Lista 02

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1 Universidade Federal Fluminense - Departamento de Matemática Aplicada - 2o sem 2012
2a. Lista de Exercicíos de Equações Diferenciais
1. Determine se o ponto x é um ponto ordinário, singular regular ou singular irregular da equação
diferencial linear dada:
Respostas:
(a) x = 1; y ′′ + 3y ′ + 2xy = 0 ponto ordinário
(b) x = 2, (x+ 2)y ′′ + (x2 + 2)y ′ + (x− 2)2y = 0 ponto ordinário
(c) x = 0, (x+ 1)y ′′ + (1/x)y ′ + xy = 0 ponto singular regular
(d) x = −1, (x+ 1)y ′′ + (1/x)y ′ + xy = 0 ponto singular regular
(e) x = 0, x3y ′′ + y = 0 ponto singular irregular
(f) x = 0, x2y ′′ + y = 0 ponto singular regular
(g) x = 0, exy ′′ + (sen(x))y ′ + xy = 0 ponto ordinário
2. Determine a solução geral em série, numa vizinhança do ponto indicado, das seguintes equações
diferenciais lineares:
(a) x = 0; (x2 − 1)y ′′ + xy ′ − y = 0
(b) x = 0; y ′′ − xy = 0
(c) x = 1, y ′′ − xy = 0
(d) x = −2, y ′′ − x2y ′ + (x+ 2)y = 0
Respostas:
(a) Fórmula de Recorrência (FR): an+2 = (n− 1)an/(n+ 2)
y = a0[1− (1/2)x2 − (1/8)x4 − (1/16)x6 − · · · ] + a1x
(b) FR: an+2 = an−1/(n + 2)(n+ 1)
y = a0[1 + (1/6)x
3 + (1/180)x6 + · · · ] + a1[x+ (1/12)x4 + (1/504)x7 + · · · ]
(c) FR: an+2 = (an + an−1)/(n+ 2)(n + 1)
y = a0[1 + (1/2)(x − 1)2 + (1/6)(x − 1)3 + (1/24)(x − 1)4 + · · · ] + a1[(x − 1) + (1/6)(x −
1)3 + (1/12)(x − 1)4 + · · · ]
(d) FR: an+2 = [(n− 2)/(n + 2)(n + 1)]an−1 − [4n/(n + 2)(n + 1)]an + [4/(n + 2)]an+1
y = a0[1−(1/6)(x+2)3−(1/6)(x+2)4+· · · ]+a1[(x+2)+2(x+2)2+2(x+2)3+(2/3)(x+2)4 · · · ]
3. Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Respostas:
(a) y ′′ − 2xy ′ + x2y = 0, y(0) = 1, y ′(0) = −1 y = 1− x− (1/3)x3 − (1/12)x4 − · · ·
(b) y ′′ − 2xy = x2; y(1) = 0, y ′(1) = 2 y = 2(x− 1) + 1
2
(x− 1)2 + (x− 1)3 + · · ·
4. A equação y ′′−2xy ′+λy = 0, onde λ é uma constante, é conhecida como a equação de Hermite.
(a) Determine os quatro primeiros termos de duas soluções linearmente independentes em série,
em torno de x = 0.
(b) Observe que se λ for um inteiro par, não negativo, então uma ou outra das soluções em série
torna-se um polinômio. Determine a solução polinomial para λ = 0, 2, 4, 6, 8 e 10. Observe
que cada polinômio está determinado a menos de uma constante multiplicativa.
Respostas:
2 Universidade Federal Fluminense - Departamento de Matemática Aplicada - 2o sem 2012
(a) y1 = 1− (λ/2!)x2 + [λ(λ− 4)/4!]x4 − [λ(λ− 4)(λ − 8)/6!]x6 + · · ·
y2 = x− [(λ− 2)/3!]x3 + [(λ− 2)(λ − 6)/5!]x5 − [(λ− 2)(λ− 6)(λ − 10)/7!]x7 + · · ·
(b) 1; x; 1− 2x2; x− (2/3)x3; 1− 4x2 + (4/3)x4; x− (4/3)x3 + (4/15)x5
5. Verifique que x = 0 é um ponto singular regular de cada equação abaixo e determine duas soluções
linearmente independentes em série numa vizinhança de x = 0, para x > 0:
(a) 2x2y ′′ + (x2 − x)y ′ + y = 0
(b) 3x2y ′′ − 2xy ′ − (2 + x2)y = 0
(c) xy ′′ + y ′ − y = 0
(d) x2y ′′ + (x− x2)y ′ − y = 0
(e) xy ′′ − (x+ 1)y ′ − y = 0
(f) x2y ′′ + (x2 − 3x)y ′ − (x− 4)y = 0
Respostas:
(a) FR: an = −an−1/[2(r + n)− 1]
y1 = x [1− (1/3)x + (1/15)x2 − (1/105)x3 + · · · ]
y2 =
√
x [1− (1/2)x + (1/8)x2 − (1/48)x3 + · · · ]
(b) FR: an = an−2/[3(r + n) + 1][r + n− 2]
y1 = x
2 [1 + (1/26)x2 + (1/1976)x4 + · · · ]
y2 = x
−1/3 [1− (1/2)x2 − (1/40)x4 − (1/2640)x6 + · · · ]
(c) Por conveniência multiplique primeiro a equação por x.
FR: an = an−1/(r + n)
2
y1 = 1 + x+ (1/4)x
2 + (1/36)x3 + · · ·
y2 = y1 ln(x) + [−2x− (3/4)x2 + · · · ]
(d) FR: an = an−1/(r + n+ 1)
y1 = x [1 + (1/3)x + (1/12)x
2 + (1/60)x3 + · · · ]
y2 = x
−1 [1 + x+ (1/2!)x2 + (1/3!)x3 + · · · ] = x−1ex
(e) Por conveniência multiplique primeiro a equação por x.
FR: an = an−1/(r + n− 2)
y1 = x
2[1 + x+ (1/2!)x2 + (1/3!)x3 + · · · ] = x2ex
y2 = −y1 ln(x) + [1− x+ x2 + 0x3 + · · · ]
(f) FR: an = −an−1/(r + n− 2)
y1 = x
2 [1− x+ (1/2!)x2 − (1/3!)x3 + · · · ] = x2e−x
y2 = y1 ln(x) + x
2 [x− (3/4)x2 + (11/36)x3 + · · · ]
6. A equação de Bessel de ordem zero é: x2y ′′ + xy ′ + x2y = 0. Mostre que x = 0 é um ponto
singular regular, que as raízes da equação indicial são r1 = r2 = 0, e que uma solução para x > 0
é:
J0(x) = 1 +
∞∑
n=1
(−1)n x2n
22n(n!)2
.
A função J0 é conhecida como a função de Bessel de primeira espécie e ordem zero.