Lista 04

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1 UFF/IME/GMA - 4a. Lista ED - 2o sem 2012
4a. Lista de Exercicíos de Equações Diferenciais
Obs.: Note que nessa lista as funções incógnitas dependem de t.
1. Reduza a equação dada a um sistema de equações de primeira ordem.
Respostas:
(a) y ′′ + 0, 5y ′ + 2y = 0 x1
′ = x2, x2
′ = −2x1 − 0, 5x2
(b) y ′′ + 0, 5y ′ + 2y = 3sen(t) x1
′ = x2, x2
′ = −2x1 − 0, 5x2 + sen(t)
(c) t2y ′′ + ty ′ + (t2 − 0, 25)y = 0 x1 ′ = x2, x2 ′ = −(1− 0, 25t−2)x1 − t−1x2
(d) y(4) − y = 0 x1 ′ = x2, x2 ′ = x3, x3 ′ = x4 x4 ′ = x1
2. Transforme o par de equações de segunda ordem abaixo num sistema de 4 equações de primeira
ordem nas variáveis x1 = y, x2 = y
′, x3 = z e x4 = z
′.
d2y
dt2
+ 3
dz
dt
+ 2y = 0,
d2z
dt2
+ 3
dy
dt
+ 2z = 0
Respostas: x1
′ = x2, x2
′ = −2x1 − 3x4, x3 ′ = x4, x4 ′ = −3x2 − 2x3.
3. Determine a solução geral dos seguintes sistemas de equações usando o método de autovalo-
res/autovetores.
(a) Y ′ =
(
4 −3
8 −6
)
Y (e) Y ′ =

 1 1 21 2 1
2 1 1

Y
(b) Y ′ =
(
1 2
−5 −1
)
Y (f) Y ′ =

 1 1 12 1 −1
0 −1 1

Y
(c) Y ′ =

 1 0 02 1 −2
3 2 1

Y (g) Y ′ =

 0 1 11 0 1
1 1 0

Y
(d) Y ′ =
(
−3/2 1
−1/4 −1/2
)
Y (h) Y ′ =

 −3 0 21 −1 0
−2 −1 0

Y
Respostas:
(a) Y = c1
(
3
4
)
+ c2
(
1
2
)
e−2t
(b) Y = c1
(
−2cos(3t)
cos(3t) + 3sen(3t)
)
+ c2
(
−2sen(3t)
sen(3t)− 3cos(3t)
)
(c) Y = c1

 2−3
2

 et + c2et

 0cos(2t)
sen(2t)

+ c3et

 0sen(2t)
−cos(2t)


(d) Y = c1
(
2
1
)
e−t + c2
[(
2
1
)
te−t +
(
0
2
)
e−t
]
2 UFF/IME/GMA - 4a. Lista ED - 2o sem 2012
(e) Y = c1

 11
1

 e4t + c2

 1−2
1

 et + c3

 10
−1

 e−t
(f) Y = c1

 −34
2

 e−t + c2

 01
−1

 e2t + c3



 01
−1

 te2t +

 10
1

 e2t


(g) Y = c1

 11
1

 e2t + c2

 10
−1

 e−t + c3

 01
−1

 e−t
(h) Y = c1

 2−2
1

 e−2t+c2e−t


√
2sen(
√
2t)
cos(
√
2t)
−cos(
√
2t)−
√
2sen(
√
2t)

+c3e−t


√
2cos(
√
2t)
sen(
√
2t)√
2cos(
√
2t)− sen(
√
2t)


4. Mostre que λ = 1 é uma raiz tripla da equação característica do sistema abaixo e ache três
soluções linearmente independentes para esse sistema
Y ′ =

 5 −3 −28 −5 −4
−4 3 3

Y
Resposta: Y1 =

 10
2

 et, Y2 =

 02
−3

 et, Y3 =

 24
−2

 tet +

 00
−1

 et
5. Determine a solução dos seguintes problemas de valor inicial utilizando o método de autovalo-
res/autovetores.
Respostas:
(a) Y ′ =

 1 1 20 2 2
−1 1 3

Y, Y (0) =

 20
1

 Y =

 0−2
1

 et + 2

 11
0

 e2t
(b) Y ′ =
(
1 −5
1 −3
)
Y, Y (0) =
(
1
1
)
Y = e−t
(
cos(t)− 3sen(t)
cos(t)− sen(t)
)
(c) Y ′ =
(
3 9
−1 −3
)
Y, Y (0) =
(
2
4
)
Y = 2
(
1
2
)
+ 14
(
3
−1
)
t
6. Use o método da variação de parâmetros para resolver o problema de valor inicial dado.
(a) Y ′ =
(
3 −2
2 −2
)
Y +
(
t
3et
)
, Y (0) =
(
2
1
)
(b) Y ′ =
(
3 −4
1 −1
)
Y +
(
1
1
)
et, Y (0) =
(
1
1
)
Respostas:
(a) Y = (−4/3)
(
1
2
)
e−t + (1/6)
(
2
1
)
e2t + (1/2)
(
0
1
)
− t
(
1
1
)
+ 3
(
1
1
)
et
(b) Y = et
(
1− t− t2
1− 3t2/2
)
3 UFF/IME/GMA - 4a. Lista ED - 2o sem 2012
7. Ache a solução geral do sistema
Y ′ =
(
4 −2
8 −4
)
Y +
(
t−3
−t−2
)
, t > 0
Resposta: Y = c1
(
1
2
)
+c2
[(
1
2
)
t− (1/2)
(
0
1
)]
−2
(
1
2
)
ln(t)+
(
2
5
)
t−1−
(
1/2
0
)
t−2