Eng Basico P4 1 gabarito

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avaliação presencial
Utilize preferencialmente folhas sulfite, identificando em cada uma delas, frente e verso, com seu R.A. Evite escrever 
no canto superior direito das folhas de resposta. Boa prova!
ra:
curso: Engenharia bimestre:  3o bimestre data:  / /2017
P4-1polo: mediador  responsável: grupo (dia da semana,  período, no):
nome: ra:
Avaliação Presencial 1Abril /2017
disciplina Sociedade e Cultura nOTa (0-10):
questão 1 (2 pontos)
Em relação ao etnocentrismo, qual afirmação é INCOR-
RETA?
a. Quando o grupo a qual pertencemos (ou nós mes-
mos) entende a si próprio como o centro de tudo e 
enxerga o “outro” negativamente, essa atitude faz 
parte do que chamamos etnocentrismo. 
b. O etnocentrismo põe como central a forma como 
um indivíduo vê o mundo e é com base nessa pers-
pectiva que esse indivíduo julga e enxerga as demais 
culturas.
c. A visão etnocêntrica cria conflitos e distanciamen-
tos entre pessoas, grupos e classes sociais e faz com 
que determinados grupos se considerem “melho-
res” e se sintam no direito de menosprezar o outro.
d. O etnocentrismo faz com que cada indivíduo incor-
pore à sua visão de mundo os aspectos de outras 
culturas, valorizando as diferenças. 
questão 2 (3 pontos)
Com base no artigo indicado para a aula 3 (CANTENAC-
CI, Vivian. Cultura popular: entre a tradição e a trans-
formação), explique a relação entre popular, mídia e 
mercado.
questão 3 (3 pontos)
Tomando por base o texto indicado para a aula 4 (HÖ-
FLING, Eloisa de Mattos. Estado e políticas (públicas) 
sociais), defina o que são políticas públicas?
questão 4 (2 pontos)
Tendo por base o texto indicado para a aula 6 
(MAINWARING, Scott; BRINKS, Daniel; PEREZ-LINAN, 
Aníbal. Classificando Regimes Políticos na América 
Latina, 1945-1999), leia as afirmações que se seguem 
relacionadas à democracia e em seguida atribua Ver-
dadeiro (V) ou Falso (F) a cada uma delas.
( ) As eleições são um ingrediente essencial da de-
mocracia representativa moderna. A fraude e a 
coerção não podem determinar os resultados de 
eleições democráticas.
( ) Se grandes parcelas da população são excluídas do 
direito de sufrágio, o regime pode ser uma oligar-
quia competitiva.
( ) A democracia deve garantir a liberdade de impren-
sa, a liberdade de expressão, a liberdade de orga-
nização, o direito ao habeas corpus e outros.
( ) Se as eleições são livres e limpas, mas elegem um 
governo que não consegue controlar as principais 
arenas políticas porque os militares ou alguma ou-
tra força o fazem, então o governo não é uma de-
mocracia.
Qual a sequencia correta de Verdadeiro (V) ou Falso (F)?
a. V, V, V, V.
b. V, V, V, F.
c. F, V, F, V.
d. V, V, F, F.
disciplina Geometria Analítica e Álgebra Linear
nOTa 
(0-10):
questão 1 (2,5 pontos)
Sejam a reta s de equação 2x – y + 1 = 0 e o ponto 
P = (2,2).
a. (0,5 ponto) Calcule d(P,s).
b. (1,0 ponto) Determine uma reta r, paralela à reta s e 
que contém o ponto P.
c. (1,0 ponto) Determine uma reta m, ortogonal à reta 
s e que contém o ponto P.
questão 2 (2,5 pontos)
Sejam retas r: X = (1,2,0) + α(1,1,3) e s: X = (2,1,1) + 
β(1,–1,2).
a. (1,0 ponto) Calcule d(r,s).
b. (1,5 ponto) Encontre a equação geral do plano π, pa-
ralelo às retas r e s que contém o ponto P = (1,1,1).
2 Avaliação Presencial Abril/2017
questão 3 (2,5 pontos)
Seja T:R3 → R3 o operador linear T(x,y,z) = (x,3x – y,2x + z).
a. (1,0 ponto) Determine [T ]Can.
b. (1,5 ponto) T é diagonalizável?
questão 4 (2,5 pontos)
Encontre a única solução do sistema
PROVA 4
1) (2,5 pontos) Sejam a reta 𝑠𝑠𝑠𝑠 de equação 2𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1 = 0 e o ponto 𝑃𝑃𝑃𝑃 = (2,2).
a) (0,5 ponto) Calcule 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑃𝑃𝑃𝑃, 𝑠𝑠𝑠𝑠).
b) (1,0 ponto) Determine uma reta 𝑟𝑟𝑟𝑟, paralela à reta 𝑠𝑠𝑠𝑠 e que contém o ponto 𝑃𝑃𝑃𝑃.
c) (1,0 ponto) Determine uma reta 𝑚𝑚𝑚𝑚, ortogonal à reta 𝑠𝑠𝑠𝑠 e que contém o ponto 𝑃𝑃𝑃𝑃.
2) (2,5 pontos) Sejam retas 𝑟𝑟𝑟𝑟:𝑋𝑋𝑋𝑋 = (1,2,0) + 𝛼𝛼𝛼𝛼(1,1,3) e 𝑠𝑠𝑠𝑠:𝑋𝑋𝑋𝑋 = (2,1,1) + 𝛽𝛽𝛽𝛽(1,−1,2).
a) (1,0 ponto) Calcule 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠).
b) (1,5 ponto) Encontre a equação geral do plano 𝜋𝜋𝜋𝜋, paralelo às retas 𝑟𝑟𝑟𝑟 e 𝑠𝑠𝑠𝑠 e que 
contém o ponto 𝑃𝑃𝑃𝑃 = (1,1,1).
3) (2,5 pontos) Seja 𝑇𝑇𝑇𝑇:𝑅𝑅𝑅𝑅3 → 𝑅𝑅𝑅𝑅3 o operador linear 𝑇𝑇𝑇𝑇(𝑥𝑥𝑥𝑥,𝑦𝑦𝑦𝑦, 𝑧𝑧𝑧𝑧) = (𝑥𝑥𝑥𝑥, 3𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦, 2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑧𝑧𝑧𝑧).
a) (1,0 ponto) Determine [𝑇𝑇𝑇𝑇]𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶.
b) (1,5 ponto) T é diagonalizável?
4) (2,5 pontos) Encontre a única solução do sistema, 𝑆𝑆𝑆𝑆: �𝑥𝑥𝑥𝑥´(𝑡𝑡𝑡𝑡) = 2𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑡𝑡𝑡𝑡) + 2𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑡𝑡𝑡𝑡)
𝑦𝑦𝑦𝑦´(𝑡𝑡𝑡𝑡) = 3𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑡𝑡𝑡𝑡) + 𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑡𝑡𝑡𝑡) que 
verifica as condições iniciais 𝑋𝑋𝑋𝑋(0) = (6,−4).que verifica as condições iniciais X(0) = (6,–4).
Avaliação Presencial 3Abril /2017
gabarito
3
GABARITO
disciplina Sociedade e Cultura nOTa (0-10):
questão 1
Resposta: Alternativa D.
A resposta encontra-se no material indicado para a 
aula 1 - Capítulo 1 do livro: ZUVON, Otavio; BRAGA, 
Geslline Giovana. Introdução as culturas populares 
no Brasil. Curitiba: Intersaberes, 2012. Disponível em: 
http://aulaaberta.bv3.digitalpages.com.br/users/publi-
cations/9788582129173/pages/-2
questão 2
O popular é visto pela mídia através da lógica do 
mercado, e cultura popular para os comunicólogos 
não é o resultado das diferenças entre locais, mas da 
ação difusora e integradora da indústria cultural. O 
popular é, dessa forma o que vende, o que agrada 
multidões e não o que é criado pelo povo. O que im-
porta é o popular enquanto popularidade. Além dis-
so, para o mercado e para a mídia o popular não 
interessa como tradição, ou seja, como algo que 
perdura. Ao contrário, o que tem popularidade na 
indústria cultural deve ser, após atingir o seu auge, 
relegado ao esquecimento, a fim de dar espaço a 
um novo produto que deverá ser acessível ao povo, 
ser do gosto do povo, enfim, ser popular.
A resposta encontra-se no material indicado para a 
aula 3. CATENACCI, Vivian. Cultura Popular: entre 
a tradição e a transformação.  São Paulo Perspec., 
São Paulo,  v. 15, n. 2, p. 28-35,  abr.  2001 .   Dispo-
nível em <http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_
arttext&pid=S0102-88392001000200005&lng=
pt&nrm=iso> http://dx.doi.org/10.1590/S0102-
88392001000200005
Critérios para correção: A questão vale 3 pontos. Re-
cebe 3 pontos quem apontou ao menos 3 dos aspec-
tos destacados em negrito. Para cada aspecto mencio-
nado, 1 ponto. Descontar 0,5 ponto da nota final da 
prova se houve erros de concordância ou ortográficos. 
Importante: não se espera reprodução fiel ao texto 
indicado no gabarito. Não avaliamos reprodução de 
ideias e sim a sua compreensão. 
questão 3
Políticas públicas são as de responsabilidade do Es-
tado – quanto à implementação e manutenção a 
partir de um processo de tomada de decisões que 
envolve órgãos públicos e diferentes organismos e 
agentes da sociedade relacionados à política imple-
mentada. Neste sentido, políticas públicas não po-
dem ser reduzidas a políticas estatais. 
O texto que trata do assunto é: HÖFLING, Eloisa de Mat-
tos. Estado e políticas (públicas) sociais. Cadernos Ce-
des, ano XXI, nº 55, novembro/2001. 
Critérios para correção: A questão vale 3 pontos. Re-
cebe 3 pontos quem apontou 3 dos aspectos desta-
cados em negrito. Para cada aspecto mencionado, 1 
ponto. Descontar 0,5 ponto da nota final da prova se 
houve erros de concordância ou ortográficos. Impor-
tante: não se espera reprodução fiel ao texto indicado 
no gabarito. Não avaliamos reprodução de ideias e sim 
a sua compreensão. 
questão 4
Resposta: Alternativa A.
A resposta encontra-se no texto indicado para a aula 
6 (MAINWARING, Scott; BRINKS, Daniel; PEREZ-LINAN, 
Aníbal. Classificando Regimes Políticosna América 
Latina, 1945-1999. Dados,  Rio de Janeiro, v. 44, n. 4, p. 
645-687, 2001). http://www.scielo.br/scielo.php?pi-
d=S0011-52582001000400001&script=sci_abstract&tl-
ng=pt
disciplina Geometria Analítica e Álgebra Linear
nOTa 
(0-10):
Na correção das provas, atentar para o seguinte:
1. a) 0,5 ponto, b) 1,0 ponto e c) 1,0 ponto 
No item a) a resposta pode ser racionalizada ou 
não. Nos itens b) e c) descontar 0,25 ponto, em cada 
item, se errar no cálculo do coeficiente constante da 
equação da reta.
2. a) 1,0 ponto e b) 1,5 ponto.
No item b) descontar 0,25 ponto se errar no cálculo 
do coeficiente constante da equação do plano.
O item b) também pode ser resolvido calculando-se 
o determinante
GABARITO PROVA 4
“Na correção das provas, atentar para o seguinte: 
1 a) 0,5 ponto, b) 1,0 ponto e c) 1,0 ponto 
No item a) a resposta pode ser racionalizada ou não. Nos itens b) e c) descontar 0,25 ponto, em cada item, se 
errar no cálculo do coeficiente constante da equação da reta 
2) a) 1,0 ponto e b) 1,5 ponto. 
No item b) descontar 0,25 ponto se errar no cálculo do coeficiente constante da equação do plano. 
O item b) também pode ser resolvido calculando-se o determinante 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �
1 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 1 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 1 − 𝑥𝑥𝑥𝑥1 1 31 −1 2 � = 0 
A equação final do plano pode ser a apresentada no gabarito ou qualquer outra que pode ser obtida 
multiplicando esta equação por um número real não nulo. 
 
3) a) 1,0 ponto e b) 1,5 ponto. Caso erre o item a) e resolva de modo correto o item b) utilizando a matriz errada 
que encontrou em a) considere correto o item b) 
4) 2,5 ponto. Se encontrou corretamente os autovalores 0,5 ponto. Encontrou os autovetores 0,5 ponto. 
Encontrou a solução geral 0,5 ponto. Encontrou os coeficientes a e b corretos 0,5 ponto. Encontrou a solução 
correta 0,5 ponto. Não descontar erros que foram carregados de erros anteriores. 
 
1) 
a) 
𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑃𝑃𝑃𝑃, 𝑠𝑠𝑠𝑠) = |2.2 − 1.2 + 1|
√22 + 12 = 3√5 = 3√55
 
b) Para que 𝑟𝑟𝑟𝑟 seja à reta 𝑠𝑠𝑠𝑠, ela terá uma equação do tipo 2𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0 , como 𝑃𝑃𝑃𝑃 ∈ 𝑟𝑟𝑟𝑟, temos:
 2.2 − 1.2 + 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0 ⇒ 𝑐𝑐𝑐𝑐 = −2, logo uma equação para a reta 𝑟𝑟𝑟𝑟 é:
𝑟𝑟𝑟𝑟: 2𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2 = 0
 
c) A equação da reta 𝑟𝑟𝑟𝑟 é da forma, 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0
Como 𝑃𝑃𝑃𝑃 ∈ 𝑟𝑟𝑟𝑟 ⇒ 1.2 + 2.2 + 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0 ⇒ 𝑐𝑐𝑐𝑐 = −6
Logo a equação da reta 𝑟𝑟𝑟𝑟 é:
𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦 − 6 = 0
2)
a)
Sejam 𝑟𝑟𝑟𝑟 = (1,1,3), 𝑠𝑠𝑠𝑠 = (1,−1,2), 𝐴𝐴𝐴𝐴 = (1,2,0) e 𝐵𝐵𝐵𝐵 = (2,1,1), temos:{𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠} é LI, logo elas não são paralelas e assim,
𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠) = ��𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵�����⃗ , 𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠��
‖𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠‖
𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵�����⃗ = (1,−1,1).
 
A equação final do plano pode ser a apresentada 
no gabarito ou qualquer outra que pode ser obti-
da multiplicando esta equação por um número real 
não nulo.
3. a) 1,0 ponto e b) 1,5 ponto. 
Caso erre o item a) e resolva de modo correto o item 
b) utilizando a matriz errada que encontrou em a) 
considere correto o item b)
4. 2,5 ponto. 
Se encontrou corretamente os autovalores 0,5 pon-
to. Encontrou os autovetores 0,5 ponto. Encontrou a 
solução geral 0,5 ponto. Encontrou os coeficientes a 
e b corretos 0,5 ponto. Encontrou a solução correta 
0,5 ponto. Não descontar erros que foram carrega-
dos de erros anteriores.
 
4
questão 1
a. 
GABARITO PROVA 4
“Na correção das provas, atentar para o seguinte: 
1 a) 0,5 ponto, b) 1,0 ponto e c) 1,0 ponto 
No item a) a resposta pode ser racionalizada ou não. Nos itens b) e c) descontar 0,25 ponto, em cada item, se 
errar no cálculo do coeficiente constante da equação da reta 
2) a) 1,0 ponto e b) 1,5 ponto. 
No item b) descontar 0,25 ponto se errar no cálculo do coeficiente constante da equação do plano. 
O item b) também pode ser resolvido calculando-se o determinante 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �
1 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 1 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 1 − 𝑥𝑥𝑥𝑥1 1 31 −1 2 � = 0 
A equação final do plano pode ser a apresentada no gabarito ou qualquer outra que pode ser obtida 
multiplicando esta equação por um número real não nulo. 
 
3) a) 1,0 ponto e b) 1,5 ponto. Caso erre o item a) e resolva de modo correto o item b) utilizando a matriz errada 
que encontrou em a) considere correto o item b) 
4) 2,5 ponto. Se encontrou corretamente os autovalores 0,5 ponto. Encontrou os autovetores 0,5 ponto. 
Encontrou a solução geral 0,5 ponto. Encontrou os coeficientes a e b corretos 0,5 ponto. Encontrou a solução 
correta 0,5 ponto. Não descontar erros que foram carregados de erros anteriores. 
 
1) 
a) 
𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑃𝑃𝑃𝑃, 𝑠𝑠𝑠𝑠) = |2.2 − 1.2 + 1|
√22 + 12 = 3√5 = 3√55
 
b) Para que 𝑟𝑟𝑟𝑟 seja à reta 𝑠𝑠𝑠𝑠, ela terá uma equação do tipo 2𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0 , como 𝑃𝑃𝑃𝑃 ∈ 𝑟𝑟𝑟𝑟, temos:
 2.2 − 1.2 + 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0 ⇒ 𝑐𝑐𝑐𝑐 = −2, logo uma equação para a reta 𝑟𝑟𝑟𝑟 é:
𝑟𝑟𝑟𝑟: 2𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2 = 0
 
c) A equação da reta 𝑟𝑟𝑟𝑟 é da forma, 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0
Como 𝑃𝑃𝑃𝑃 ∈ 𝑟𝑟𝑟𝑟 ⇒ 1.2 + 2.2 + 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0 ⇒ 𝑐𝑐𝑐𝑐 = −6
Logo a equação da reta 𝑟𝑟𝑟𝑟 é:
𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦 − 6 = 0
2)
a)
Sejam 𝑟𝑟𝑟𝑟 = (1,1,3), 𝑠𝑠𝑠𝑠 = (1,−1,2), 𝐴𝐴𝐴𝐴 = (1,2,0) e 𝐵𝐵𝐵𝐵 = (2,1,1), temos:{𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠} é LI, logo elas não são paralelas e assim,
𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠) = ��𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵�����⃗ , 𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠��
‖𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠‖
𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵�����⃗ = (1,−1,1).
b. Para que r seja à reta s, ela terá uma equação do tipo 
2x – y + c = 0, como P ∈ r, temos:
2.2 - 1.2 + c = 0 ⇒ c = -2
Logo uma equação para a reta r é:
r: 2x - y - 2 = 0
c. A equação da reta r é da forma x + 2y + c = 0
Como: P ∈ r ⇒ 1.2 + 2.2 + c = 0 ⇒ c = –6
Logo a equação da reta r é:
x + 2y - 6 = 0
questão 2
a. Sejam r→ = (1,1,3), s→ = (1,–1,2), A = (1,2,0) e B = (2,1,1), 
temos {r→, s→} é LI, logo elas não são paralelas e assim,
GABARITO PROVA 4
“Na correção das provas, atentar para o seguinte: 
1 a) 0,5 ponto, b) 1,0 ponto e c) 1,0 ponto 
No item a) a resposta pode ser racionalizada ou não. Nos itens b) e c) descontar 0,25 ponto, em cada item, se 
errar no cálculo do coeficiente constante da equação da reta 
2) a) 1,0 ponto e b) 1,5 ponto. 
No item b) descontar 0,25 ponto se errar no cálculo do coeficiente constante da equação do plano. 
O item b) também pode ser resolvido calculando-se o determinante 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �
1 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 1 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 1 − 𝑥𝑥𝑥𝑥1 1 31 −1 2 � = 0 
A equação final do plano pode ser a apresentada no gabarito ou qualquer outra que pode ser obtida 
multiplicando esta equação por um número real não nulo. 
 
3) a) 1,0 ponto e b) 1,5 ponto. Caso erre o item a) e resolva de modo correto o item b) utilizando a matriz errada 
que encontrou em a) considere correto o item b) 
4) 2,5 ponto. Se encontrou corretamente os autovalores 0,5 ponto. Encontrou os autovetores 0,5 ponto. 
Encontrou a solução geral 0,5 ponto. Encontrou os coeficientes a e b corretos 0,5 ponto. Encontrou a solução 
correta 0,5 ponto. Não descontar erros que foram carregados de erros anteriores. 
 
1) 
a) 
𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑃𝑃𝑃𝑃, 𝑠𝑠𝑠𝑠) = |2.2 − 1.2 + 1|
√22 + 12 = 3√5 = 3√55
 
b) Para que 𝑟𝑟𝑟𝑟 seja à reta 𝑠𝑠𝑠𝑠, ela terá uma equação do tipo 2𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0 , como 𝑃𝑃𝑃𝑃 ∈ 𝑟𝑟𝑟𝑟, temos:
 2.2 − 1.2 + 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0 ⇒ 𝑐𝑐𝑐𝑐 = −2, logo uma equação para a reta 𝑟𝑟𝑟𝑟 é:
𝑟𝑟𝑟𝑟: 2𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2 = 0
 
c) A equação da reta 𝑟𝑟𝑟𝑟 é da forma, 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0
Como 𝑃𝑃𝑃𝑃 ∈ 𝑟𝑟𝑟𝑟 ⇒ 1.2 + 2.2 + 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0 ⇒ 𝑐𝑐𝑐𝑐 = −6
Logo a equação da reta 𝑟𝑟𝑟𝑟 é:
𝑥𝑥𝑥𝑥+ 2𝑦𝑦𝑦𝑦 − 6 = 0
2)
a)
Sejam 𝑟𝑟𝑟𝑟 = (1,1,3), 𝑠𝑠𝑠𝑠 = (1,−1,2), 𝐴𝐴𝐴𝐴 = (1,2,0) e 𝐵𝐵𝐵𝐵 = (2,1,1), temos:{𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠} é LI, logo elas não são paralelas e assim,
𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠) = ��𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵�����⃗ , 𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠��
‖𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠‖
𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵�����⃗ = (1,−1,1).
GABARITO PROVA 4
“Na correção das provas, atentar para o seguinte: 
1 a) 0,5 ponto, b) 1,0 ponto e c) 1,0 ponto 
No item a) a resposta pode ser racionalizada ou não. Nos itens b) e c) descontar 0,25 ponto, em cada item, se 
errar no cálculo do coeficiente constante da equação da reta 
2) a) 1,0 ponto e b) 1,5 ponto. 
No item b) descontar 0,25 ponto se errar no cálculo do coeficiente constante da equação do plano. 
O item b) também pode ser resolvido calculando-se o determinante 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �
1 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 1 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 1 − 𝑥𝑥𝑥𝑥1 1 31 −1 2 � = 0 
A equação final do plano pode ser a apresentada no gabarito ou qualquer outra que pode ser obtida 
multiplicando esta equação por um número real não nulo. 
 
3) a) 1,0 ponto e b) 1,5 ponto. Caso erre o item a) e resolva de modo correto o item b) utilizando a matriz errada 
que encontrou em a) considere correto o item b) 
4) 2,5 ponto. Se encontrou corretamente os autovalores 0,5 ponto. Encontrou os autovetores 0,5 ponto. 
Encontrou a solução geral 0,5 ponto. Encontrou os coeficientes a e b corretos 0,5 ponto. Encontrou a solução 
correta 0,5 ponto. Não descontar erros que foram carregados de erros anteriores. 
 
1) 
a) 
𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑃𝑃𝑃𝑃, 𝑠𝑠𝑠𝑠) = |2.2 − 1.2 + 1|
√22 + 12 = 3√5 = 3√55
 
b) Para que 𝑟𝑟𝑟𝑟 seja à reta 𝑠𝑠𝑠𝑠, ela terá uma equação do tipo 2𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0 , como 𝑃𝑃𝑃𝑃 ∈ 𝑟𝑟𝑟𝑟, temos:
 2.2 − 1.2 + 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0 ⇒ 𝑐𝑐𝑐𝑐 = −2, logo uma equação para a reta 𝑟𝑟𝑟𝑟 é:
𝑟𝑟𝑟𝑟: 2𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2 = 0
 
c) A equação da reta 𝑟𝑟𝑟𝑟 é da forma, 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0
Como 𝑃𝑃𝑃𝑃 ∈ 𝑟𝑟𝑟𝑟 ⇒ 1.2 + 2.2 + 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0 ⇒ 𝑐𝑐𝑐𝑐 = −6
Logo a equação da reta 𝑟𝑟𝑟𝑟 é:
𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦 − 6 = 0
2)
a)
Sejam 𝑟𝑟𝑟𝑟 = (1,1,3), 𝑠𝑠𝑠𝑠 = (1,−1,2), 𝐴𝐴𝐴𝐴 = (1,2,0) e 𝐵𝐵𝐵𝐵 = (2,1,1), temos:{𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠} é LI, logo elas não são paralelas e assim,
𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠) = ��𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵�����⃗ , 𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠��
‖𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠‖
𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵�����⃗ = (1,−1,1).
�𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵�����⃗ , 𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠� = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �1 −1 11 1 31 −1 2� = 5 − 1 − 2 = 2
Vamos calcular 𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �𝚤𝚤𝚤𝚤 𝚥𝚥𝚥𝚥 𝑘𝑘𝑘𝑘�⃗1 1 31 −1 2� = (5,1,−2), assim ‖𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠‖ = √30
Temos, então: 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠) = 2
√30
= 2√30
30
= √30
15
b) Um vetor 𝑛𝑛𝑛𝑛�⃗ , normal ao plano 𝜋𝜋𝜋𝜋, é dado por:
𝑛𝑛𝑛𝑛�⃗ = 𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠 = 5𝚤𝚤𝚤𝚤 + 𝚥𝚥𝚥𝚥 − 2𝑘𝑘𝑘𝑘�⃗
Assim 𝜋𝜋𝜋𝜋 tem uma equação geral da forma 5𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧𝑧𝑧 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0
Como 𝑃𝑃𝑃𝑃 ∈ 𝜋𝜋𝜋𝜋 ⇒ 5.1 + 1.1 − 2.1 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0 ⇒ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −4
Logo a equação geral do plano 𝜋𝜋𝜋𝜋 é:
𝜋𝜋𝜋𝜋: 5𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧𝑧𝑧 − 4 = 0
3) 
a) Temos:
𝑇𝑇𝑇𝑇(1,0,0) = (1,3,2),𝑇𝑇𝑇𝑇(0,1,0) = (0,−1,0) e 𝑇𝑇𝑇𝑇(0,0,1) = (0,0,1), assim[𝑇𝑇𝑇𝑇]𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = �1 0 03 −1 02 0 1�
b)
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �
1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 0 03 −1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 02 0 1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡� = (1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)2(−1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡) = 0 ⇒ � 𝑡𝑡𝑡𝑡 = 1𝑡𝑡𝑡𝑡 = −1
Como 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(−1) = 1 ⇒ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(−1) = 1
Vamos calcular o 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(1) = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑑(1), visto que 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(1) = 2 
𝑑𝑑𝑑𝑑(1)
�
1 0 03 −1 02 0 1��𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦𝑧𝑧𝑧𝑧� = 1. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦𝑧𝑧𝑧𝑧� ⇒ �3 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑦𝑦𝑦𝑦2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑧𝑧𝑧𝑧 = 𝑧𝑧𝑧𝑧 ⇒ � 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 0𝑧𝑧𝑧𝑧 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟𝑟𝑟, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(1) = [(0,0,1)],
assim dim𝑑𝑑𝑑𝑑(1) = 1 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(1) ≠ 2 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(1), portanto 𝑇𝑇𝑇𝑇 não é diagonalizável.
4) 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �2 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 23 1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡� = (2 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)(1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡) − 6 = 0 ⇒ 𝑡𝑡𝑡𝑡2 − 3𝑡𝑡𝑡𝑡 − 4 = 0 ⇒ �𝑡𝑡𝑡𝑡 = −1𝑡𝑡𝑡𝑡 = 4
𝑑𝑑𝑑𝑑(−1)
�2 23 1� �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� = −1. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� ⇒ �2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦 = −𝑥𝑥𝑥𝑥3𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 = −𝑦𝑦𝑦𝑦 ⇒ 𝑦𝑦𝑦𝑦 = −32 𝑥𝑥𝑥𝑥, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(−1) = [(2,−3)],
𝑑𝑑𝑑𝑑(4)
�2 23 1� �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� = 4. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� ⇒ �2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥𝑥𝑥3𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 4𝑦𝑦𝑦𝑦 ⇒ 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑥𝑥, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(4) = [(1,1)],
Vamos calcular�𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵
�����⃗ , 𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠� = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �1 −1 11 1 31 −1 2� = 5 − 1 − 2 = 2
Vamos calcular 𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �𝚤𝚤𝚤𝚤 𝚥𝚥𝚥𝚥 𝑘𝑘𝑘𝑘�⃗1 1 31 −1 2� = (5,1,−2), assim ‖𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠‖ = √30
Temos, então: 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠) = 2
√30
= 2√30
30
= √30
15
b) Um vetor 𝑛𝑛𝑛𝑛�⃗ , normal ao plano 𝜋𝜋𝜋𝜋, é dado por:
𝑛𝑛𝑛𝑛�⃗ = 𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠 = 5𝚤𝚤𝚤𝚤 + 𝚥𝚥𝚥𝚥 − 2𝑘𝑘𝑘𝑘�⃗
Assim 𝜋𝜋𝜋𝜋 tem uma equação geral da forma 5𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧𝑧𝑧 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0
Como 𝑃𝑃𝑃𝑃 ∈ 𝜋𝜋𝜋𝜋 ⇒ 5.1 + 1.1 − 2.1 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0 ⇒ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −4
Logo a equação geral do plano 𝜋𝜋𝜋𝜋 é:
𝜋𝜋𝜋𝜋: 5𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧𝑧𝑧 − 4 = 0
3) 
a) Temos:
𝑇𝑇𝑇𝑇(1,0,0) = (1,3,2),𝑇𝑇𝑇𝑇(0,1,0) = (0,−1,0) e 𝑇𝑇𝑇𝑇(0,0,1) = (0,0,1), assim[𝑇𝑇𝑇𝑇]𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = �1 0 03 −1 02 0 1�
b)
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �
1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 0 03 −1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 02 0 1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡� = (1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)2(−1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡) = 0 ⇒ � 𝑡𝑡𝑡𝑡 = 1𝑡𝑡𝑡𝑡 = −1
Como 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(−1) = 1 ⇒ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(−1) = 1
Vamos calcular o 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(1) = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑑(1), visto que 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(1) = 2 
𝑑𝑑𝑑𝑑(1)
�
1 0 03 −1 02 0 1��𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦𝑧𝑧𝑧𝑧� = 1. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦𝑧𝑧𝑧𝑧� ⇒ �3 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑦𝑦𝑦𝑦2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑧𝑧𝑧𝑧 = 𝑧𝑧𝑧𝑧 ⇒ � 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 0𝑧𝑧𝑧𝑧 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟𝑟𝑟, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(1) = [(0,0,1)],
assim dim𝑑𝑑𝑑𝑑(1) = 1 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(1) ≠ 2 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(1), portanto 𝑇𝑇𝑇𝑇 não é diagonalizável.
4) 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �2 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 23 1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡� = (2 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)(1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡) − 6 = 0 ⇒ 𝑡𝑡𝑡𝑡2 − 3𝑡𝑡𝑡𝑡 − 4 = 0 ⇒ �𝑡𝑡𝑡𝑡 = −1𝑡𝑡𝑡𝑡 = 4
𝑑𝑑𝑑𝑑(−1)
�2 23 1� �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� = −1. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� ⇒ �2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦 = −𝑥𝑥𝑥𝑥3𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 = −𝑦𝑦𝑦𝑦 ⇒ 𝑦𝑦𝑦𝑦 = −32 𝑥𝑥𝑥𝑥, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(−1) = [(2,−3)],
𝑑𝑑𝑑𝑑(4)
�2 23 1� �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� = 4. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� ⇒ �2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥𝑥𝑥3𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 4𝑦𝑦𝑦𝑦 ⇒ 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑥𝑥, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(4) = [(1,1)],
Assim
�𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵�����⃗ , 𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠� = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �1 −1 11 1 31 −1 2� = 5 − 1 − 2 = 2
Vamos calcular 𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �𝚤𝚤𝚤𝚤 𝚥𝚥𝚥𝚥 𝑘𝑘𝑘𝑘�⃗1 1 31 −1 2� = (5,1,−2), assim ‖𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠‖ = √30
Temos, então: 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠) = 2
√30
= 2√30
30
= √30
15
b) Um vetor 𝑛𝑛𝑛𝑛�⃗ , normal ao plano 𝜋𝜋𝜋𝜋, é dado por:
𝑛𝑛𝑛𝑛�⃗ = 𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠 = 5𝚤𝚤𝚤𝚤 + 𝚥𝚥𝚥𝚥 − 2𝑘𝑘𝑘𝑘�⃗
Assim 𝜋𝜋𝜋𝜋 tem uma equação geral da forma 5𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧𝑧𝑧 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0
Como 𝑃𝑃𝑃𝑃 ∈ 𝜋𝜋𝜋𝜋 ⇒ 5.1 + 1.1 − 2.1 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0 ⇒ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −4
Logo a equação geral do plano 𝜋𝜋𝜋𝜋 é:
𝜋𝜋𝜋𝜋: 5𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧𝑧𝑧 − 4 = 0
3) 
a) Temos:
𝑇𝑇𝑇𝑇(1,0,0) = (1,3,2),𝑇𝑇𝑇𝑇(0,1,0) = (0,−1,0) e 𝑇𝑇𝑇𝑇(0,0,1) = (0,0,1), assim[𝑇𝑇𝑇𝑇]𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = �1 0 03 −1 02 0 1�
b)
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �
1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 0 03 −1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 02 0 1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡� = (1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)2(−1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡) = 0 ⇒ � 𝑡𝑡𝑡𝑡 = 1𝑡𝑡𝑡𝑡 = −1
Como 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(−1) = 1 ⇒ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(−1)= 1
Vamos calcular o 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(1) = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑑(1), visto que 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(1) = 2 
𝑑𝑑𝑑𝑑(1)
�
1 0 03 −1 02 0 1��𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦𝑧𝑧𝑧𝑧� = 1. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦𝑧𝑧𝑧𝑧� ⇒ �3 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑦𝑦𝑦𝑦2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑧𝑧𝑧𝑧 = 𝑧𝑧𝑧𝑧 ⇒ � 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 0𝑧𝑧𝑧𝑧 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟𝑟𝑟, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(1) = [(0,0,1)],
assim dim𝑑𝑑𝑑𝑑(1) = 1 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(1) ≠ 2 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(1), portanto 𝑇𝑇𝑇𝑇 não é diagonalizável.
4) 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �2 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 23 1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡� = (2 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)(1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡) − 6 = 0 ⇒ 𝑡𝑡𝑡𝑡2 − 3𝑡𝑡𝑡𝑡 − 4 = 0 ⇒ �𝑡𝑡𝑡𝑡 = −1𝑡𝑡𝑡𝑡 = 4
𝑑𝑑𝑑𝑑(−1)
�2 23 1� �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� = −1. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� ⇒ �2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦 = −𝑥𝑥𝑥𝑥3𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 = −𝑦𝑦𝑦𝑦 ⇒ 𝑦𝑦𝑦𝑦 = −32 𝑥𝑥𝑥𝑥, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(−1) = [(2,−3)],
𝑑𝑑𝑑𝑑(4)
�2 23 1� �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� = 4. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� ⇒ �2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥𝑥𝑥3𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 4𝑦𝑦𝑦𝑦 ⇒ 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑥𝑥, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(4) = [(1,1)],
Temos, então: 
�𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵�����⃗ , 𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠� = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �1 −1 11 1 31 −1 2� = 5 − 1 − 2 = 2
Vamos calcular 𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �𝚤𝚤𝚤𝚤 𝚥𝚥𝚥𝚥 𝑘𝑘𝑘𝑘�⃗1 1 31 −1 2� = (5,1,−2), assim ‖𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠‖ = √30
Temos, então: 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠) = 2
√30
= 2√30
30
= √30
15
b) Um vetor 𝑛𝑛𝑛𝑛�⃗ , normal ao plano 𝜋𝜋𝜋𝜋, é dado por:
𝑛𝑛𝑛𝑛�⃗ = 𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠 = 5𝚤𝚤𝚤𝚤 + 𝚥𝚥𝚥𝚥 − 2𝑘𝑘𝑘𝑘�⃗
Assim 𝜋𝜋𝜋𝜋 tem uma equação geral da forma 5𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧𝑧𝑧 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0
Como 𝑃𝑃𝑃𝑃 ∈ 𝜋𝜋𝜋𝜋 ⇒ 5.1 + 1.1 − 2.1 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0 ⇒ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −4
Logo a equação geral do plano 𝜋𝜋𝜋𝜋 é:
𝜋𝜋𝜋𝜋: 5𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧𝑧𝑧 − 4 = 0
3) 
a) Temos:
𝑇𝑇𝑇𝑇(1,0,0) = (1,3,2),𝑇𝑇𝑇𝑇(0,1,0) = (0,−1,0) e 𝑇𝑇𝑇𝑇(0,0,1) = (0,0,1), assim[𝑇𝑇𝑇𝑇]𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = �1 0 03 −1 02 0 1�
b)
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �
1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 0 03 −1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 02 0 1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡� = (1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)2(−1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡) = 0 ⇒ � 𝑡𝑡𝑡𝑡 = 1𝑡𝑡𝑡𝑡 = −1
Como 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(−1) = 1 ⇒ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(−1) = 1
Vamos calcular o 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(1) = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑑(1), visto que 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(1) = 2 
𝑑𝑑𝑑𝑑(1)
�
1 0 03 −1 02 0 1��𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦𝑧𝑧𝑧𝑧� = 1. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦𝑧𝑧𝑧𝑧� ⇒ �3 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑦𝑦𝑦𝑦2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑧𝑧𝑧𝑧 = 𝑧𝑧𝑧𝑧 ⇒ � 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 0𝑧𝑧𝑧𝑧 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟𝑟𝑟, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(1) = [(0,0,1)],
assim dim𝑑𝑑𝑑𝑑(1) = 1 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(1) ≠ 2 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(1), portanto 𝑇𝑇𝑇𝑇 não é diagonalizável.
4) 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �2 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 23 1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡� = (2 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)(1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡) − 6 = 0 ⇒ 𝑡𝑡𝑡𝑡2 − 3𝑡𝑡𝑡𝑡 − 4 = 0 ⇒ �𝑡𝑡𝑡𝑡 = −1𝑡𝑡𝑡𝑡 = 4
𝑑𝑑𝑑𝑑(−1)
�2 23 1� �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� = −1. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� ⇒ �2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦 = −𝑥𝑥𝑥𝑥3𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 = −𝑦𝑦𝑦𝑦 ⇒ 𝑦𝑦𝑦𝑦 = −32 𝑥𝑥𝑥𝑥, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(−1) = [(2,−3)],
𝑑𝑑𝑑𝑑(4)
�2 23 1� �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� = 4. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� ⇒ �2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥𝑥𝑥3𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 4𝑦𝑦𝑦𝑦 ⇒ 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑥𝑥, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(4) = [(1,1)],
b. Um vetor n→, normal ao plano π, é dado por:
�𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵�����⃗ , 𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠� = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �1 −1 11 1 31 −1 2� = 5 − 1 − 2 = 2
Vamos calcular 𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �𝚤𝚤𝚤𝚤 𝚥𝚥𝚥𝚥 𝑘𝑘𝑘𝑘�⃗1 1 31 −1 2� = (5,1,−2), assim ‖𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠‖ = √30
Temos, então: 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠) = 2
√30
= 2√30
30
= √30
15
b) Um vetor 𝑛𝑛𝑛𝑛�⃗ , normal ao plano 𝜋𝜋𝜋𝜋, é dado por:
𝑛𝑛𝑛𝑛�⃗ = 𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠 = 5𝚤𝚤𝚤𝚤 + 𝚥𝚥𝚥𝚥 − 2𝑘𝑘𝑘𝑘�⃗
Assim 𝜋𝜋𝜋𝜋 tem uma equação geral da forma 5𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧𝑧𝑧 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0
Como 𝑃𝑃𝑃𝑃 ∈ 𝜋𝜋𝜋𝜋 ⇒ 5.1 + 1.1 − 2.1 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0 ⇒ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −4
Logo a equação geral do plano 𝜋𝜋𝜋𝜋 é:
𝜋𝜋𝜋𝜋: 5𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧𝑧𝑧 − 4 = 0
3) 
a) Temos:
𝑇𝑇𝑇𝑇(1,0,0) = (1,3,2),𝑇𝑇𝑇𝑇(0,1,0) = (0,−1,0) e 𝑇𝑇𝑇𝑇(0,0,1) = (0,0,1), assim[𝑇𝑇𝑇𝑇]𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = �1 0 03 −1 02 0 1�
b)
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �
1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 0 03 −1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 02 0 1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡� = (1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)2(−1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡) = 0 ⇒ � 𝑡𝑡𝑡𝑡 = 1𝑡𝑡𝑡𝑡 = −1
Como 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(−1) = 1 ⇒ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(−1) = 1
Vamos calcular o 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(1) = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑑(1), visto que 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(1) = 2 
𝑑𝑑𝑑𝑑(1)
�
1 0 03 −1 02 0 1��𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦𝑧𝑧𝑧𝑧� = 1. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦𝑧𝑧𝑧𝑧� ⇒ �3 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑦𝑦𝑦𝑦2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑧𝑧𝑧𝑧 = 𝑧𝑧𝑧𝑧 ⇒ � 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 0𝑧𝑧𝑧𝑧 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟𝑟𝑟, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(1) = [(0,0,1)],
assim dim𝑑𝑑𝑑𝑑(1) = 1 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(1) ≠ 2 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(1), portanto 𝑇𝑇𝑇𝑇 não é diagonalizável.
4) 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �2 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 23 1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡� = (2 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)(1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡) − 6 = 0 ⇒ 𝑡𝑡𝑡𝑡2 − 3𝑡𝑡𝑡𝑡 − 4 = 0 ⇒ �𝑡𝑡𝑡𝑡 = −1𝑡𝑡𝑡𝑡 = 4
𝑑𝑑𝑑𝑑(−1)
�2 23 1� �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� = −1. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� ⇒ �2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦 = −𝑥𝑥𝑥𝑥3𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 = −𝑦𝑦𝑦𝑦 ⇒ 𝑦𝑦𝑦𝑦 = −32 𝑥𝑥𝑥𝑥, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(−1) = [(2,−3)],
𝑑𝑑𝑑𝑑(4)
�2 23 1� �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� = 4. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� ⇒ �2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥𝑥𝑥3𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 4𝑦𝑦𝑦𝑦 ⇒ 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑥𝑥, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(4) = [(1,1)],
Assim π tem uma equação geral da forma 5x + y – 2z 
+ d = 0
Como P ∈ π ⇒ 5.1 + 1.1 – 2.1 + d = 0 ⇒ d = –4
Logo a equação geral do plano π é:
π: 5x + y - 2z - 4 = 0
questão 3
a. Temos: T(1,0,0) = (1,3,2), T(0,1,0) = (0,–1,0) e T(0,0,1) = 
(0,0,1), assim
b. 
�𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵�����⃗ , 𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠� = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �1 −1 11 1 31 −1 2� = 5 − 1 − 2 = 2
Vamos calcular 𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �𝚤𝚤𝚤𝚤 𝚥𝚥𝚥𝚥 𝑘𝑘𝑘𝑘�⃗1 1 31 −1 2� = (5,1,−2), assim ‖𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠‖ = √30
Temos, então: 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠) = 2
√30
= 2√30
30
= √30
15
b) Um vetor 𝑛𝑛𝑛𝑛�⃗ , normal ao plano 𝜋𝜋𝜋𝜋, é dado por:
𝑛𝑛𝑛𝑛�⃗ = 𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠 = 5𝚤𝚤𝚤𝚤 + 𝚥𝚥𝚥𝚥 − 2𝑘𝑘𝑘𝑘�⃗
Assim 𝜋𝜋𝜋𝜋 tem uma equação geral da forma 5𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧𝑧𝑧 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0
Como 𝑃𝑃𝑃𝑃 ∈ 𝜋𝜋𝜋𝜋 ⇒ 5.1 + 1.1 − 2.1 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0 ⇒ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −4
Logo a equação geral do plano 𝜋𝜋𝜋𝜋 é:
𝜋𝜋𝜋𝜋: 5𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧𝑧𝑧 − 4 = 0
3) 
a) Temos:
𝑇𝑇𝑇𝑇(1,0,0) = (1,3,2),𝑇𝑇𝑇𝑇(0,1,0) = (0,−1,0) e 𝑇𝑇𝑇𝑇(0,0,1) = (0,0,1), assim[𝑇𝑇𝑇𝑇]𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = �1 0 03 −1 02 0 1�
b)
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �
1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 0 03 −1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 02 0 1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡� = (1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)2(−1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡) = 0 ⇒ � 𝑡𝑡𝑡𝑡 = 1𝑡𝑡𝑡𝑡 = −1
Como 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(−1) = 1 ⇒ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(−1) = 1
Vamos calcular o 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(1) = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑑(1), visto que 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(1) = 2 
𝑑𝑑𝑑𝑑(1)
�
1 0 03 −1 02 0 1��𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦𝑧𝑧𝑧𝑧� = 1. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦𝑧𝑧𝑧𝑧� ⇒ �3 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑦𝑦𝑦𝑦2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑧𝑧𝑧𝑧 = 𝑧𝑧𝑧𝑧 ⇒ � 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 0𝑧𝑧𝑧𝑧 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟𝑟𝑟, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(1) = [(0,0,1)],
assim dim𝑑𝑑𝑑𝑑(1) = 1 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(1) ≠ 2 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(1), portanto 𝑇𝑇𝑇𝑇 não é diagonalizável.
4) 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �2 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 23 1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡� = (2 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)(1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡) − 6 = 0 ⇒ 𝑡𝑡𝑡𝑡2 − 3𝑡𝑡𝑡𝑡 − 4 = 0 ⇒ �𝑡𝑡𝑡𝑡 = −1𝑡𝑡𝑡𝑡 = 4
𝑑𝑑𝑑𝑑(−1)
�2 23 1� �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� = −1. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� ⇒ �2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦 = −𝑥𝑥𝑥𝑥3𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 = −𝑦𝑦𝑦𝑦 ⇒ 𝑦𝑦𝑦𝑦 = −32 𝑥𝑥𝑥𝑥, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(−1) = [(2,−3)],
𝑑𝑑𝑑𝑑(4)
�2 23 1� �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� = 4. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� ⇒ �2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥𝑥𝑥3𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 4𝑦𝑦𝑦𝑦 ⇒ 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑥𝑥, logo𝑑𝑑𝑑𝑑(4) = [(1,1)],
�𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵�����⃗ , 𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠� = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �1 −1 11 1 31 −1 2� = 5 − 1 − 2 = 2
Vamos calcular 𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �𝚤𝚤𝚤𝚤 𝚥𝚥𝚥𝚥 𝑘𝑘𝑘𝑘�⃗1 1 31 −1 2� = (5,1,−2), assim ‖𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠‖ = √30
Temos, então: 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠) = 2
√30
= 2√30
30
= √30
15
b) Um vetor 𝑛𝑛𝑛𝑛�⃗ , normal ao plano 𝜋𝜋𝜋𝜋, é dado por:
𝑛𝑛𝑛𝑛�⃗ = 𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠 = 5𝚤𝚤𝚤𝚤 + 𝚥𝚥𝚥𝚥 − 2𝑘𝑘𝑘𝑘�⃗
Assim 𝜋𝜋𝜋𝜋 tem uma equação geral da forma 5𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧𝑧𝑧 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0
Como 𝑃𝑃𝑃𝑃 ∈ 𝜋𝜋𝜋𝜋 ⇒ 5.1 + 1.1 − 2.1 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0 ⇒ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −4
Logo a equação geral do plano 𝜋𝜋𝜋𝜋 é:
𝜋𝜋𝜋𝜋: 5𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧𝑧𝑧 − 4 = 0
3) 
a) Temos:
𝑇𝑇𝑇𝑇(1,0,0) = (1,3,2),𝑇𝑇𝑇𝑇(0,1,0) = (0,−1,0) e 𝑇𝑇𝑇𝑇(0,0,1) = (0,0,1), assim[𝑇𝑇𝑇𝑇]𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = �1 0 03 −1 02 0 1�
b)
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �
1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 0 03 −1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 02 0 1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡� = (1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)2(−1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡) = 0 ⇒ � 𝑡𝑡𝑡𝑡 = 1𝑡𝑡𝑡𝑡 = −1
Como 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(−1) = 1 ⇒ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(−1) = 1
Vamos calcular o 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(1) = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑑(1), visto que 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(1) = 2 
𝑑𝑑𝑑𝑑(1)
�
1 0 03 −1 02 0 1��𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦𝑧𝑧𝑧𝑧� = 1. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦𝑧𝑧𝑧𝑧� ⇒ �3 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑦𝑦𝑦𝑦2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑧𝑧𝑧𝑧 = 𝑧𝑧𝑧𝑧 ⇒ � 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 0𝑧𝑧𝑧𝑧 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟𝑟𝑟, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(1) = [(0,0,1)],
assim dim𝑑𝑑𝑑𝑑(1) = 1 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(1) ≠ 2 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(1), portanto 𝑇𝑇𝑇𝑇 não é diagonalizável.
4) 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �2 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 23 1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡� = (2 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)(1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡) − 6 = 0 ⇒ 𝑡𝑡𝑡𝑡2 − 3𝑡𝑡𝑡𝑡 − 4 = 0 ⇒ �𝑡𝑡𝑡𝑡 = −1𝑡𝑡𝑡𝑡 = 4
𝑑𝑑𝑑𝑑(−1)
�2 23 1� �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� = −1. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� ⇒ �2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦 = −𝑥𝑥𝑥𝑥3𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 = −𝑦𝑦𝑦𝑦 ⇒ 𝑦𝑦𝑦𝑦 = −32 𝑥𝑥𝑥𝑥, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(−1) = [(2,−3)],
𝑑𝑑𝑑𝑑(4)
�2 23 1� �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� = 4. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� ⇒ �2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥𝑥𝑥3𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 4𝑦𝑦𝑦𝑦 ⇒ 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑥𝑥, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(4) = [(1,1)],
�𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵�����⃗ , 𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠� = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �1 −1 11 1 31 −1 2� = 5 − 1 − 2 = 2
Vamos calcular 𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �𝚤𝚤𝚤𝚤 𝚥𝚥𝚥𝚥 𝑘𝑘𝑘𝑘�⃗1 1 31 −1 2� = (5,1,−2), assim ‖𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠‖ = √30
Temos, então: 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠) = 2
√30
= 2√30
30
= √30
15
b) Um vetor 𝑛𝑛𝑛𝑛�⃗ , normal ao plano 𝜋𝜋𝜋𝜋, é dado por:
𝑛𝑛𝑛𝑛�⃗ = 𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠 = 5𝚤𝚤𝚤𝚤 + 𝚥𝚥𝚥𝚥 − 2𝑘𝑘𝑘𝑘�⃗
Assim 𝜋𝜋𝜋𝜋 tem uma equação geral da forma 5𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧𝑧𝑧 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0
Como 𝑃𝑃𝑃𝑃 ∈ 𝜋𝜋𝜋𝜋 ⇒ 5.1 + 1.1 − 2.1 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0 ⇒ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −4
Logo a equação geral do plano 𝜋𝜋𝜋𝜋 é:
𝜋𝜋𝜋𝜋: 5𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧𝑧𝑧 − 4 = 0
3) 
a) Temos:
𝑇𝑇𝑇𝑇(1,0,0) = (1,3,2),𝑇𝑇𝑇𝑇(0,1,0) = (0,−1,0) e 𝑇𝑇𝑇𝑇(0,0,1) = (0,0,1), assim[𝑇𝑇𝑇𝑇]𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = �1 0 03 −1 02 0 1�
b)
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �
1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 0 03 −1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 02 0 1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡� = (1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)2(−1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡) = 0 ⇒ � 𝑡𝑡𝑡𝑡 = 1𝑡𝑡𝑡𝑡 = −1
Como 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(−1) = 1 ⇒ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(−1) = 1
Vamos calcular o 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(1) = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑑(1), visto que 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(1) = 2 
𝑑𝑑𝑑𝑑(1)
�
1 0 03 −1 02 0 1��𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦𝑧𝑧𝑧𝑧� = 1. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦𝑧𝑧𝑧𝑧� ⇒ �3 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑦𝑦𝑦𝑦2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑧𝑧𝑧𝑧 = 𝑧𝑧𝑧𝑧 ⇒ � 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 0𝑧𝑧𝑧𝑧 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟𝑟𝑟, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(1) = [(0,0,1)],
assim dim𝑑𝑑𝑑𝑑(1) = 1 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(1) ≠ 2 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(1), portanto 𝑇𝑇𝑇𝑇 não é diagonalizável.
4) 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �2 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 23 1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡� = (2 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)(1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡) − 6 = 0 ⇒ 𝑡𝑡𝑡𝑡2 − 3𝑡𝑡𝑡𝑡 − 4 = 0 ⇒ �𝑡𝑡𝑡𝑡 = −1𝑡𝑡𝑡𝑡 = 4
𝑑𝑑𝑑𝑑(−1)
�2 23 1� �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� = −1. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� ⇒ �2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦 = −𝑥𝑥𝑥𝑥3𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 = −𝑦𝑦𝑦𝑦 ⇒ 𝑦𝑦𝑦𝑦 = −32 𝑥𝑥𝑥𝑥, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(−1) = [(2,−3)],
𝑑𝑑𝑑𝑑(4)
�2 23 1� �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� = 4. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� ⇒ �2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥𝑥𝑥3𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 4𝑦𝑦𝑦𝑦 ⇒ 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑥𝑥, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(4) = [(1,1)],
Como ma (–1) = 1mg (–1) = 1
Vamos calcular o mg (1) = dimV(1), visto que ma (1) = 2 
V(1)
�𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵�����⃗ , 𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠� = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �1 −1 11 1 31 −1 2� = 5 − 1 − 2 = 2
Vamos calcular 𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �𝚤𝚤𝚤𝚤 𝚥𝚥𝚥𝚥 𝑘𝑘𝑘𝑘�⃗1 1 31 −1 2� = (5,1,−2), assim ‖𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠‖ = √30
Temos, então: 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠) = 2
√30
= 2√30
30
= √30
15
b) Um vetor 𝑛𝑛𝑛𝑛�⃗ , normal ao plano 𝜋𝜋𝜋𝜋, é dado por:
𝑛𝑛𝑛𝑛�⃗ = 𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠 = 5𝚤𝚤𝚤𝚤 + 𝚥𝚥𝚥𝚥 − 2𝑘𝑘𝑘𝑘�⃗
Assim 𝜋𝜋𝜋𝜋 tem uma equação geral da forma 5𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧𝑧𝑧 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0
Como 𝑃𝑃𝑃𝑃 ∈ 𝜋𝜋𝜋𝜋 ⇒ 5.1 + 1.1 − 2.1 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0 ⇒ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −4
Logo a equação geral do plano 𝜋𝜋𝜋𝜋 é:
𝜋𝜋𝜋𝜋: 5𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧𝑧𝑧 − 4 = 0
3) 
a) Temos:
𝑇𝑇𝑇𝑇(1,0,0) = (1,3,2),𝑇𝑇𝑇𝑇(0,1,0) = (0,−1,0) e 𝑇𝑇𝑇𝑇(0,0,1) = (0,0,1), assim[𝑇𝑇𝑇𝑇]𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = �1 0 03 −1 02 0 1�
b)
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �
1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 0 03 −1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 02 0 1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡� = (1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)2(−1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡) = 0 ⇒ � 𝑡𝑡𝑡𝑡 = 1𝑡𝑡𝑡𝑡 = −1
Como 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(−1) = 1 ⇒ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(−1) = 1
Vamos calcular o 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(1) = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑑(1), visto que 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(1) = 2 
𝑑𝑑𝑑𝑑(1)
�
1 0 03 −1 02 0 1��𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦𝑧𝑧𝑧𝑧� = 1. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦𝑧𝑧𝑧𝑧� ⇒ �3 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑦𝑦𝑦𝑦2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑧𝑧𝑧𝑧 = 𝑧𝑧𝑧𝑧 ⇒ � 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 0𝑧𝑧𝑧𝑧 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟𝑟𝑟, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(1) = [(0,0,1)],
assim dim𝑑𝑑𝑑𝑑(1) = 1 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(1) ≠ 2 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(1), portanto 𝑇𝑇𝑇𝑇 não é diagonalizável.
4) 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �2 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 23 1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡� = (2 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)(1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡) − 6 = 0 ⇒ 𝑡𝑡𝑡𝑡2 − 3𝑡𝑡𝑡𝑡 − 4 = 0 ⇒ �𝑡𝑡𝑡𝑡 = −1𝑡𝑡𝑡𝑡 = 4
𝑑𝑑𝑑𝑑(−1)
�2 23 1� �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� = −1. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� ⇒ �2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦 = −𝑥𝑥𝑥𝑥3𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 = −𝑦𝑦𝑦𝑦 ⇒ 𝑦𝑦𝑦𝑦 = −32 𝑥𝑥𝑥𝑥, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(−1) = [(2,−3)],
𝑑𝑑𝑑𝑑(4)
�2 23 1� �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� = 4. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� ⇒ �2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥𝑥𝑥3𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 4𝑦𝑦𝑦𝑦 ⇒ 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑥𝑥, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(4) = [(1,1)],
�𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵�����⃗ , 𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠� = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �1 −1 11 1 31 −1 2� = 5 − 1 − 2 = 2
Vamos calcular 𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �𝚤𝚤𝚤𝚤 𝚥𝚥𝚥𝚥 𝑘𝑘𝑘𝑘�⃗1 1 31 −1 2� = (5,1,−2), assim ‖𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠‖ = √30
Temos, então: 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠) = 2
√30
= 2√30
30
= √30
15
b) Um vetor 𝑛𝑛𝑛𝑛�⃗ , normal ao plano 𝜋𝜋𝜋𝜋, é dado por:
𝑛𝑛𝑛𝑛�⃗ = 𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠 = 5𝚤𝚤𝚤𝚤 + 𝚥𝚥𝚥𝚥 − 2𝑘𝑘𝑘𝑘�⃗
Assim 𝜋𝜋𝜋𝜋 tem uma equação geral da forma 5𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧𝑧𝑧 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0
Como 𝑃𝑃𝑃𝑃 ∈ 𝜋𝜋𝜋𝜋 ⇒ 5.1 + 1.1 − 2.1 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0 ⇒ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −4
Logo a equação geral do plano 𝜋𝜋𝜋𝜋 é:
𝜋𝜋𝜋𝜋: 5𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧𝑧𝑧 − 4 = 0
3) 
a) Temos:
𝑇𝑇𝑇𝑇(1,0,0) = (1,3,2),𝑇𝑇𝑇𝑇(0,1,0) = (0,−1,0) e 𝑇𝑇𝑇𝑇(0,0,1) = (0,0,1), assim[𝑇𝑇𝑇𝑇]𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = �1 0 03 −1 02 0 1�
b)
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �
1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 0 03 −1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 02 0 1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡� = (1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)2(−1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡) = 0 ⇒ � 𝑡𝑡𝑡𝑡 = 1𝑡𝑡𝑡𝑡 = −1
Como 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(−1) = 1 ⇒ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(−1) = 1
Vamos calcular o 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(1) = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑑(1), visto que 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(1) = 2 
𝑑𝑑𝑑𝑑(1)
�
1 0 03 −1 02 0 1��𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦𝑧𝑧𝑧𝑧�= 1. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦𝑧𝑧𝑧𝑧� ⇒ �3 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑦𝑦𝑦𝑦2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑧𝑧𝑧𝑧 = 𝑧𝑧𝑧𝑧 ⇒ � 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 0𝑧𝑧𝑧𝑧 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟𝑟𝑟, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(1) = [(0,0,1)],
assim dim𝑑𝑑𝑑𝑑(1) = 1 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(1) ≠ 2 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(1), portanto 𝑇𝑇𝑇𝑇 não é diagonalizável.
4) 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �2 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 23 1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡� = (2 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)(1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡) − 6 = 0 ⇒ 𝑡𝑡𝑡𝑡2 − 3𝑡𝑡𝑡𝑡 − 4 = 0 ⇒ �𝑡𝑡𝑡𝑡 = −1𝑡𝑡𝑡𝑡 = 4
𝑑𝑑𝑑𝑑(−1)
�2 23 1� �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� = −1. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� ⇒ �2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦 = −𝑥𝑥𝑥𝑥3𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 = −𝑦𝑦𝑦𝑦 ⇒ 𝑦𝑦𝑦𝑦 = −32 𝑥𝑥𝑥𝑥, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(−1) = [(2,−3)],
𝑑𝑑𝑑𝑑(4)
�2 23 1� �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� = 4. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� ⇒ �2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥𝑥𝑥3𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 4𝑦𝑦𝑦𝑦 ⇒ 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑥𝑥, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(4) = [(1,1)],
Logo V(1) = [(0,0,1)], assim dimV(1) = 1 = mg (1) ≠ 2 = ma (1), 
portanto T não é diagonalizável. 
questão 4
�𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵�����⃗ , 𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠� = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �1 −1 11 1 31 −1 2� = 5 − 1 − 2 = 2
Vamos calcular 𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �𝚤𝚤𝚤𝚤 𝚥𝚥𝚥𝚥 𝑘𝑘𝑘𝑘�⃗1 1 31 −1 2� = (5,1,−2), assim ‖𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠‖ = √30
Temos, então: 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠) = 2
√30
= 2√30
30
= √30
15
b) Um vetor 𝑛𝑛𝑛𝑛�⃗ , normal ao plano 𝜋𝜋𝜋𝜋, é dado por:
𝑛𝑛𝑛𝑛�⃗ = 𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠 = 5𝚤𝚤𝚤𝚤 + 𝚥𝚥𝚥𝚥 − 2𝑘𝑘𝑘𝑘�⃗
Assim 𝜋𝜋𝜋𝜋 tem uma equação geral da forma 5𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧𝑧𝑧 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0
Como 𝑃𝑃𝑃𝑃 ∈ 𝜋𝜋𝜋𝜋 ⇒ 5.1 + 1.1 − 2.1 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0 ⇒ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −4
Logo a equação geral do plano 𝜋𝜋𝜋𝜋 é:
𝜋𝜋𝜋𝜋: 5𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧𝑧𝑧 − 4 = 0
3) 
a) Temos:
𝑇𝑇𝑇𝑇(1,0,0) = (1,3,2),𝑇𝑇𝑇𝑇(0,1,0) = (0,−1,0) e 𝑇𝑇𝑇𝑇(0,0,1) = (0,0,1), assim[𝑇𝑇𝑇𝑇]𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = �1 0 03 −1 02 0 1�
b)
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �
1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 0 03 −1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 02 0 1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡� = (1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)2(−1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡) = 0 ⇒ � 𝑡𝑡𝑡𝑡 = 1𝑡𝑡𝑡𝑡 = −1
Como 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(−1) = 1 ⇒ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(−1) = 1
Vamos calcular o 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(1) = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑑(1), visto que 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(1) = 2 
𝑑𝑑𝑑𝑑(1)
�
1 0 03 −1 02 0 1��𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦𝑧𝑧𝑧𝑧� = 1. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦𝑧𝑧𝑧𝑧� ⇒ �3 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑦𝑦𝑦𝑦2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑧𝑧𝑧𝑧 = 𝑧𝑧𝑧𝑧 ⇒ � 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 0𝑧𝑧𝑧𝑧 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟𝑟𝑟, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(1) = [(0,0,1)],
assim dim𝑑𝑑𝑑𝑑(1) = 1 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(1) ≠ 2 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(1), portanto 𝑇𝑇𝑇𝑇 não é diagonalizável.
4) 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �2 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 23 1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡� = (2 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)(1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡) − 6 = 0 ⇒ 𝑡𝑡𝑡𝑡2 − 3𝑡𝑡𝑡𝑡 − 4 = 0 ⇒ �𝑡𝑡𝑡𝑡 = −1𝑡𝑡𝑡𝑡 = 4
𝑑𝑑𝑑𝑑(−1)
�2 23 1� �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� = −1. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� ⇒ �2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦 = −𝑥𝑥𝑥𝑥3𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 = −𝑦𝑦𝑦𝑦 ⇒ 𝑦𝑦𝑦𝑦 = −32 𝑥𝑥𝑥𝑥, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(−1) = [(2,−3)],
𝑑𝑑𝑑𝑑(4)
�2 23 1� �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� = 4. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� ⇒ �2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥𝑥𝑥3𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 4𝑦𝑦𝑦𝑦 ⇒ 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑥𝑥, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(4) = [(1,1)],
�𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵�����⃗ , 𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠� = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �1 −1 11 1 31 −1 2� = 5 − 1 − 2 = 2
Vamos calcular 𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �𝚤𝚤𝚤𝚤 𝚥𝚥𝚥𝚥 𝑘𝑘𝑘𝑘�⃗1 1 31 −1 2� = (5,1,−2), assim ‖𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠‖ = √30
Temos, então: 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠) = 2
√30
= 2√30
30
= √30
15
b) Um vetor 𝑛𝑛𝑛𝑛�⃗ , normal ao plano 𝜋𝜋𝜋𝜋, é dado por:
𝑛𝑛𝑛𝑛�⃗ = 𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠 = 5𝚤𝚤𝚤𝚤 + 𝚥𝚥𝚥𝚥 − 2𝑘𝑘𝑘𝑘�⃗
Assim 𝜋𝜋𝜋𝜋 tem uma equação geral da forma 5𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧𝑧𝑧 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0
Como 𝑃𝑃𝑃𝑃 ∈ 𝜋𝜋𝜋𝜋 ⇒ 5.1 + 1.1 − 2.1 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0 ⇒ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −4
Logo a equação geral do plano 𝜋𝜋𝜋𝜋 é:
𝜋𝜋𝜋𝜋: 5𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧𝑧𝑧 − 4 = 0
3) 
a) Temos:
𝑇𝑇𝑇𝑇(1,0,0) = (1,3,2),𝑇𝑇𝑇𝑇(0,1,0) = (0,−1,0) e 𝑇𝑇𝑇𝑇(0,0,1) = (0,0,1), assim[𝑇𝑇𝑇𝑇]𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = �1 0 03 −1 02 0 1�
b)
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �
1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 0 03 −1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 02 0 1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡� = (1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)2(−1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡) = 0 ⇒ � 𝑡𝑡𝑡𝑡 = 1𝑡𝑡𝑡𝑡 = −1
Como 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(−1) = 1 ⇒ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(−1) = 1
Vamos calcular o 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(1) = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑑(1), visto que 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(1) = 2 
𝑑𝑑𝑑𝑑(1)
�
1 0 03 −1 02 0 1��𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦𝑧𝑧𝑧𝑧� = 1. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦𝑧𝑧𝑧𝑧� ⇒ �3 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑦𝑦𝑦𝑦2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑧𝑧𝑧𝑧 = 𝑧𝑧𝑧𝑧 ⇒ � 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 0𝑧𝑧𝑧𝑧 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟𝑟𝑟, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(1) = [(0,0,1)],
assim dim𝑑𝑑𝑑𝑑(1) = 1 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(1) ≠ 2 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(1), portanto 𝑇𝑇𝑇𝑇 não é diagonalizável.
4) 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �2 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 23 1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡� = (2 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)(1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡) − 6 = 0 ⇒ 𝑡𝑡𝑡𝑡2 − 3𝑡𝑡𝑡𝑡 − 4 = 0 ⇒ �𝑡𝑡𝑡𝑡 = −1𝑡𝑡𝑡𝑡 = 4
𝑑𝑑𝑑𝑑(−1)
�2 23 1� �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� = −1. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� ⇒ �2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦 = −𝑥𝑥𝑥𝑥3𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 = −𝑦𝑦𝑦𝑦 ⇒ 𝑦𝑦𝑦𝑦 = −32 𝑥𝑥𝑥𝑥, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(−1) = [(2,−3)],
𝑑𝑑𝑑𝑑(4)
�2 23 1� �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� = 4. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� ⇒ �2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥𝑥𝑥3𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 4𝑦𝑦𝑦𝑦 ⇒ 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑥𝑥, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(4) = [(1,1)],
V(–1)
�𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵�����⃗ , 𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠� = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �1 −1 11 1 31 −1 2� = 5 − 1 − 2 = 2
Vamos calcular 𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �𝚤𝚤𝚤𝚤 𝚥𝚥𝚥𝚥 𝑘𝑘𝑘𝑘�⃗1 1 31 −1 2� = (5,1,−2), assim ‖𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠‖ = √30
Temos, então: 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠) = 2
√30
= 2√30
30
= √30
15
b) Um vetor 𝑛𝑛𝑛𝑛�⃗ , normal ao plano 𝜋𝜋𝜋𝜋, é dado por:
𝑛𝑛𝑛𝑛�⃗ = 𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠 = 5𝚤𝚤𝚤𝚤 + 𝚥𝚥𝚥𝚥 − 2𝑘𝑘𝑘𝑘�⃗
Assim 𝜋𝜋𝜋𝜋 tem uma equação geral da forma 5𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧𝑧𝑧 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0
Como 𝑃𝑃𝑃𝑃 ∈ 𝜋𝜋𝜋𝜋 ⇒ 5.1 + 1.1 − 2.1 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0 ⇒ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −4
Logo a equação geral do plano 𝜋𝜋𝜋𝜋 é:
𝜋𝜋𝜋𝜋: 5𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧𝑧𝑧 − 4 = 0
3) 
a) Temos:
𝑇𝑇𝑇𝑇(1,0,0) = (1,3,2),𝑇𝑇𝑇𝑇(0,1,0) = (0,−1,0) e 𝑇𝑇𝑇𝑇(0,0,1) = (0,0,1), assim[𝑇𝑇𝑇𝑇]𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = �1 0 03 −1 02 0 1�
b)
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �
1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 0 03 −1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 02 0 1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡� = (1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)2(−1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡) = 0 ⇒ � 𝑡𝑡𝑡𝑡 = 1𝑡𝑡𝑡𝑡 = −1
Como 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(−1) = 1 ⇒ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(−1) = 1
Vamos calcular o 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(1) = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑑(1), visto que 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(1) = 2 
𝑑𝑑𝑑𝑑(1)
�
1 0 03 −1 02 0 1��𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦𝑧𝑧𝑧𝑧� = 1. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦𝑧𝑧𝑧𝑧� ⇒ �3 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑦𝑦𝑦𝑦2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑧𝑧𝑧𝑧 = 𝑧𝑧𝑧𝑧 ⇒ � 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 0𝑧𝑧𝑧𝑧 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟𝑟𝑟, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(1) = [(0,0,1)],
assim dim𝑑𝑑𝑑𝑑(1) = 1 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(1) ≠ 2 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(1), portanto 𝑇𝑇𝑇𝑇 não é diagonalizável.
4) 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �2 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 23 1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡� = (2 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)(1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡) − 6 = 0 ⇒ 𝑡𝑡𝑡𝑡2 − 3𝑡𝑡𝑡𝑡 − 4 = 0 ⇒ �𝑡𝑡𝑡𝑡 = −1𝑡𝑡𝑡𝑡 = 4
𝑑𝑑𝑑𝑑(−1)
�2 23 1� �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� = −1. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� ⇒ �2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦 = −𝑥𝑥𝑥𝑥3𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 = −𝑦𝑦𝑦𝑦 ⇒ 𝑦𝑦𝑦𝑦 = −32 𝑥𝑥𝑥𝑥, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(−1) = [(2,−3)],
𝑑𝑑𝑑𝑑(4)
�2 23 1� �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� = 4. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� ⇒ �2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥𝑥𝑥3𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 4𝑦𝑦𝑦𝑦 ⇒ 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑥𝑥, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(4) = [(1,1)],Logo V(–1) = [(2,–3)]V(4)
�𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵�����⃗ , 𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠� = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �1 −1 11 1 31 −1 2� = 5 − 1 − 2 = 2
Vamos calcular 𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �𝚤𝚤𝚤𝚤 𝚥𝚥𝚥𝚥 𝑘𝑘𝑘𝑘�⃗1 1 31 −1 2� = (5,1,−2), assim ‖𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠‖ = √30
Temos, então: 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑠𝑠𝑠𝑠) = 2
√30
= 2√30
30
= √30
15
b) Umvetor 𝑛𝑛𝑛𝑛�⃗ , normal ao plano 𝜋𝜋𝜋𝜋, é dado por:
𝑛𝑛𝑛𝑛�⃗ = 𝑟𝑟𝑟𝑟˄𝑠𝑠𝑠𝑠 = 5𝚤𝚤𝚤𝚤 + 𝚥𝚥𝚥𝚥 − 2𝑘𝑘𝑘𝑘�⃗
Assim 𝜋𝜋𝜋𝜋 tem uma equação geral da forma 5𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧𝑧𝑧 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0
Como 𝑃𝑃𝑃𝑃 ∈ 𝜋𝜋𝜋𝜋 ⇒ 5.1 + 1.1 − 2.1 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0 ⇒ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −4
Logo a equação geral do plano 𝜋𝜋𝜋𝜋 é:
𝜋𝜋𝜋𝜋: 5𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧𝑧𝑧 − 4 = 0
3) 
a) Temos:
𝑇𝑇𝑇𝑇(1,0,0) = (1,3,2),𝑇𝑇𝑇𝑇(0,1,0) = (0,−1,0) e 𝑇𝑇𝑇𝑇(0,0,1) = (0,0,1), assim[𝑇𝑇𝑇𝑇]𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = �1 0 03 −1 02 0 1�
b)
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �
1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 0 03 −1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 02 0 1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡� = (1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)2(−1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡) = 0 ⇒ � 𝑡𝑡𝑡𝑡 = 1𝑡𝑡𝑡𝑡 = −1
Como 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(−1) = 1 ⇒ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(−1) = 1
Vamos calcular o 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(1) = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑑(1), visto que 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(1) = 2 
𝑑𝑑𝑑𝑑(1)
�
1 0 03 −1 02 0 1��𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦𝑧𝑧𝑧𝑧� = 1. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦𝑧𝑧𝑧𝑧� ⇒ �3 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑦𝑦𝑦𝑦2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑧𝑧𝑧𝑧 = 𝑧𝑧𝑧𝑧 ⇒ � 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 0𝑧𝑧𝑧𝑧 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟𝑟𝑟, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(1) = [(0,0,1)],
assim dim𝑑𝑑𝑑𝑑(1) = 1 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(1) ≠ 2 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶(1), portanto 𝑇𝑇𝑇𝑇 não é diagonalizável.
4) 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 �2 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 23 1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡� = (2 − 𝑡𝑡𝑡𝑡)(1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡) − 6 = 0 ⇒ 𝑡𝑡𝑡𝑡2 − 3𝑡𝑡𝑡𝑡 − 4 = 0 ⇒ �𝑡𝑡𝑡𝑡 = −1𝑡𝑡𝑡𝑡 = 4
𝑑𝑑𝑑𝑑(−1)
�2 23 1� �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� = −1. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� ⇒ �2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦 = −𝑥𝑥𝑥𝑥3𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 = −𝑦𝑦𝑦𝑦 ⇒ 𝑦𝑦𝑦𝑦 = −32 𝑥𝑥𝑥𝑥, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(−1) = [(2,−3)],
𝑑𝑑𝑑𝑑(4)
�2 23 1� �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� = 4. �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� ⇒ �2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥𝑥𝑥3𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 4𝑦𝑦𝑦𝑦 ⇒ 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑥𝑥, logo 𝑑𝑑𝑑𝑑(4) = [(1,1)],
Logo V(4) = [(1,1)]
Temos, então, a solução geral:Temos, então, a solução geral:
𝑋𝑋𝑋𝑋(𝑡𝑡𝑡𝑡) = 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑑𝑑𝑑𝑑−𝑡𝑡𝑡𝑡(2,−3) + 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑑𝑑𝑑𝑑4𝑡𝑡𝑡𝑡(1,1) ⇔ � 𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑡𝑡𝑡𝑡) = 2𝑞𝑞𝑞𝑞𝑑𝑑𝑑𝑑−𝑡𝑡𝑡𝑡 + 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑑𝑑𝑑𝑑4𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑡𝑡𝑡𝑡) = −3𝑞𝑞𝑞𝑞𝑑𝑑𝑑𝑑−𝑡𝑡𝑡𝑡 + 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑑𝑑𝑑𝑑4𝑡𝑡𝑡𝑡, impondo as condições 
iniciais:
�
𝑥𝑥𝑥𝑥(0) = 2𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 6
𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑡𝑡𝑡𝑡) = −3𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = −4 ⇒ �𝑞𝑞𝑞𝑞 = 2𝑏𝑏𝑏𝑏 = 2
Assim a solução é: 
�
𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑡𝑡𝑡𝑡) = 4𝑑𝑑𝑑𝑑−𝑡𝑡𝑡𝑡 + 2𝑑𝑑𝑑𝑑4𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑡𝑡𝑡𝑡) = −6𝑑𝑑𝑑𝑑−𝑡𝑡𝑡𝑡 + 2𝑑𝑑𝑑𝑑4𝑡𝑡𝑡𝑡
Temos, então, a solução geral:
𝑋𝑋𝑋𝑋(𝑡𝑡𝑡𝑡) = 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑑𝑑𝑑𝑑−𝑡𝑡𝑡𝑡(2,−3) + 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑑𝑑𝑑𝑑4𝑡𝑡𝑡𝑡(1,1) ⇔ � 𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑡𝑡𝑡𝑡) = 2𝑞𝑞𝑞𝑞𝑑𝑑𝑑𝑑−𝑡𝑡𝑡𝑡 + 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑑𝑑𝑑𝑑4𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑡𝑡𝑡𝑡) = −3𝑞𝑞𝑞𝑞𝑑𝑑𝑑𝑑−𝑡𝑡𝑡𝑡 + 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑑𝑑𝑑𝑑4𝑡𝑡𝑡𝑡, impondo as condições 
iniciais:
�
𝑥𝑥𝑥𝑥(0) = 2𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 6
𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑡𝑡𝑡𝑡) = −3𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = −4 ⇒ �𝑞𝑞𝑞𝑞 = 2𝑏𝑏𝑏𝑏 = 2
Assim a solução é: 
�
𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑡𝑡𝑡𝑡) = 4𝑑𝑑𝑑𝑑−𝑡𝑡𝑡𝑡 + 2𝑑𝑑𝑑𝑑4𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑡𝑡𝑡𝑡) = −6𝑑𝑑𝑑𝑑−𝑡𝑡𝑡𝑡 + 2𝑑𝑑𝑑𝑑4𝑡𝑡𝑡𝑡
Impondo as condições iniciais:
Temos, então, a solução geral:
𝑋𝑋𝑋𝑋(𝑡𝑡𝑡𝑡) = 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑑𝑑𝑑𝑑−𝑡𝑡𝑡𝑡(2,−3) + 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑑𝑑𝑑𝑑4𝑡𝑡𝑡𝑡(1,1) ⇔ � 𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑡𝑡𝑡𝑡) = 2𝑞𝑞𝑞𝑞𝑑𝑑𝑑𝑑−𝑡𝑡𝑡𝑡 + 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑑𝑑𝑑𝑑4𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑡𝑡𝑡𝑡) = −3𝑞𝑞𝑞𝑞𝑑𝑑𝑑𝑑−𝑡𝑡𝑡𝑡 + 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑑𝑑𝑑𝑑4𝑡𝑡𝑡𝑡, impondo as condições 
iniciais:
�
𝑥𝑥𝑥𝑥(0) = 2𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 6
𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑡𝑡𝑡𝑡) = −3𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = −4 ⇒ �𝑞𝑞𝑞𝑞 = 2𝑏𝑏𝑏𝑏 = 2
Assim a solução é: 
�
𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑡𝑡𝑡𝑡) = 4𝑑𝑑𝑑𝑑−𝑡𝑡𝑡𝑡 + 2𝑑𝑑𝑑𝑑4𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑡𝑡𝑡𝑡) = −6𝑑𝑑𝑑𝑑−𝑡𝑡𝑡𝑡 + 2𝑑𝑑𝑑𝑑4𝑡𝑡𝑡𝑡Assim a solução é: 
Temos, então, a solução geral:
𝑋𝑋𝑋𝑋(𝑡𝑡𝑡𝑡) = 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑑𝑑𝑑𝑑−𝑡𝑡𝑡𝑡(2,−3) + 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑑𝑑𝑑𝑑4𝑡𝑡𝑡𝑡(1,1) ⇔ � 𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑡𝑡𝑡𝑡) = 2𝑞𝑞𝑞𝑞𝑑𝑑𝑑𝑑−𝑡𝑡𝑡𝑡 + 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑑𝑑𝑑𝑑4𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑡𝑡𝑡𝑡) = −3𝑞𝑞𝑞𝑞𝑑𝑑𝑑𝑑−𝑡𝑡𝑡𝑡 + 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑑𝑑𝑑𝑑4𝑡𝑡𝑡𝑡, impondo as condições 
iniciais:
�
𝑥𝑥𝑥𝑥(0) = 2𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 6
𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑡𝑡𝑡𝑡) = −3𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = −4 ⇒ �𝑞𝑞𝑞𝑞 = 2𝑏𝑏𝑏𝑏 = 2
Assim a solução é: 
�
𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑡𝑡𝑡𝑡) = 4𝑑𝑑𝑑𝑑−𝑡𝑡𝑡𝑡 + 2𝑑𝑑𝑑𝑑4𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑡𝑡𝑡𝑡) = −6𝑑𝑑𝑑𝑑−𝑡𝑡𝑡𝑡 + 2𝑑𝑑𝑑𝑑4𝑡𝑡𝑡𝑡