Lista 10

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
INSTITUTO DE MATEMA´TICA
DEPARTAMENTO DE ESTATI´STICA
Estat´ıstica Ba´sica para Engenharia
De´cima Lista de Exerc´ıcios
Conceitos ba´sicos de infereˆncia Estat´ıstica e Teorema Central do Limite
01/12/2013
1. Considere a seguinte populac¸a˜o {3, 5, 7}.
(a) Calcule a me´dia populacional (µ) e a variaˆncia populacional (σ2).
(b) Considere o seguinte processo de amostragem: amostragem aleato´ria simples com
reposic¸a˜o de tamanho 2 retirada da populac¸a˜o acima. Existem 3 ∗ 3 = 9 amostras
poss´ıveis. A me´dia amostral e´ um estimador para a me´dia populacional. Existem
2 poss´ıveis estimadores para a variaˆncia populacional. O estimador na˜o viesado
e´ o S2 =
∑n
i=1(Xi−X)2
n−1 , onde n e´ o tamanho da amostra. E o estimador viesado e´
o σ2 =
∑n
i=1(Xi−X)2
n−1 . Calcule x, σ̂
2 e s2 para cada amostra poss´ıvel. As amostras
poss´ıveis sa˜o:
Amostra1 :{3,3} Amostra2 :{3,5} Amostra3 :{3,7}
Amostra4 :{5,3} Amostra5 :{5,5} Amostra6 :{5,7}
Amostra1 :{7,3} Amostra1 :{7,5} Amostra9 :{7,7}
(c) Obtenha a func¸a˜o de distribuic¸a˜o de probabilidade para cada um dos estimadores.
(d) Calcule a esperanc¸a e a variaˆncia da me´dia amostral. O valor esperado coincidiu
com a me´dia populacional? E a variaˆncia coincidiu com a variaˆncia populacional
dividido pelo tamanho da amostra?
(e) Calcule a esperanc¸a do estimador viesado para a variaˆncia populacional. Fac¸a
o mesmo para o estimador na˜o viesado. O valor esperado do estimador viesado
coincidiu com a variaˆncia populacional? E o valor esperado do estimador na˜o
viesado coincidiu com a variaˆncia populacional?
2. Considere uma populac¸a˜o X ∼ N(10, 4). Seja {X1, ..., X4} uma amostra aleato´ria
simples desta populac¸a˜o.
(a) Seja Y = X1 +X2 +X3 +X4. Qual e´ a distribuic¸a˜o de Y?
(b) Calcule P (Y < 37).
(c) Seja Z = Y/4. Note que Z e´ a me´dia amostral da populac¸a˜o X. Qual e´ distribuic¸a˜o
de Z?
(d) Calcule P (Z > 9, 5).
3. A capacidade ma´xima de um elevador e´ de 500 kg. Se a distribuic¸a˜o dos pesos dos
usua´rios e´ N(70, 100), qual e´ a probabilidade de que 7 pessoas ultrapassem este limite?
E de 6 pessoas?
4. Os comprimentos das pec¸as produzidas por determinada ma´quina teˆm distribuic¸a˜o
normal com uma me´dia de 172 mm e desvio padra˜o de 5 mm. Calcule a probabilidade
de uma amostra aleato´ria simples de 16 pec¸as ter comprimento me´dio
(a) entre 169 mm e 175 mm
(b) maior que 178 mm
(c) menor que 165 mm.
5. Qual devera´ ser o tamanho de uma amostra aleato´ria simples a ser retirada de
uma populac¸a˜o N(150, 132) para que P (|X − µ| < 6, 5) = 0, 95?
6. O fabricante de uma laˆmpada especial afirma que o seu produto tem vida me´dia
de 1600 horas, com desvio padra˜o de 250 horas. O dono de uma empresa compra 100
laˆmpadas desse fabricante. Qual e´ a probabilidade de que a vida me´dia dessas laˆmpadas
ultrapasse 1650 horas?
7. Use a aproximac¸a˜o normal para calcular as probabilidades pedidas, tendo o cuidado
de verificar se as condic¸o˜es para essa aproximac¸a˜o sa˜o realmente satisfeitas.
(a) P (X > 18) se X ∼ Bin(50; 0, 3)
(b) P (9 < X < 11) se X ∼ Bin(80; 0, 1)
8. Seja X ∼ Bern(0, 4). Seja Y = X1 + ...+X100.
2
(a) Qual a distribuic¸a˜o de Y? Calcule a P (39 ≤ Y ≤ 41).
(b) Segundo o teorema central do limite, quando o tamanho amostral for grande, a
me´dia amostral tende a ter uma distribuic¸a˜o normal. Logo, a soma amostral
tambe´m tende a uma distribuic¸a˜o normal. Verifique se as condic¸o˜es para a
aproximac¸a˜o do teorema central do limite sa˜o satifeitas. Calcule a P (39 ≤ Y ≤ 41)
usando o teorema central do limite e a correc¸a˜o de continuidade.
(c) Calcule a P (Y = 42) usando teorema central do limite e correc¸a˜o de continuidade.
9. Supondo que meninos e meninas sejam igualmente prova´veis, qual e´ a
probabilidade de nascerem 36 meninas em 64 partos? Em geral, um resultado e´
considerado na˜o-usual se a sua probabilidade de ocorraˆncia e´ pequena, digamos, menor
que 0,05. E´ na˜o-usual nascerem 36 meninas em 64 partos?
10. Com base em dados histo´ricos, uma companhia ae´rea estima em 15% a taxa de
desisteˆncia entre seus clientes, isto e´, 15% dos passageiros com reserva na˜o aparecem na
hora do voˆo. Para otimizar a ocupac¸a˜o de suas aeronaves, essa companhia decide aceitar
400 reservas para os voˆos em aeronaves que comportam apenas 350 passageiros. Calcule
a probabilidade de que essa companhia na˜o tenha assentos suficientes em um desses voˆos.
Essa probabilidade e´ alta o suficiente para a companhia rever sua pol´ıtica de reserva?
3