) = M , de lo contrarioM < ρ
−1(N ′)
lo cual implica ρ−1(N ′) = G, y as´ı N ′ = G/M . As´ı el u´nico subgrupo propio
normal de G/M es {M}.
Para verificar el converso, suponga que G/M es simple, y tome N C G tal que
M < N . As´ı ρM [N ] C G/M y N 6= {M}, luego ρM [N ] = G/M . Entonces N es
un subgrupo de G que contiene a M y a un representante de cada coconjunto
de M , luego N = G. As´ı M es normal ma´ximal. F
2.9. El centro y el conmutador
2.52 Todo grupo tiene dos subgrupos normales importantes, el centro y el
conmutador, que nos indican de cierto modo “que tan abeliano” es G. Por
un lado nos podemos preguntar que´ elementos conmutan en G, y por otro,
co´mo podriamos “abelianizar” G (i.e encontrar un grupo factor de G abeliano
y parecido a G).
El centro y el conmutador 29
2.53 Notacio´n. Dados a, b ∈ G notaremos aba−1b−1 por [a : b] y lo llamare-
mos conmutador de a y b.
Teorema 2.54 K = {z ∈ G : zg = gz, ∀g ∈ G} y H =< {[a : b] : a, b ∈ G} >
son subgrupos normales de G.
Demostracio´n: Comencemos con K, si g ∈ G, eg = ge, luego e ∈ K. Ahora
si k1, k2 ∈ K y g ∈ G, k1g = gk1, as´ı multiplicando a izquierda y derecha
por k−11 obtenemos, gk
−1
1 = k
−1
1 g, luego k
−1
1 ∈ K, y k1k2g = k1gk2 = gk1k2,
as´ı k1k2 ∈ K. Entonces K ≤ G.
Ahora sea (g, k) ∈ G × K. Entonces si g′ ∈ G, (gkg−1)g′ = kg′ = g′k =
g′(gkg−1), luego gkg−1 ∈ K. As´ı K C G.
Ahora preocupemonos por H . H ≤ G por definicio´n. Si a, b ∈ G, e = [a : a] ∈ H ,
[a : b]−1 = [b : a] ∈ H . Luego por el teorema 1.38, H consiste de todos los pro-
ductos finitos de conmutadores.
Si x, y, g ∈ G, gxyg−1 = (gxg−1)(gyg−1), entonces concluiremos que H es nor-
mal si g[x : y]g−1 es un producto de conmutadores. Pero,
g[x : y]g−1 = gxyx−1y−1g−1
= gxyx−1(g−1y−1yg)y−1g−1
= ((gx)y(gx)−1y−1)(ygy−1g−1)
= [gx : y][y : g]
luego H C G. F
2.55 Definiciones (Centro y conmutador):
i) El centro de G es el subgrupo Z(G) definido por:
Z(G) := {z ∈ G : zg = gz, ∀g ∈ G}
ii) El conmutador de G es el subgrupo C(G) definido por:
[G : G] :=< {[a : b] : a, b ∈ G} >
2.56 Observacio´n: En el caso en que G es abeliano, su centro es todo G y
su conmutador es {e}. Bajos estas condiciones estos subgrupos, como se pod´ıa
esperar, no son de mucha utilidad.
2.57 Ejemplo: Por verificacio´n (continuando el ejemplo 1.56), vemos que
Z(S3) = {id}
Teorema 2.58 Sea G un grupo:
i) G/[G : G] es abeliano.
ii) G/N es abeliano si y so´lo si [G : G] ≤ N
30 Cap´ıtulo 2. Homomorfismos
Demostracio´n: Sean a, b ∈ G, como [a : b] ∈ [G : G], ab(ba)−1[G : G] = [G : G],
luego ab[G : G] = ba[G : G]. As´ı G/[G : G] es abeliano.
Ahora suponga que G/N es abeliano, esto equivale a: para todo a, b ∈ G, abN =
baN ; que sucede si y so´lo si [a : b] = ab(ba)−1 ∈ N para todo a, b ∈ G, que es
[G : G] ≤ N . F
2.59 Ejemplo: S3/A3 es abeliano luego [G : G] ≤ A3. Con la notacio´n de
1.56, [ρ : σ] = ρσρ2σ = ρσσρ = ρ2 y [ρ2 : σ] = ρ2σρσ = σρ2σ = σσρ = ρ. Luego
A3 ≤ [G : G]. Concluimos que [G : G] = A3.
2.10. Ejercicios
1. Sea φ : G→ G′ un homomorfismo de grupos. Pruebe que:
(a) Si |G| es finito, entonces |φ[G]| es finito y es un divisor de |G|.
(b) Si |G′| es finito, entonces |φ[G]| es finito y es un divisor de |G′|.
2. Pruebe que todo homomorfismo φ : G → G′ donde |G| es un primo debe
ser o bien el homomorfismo trivial o bien un homomorfismo inyectivo.
3. Sea G un grupo y sea g un elemento fijo de G. Pruebe que la aplicacio´n
ig : G→ G definida por ig(x) = gxg−1 es un isomorfismo de grupos. (Un
isomorfismo de un grupo G en si mismo es llamado un automorfismo de
G. El automorfismo ig es llamado el automorfismo interno de G por
g).
4. Sea H un subgrupo de un grupo G. Pruebe que H C G si y solo si
ig [H ] = H , para todo g ∈ G. (Es decir, H es normal en G si y solo si H
es invariante bajo todos los automorfismos internos de G).
5. Un subgrupo H es dicho conjugado con un subgrupo K de un grupo
G si existe un automorfismo interno ig de G tal que ig[H ] = K. Pruebe
que la conjugacio´n es una relacio´n de equivalencia sobre la coleccio´n de
subgrupos de G.
6. Sea H un subgrupo normal de un grupo G, y sea m = (G : H). Pruebe
que am ∈ H para todo a ∈ G.
7. Pruebe que la interseccio´n de subgrupos normales de un grupo G es un
subgrupo normal de G.
8. Pruebe que si un grupo G tiene exactamente un solo subgrupo H de un
orden dado, entonces H C G.
9. Pruebe que si H y N son subgrupos de un grupo G, donde N es normal
en G, entonces H ∩N es normal en H . Pruebe con un ejemplo que H ∩N
no es necesariamente normal en todo G.
Ejercicios 31
10. Pruebe que el conjunto de todos los automorfismos de un grupo G forman
un grupo bajo la operacio´n de composicio´n.( Dicho grupo se denota por
AUT(G)).
11. Pruebe que los automorfismos internos de un grupo G forman un subgrupo
normal de AUT(G). (Pruebe primero que el conjunto de los automorfismos
internos de G es un subgrupo de AUT(G)).
12. Sean G y G′ dos grupos y sean H y H ′ subgrupos normales de G y G′
respectivamente. Sea φ un homomorfismo de G en G′ tal que φ[H ] ⊆ H ′.
Pruebe que φ induce un homomorfismo natural φ∗ : G/H → G′/H ′.
13. Pruebe que si un grupo finito G contiene un subgrupo propio de ı´ndice 2
en G, entonces G no es simple.
14. Pruebe que si un grupo G no es abeliano, entonces el grupo factor G/Z(G)
no es c´ıclico.
15. Use el ejercicio anterior para probar que un grupo G no abeliano de orden
pq, donde p y q son primos, tiene un centro trivial.
32 Cap´ıtulo 2. Homomorfismos
Cap´ıtulo 3
Conjugacio´n
3.1. Elementos y subgrupos conjugados
3.1 Definicio´n (Elementos conjugados): Dos elementos k, h de un mismo
grupo G son conjugados si k = ghg−1 para algu´n g ∈ G.
3.2 Observaciones a la definicicio´n 3.1.
i) La relacio´n ser conjugados es una relacio´n de equivalencia en el grupo, la
verificacio´n de esta trivialidad se le deja al lector. Las clases de equiva-
lencia de esta relacio´n las denominaremos clases de conjugacio´n y la
notaremos [h¯].
ii) La clase de conjugacio´n de la identidad contiene solamente a la identidad.
Adema´s es la u´nica clase de conjugacio´n que es un grupo, ya que las otras
no contienen a la identidad.
iii) Un grupo es abeliano si y so´lo si todassus clases de conjugacio´n son
conjuntos unipuntuales (ejercicio).
3.3 Definicio´n (Centralizador): Sea G un grupo y h ∈ G. El Centraliza-
dor de h, que notaremos C(h), esta definido por:
C(h) := {g ∈ G : hg = gh}
3.4 Ejemplo: Considere S3, el grupo de permutaciones sobre el conjunto
{1, 2, 3}. Sea h = (1 2). Entonces, el centralizador de h es C(h) = {id, (1 2)}. Cla-
ramente C(h) ≤ S3, pero C(h) no es subgrupo normal en S3 pues (1 3)(1 2)(1 3)−1 =
(2 3).
3.5 Observacio´n. El Centralizador de h son justamente los elementos de G
que conmutan con h. Evidentemente e ∈ C(h), ahora si g, g′ ∈ C(h) entonces
hgg′ = ghg′ = gg′h, esto es gg′ ∈ C(h). Lo anterior muestra que C(h) ≤ G. El
34 Cap´ıtulo 3. Conjugacio´n
centralizador “tiene apariencia” de ser un subgrupo normal, aunque el ejemplo
anterior muestra que no siempre es el caso. Pero, aunque C(h) no es subgrupo
normal, si podemos definir las siguientes aplicaciones que sera´n de gran utilidad
en el futuro:
3.6
κh : G −→ G
g 7−→ hgh−1
Note que si hgh−1 = hg′h−1 entonces g = g′ y si g′ = h−1gh entonces hg′h−1 =
g, luego κh es una biyeccio´n. Ademas para g, g
′ ∈ G arbitrarios hgg′h−1 =
(hgh−1)(hg′h−1), luego κh es isomorfismo de G en G (es decir, κh es un auto-
morfismo de G).
Ahora bien, si b ∈ gC(h) entonces b = gk para algu´n k ∈ C(h) as´ı bhb−1 =
gkh(gk)−1 = gkhk−1g−1 = ghg−1. Luego:
fh : G/C(h) −→ G
gC(h) 7−→ κg(h)
esto es fh(gC(h)) = ghg−1, esta bien definida. Note que fh no es necesariamen-
te un homomorfismo pues G/C(h) no tiene porque tener estructura de grupo,
puesto que C(h) no es necesariamente normal en G.
Teorema 3.7 Sea G un grupo finito, y h ∈ G. Entonces: |[h¯]| = (G : C(h)).
Demostracio´n: Es claro que para demostrar esto basta ver que la aplicacio´n
fh definida en 3.6 es biyectiva, ya que cuando g recorre G, fh(g) recorre [h¯].
Suponga que fh(aC(h)) = fh(bC(h)), esto es aha−1 = bhb−1 o´ b−1ah = hb−1a,
luego b−1a ∈ C(h) lo que equivale a aC(h) = bC(h). Ahora sea a ∈ [h¯] as´ı a =
ghg−1 para algu´n g ∈ G, luego κg(h) = a o´ fh(gC(h)) = a. F
3.8 El hecho que κg sea un isomorfismo, implica que si H ≤ G entonces
gHg−1 ≤ G, lo que nos sugiere expandir nuestra relacio´n de ser conjugados a la
siguiente, que tambie´n es de equivalencia:
3.9 Definicio´n (Subgrupos conjugados): Dos subgrupos H,K de un mis-
mo grupo G son conjugados si K = gHg−1 para algu´n g ∈ G.
3.2. An para n ≥ 5 es simple
3.10 Recordemos los siguientes resultados ya obtenidos:
i) Toda permutacio´n de un conjunto finito es la permutacio´n identidad, un
ciclo, o un producto de dos o ma´s ciclos disyuntos.
An para n ≥ 5 es simple 35
ii) Toda permutacio´n de un conjunto finito con ma´s de un elemento puede
expresarse como un producto finito de transposiciones.
iii) Una permutacio´n de un conjunto finito es un producto o bien de un nu´mero
par de transposiciones o bien de un nu´mero impar de transposiciones, pero
no las dos.
iu) Un n-ciclo es, par si n− 1 es par; impar si n− 1 es impar.
u) Toda permutacio´n par de un conjunto finito con al menos tres elementos
puede expresarse como un producto de 3-ciclos.
((a b)(a c) = (a b c), (a b)(c d) = (a c b)(a c d))
Lema 3.11 Si k ≤ n − 2 es impar, todos los k-ciclos en An pertenecen a una
misma clase de conjugacio´n.
Demostracio´n: Sea k como en las hipo´tesis. Demostraremos que todo k-ciclo
es conjugado de h = (1 2 . . . k). Considere un ciclo k = (m1 m2 . . .mk) en
An. Sea g ∈ An tal que g(i) = mi (¿Por que´ existe un tal elemento en An?).
As´ı g−1(mi) = i. Ahora si i ≤ k − 1, ghg−1(mi) = gh(i) = g(i + 1) = mi+1
y ghg−1(mk) = gh(k) = g(1) = m1. Pero si d ∈ {1, . . . , n} es tal que d 6= mi,
para todo i ∈ {1, . . . , k}, g−1(d) ≥ k + 1, y as´ı hg−1(d) = g−1(d) entonces
ghg−1(d) = d. Luego ghg−1 = k, esto es k y h son conjugados. F
3.12 Observacio´n: A4 no es simple. Considere
V4 := {id, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}
Sea g ∈ A4, entonces g(1 2)(3 4)g−1 = (g(1) g(2))(g(3) g(4)) es un elemento
de V4 y algo similar sucede con las otras dos permutaciones de V4 diferentes a
la identidad. Luego V4 C A4. (Ejercicio: pruebe que V4 es el u´nico subgrupo
normal propio no trivial de A4).
Lema 3.13 Sea n ≥ 5 y N C An no trivial. Entonces, existen g ∈ N\{id} y
a ∈ {1, 2, . . . , n}, tales que g(a) = a.
Demostracio´n: Dividimos la prueba en dos casos: uno, todo elemento h ∈ N es
tal que h2 = id; dos, el caso en que no.
Suponga que primero que no, y sean h ∈ N y a ∈ {1, 2, . . . , n} tales que h2(a) 6=
a. Sea b = h(a), c = h(b), as´ı a, b y c son distintos. Ahora como n ≥ 5, existen
otros dos elementos d, e distintos a los tres anteriores. Sea h′ = (c d e)h(c d e)−1
as´ı h′ ∈ N y h′(a) = b, h′(b) = d. Luego h′ 6= h y si g = h−1h′, entonces g ∈ N ,
donde g no es la identidad y g(a) = a.
Ahora suponga el otro caso, y sea h ∈ N\{id} y a ∈ {1, 2, . . . , n} tal que
h(a) 6= a. Sea b = h(a). Ahora como h es par h 6= (a b) y as´ı existen dos
elementos ma´s c y d, distintos, tales que h(c) = d. Sea e un quinto elemento
distinto de a, b, c, y d, y sea h′ = (c d e)h(c d e)−1. Entonces h′ ∈ N es tal que
h′(a) = b y h′(d) = e luego h′ 6= h y si g = h−1h′, entonces g ∈ N , donde g no
es la identidad y g(a) = a. F
36 Cap´ıtulo 3. Conjugacio´n
Lema 3.14 Sea n ≥ 5 y N C An. Si N contiene un 3-ciclo, N = An.
Demostracio´n: Por el lema 3.11 si N contiene un 3-ciclo, al ser normal tambie´n
contiene los dem’as 3-ciclos. Ahora por 3.10 u), estos generan An. F
Teorema 3.15 Si n ≥ 5, An es simple.
Demostracio´n: Procederemos por induccio´n sobre n.
Sea N C A5 no trivial. Por el lema 3.13, existen g ∈ N \ {id} y a ∈ {1, . . . , 5}
tales que g(a) = a. Sea h ∈ A5 tal que h(a) = 5, y g′ = hgh−1, luego g′(5) = 5
y g′ ∈ N \ {id}. Defina H = {g ∈ A5 : g(5) = 5}, as´ı H ≤ G y H '
A4. Luego N ∩ H C H , y g′ ∈ N ∩ H , y como el u´nico subgrupo propio
no trivial normal de A4 es V4, {(1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)} ⊂ N ∩ H .
Ahora (1 2)(4 5) = (3 4 5)(1 2)(3 4)(3 4 5)−1, luego (1 2)(4 5) ∈ N . Adema´s
(3 4 5) = (1 2)(3 4)(1 2)(4 5), as´ı (3 4 5) ∈ N . Entonces por el lema 3.14,
N = A5.
Sea n > 5. Suponga que An−1 es simple. Sea N C An no trivial y H = {g ∈
An : g(n) = n}. Por el lema 3.13, existen g ∈ N \ {id} y a ∈ {1, . . . , n} tales
que g(a) = a. Sea h ∈ An tal que h(a) = n, y g′ = hgh−1, luego g′(n) = n y
g′ ∈ N \ {id}. Luego N ∩ H C H , y g′ ∈ N ∩ H , entonces N ∩ H = H , pues
H ' An−1 y An−1 es simple, as´ı N contiene un 3-ciclo y entonces por el lema
3.14, N = An. F
3.16 Observaciones.
i) Actualmente debe ser claro para el lector lo elegante de la conjugacio´n
en los grupos de permutaciones. Si h =
∏n
i=1(ai bi), entonces ghg
−1 =∏n
i=1(g(ai) g(bi)). Es impreciso hablar de una productoria en un grupo
no abeliano, para que la identidad sea cierta se requiere que se considere
el mismo orden en el producto que expresa ghg−1 que el que se uso´ para
h. Lo anterior, evidentemente, no es lo u´nico impresionante en todo esto.
ii) Uno de los objetivos de los primeros cursos en A´lgebra Abstracta es de-
mostrar la insolubilidad de los polinomios de grado mayor o igual a cinco
(“la insolubilidad de la quintica”). Por extran˜o que nos parezca actual-
mente, el hecho que An sea simple para n ≥ 5 es una de las razones para
ello. Elegante, ¿no?. Sigamos entonces con nuestro estudio.
3.3. Ejercicios
1. Pruebe que un grupo G es abeliano si y solo si todas sus clases de conju-
gacio´n contienen exactamente un elemento de G.
2. Sea H un subgrupo de un grupo G. Para cada g ∈ G, el subconjunto
gHg−1 es un conjugado de H . Probar que cada conjugado de H es un
subgrupo de G y que la interseccio´n de los conjugados deH es un subgrupo
normal de G.
Cap´ıtulo 4
Accio´n de grupo sobre un
conjunto
4.1. G-conjuntos
4.1 Definicio´n (Accio´n de Grupo y G-conjunto): Sea X un conjunto y
G un grupo. Una accio´n de G sobre X es una aplicacio´n ∗ : G×X → X tal
que:
i) e ∗ x = x, ∀x ∈ X
ii) (g1g2) ∗ x = g1 ∗ (g2 ∗ x), ∀x ∈ X, ∀g1, g2 ∈ G
Bajo estas condiciones,X es un G-conjunto. Cuando no halla lugar a confucio´n
notaremos g ∗ x por gx.
4.2 Nota. Aqu´ı definimos la accio´n “actuando por la izquierda”, algunos
libros la prefieren “actuando por la derecha”. Por lo general esto u´ltimo se hace
cuando tambie´n se prefiere la composicio´n por derecha (i.e. f ◦ g(x) = g(f(x))).
4.3 Ejemplo: Sea X un conjunto, y H un subgrupo de SX . Entonces X es
un H-conjunto, donde la accio´n de H sobre X es la definida por gx = g(x). La
condicio´n ii) de la definicio´n 4.1, es una consecuencia inmediata de la definicio´n
de multiplicacio´n de permutaciones vista como composicio´n, y la condicio´n i),
de la definicio´n de la permutacio´n identidad como la funcio´n identidad. Note
que en particular, {1, . . . , n} es un Sn-conjunto.
4.4 El siguiente teorema muestra que para cada G-conjunto X, dado un g ∈ G
la aplicacio´n σg : X → X definida por σg(x) = gx es una permutacio´n de X ,
y que existe un homomorfismo Φ : G → SX tal que la acc´ıon de G sobre X
es ba´sicamente la descrita en el ejemplo 4.3 con H = Φ[G]. Por lo tanto, las
acciones de los subgrupos de SX sobreX describen todas las posibles acciones de
un grupo G sobreX . As´ı al momento de estudiar el conjuntoX , acciones usando
38 Cap´ıtulo 4. Accio´n de grupo sobre un conjunto
subgrupos de SX sera´n suficientes. Sin embargo, algunas veces, un conjunto X
es usado para estudiar G v´ıa una accio´n de grupo G sobre X .
Teorema 4.5 Sea X un G-conjunto. Para cada g ∈ G, la funcio´n σg : X → X
definida por σg(x) = gx es una permutacio´n de X. Adema´s, la aplicacio´n Φ :
G → SX definida por Φ(g) = σg es un homomorfismo. As´ı Φ(g)(x) = gx, esto
es:
Φ : G −→ SX
g 7−→ σg : X → X
x 7→ gx
Demostracio´n: Dado g ∈ G, demostremos que x 7→ gx es una biyeccio´n. Sean
x, y ∈ X , tales que gx = gy. As´ı por 4.1 ii), ex = g−1gx = g−1gy = ey, luego
por 4.1 i), x=y. Ahora, sea x ∈ X , tome x′ = g−1x, as´ı gx′ = gg−1x = ex = x.
Visto entonces que x 7→ gx es una biyeccio´n, tiene sentido nuestra funcio´n Φ,
pues x 7→ gx es una permutacio´n.
Ahora, de la condicio´n ii) de la definicio´n 4.1 se sigue inmediatamente que Φ es
un homomorfismo. F
4.6 Definiciones (Accio´n fiel, accio´n transitiva): Sea X un G-conjunto.
i) Decimos que G actu´a fielmente sobre X si: dado un g ∈ G tal que gx = x
para todo x, implica g = e.
ii) Decimos que G actu´a transitivamente sobre X si: para cada x1, x2 ∈ X ,
existe un g ∈ G tal que gx1 = x2.
4.7 Observacio´n. Sea X un G-conjunto. Segu´n el teorema 4.5 y el corolario
2.13, el subconjunto N de G que deja todo elemento de X fijo es un subgrupo
normal. Ahora, por el teorema fundamental del homomorfismo, a X lo podemos
ver como un G/N -conjunto, donde gNx = gx. As´ı G/N actu´a fielmente sobre
X .
4.8 Ejemplos:
i) Considere λg : G → G definida por λg(g′) = gg′. Ahora λe = id y λg1 ◦
λg2 = λg1g2 , luego si definimos g ∗ x = λg(x), G es un G-conjunto. Si
H ≤ G, de misma forma podemos ver a G como un H-conjunto. Note que
con las ρg : G→ G, definidas por ρg(g
′) = g′g podemos definir un accio´n
a derecha pero no a izquierda.
ii) Recuerde κg : G → G definida por κg(g′) = gg′g−1. Entonces, κe = id y
κg1 ◦ κg2 = κg1g2 , luego si definimos g ∗ x = λg(x), G es un G-conjunto.
iii) Sea V un espacio vectorial sobre R, los axiomas 1~v y (rs)~v = r(s~v), mues-
tran que V se puede ver como un R∗-conjunto, con el grupo < R∗, ., 1 >.
Subgrupo estabilizador y o´rbitas 39
iu) Sea Sn = {x ∈ Rn+1 : ‖x‖ = 1} la esfera n-dimensional. Considere
SOn+1(R) = {U ∈ Mn+1×n+1 : det(U) = 1 ∧ UU t = I} el conjunto
de matrices ortonormales de dimensio´n n + 1× n + 1. As´ı bajo la accio´n
U ∗ x = Ux, Sn es un SOn+1(R)-conjunto.
u) Sea H ≤ G y LH el conjunto de los coconjuntos izquierdos de H en G.
Bajo la accio´n g ∗xH = (gx)H , LH es un G-conjunto. Esta accio´n sera´ de
gran utilidad (cf. Cap´ıtulo 6).
4.2. Subgrupo estabilizador y o´rbitas
4.9 Notacio´n. Sea X un G-conjunto, notaremos:
Xg := {x ∈ X : gx = x}, y Gx := {g ∈ G : gx = x}
Teorema 4.10 Sea X un G-conjunto. Entonces, Gx ≤ G, para todo x ∈ X.
Demostracio´n Sea x ∈ X . ex = x luego e ∈ Gx, si g ∈ Gx, g−1x = g−1gx = x,
luego g−1 ∈ Gx, y finalmente si g1, g2 ∈ Gx, g1g2x = g1x = x, entonces g1g2 ∈
Gx. F
4.11 Definicio´n (Subgrupo estabilizador): Dado X un G-conjunto. A Gx
lo llamamos el subgrupo estabilizador de x.
Teorema 4.12 Sea X un G-conjunto. La relacio´n ∼ definida por x1 ∼ x2 si
existe un g ∈ X tal que gx1 = x2, es de equivalencia.
Demostracio´n: ex = x, para todo x ∈ X , luego la relacio´n es reflexiva.Sea
x1, x2, x3 ∈ X . Si gx1 = x2, x1 = g−1x2, entonces la relacio´n es simetrica.
Ahora si g1x1 = x2 y g2x2 = x3, tenemos que g2g1x1 = x3, luego la relacio´n es
tambie´n transitiva. F
4.13 Definicio´n (O´rbitas): A la clase de equivalencia de x de la relacio´n
definida en 4.12, la llamamos o´rbita de x, y la notaremos Gx. As´ı:
Gx := {a ∈ X | ∃g ∈ G : gx = a}
4.14 Aunque la notacio´n de la o´rbita y del estabilizador se parecen, no hay que
confundirlos. Existen otras notaciones para estos conjuntos pero esta nos parece
bastante descriptiva. Ahora bien, un lector prudente que ya se desenvuelva en
esta teor´ıa, le parecera´ el siguiente resultado muy natural.
Teorema 4.15 |Gx| = (G : Gx)
Demostracio´n: Si x′ ∈ Gx, con x′ = g1x = g2x entonces g
−1
1 g2 ∈ Gx, luego
g1Gx = g2Gx. As´ı podemos definir ψ : Gx → {gGx}g∈G por ψ(gx) = gGx.
Veamos que ψ es una biyeccio´n. Sea x1, x2 ∈ Gx, tales que ψ(x1) = ψ(x2).
Ahora, suponga que x1 = g1x y x2 = g2x, as´ı g1Gx = g2Gx luego existe un
g ∈ Gx tal que g2 = g1g, entonces x2 = g1gx = g1x = x1. La sobreyectividad es
evidente, dado g ∈ G, ψ(gx) = gGx. F
40 Cap´ıtulo 4. Accio´n de grupo sobre un conjunto
4.3. Aplicaciones de G-conjuntos en combinato-
ria: La fo´rmula de Burnside
4.16 Suponga que queremos saber de cuantas maneras se puede marcar un
dado cu´bico de forma que cada marcada sea distinguible de las otras, sin impor-
tarnos que lados opuestos sumen siete. Para marcar la primera cara disponemos
de 6 nu´meros, para la segunda de 5, y as´ı sucesivamente vemos que tenemos
6! = 720 formas de marcarlos, pero varias de estas marcadas no son distinguibles
pues algunas se pueden obtener de otras mediante rotacio´n. As´ı si consideramos
las diferentes rotaciones del cubo como un grupo, y las 720 marcadas como un
conjunto, dos de estas no son distinguibles si esta´n en la misma o´rbita de la
accio´n “rotar el cubo”. Aqu´ı es donde el problema se une con nuestra teor´ıa, y
para resolverlo usamos la fo´rmula de Burnside.
Teorema 4.17 (La fo´rmula de Burnside) Sea G un grupo finito y X un G-
conjunto. Si r es el nu´mero de o´rbitas en X, entonces: r|G| =
∑
g∈G |Xg|.
Demostracio´n: Considere todos los pares (g, x) tales que gx = x, y sea N el
nu´mero de dichos pares. Para cada g ∈ G, hay |Xg| pares teniendo a g como
primer elemento. Entonces:
N =
∑
x∈X
|Xg | (4.1)
Por otro lado, para cada x ∈ X , hay |Gx| pares teniendo a x como segundo
elemento. Entonces:
N =
∑
x∈X
|Gx| (4.2)
Ahora, por el teorema 4.15, |Gx| = (G : Gx), y por el teorema de Lagrange
(G : Gx) = |G|/|Gx|, as´ı |Gx| = |G|/|Gx|, y remplazando en (4.2):
N =
∑
x∈X
|G|
|Gx|
= |G|
∑
x∈X
1
|Gx|
(4.3)
Ahora |Gx| es el mismo para todo x′ ∈ Gx, luego
∑
x′∈Gx 1/|Gx| = 1, as´ı de
(4.3), N = |G|r, y combinando esto con (4.1) obtenemos el resultado buscado.
F
Corolario 4.18 Si G es un grupo finito y X un G-conjunto, entonces:
(nu´mero de o´rbitas en X bajo G) =
1
|G|
∑
g∈G
|Xg|
4.19 Ejemplo: Continuemos con el problema del dado. Esta´bamos en que
dos marcadas son distinguibles si y so´lo si pertenecen a o´rbitas distintas, luego
nuestro problema se reduce a contar el nu´mero de estas. Formalicemos la idea de