Vetores: Conceitos Básicos e Exercícios

Prévia do material em texto

A grandeza escalar fica perfeitamente definida quando dela se conhecem o valor 
numérico e a correspondente unidade (exemplos: volume, massa, temperatura, 
energia). 
A grandeza vetorial, além do valor numérico e da unidade, necessita de direção e 
sentido para ser definida (exemplos: velocidade, aceleração, força, impulso, 
quantidade de movimento). 
 
Vetor 
É um ente matemático caracterizado por módulo, direção e sentido. 
 
Adição vetorial 
Pode ser feita pela regra do paralelogramo ou pela linha poligonal ("vetores 
consecutivos"), conforme indicamos abaixo: 
 
 
 
 
Subtração vetorial 
 
VD = V2 - V1 = V2 + (-V1): adiciona-se V2 ao oposto de V1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vetores (I) 
Exercício básicos 
Notação vetorial em negrito. 
 
Exercício 1: 
São dados os vetores a e b. Represente o vetor s soma dos vetores a e b. Analise 
os casos: 
 
 
 
Exercício 2: 
Retome o exercício anterior e considere que os módulos dos vetores a e b sejam 
iguais a 10 unidades (10u). Calcule em cada caso o módulo do vetor soma s. 
 
Exercício 3: 
Considere o diagrama dos vetores a, b e c, esquematizado abaixo. 
 
 
 
É possível concluir que: 
 
a) a + b + c = 0 
b) a + b = c 
c) a + c = b 
d) b + c = a 
 
Exercício 4: 
Considere o diagrama dos vetores a, b e c, esquematizado abaixo. 
 
 
 
É possível concluir que: 
 
a) a + b + c = 0 
b) a + b = c 
c) a + c = b 
d) b + c = a 
 
Exercício 5: 
Represente o vetor s = a + b e o vetor d = a - b. Calcule a seguir seus módulos. 
Cada lado do quadradinho tem medida igual a u. 
 
 
Resolução dos exercício básicos 
Notação vetorial em negrito. 
Exercício 1: resolução 
 
 
 
Exercício 2: resolução 
Nos casos a) e b) aplicamos o Teorema de Pitágoras: 
 
s2 = a2 + b2 => s2 = (10)2 + (10)2 => s = 10√2u 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
cos 30º = (s/2)/10 => √3/2 = (s/2)/10 => s = 10√3u 
 
d) 
 
 
 
O triângulo destacado é equilátero. Logo, s = 10u 
Exercício 3: resolução 
Os vetores a e b são “consecutivos”, isto é” a extremidade do primeiro coincide 
com a origem do segundo”. Logo, o vetor c, com origem no primeiro e extremidade 
no segundo, é o vetor soma: c = a + b. 
Resposta: b 
Exercício 4: resolução 
Os três vetores são “consecutivos”. Note que “a extremidade de c coincide com a 
origem de a”. Logo, o vetor soma dos três vetores é nulo. 
Resposta: a 
 
Exercício 5: resolução 
 
 
 
Os módulos dos vetores s e d são iguais a 5u, de acordo com o Teorema de 
Pitágoras: 
s = d = √[(3u)2 + (4u)2] = 5u 
Exercícios de revisão 
Revisão/Ex 1: 
(UEL-PR) 
Duas forças, uma de módulo 30 N e outra de módulo 50 N, são aplicadas 
simultaneamente num corpo. A força resultante certamente tem módulo R, tal que: 
 
a) 20 N ≤ R ≤ 80 N 
b) R > 50 N 
c) R = 80 N 
d) R > 30 N 
e) 30 N ≤ R ≤ 50 N 
 
Revisão/Ex 2: 
(FAAP-SP) 
A intensidade da força resultante entre duas forças concorrentes, perpendiculares 
entre si, é de 75 N. Sendo a intensidade de uma das forças igual a 60 N, calcule a 
intensidade da outra. 
 
Revisão/Ex 3: 
(U.Mackenzie-SP) 
A figura mostra 5 forças representadas por vetores de origem comum, dirigidas aos 
vértices de um hexágono regular. 
 
 
Sendo 10 N o módulo da força FC, a intensidade da resultante dessas 5 forças é: 
 
a) 50 N b) 45 N c) 40 N d) 35 N e) 30 N 
 
Revisão/Ex 4: 
(Fatec-SP) 
Dados os vetores A, B e C, apresentados na figura em que cada quadrícula 
apresenta lado correspondente a uma unidade de medida, é correto afirmar que a 
resultante dos vetores tem módulo: 
 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 6 
 
Revisão/Ex 5: 
(UFSC-SC) 
Observando a figura, assinale a(s) proposição(ões) que apresenta(m) 
operação(ões) vetorial(is) verdadeira(s). 
 
 
01) a + b = c 
02) a - b + d = e 
04) c + d + e = 0 
08) b = d + e + a 
16) a + b + d + e = 0 
 
Dê como resposta a soma dos números que precedem as proposições corretas. 
 
Resolução dos exercícios de revisão 
Revisão/Ex 1: resolução 
A força resultante tem módulo máximo quando os vetores que a representam têm 
mesma direção e mesmo sentido. Assim: 
 
Rmáx = 50 N + 30 N = 80 N 
 
A força resultante tem módulo mínimo quando os vetores que a representam têm 
mesma direção e sentidos opostos. Assim: 
 
Rmín = 50 N - 30 N = 20 N 
 
Portanto: 20 N ≤ R ≤ 80 N 
Resposta: a 
Revisão/Ex 2: resolução 
 
 
Pelo Teorema de Pitágoras, temos: 
F = (F1)2 + (F2)2 => (75)2 = (60)2 + (F2)2 => F2 = 45 N 
 
Revisão/Ex 3: resolução 
 
 
F = FA + FB + FC + FD + FE = (FA + FD) + FC + (FB + FE) 
Mas, (FA + FD) = FC e (FB + FE) = FC 
Portanto, F = 3.FC => F = 3.10 N => F = 30 N 
Resposta E 
 
Revisão/Ex 4: resolução 
 
 
S = A + B + C => ISI = 1 
Resposta: a 
Revisão/Ex 5: resolução 
 
01) Incorreta, pois a = b + c 
02) Incorreta, pois d + e + a = b => a - b + d = -e 
O4) Correta, c + d + e = 0 
08) Correta, b = d + e + a 
16) Incorreta, pois d + e + a = b 
 
Resposta: 12 (04+08) 
 
 
Componentes de um vetor 
 
 
Produto de um número real por um vetor 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios básicos 
Notação vetorial em negrito. 
Exercício 6: 
É dado o vetor v. Represente os vetores 2v e -v 
 
Exercício 7: 
No diagrama i e j são vetores de módulos unitários. Determine as 
expressões dos vetores a, b e c em função de i e j. 
 
Exercício 8: 
No estudo da Física muitas vezes precisamos efetuar o produto de um 
número real por um vetor. É o caso do princípio fundamental da 
Dinâmica F = m.a, da definição de quantidade de movimento Q = m.v, 
da definição de impulso de uma força constante que age numa partícula 
durante um intervalo de tempo dada por I = F.Δt e da força 
eletrostática F = q.E. 
Neste último caso, considere o vetor campo elétrico E, representado 
abaixo e cujo módulo é igual a 105 N/C. 
 
 
 
Represente as forças eletrostáticas FA e FB que agem nas partículas A e 
B, submetidas à ação do vetor campo elétrico E, nos casos 
a) A carga elétrica de A é q = +2 μC 
b) A carga elétrica de B é q = -3 μC 
 
 
Exercício 9: 
Seu Joaquim empurra um carrinho, por meio de uma barra de ferro, 
aplicando uma força F, de módulo F = 100 N, na direção da barra. Qual é o 
módulo da componente da força F na direção perpendicular ao solo? 
Dados: sen θ = 0,6; cos θ = 0,8. 
 
 
 
 
Exercício 10: 
Os vetores a e b, de módulos iguais a 10 unidades (10 u), estão 
representados na figura. Determine as componentes destes vetores em 
relação aos eixos Ox e Oy e as componentes do vetor soma (s = a + b). 
Dados: sen 30º = 0,50; cos 30º = 0,87 
 
Exercício 11: 
Numa partícula agem três forças F1, F2 e F3, de mesmo módulo igual a 10 
N. 
 
 
a) Determine as componentes destas forças em relação aos eixos Ox e Oy. 
b) As componentes da força F4 capaz de equilibrar o sistema constituído 
pelas três forças F1, F2 e F3. 
 
Dados: sen θ = 0,6 e cos θ = 0,8 
x 
Resolução dos exercício básicos 
Notação vetorial em negrito. 
 
Exercício 6: resolução 
2v tem a mesma direção e o mesmo sentido de v e módulo duas vezes 
maior 
-v tem a mesma direção e sentido oposto ao de v e módulo igual ao de 
v 
 
Exercício 7: resolução 
 
a = 3j 
b = 2i 
c = 3i + 3j 
 
Exercício 8: resolução 
 
1) FA = IqI.E = 2.10-6.105 => FA = 0,2 N => 2 quadradinhos 
FA tem a mesma direção e o mesmo sentido de E 
2) FB = IqI.E = 3.10-6.105 => FB = 0,3 N => 3 quadradinhos 
FB tem a mesma direção e sentido oposto ao de EExercício 9: resolução 
A componente de F perpendicular ao solo (FY) é igual a F.sen θ, ou 
100.0,6 
=> FY = 60 N 
 
Exercício 10: resolução 
ax = a.cos 60º => ax = 10.0,50 => ax = 5,0 u; 
aY = a.sen 60º => aY = 10.0,87 => aY = 8,7 u; 
bx = b.cos 30º => bx = 10.0,87 => bx = 8,7 u; 
bY = b.sen 30º => bY = 10.0,50 => bY = 5,0 u; 
sx = ax+bx = 13,7 u; sY = aY+bY = 13,7 u 
Exercício 11: resolução 
 
a) 
F1x = -10 N; F1y = 0 
F2x = 0; F2y = -10 N 
F3x = F3.cos θ = 10.0,8 => F3x = 8 N 
F3y = F3.sen θ = 10.0,6 => F3y = 6 N 
b) 
F1x + F2x + F3x + F4x = 0 => (-10) + 0 + 8 + F4x = 0 => F4x = 2 N 
F1y + F2y + F3y + F4y = 0 => 0 + (-10) + 6 + F4y = 0 => F4y = 4 N 
Exercícios de revisão 
Revisão/Ex 6: 
(FSM-SP) 
Assinale a alternativa errada. Dado o número real k e o vetor v então: 
a) o vetor w = k.v tem o mesmo sentido de v, se k > 0. 
b) o vetor w = k.v tem sentido contrário de v, se k < 0. 
c) a direção de w = k.v é sempre igual à direção de v qualquer que seja 
o valor de k. 
d) se a direção de w = k.v é diferente da direção de v, então k < 0. 
Revisão/Ex 7: 
(ACAFE-SC) 
O vetor A tem módulo igual a 40 unidades e forma um ângulo de 60º 
com o eixo x, no 2º quadrante, conforme é mostrado na figura abaixo. 
 
 
Os componentes do vetor A no eixo x e no eixo y, respectivamente, 
são: Dados: sen 60° = √3/2 e cos 60° = 1/2 
 
A) -20√3 e 20 
B) 20 e 20√3 
C) -20 e 20√3 
D) 20√3 e -20 
E) -20√3 e -20 
 
Revisão/Ex 8: 
(UNIFESP-SP) 
Na figura são dados os vetores a, b e c. 
 
 
Sendo u a unidade de medida do módulo desses vetores, pode-se 
afirmar que o vetor d = a - b + c tem módulo 
 
a) 2u, e sua orientação é vertical, para cima. 
b) 2u, e sua orientação é vertical, para baixo. 
c) 4u, e sua orientação é horizontal, para a direita. 
d) √2 u, e sua orientação forma 45º com a horizontal, no sentido 
horário. 
e) √2 u, e sua orientação forma 45º com a horizontal, no sentido anti-
horário. 
Revisão/Ex 9: 
(UFLA-MG) 
Os vetores a, b e c representados abaixo têm resultante nula. 
 
 
Sabendo-se que o módulo do vetor b é igual a √6, podemos afirmar que 
os módulos de a e c valem, respectivamente: 
 
a) 3 e (3√2 + √6)/2 
b) √6/2 e 2√3 
c) 3√2 e 3 
d) 6 e 3 
e) 3 e 3√2 
Dados: 
sen 60° = √3/2 e cos 60° = 1/2 
sen 45° = cos 45° = √2/2 
 
Resolução dos exercícios de revisão 
Revisão/Ex 6: resolução 
o vetor w = k.v tem o mesmo sentido de v, se k > 0. e sentido 
contrário de v, se k < 0. 
A direção de w = k.v é sempre igual à direção de v qualquer que seja o 
valor de k. A alternativa errada é a d. 
Resposta: d 
 
Revisão/Ex 7: resolução 
 
 
 
Ax = -A.cos 60° = -40.(1/2) = -20 
Ay = A.sen 60°= 40.(√3/2) = 20.√3 
Resposta: c 
 
Revisão/Ex 8: resolução 
Da figura observamos que a subtração entre os vetores a e b é o vetor nulo. Assim, 
d = a – b + c = c. O vetor c tem módulo 2u, direção vertical e sentido para baixo. 
Resposta: b 
 
Revisão/Ex 9: resolução 
Vamos inicialmente decompor os vetores a e b: 
 
 
 
Sendo a resultante nula, podemos escrever: 
b.sen 60° = a.sen 45° => √6.(√3/2) = a.(√2/2) => a = 3 
c = b.cos 60° + a.cos 45° => c = √6.(1/2) + 3.(√2/2) => c = (√6 + 3√2)/2 
Resposta: a