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1 Teoria do Portfolio Prof. José Luiz Barros Fernandes 2017.1 2 Sugestão de Leitura • Assaf Neto: – Cap. 11 Teoria do Portfólio • Gitman: – Cap. 5 Risco e Retorno Finanças Corporativas e Valor – ASSAF NETO Capítulo 12 – Teoria do Portfólio Introdução Seleção de carteiras: procura identificar a melhor combinação possível de ativos, obedecendo às preferências do investidor Análise de carteiras: envolve as projeções de retorno esperado e risco conjunto de ativos considerado Análise dos títulos: trata dos fundamentos de avaliação aplicados ao desempenho esperado dos títulos Fases de estudo da avaliação de carteiras Finanças Corporativas e Valor – ASSAF NETO Capítulo 12 – Teoria do Portfólio 12.1 Risco de uma Carteira O risco de uma carteira depende da forma como seus elementos se relacionam A redução do risco de uma carteira pode ser promovida pela seleção de ativos que mantenham relação inversa entre si O risco de um ativo mantido fora de uma carteira é diferente de seu risco quando incluído na carteira Finanças Corporativas e Valor – ASSAF NETO Capítulo 12 – Teoria do Portfólio 12.1 Risco de uma Carteira Risco de uma carteira composta de dois ativos (X e Y): ( ) ( )[ ] 2/1,2222 2 YXYXYYXXp COVWWWW ×××+×+×= σσσ =XW =YW =2Xσ =2Yσ =YXCOV , participação do ativo X no portfólio participação do ativo X no portfólio participação do ativo X no portfólio participação do ativo X no portfólio participação do ativo X no portfólio Finanças Corporativas e Valor – ASSAF NETO Capítulo 12 – Teoria do Portfólio 12.1 Risco de uma Carteira Correlação de dois ativos (X e Y): YX YX YX COV σσ ρ × = ,, Com base nessa expressão, tem-se: YXYXYXCOV σσρ ××= ,, Finanças Corporativas e Valor – ASSAF NETO Capítulo 12 – Teoria do Portfólio 12.1 Risco de uma Carteira Substituindo a fórmula de COVx, y na identidade de cálculo do risco do portfólio para dois ativos, pode-se desenvolver a seguinte expressão bastante adotada ( ) ( )[ ] 2/1,2222 2 YXYXYXYYXXp WWWW σσρσσσ ××××××+×+×= O desvio-padrão de uma carteira de dois ativos (X, Y) é função do: a) desvio-padrão de cada ativo; b) percentual da carreira aplicado no ativo X (Wx) e no ativo Y (Wy); c) coeficiente de correlação dos ativos X e Y (Px, y). Finanças Corporativas e Valor – ASSAF NETO Capítulo 12 – Teoria do Portfólio 12.1 Risco de uma Carteira Expressão geral de cálculo (Markowitz) do desvio-padrão de uma carteira de n ativos 2/1 , 1 1 2 1 1 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +×= ∑∑∑ = == jiji N i N j ji N i Xp WWW σσρσσ Finanças Corporativas e Valor – ASSAF NETO Capítulo 12 – Teoria do Portfólio 12.1 Risco de uma Carteira Exemplo ilustrativo RETORNO RISCO Ação A Ação B 12% 24% 18% 27% CARTEIRAS RISCO DA CARTEIRA AÇÃO A AÇÃO B Retorno CORRELAÇÃO PERFEITA POSITIVA CORRELAÇÃO PERFEITA NEGATIVA 100% 80% 60% 40% 20% 0% 0% 20% 40% 60% 80% 100% 12,0% 14,4% 16,8% 19,2% 21,6% 24,0% 18,0% 19,8% 21,6% 23,4% 25,2% 27,0% 18,0% 13,5% 0,0 9,0% 18,0% 27,0% Retorno esperado da carteira formada com diferentes participações das ações A e B e correlação extremas Finanças Corporativas e Valor – ASSAF NETO Capítulo 12 – Teoria do Portfólio 12.1 Risco de uma Carteira Calculando o risco da carteira de acordo com o modelo de Markowitz, que leva em consideração o risco de cada ativo, sua participação na carteira e a correlação, temos para WA = 80%, WB = 20% e correlação perfeita positiva: ( ) ( )[ ] 2/12222 27,018,0120,080,0227,020,018,080,0 ×××××+×+×=pσ [ ] 2/1 015552,0002916,0020736,0 ++=pσ [ ] 2/1 039204,0=pσ %8,19198,0 ==pσ Finanças Corporativas e Valor – ASSAF NETO Capítulo 12 – Teoria do Portfólio Estudos mostram que a diversificação é capaz de reduzir pela metade o risco da carteira A diversificação deve observar as correlações dos retornos dos ativos, estabelecendo-se a melhor composição possível de uma carteira’ A diversificação de Markowitz permite a redução ou até eliminação total do risco não sistemático 12.1 Risco de uma Carteira Finanças Corporativas e Valor – ASSAF NETO Capítulo 12 – Teoria do Portfólio 12.1 Risco de uma Carteira Exemplo ilustrativo ESTADO DE NATUREZA PROBABI- LIDADE RETORNO DO ATIVO X RETORNO DO ATIVO Y Recessão Médio Bom Excelente 10% 35% 45% 10% – 5% 10% 25% 50% 2% 10% 15% 20% %25,19=XR %45,12=YR PROPORÇÃO DO ATIVO X NO PORTFÓLIO (WX) PROPORÇÃO DO ATIVO Y NO PORTFÓLIO (WY) RETORNO ESPERADO DO PORTFÓLIO RISCO DO PORTFÓLIO 0% 25% 50% 75% 100% 100% 75% 50% 25% 0% 12,45% 14,15% 15,85% 17,55% 19,25% 13,40% 15,08% 22,12% 31,05% 40,65% Finanças Corporativas e Valor – ASSAF NETO Capítulo 12 – Teoria do Portfólio 12.2 Ativos com Correlação Nula Se os retornos esperados de dois ativos forem independentes, ou seja, apresentarem correlação nula (rA, B = 0), o percentual de cada ativo a ser aplicado na carteira considerada de mais baixo risco deve obedecer à seguinte expressão de cálculo: 22 2 BA B AW σσ σ + = 22 2 BA AW σσ σ + =Bou A proporção do ativo B é de (1- ) AW Finanças Corporativas e Valor – ASSAF NETO Capítulo 12 – Teoria do Portfólio Ilustrativamente, admita dois ativos (A e B) com correlação nula entre seus retornos esperados, ou seja: ρA, B = 0 O desvio-padrão do ativo A é de 15% e o do ativo B, de 12%. 12.2 Ativos com Correlação Nula 12,015,0 12,0 22 2 + =AW 0369,0 0144,0 =AW O risco da carteira atinge seu nível mínimo quando a participação do ativo A for de 39,0%, e B, em conseqüência, de 61,0% %3939,0 ==AW Finanças Corporativas e Valor – ASSAF NETO Capítulo 12 – Teoria do Portfólio 12.3 Conjunto de Combinações de Carteiras CARTEIRA PARTICIPAÇÃO DO ATIVO X (WX) PARTICIPAÇÃO DO ATIVO Y (WY) RETORNO ESPERADO E (Rr) = Rr RISCO (sr) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0% 10% 15% 25% 50% 75% 85% 90% 100% 100% 90% 85% 75% 50% 25% 15% 10% 0% 12,45% 13,13% 13,47% 14,15% 15,85% 17,55% 18,23% 18,57% 19,25% 13,40% 13,16% 13,52% 15,08% 22,12% 31,05% 34,80% 36,70% 40,65% Combinações das participações dos ativos X e Y em carteiras ilustrativas Finanças Corporativas e Valor – ASSAF NETO Capítulo 12 – Teoria do Portfólio 12.3 Conjunto de Combinações de Carteiras Linha do conjunto de combinações E R( )= (Retorno esperado) Rρ Z ρX ,Y = –1 M K Y (ativo ) ρX,Y = +1 –1 < ρX,Y < +1 W X(ativo ) Desvio-padrăo ( )σρ Finanças Corporativas e Valor – ASSAF NETO Capítulo 12 – Teoria do Portfólio Para dois ativos (A e B) a carteira de variância mínima pode ser determinada a partir da seguinte expressão: O ponto M representa uma carteira de ativos que apresenta o menor risco possível (carteira de variância mínima) A reta KWZ indica uma correlação perfeitamente negativa entreos ativos, caso de difícil verificação prática ( )[ ] ( ) ( )[ ]BABABABABABAW σσρσσσσρσ ×××−+××−= ,22,2 2/ 12.3 Conjunto de Combinações de Carteiras Finanças Corporativas e Valor – ASSAF NETO Capítulo 12 – Teoria do Portfólio Exemplo ilustrativo 12.3 Conjunto de Combinações de Carteiras CARTEIRA PARTICIPAÇÃO DA AÇÃO A PARTICIPAÇÃO DA AÇÃO B RETORNO ESPERADO DESVIO- PADRÃO A B C D E F 0% 20% 40% 60% 80% 100% 100% 80% 60% 40% 20% 0% 12,0% 13,6% 15,2% 16,8% 18,4% 20,0% 22,0% 20,3% 21,4% 24,9% 29,9% 36,0% Sabe-se que o coeficiente de correlação dos dois ativos é de 0,20 Finanças Corporativas e Valor – ASSAF NETO Capítulo 12 – Teoria do Portfólio 12.3 Conjunto de Combinações de Carteiras ( )[ ] ( ) ( )[ ]BABABABABABAW σσρσσσσρσ ×××−+××−= ,22,2 2/ ( )[ ] ( ) ( )[ ] %25,222225,0031680,01780,0 0322560,0 22,036,020,0222,036,0 22,036,020,022,0 22 2 == − = ×××−+ ××− =AW A carteira M, de variância mínima, é composta de: Participação do Ativo A (WA) = 22,25% e do Ativo B (WB) = 77,75% O retorno esperado e o risco dessa carteira atingem os valores seguintes: E (Rρ) = Rρ = (20% x 0,2225) + (12% x 0,7775) = 13,78% σρ = [(0,362x0,22252)+(0,222x0,77752)+(2x0,2225x0,7775x0,20x0,36x0,22)]1/2 σρ = 20,2% Carteira de Variância Mínima Finanças Corporativas e Valor – ASSAF NETO Capítulo 12 – Teoria do Portfólio 12.3 Conjunto de Combinações de Carteiras Representação gráfica do conjunto de combinações As oportunidades de investimentos a serem consideradas estão localizadas sobre a curva MF - fronteira eficiente E R( )= (Retorno esperado) Rρ ρ 12% 22% 36% σ (Desvio-padrăo dos retornos) ρ M B C D 20% E F A Finanças Corporativas e Valor – ASSAF NETO Capítulo 12 – Teoria do Portfólio 12.4 Fronteira Eficiente O segmento MW, conhecido com fronteira eficiente, insere todas as carteiras possíveis de serem construídas A escolha da melhor carteira é determinada pelo risco/ retorno presente na avaliação de investimentos E R( )= (Retorno esperado) Rρρ Desvio-padrăo ( )σρ A M W 3 2 4 5 6 7 1 Finanças Corporativas e Valor – ASSAF NETO Capítulo 12 – Teoria do Portfólio Exemplo Ilustrativo Ao comparar-se a carteira A, situada sobre a fronteira eficiente, com a carteira 2, localizada dentro da área sombreada, verifica-se que o risco de A é menor, apresentando ambas as carteiras o mesmo nível de retorno. Assim, qualquer carteira situada à direita dessa linha MW (conjunto eficiente) produz maior risco para o mesmo retorno esperado, ou o mesmo nível de risco para um menor retorno esperado. 12.4 Fronteira Eficiente Finanças Corporativas e Valor – ASSAF NETO Capítulo 12 – Teoria do Portfólio 12.4 Fronteira Eficiente Preferências de dois investidores (A e B) diante de carteiras dispostas em fronteira eficiente: As curvas de indiferença traçadas refletem diferentes posturas dos investidores perante o risco E R( )= (Retorno esperado) Rρρ Desvio-padrăo ρ( )σ Investidor A G Investidor B W M Finanças Corporativas e Valor – ASSAF NETO Capítulo 12 – Teoria do Portfólio Apêndice: COVARIÂNCIA E CORRELAÇÃO A covariância positiva (COV > 0) indica que o retorno de dois títulos apresentam comportamento de mesma tendência A covariância é negativa (COV < 0) quando dois ativos apresentam relações inversas Não se verificando associação alguma entre os títulos, a covariância é dita nula (COV = 0) Identifica como determinados valores se inter-relacionam COVARIÂNCIA ( ) ( ) n RRRR COV n k BBAA BA ∑ = −×− = 1, Finanças Corporativas e Valor – ASSAF NETO Capítulo 12 – Teoria do Portfólio Apêndice: COVARIÂNCIA E CORRELAÇÃO Exemplo Ilustrativo Admitindo o desempenho esperado de dois títulos (A e B) diante de três cenários econômicos, temos: Recessão – 15% 20% Estabilidade 35% – 15% SITUAÇÃO DA ECONOMIA RETORNO DO TÍTULO A RETORNO DO TÍTULO B Crescimento 55% 10% – 15% 35% 55% RA = 25% – 40% 10% 30% 20% – 15% 10% RB = 5% 15% – 20% 5% – 6% – 2% 1,5% – 6,5% ( ) ( ) ( ) ( )BABA RRRR −×−−− BABBAA R R R R R R COV = -6,5%/3 = -2,17%. A covariância é negativa, indicando associação inversa entre os dois títulos Finanças Corporativas e Valor – ASSAF NETO Capítulo 12 – Teoria do Portfólio Apêndice: COVARIÂNCIA E CORRELAÇÃO Explica o grau de relacionamento verificado no comportamento de duas ou mais variáveis A quantificação desse relacionamento é medida pelo coeficiente de correlação, que varia de +1 a -1 Variáveis negativamente correlacionadas = -1 Variáveis positivamente correlacionadas = +1 Variáveis sem relação alguma = 0 CORRELAÇÃO 11 , +≤≤− yxρ Finanças Corporativas e Valor – ASSAF NETO Capítulo 12 – Teoria do Portfólio Apêndice: COVARIÂNCIA E CORRELAÇÃO Coeficiente de correlação Valor do coeficiente de correlação para diferentes associações de valores Y X Y X Y X Y X Y X Correlação Positiva Correlação Perfeita Positiva Correlação Negativa Correlação Perfeita Negativa Correlação Nula Finanças Corporativas e Valor – ASSAF NETO Capítulo 12 – Teoria do Portfólio Apêndice: COVARIÂNCIA E CORRELAÇÃO PREÇO DE VENDA (VARIÁVEL X) DEMANDA (VARIÁVEL Y) $ 40 $ 48 $ 52 $ 36 $ 32 10 unidades 8 unidades 7 unidades 11 unidades 12 unidades Exemplo Ilustrativo Admitindo os seguintes valores para a demanda e o preço de venda dos bens de consumo: As variáveis preço e demanda apresentam um movimento conjunto proporcional. Um aumento de $ 8 no preço de venda determina a redução de 20% no número de unidades demandadas. Existe uma correlação perfeita negativa (igual a –1) Finanças Corporativas e Valor – ASSAF NETO Capítulo 12 – Teoria do Portfólio Apêndice: COVARIÂNCIA E CORRELAÇÃO Regressão Linear Expressão matemática que permite identificar a relação das variáveis e realizar projeções futuras A expressão da reta ajustada, em que os valores de X explicarão os de Y, é definida por Onde: Y = variável dependente X = variável explicativa a = coeficiente linear b = coeficiente angular bXaY += Finanças Corporativas e Valor – ASSAF NETO Capítulo 12 – Teoria do Portfólio Apêndice: COVARIÂNCIA E CORRELAÇÃO Função linear das variáveis de estoques (Y) e vendas (X) de uma empresa referentes aos períodos de 19X1 a 19X7 X Vendas ($000) 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 5 10 19 X2 19 X1 19 X4 19 X3 19 X7 19 X6 19 X5 15 20 25 30 E s t o q u e s ( $ 0 0 0 ) Y a bX = + Y X = 03813 + 0,00655 Finanças Corporativas e Valor – ASSAF NETO Capítulo 12 – Teoria do Portfólio Apêndice: COVARIÂNCIA E CORRELAÇÃO XbYa ×−= ( ) ( ) ( ) n X X n YX X b 2 2 ∑∑ ∑∑∑ − × × = X YX VAR COV b ,= Os parâmetros constantes a e b são obtidos de acordo com as seguintes expressões de cálculo: ou Finanças Corporativas e Valor – ASSAF NETO Capítulo 12 – Teoria do Portfólio Apêndice: COVARIÂNCIA E CORRELAÇÃO O parâmetro linear a revela que o estoque alcança $ 0,3813 mil quando asvendas forem nulas (X = 0) A inclinação da reta indica as alterações dos valores dos estoques dadas as variações no montante de vendas Logo, a ocorrência de um aumento de $ 1.000 nas vendas implica alteração de $ 6,55 nos estoques, e assim por diante. Finanças Corporativas e Valor – ASSAF NETO Capítulo 12 – Teoria do Portfólio Bibliografia DAMODARAN, Aswath. Corporate finance. 2. Ed. New York: John Wiley, 2001. FARRELL JR., James L. Portfolio management. 2. Ed. New York: McGraw-Hill, 1997. GRINBLATT, Mark; TITMAN, Sheridan. Financial markets and cosporate strategy. New York: MacGraw-Hill, 1998 SÁ, Geraldo Tosta de. Administração de investimentos: teoria de carteiras e gerenciamento de risco. Rio de Janeiro: Qualitymark, 1999. SHARPE, Willian F.; ALEXANDER, Gordon J.: BAILEY, Jeffrey V. Investments, 6. Ed. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1999.
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