Sistemas de Numeração e Operações

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Circuitos lógicos
Sistema de Numeração
Prof.a Dra. Camila Gehrke
Escopo (TOCCI, cap 1, 2, 6)
• Sistema de numeração
• Operações
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Sistema de Numeração
• Conjunto de símbolos utilizados para representação de quantidades e de 
regras que definem a forma de representação.
• Cada sistema de numeração é apenas um método diferente de representar 
quantidades. As quantidades em si não mudam; mudam apenas os símbolos 
usados para representá-las.
• A quantidade de algarismos disponíveis em um dado sistema de numeração 
é chamada de base.
• Representação numérica mais empregada: notação posicional.
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Sistema de numeração decimal
735 573
700 30 5 500 70 3
Sistema de Numeração
• Notação Posicional
• Valor atribuído a um símbolo dependente da posição em que ele se encontra no 
conjunto de símbolos que representa uma quantidade.
• O valor total do número é a soma dos valores relativos de cada algarismo (decimal).
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Pode ser expresso 
por polinômino
Sistema de Numeração
• Exercício:
735,245
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Sistema de Numeração Romano
10 10 1 10 1 10
Sistema de Numeração
• Notação Não Posicional
• Valor atribuído a um símbolo é inalterável, independente da posição em que se 
encontre no conjunto de símbolos que representam uma quantidade.
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XIXXXI
Sistema de Numeração
• Sistema de numeração – código
• Operação básica – contagem
• Grupo com um determinado número de objetos – base (raiz)
• Sistemas de numeração básicos:
• Decimal
• Binário
• Octal
• Hexadecimal
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Sistema de numeração
• Contagem
Dividi-se em grupos de elementos iguais a base.
Sistema decimal base =10
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Sistema de Numeração
Exemplos de Sistemas de Numeração
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Sistema Base Algarismos
Binário 2 0,1
Ternário 3 0,1,2
Octal 8 0,1,2,3,4,5,6,7
Decimal 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Duodecimal 12 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B
Hexadecimal 16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
Como os números representados em base 2 são muito extensos e, portanto, de 
difícil manipulação visual, costuma-se representar externamente os valores 
binários em outras bases de valor mais elevado (octal ou hexadecimal). Isso 
permite maior compactação de algarismos e melhor visualização dos valores.
Sistema de Numeração
• Padrões de Representação
• Letra Maiúscula após o número para indicar a base;
• Número entre parênteses e a base como um índice do número.
• Letra ou número da base como índice do número
• Exemplo: 
• Sistema Decimal – 2763D ou (2763)10 ou 276310 ou 2763d
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Sistema de Numeração
• Sistema Decimal (Base 10)
• Sistema mais utilizado.
• 10 símbolos para representar quantidades.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
• Peso – representar quantidades maiores que a base.
• unidade, dezena, (dez unidades), centena (cem unidades), milhar (mil unidades), 
dezena de milhar, centena de milhar, etc.
• Exemplo: 2574 é composto por 4 unidades, 7 dezenas, 5 centenas e 2
milhares, ou 2000 + 500 + 70 + 4 = 2574
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Sistema de Numeração
• Sistema Binário (Base 2)
• Utiliza dois símbolos para representar quantidades.
0 e 1
• Segue as regras do sistema decimal - válidos os conceitos de peso e posição. Posições 
não têm nome específico.
• Cada algarismo é chamado de bit. Exemplo: 1012
• Expressão oral - diferente dos números decimais.
• Caractere mais à esquerda - Most-Significative-Bit - �MSB�.
• Caractere mais à direita - Least-Significative-Bit - �LSB�.
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Sistema de Numeração
• Sistema Octal (Base 8)
• Utiliza 8 símbolos.
0 1 2 3 4 5 6 7
• Exemplo: 5638
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Sistema de Numeração
• Sistema Hexadecimal (Base 16)
• Possui 16 símbolos (algarismos) para representar qualquer quantidade.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
• Uso das letras - facilidade de manuseio.
• Exemplo: 5A316
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Sistema de Numeração
• Ao trabalhar com sistemas de numeração, em qualquer base, deve-se
observar o seguinte:
• O número de dígitos usado no sistema é igual à base.
• O maior dígito é sempre menor que a base.
• O dígito mais significativo está à esquerda, e o menos significativo à direita
• Em geral se toma a base decimal como referência.
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Decimal Hexadecimal Octal Binário
1 1 1 1
2 2 2 1 0
3 3 3 1 1
4 4 4 1 0 0
5 5 5 1 0 1
6 6 6 1 1 0
7 7 7 1 1 1
8 8 1 0 1 0 0 0
9 9 1 1 1 0 0 1
1 0 A 1 2 1 0 1 0
1 1 B 1 3 1 0 1 1
1 2 C 1 4 1 1 0 0
1 3 D 1 5 1 1 0 1
1 4 E 1 6 1 1 1 0
1 5 F 1 7 1 1 1 1
Sistema de Numeração
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• Procedimentos básicos: - divisão
(números inteiros) - polinômio
- agrupamento de bits
OCTAL
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Sistema de Numeração
Conversão entre Sistemas de Numeração
• Conversão entre Sistemas de Numeração
• Divisão (Decimal à outro sistema) 
• Divisão inteira (do quociente) sucessiva pela base, até que o quociente seja menor do que a base.
• Valor na base = composição do último quociente (MSB) com restos (primeiro resto é bit menos 
significativo - LSB)
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Sistema de Numeração
Conversão entre Sistemas de Numeração
• Divisão (Decimal à outro sistema) 
• Dividir o número por b (base do sistema) e os resultados consecutivas vezes. 
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Sistema de Numeração
Ex.: (125)10 = (? )2 (538)10 = (? )16
Notação Polinomial ou Posicional
(Outro Sistemaà Decimal)
• Válida para qualquer base numérica.
• LEI DE FORMAÇÃO
(Notação ou Representação Polinomial):
Número =
an = algarismo, b = base do número
n = quantidade de algarismo - 1
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0
0
2
2
1
1 ... babababa
n
n
n
n
n
n ++++
-
-
-
-
Sistema de Numeração
Ex.: 
a) (1111101)2 = (? )10
b) (21A)16 = (? )10
(1111101)2 =
1x26 + 1x25 + 1x24 + 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 = 12510
(21A)16 = 2x162 + 1x161 + 10x160 = 53810
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Sistema de Numeração
Conversão entre Sistemas de Numeração
Sistema de Numeração
• Exercício:
(786)8=(?)16
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Conversão entre Sistemas de Numeração
• Agrupamento de Bits
• Sistemas com base= 2n à binário (e vice versa)
• Divide-se em grupos de n bits. Em octal base=8=23, logo divide-se em grupos 
de 3 bits. Em hexadecima-> 4 bits.
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Sistema de Numeração
(1011110010100111)2 = ( ? )16 (A79E)16 = ( ? )2
Ex.:
Sistema de Numeração
Conversão octalà hexadecimal
• Transforma-se primeiro para binário e depois para a base que deseja-se
• Conversão em duas etapas:
1 - número: base octal (hexadecimal) à binária.
2 - resultado intermediário: binária à hexadecimal 
(octal).
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Ex.: 
a) (175)8 = ( ? )16
(175)8 = (1111101)2 = (7D)16
b) (21A)16 = (? )8
Conversão entre Sistemas de Numeração
(21A)16 = (001000011010)2 = (1032)8
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Sistema de Numeração
Conversão de Números Fracionários
• Lei de Formação ampliada (polinômio):
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Exemplo: (101,110)2 = ( ? )10
1 ´ 22 + 0 ´ 21 + 1 ´ 20 +1 ´ 2-1 + 1 ´ 2-2 + 0 ´ 2-3 = (5,75)10
Sistema de Numeração
• Decimal à outro sistema 
• Operação inversa: multiplicar a parte fracionária pela base até que a parte fracionária 
do resultado seja zero.
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Exemplo: (8,375)10 = ( ? )2
Sistema de Numeração
Operação de Adição
• A operação em qualquer sistema é iniciada somando-se os algarismos menos
significativo de cada número A0+B0.
• Os algarismos com mesma potência são somados, considerando o transporte
de entrada C0=A0+B0+Te. A ordem é do menos significativo para o mais
significativo.
• O transporte de entrada de uma coluna é o transporte de saída da coluna
imediatamente menos significativa.
• Quando o resultado da soma da coluna, por exemplo C0 é maior ou igual a
base (b), não existe símbolo para representar a quantidade no sistema. O
valor do algarismo na coluna é então C0=A0+B0+Te-b e o transporte de saída
Ts=1.
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Adição em um Sistema Hipotético
• Imagine um sistema fictício de base 3 
com os seguintes elementos:
{ , , }, onde =0, =1, =2
Deseja-se realizar a seguinte operação:
+
+ = 2+1=3;
Porém não existe símbolo para representar a 
quantidade 3, logo subtrai-se a base do 
resultado e acrescenta-se 1 a coluna 
imediatamente mais significativa
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Adição
• O valor do algarismo mais significativo do resultado é sempre o transporte de saída 
anterior
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Te2 Te1 Te0
A2 A1 A0
+ B2 B1 B0
= C3 C2 C1 C0
Ts2 Ts1 Ts0
C0=A0+B0+Te0
C1=A1+B1+Te1
C2=A2+B2+Te2
C3=Ts2
Te0=0;Te1=Ts0; Te2=Ts1; 
Adição em Decimal
• Base =10;
0 1 0
1 2 7
+ 2 4 8
=0 3 7 5
0 0 1 
C0=7+8=15;
Como 15>10
C0=7+8-10=5; e Ts0=1
C1=2+4+1=7
C2=1+2+0=3
C3=0
Te0=0;Te1=Ts0=1; Te2=Ts1=0; 
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Adição em Binário
• Base =2. 
0+0=0 e Ts=0
0+1=1 e Ts=0
1+0=1 e Ts=0
1+1=0 e Ts=1; pois 1+1=2 mais 2 é igual a base.
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Adição em Binário
• Ex= somar 5 e 3 em binário.
1 1 0
1 0 1 ->5
+ 0 1 1 ->3
=1 0 0 0 ->8
1 1 1 
C0=1+1=2;
Como 2=base C0=1+1-2=0; e Ts0=1
C1=1+1+0=2; logo C1=1+1+0-2=0 e Ts1=1
C2=0+1+1=2; logo C2=0+1+1-2=0 e Ts2=1
C3=1
Te0=0;Te1=Ts0=1; Te2=Ts1=1; 
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Subtração
• Em qualquer que seja a base, quando a operação de subtração A0-B0=C0 de
uma coluna é menor do que 0 deve-se pedir um emprestado à coluna da
esquerda, subtraindo-se 1 do algarismo da primeira parcela e somando-se a
base a coluna em que se está realizando a operação A0-B0+b=C0 e Ts=1.
• Ex: Em decimal quando realizamos 24-07, na primeira coluna C0=4-7=-3 que
é menor do que 0. Logo pede-se 1 emprestado a coluna da esquerda
subtraindo 1 do algarismo da primeira parcela que é 2, e soma-se a base que
é 10 a primeira coluna que é 4:
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2 4
-0 7
C1C0 C0=4+10-7=7
C1=2-1-0=1
Subtração em Binário
0-0=0 e Ts=0
1-0=1 e Ts=0
1-1=0 e Ts=0
0-1=1 e Ts=1; 
1 0 0
1 0 1 ->5
- 0 1 1 ->3
=0 0 1 0 ->2
0 1 0 
C0=A0-B0=1-1=0 e Ts0=0;
C1=A1-B1-Te1=0-1-0=1 e Ts1=1
C2=A2-B1- Te2=1-0-1=0 e Ts2=0
C3=0
Te0=0;Te1=Ts0=0; Te2=Ts1=1; 
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Multiplicação em Binário
• A multiplicação em binário é feita da mesma maneira que em decimal.
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0x0=0
0x1=0
1x0=0
1x1=1
11011=27
X 101=5
11011
00000-
+11011--
10000111=135
Divisão em Binário
10100 101
-101 100
00000
1011011 101
-101 10010
0001
10
101
-101
0001
-0000 
0001
91/5=18 e resta 1
20/5=4 e resta 0
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Entregar até próxima aula
• Enivar para: camila@cear.ufpb.br
• Assunto: CL-aula01
• 1) Considerando os números: X=325712, no sistema de numeração octal, e 
Y=1ABCA, no sistema de numeração hexadecimal, a diferença da subtração 
• X-Y 
• expressa no sistema de numeração decimal, é:
• 2) Com relação a sistemas de numeração, é correto afirmar que 
o equivalente, em decimal, do binário 1001,101 é:
• 3) O numeral 30, no sistema de numeração Decimal, será representado nos 
sistemas Hexadecimal, Octal e Binário, respectivamente, pelos numerais:
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