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* * MATEMÁTICA DISCRETA – AULA 1 PROFESSORA HELGA BODSTEIN, D.Sc. Aula 1 Teoria dos Conjuntos * * Conteúdo Introdução A Importância da Matemática Discreta Teoria dos Conjuntos * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos “Um profissional de computação que possui conhecimentos em matemática é capaz de resolver problemas profundos, oferecendo soluções claras, organizadas, criativas e eficientes.” (Silva, 2005) * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Introdução à Matemática Discreta A Matemática Valoriza o pensamento abstrato, a formalização, a capacidade de reconhecer estruturas semelhantes sob um manto de detalhes irrelevantes. * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Introdução à Matemática Discreta Fazer Matemática Não é trabalhar com números, e sim, com abstrações do mundo real, envolvam ou não estas abstrações quantidades exatas e mensuráveis. * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Introdução à Matemática Discreta Finalidades da Matemática Apresentar informações em uma forma assimilável, Prover métodos (estruturas) convenientes para resolver problemas, Predizer o comportamento de sistemas reais. * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Introdução à Matemática Discreta A Matemática Discreta Possui como ênfase os estudos matemáticos baseados em conjuntos contáveis, finitos ou infinitos. O estudo da Matemática Discreta irá permitir o desenvolvimento da maturidade matemática (habilidade de entender e criar argumentos matemáticos). * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Introdução à Matemática Discreta A Matemática Discreta Fundamento para várias áreas da computação, como: Algorítmos Bancos de Dados Linguagens de Programação Sistemas Operacionais etc. * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Introdução à Matemática Discreta A Matemática Discreta Background para solução de problemas em outras áreas, como: Pesquisa Operacional Engenharia Biologia Ciências Sociais etc. * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Introdução à Teoria dos Conjuntos Conjuntos O que estes grupos têm em comum????? Buquê de Rosas Grupo de pessoas Dúzia de ovos * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Introdução à Teoria dos Conjuntos Conjuntos - Coleção não ordenada de objetos (denominados elementos ou membros do conjunto). Normalmente todos os objetos em um conjunto gozam de uma mesma propriedade (além da de pertencer ao conjunto!). Qualquer objeto que contenha a propriedade é um elemento do conjunto e qualquer objeto que não tem a propriedade não é um elemento. * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Introdução à Teoria dos Conjuntos Buquê de Rosas Grupo de pessoas Dúzia de ovos * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Introdução à Teoria dos Conjuntos Conceitos Pertinência – Notação: Qualquer objeto que seja elemento de um conjunto é dito pertencer aquele conjunto, ou ainda, o elemento x possui o predicado P. * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Introdução à Teoria dos Conjuntos Exemplos: Uma rosa pertence ao conjunto buquê de rosas. Uma pessoa pertence ao conjunto grupo de pessoas Um ovo pertence ao conjunto dúzia de ovos. * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Introdução à Teoria dos Conjuntos Conceitos Se o elemento x não pertence ao conjunto, denota-se por , que também pode ser equivalente a dizer que x não está no conjunto, ou ainda que x não possui o predicado P. * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Introdução à Teoria dos Conjuntos Exemplos: Uma rosa não pertence ao conjunto grupo de pessoas. Uma pessoa não pertence ao conjunto dúzia de ovos. Um ovo não pertence ao conjunto buquê de rosas. * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Introdução à Teoria dos Conjuntos Notação Usamos letras maiúsculas para denotarem conjuntos e chaves para indicá-los. - Para o conjunto das vogais, temos: A = {a,e,i,o,u} Em relação aos elementos i e h, podemos afirmar que: i A e h A. * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Introdução à Teoria dos Conjuntos Ainda para o conjunto das vogais: {a,e,i,o,u} ou {e,i,a,o,u} ou {i,a,e,o,u} etc. Como um conjunto é uma coleção não-ordenada de objetos, a ordem na qual os elementos são escritos não importa! Dois conjuntos são iguais se contêm os mesmos elementos! * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Introdução à Teoria dos Conjuntos Como definir um conjunto? 1. Listando (ou listando parcialmente) os elementos: Conjunto das vogais: A = {a,e,i,o,u} 2. Indicando um padrão (normalmente para conjuntos infinitos): P = {2, 4, 6, 8, ...} * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Introdução à Teoria dos Conjuntos Como definir um conjunto? 3. Descrevendo uma propriedade P que caracterize o conjunto de elementos: A={x|x é um inteiro e 3 < x < 7} S={x|x é solução para x2 – 4 = 0} * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Introdução à Teoria dos Conjuntos Conjunto Universo – Notação: U Chama-se Conjunto Universo ou simplesmente Universo de uma Teoria a todos os entes que são considerados como elementos nesta Teoria. Exemplo: em geometria, o Universo é o conjunto de todos os pontos. * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Introdução à Teoria dos Conjuntos Conjunto Universo – Notação: U * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Introdução à Teoria dos Conjuntos Conjuntos Importantes • ∅: ∅ = { }, o conjunto vazio (observe que Φ ≠ {Φ}). • N : números naturais: {0, 1, 2, 3, . . .}. • Z : números inteiros: {. . . , − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, . . .} • Q : números racionais: {x/y : x ∈ Z e y ∈ Z e y ≠ 0} . • R: números reais. * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Introdução à Teoria dos Conjuntos Conjuntos Importantes * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Introdução à Teoria dos Conjuntos Conjunto Potencia: P(A) Dado um conjunto arbitrário, é possível construir novos conjuntos cujos elementos são partes do conjunto inicial. Sendo A um conjunto qualquer, de nota-se por P(A) o conjunto constituído por todos os subconjuntos de A, isto é: P(A) = { X : X ⊆ A} * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Introdução à Teoria dos Conjuntos Complemento: Dado um conjunto A qualquer, o conjunto complementar de A em relação ao Universo é formado por todos os elementos do Universo que não pertencem ao conjunto A. O conjunto complementar de A será: A’ ou Ā. * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Introdução à Teoria dos Conjuntos Complemento: * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Introdução à Teoria dos Conjuntos Conjuntos Finitos e Infinitos Podemos dizer que um conjunto é finito se for possível contar os seus elementos, ou seja, se for o conjunto vazio ou se for possível estabelecer uma correspondência entre os seus elementos. * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Introdução à Teoria dos Conjuntos Conjuntos Finitos e Infinitos Exemplo: O conjunto dos números inteiros positivos inferiores a 10: A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} CONJUNTO FINITO Exemplo: O conjunto dos números pares: B = {2,4,6,8,10,12,...} CONJUNTO INFINITO * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Introdução à Teoria dos Conjuntos Operações sobre Conjuntos • União: A∪B = {x | x ∈ A ou x ∈ B } Diagrama de Venn : * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Introdução à Teoria dos Conjuntos Operações sobre Conjuntos • Intersecção: A∩B = {x | x ∈ A ou x ∈ B } Diagrama de Venn : * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Introdução à Teoria dos Conjuntos Operações sobre Conjuntos • Intersecção: Quando a intersecção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos. A ∩ B = ø * * Aula 1 - Teoriados Conjuntos Introdução à Teoria dos Conjuntos Operações sobre Conjuntos • Diferença: A-B = {x | x ∈ A ou x B } Diagrama de Venn : A * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Introdução à Teoria dos Conjuntos Relações entre conjuntos • Igualdade: Dois conjuntos são iguais se e somente se tiverem os mesmos elementos. Se um conjunto A for igual a um conjunto B escreve-se: A = B Para verificar se dois conjuntos são iguais basta verificar se todo o elemento de A é elemento de B e se todo o elemento de B é elemento de A. * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Introdução à Teoria dos Conjuntos Relações entre conjuntos Exemplo: Verificar se os conjuntos A, B e C são iguais. A = {u, e, a, o} B = {a, e, i, o, u} C = {i, u, a, o, e} A ≠ B; A ≠ C; B = C * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Introdução à Teoria dos Conjuntos Relações entre conjuntos Continência - Notação: ⊆ Se todo o elemento de A também for elemento de B (independentemente do fato de todo o elemento de B poder ser ou não elemento de A) podemos dizer que o conjunto A está contido no conjunto B. * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Introdução à Teoria dos Conjuntos Relações entre conjuntos Exemplo: Sejam os conjuntos: A = {u, e, a, o} B = {a, e, i, o, u} C = {i, u, a, o, e} Podemos dizer: A ⊆ B e A ⊆ C Neste caso, também podemos dizer que A é subconjunto de B. * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Introdução à Teoria dos Conjuntos Relações entre conjuntos Representação A = {1,3,5,7,9} B = {3,5} B A B é subconjunto de A * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Introdução à Teoria dos Conjuntos C é subconjunto de B; B é subconjunto de A; então, C é subconjunto de A; e A, B e C são subconjuntos de U! * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Introdução à Teoria dos Conjuntos C B; C A; C U B A; B U A U * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Exercícios Faça a representação dos conjuntos abaixo em forma de lista: a) A = {x N | x é impar}, b) B = {x Z | – 3 ≤ x < 4} c) C = {x Z | x < 6} A= {1,3,5,7,9,11,...} b) B = {-3,-2,-1,0,1,2,3} c) C = {..., -2,-1,0,1,2,3,4,5} * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Exercícios Determine os conjuntos A, B e C: A = {0,1,2,3} B = {2,3,5,6,7} C = {2,4,5,8,9} * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Exercícios AUB = {0,1,2,3,4,5,6,7} b) BUC = {2,3,4,5,6,7,8,9} c) AUC = {0,1,2,3,4,8,9} d)AUBUC = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Exercícios e) A∩B = {2,3} f) A ∩C = {2,4} g) B ∩C = {2,5} h) A ∩B ∩C = {2} * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Exercícios i)(A ∩ B) U (B ∩ C) A∩B = {2,3} B ∩C = {2,5} (A ∩ B) U (B ∩ C) = {2,3,5} j) A ∩ C U B A ∩C = {2,4} A ∩ C U B = {2,3,4,5,6,7} * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Exercício: Em um vôo proveniente de Miami, a ANVISA constatou que dentre todas as pessoas a bordo (passageiros e tripulantes) algumas haviam passado pela cidade do México. Sejam os conjuntos: U = {todas as pessoas que estavam a bordo}. M = {pessoas que passaram pelo México}. A = {pessoas com sintomas da gripe influenza A}. P = {passageiros do vôo}. * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Escreva a expressão em conjuntos e elabore o diagrama de Venn para as proposições: (A) Passageiros com sintomas da gripe que não passaram pela cidade do México. (B) Passageiros com sintomas da gripe que passaram pela cidade do México. (C) Tripulantes com sintomas da gripe que passaram pela cidade do México. * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos (D) Tripulantes com sintomas da gripe que não passaram pela cidade do México. (E) Tripulantes sem sintomas da gripe que passaram pela cidade do México. * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos U = {todas as pessoas que estavam a bordo}. M = {pessoas que passaram pelo México}. A = {pessoas com sintomas da gripe influenza A}. P = {passageiros do vôo}. * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos U = {todas as pessoas que estavam a bordo}. M = {pessoas que passaram pelo México}. A = {pessoas com sintomas da gripe influenza A}. P = {passageiros do vôo}. * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos (A) Passageiros com sintomas da gripe que não passaram pela cidade do México. * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos (B) Passageiros com sintomas da gripe que passaram pela cidade do México. * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos (C) Tripulantes com sintomas da gripe que passaram pela cidade do México. * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos (D) Tripulantes com sintomas da gripe que não passaram pela cidade do México. * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos (E) Tripulantes sem sintomas da gripe que passaram pela cidade do México. * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Exercícios Um programa de busca da internet tem o seguinte conjunto em seu banco de dados: A = {automóveis à venda}. A possui os subconjuntos: B= {carros usados} C = {carros Ford} D = {carros Volkswagen} E= {modelos anteriores1995} * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Exercícios Você quer procurar todas as referências sobre carros usados, Ford ou Volkswagen, modelo 1995 ou mais novos. Qual é a expressão que representa a sua pesquisa em notação de teoria de conjuntos? * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos A = {automóveis à venda} com subconjuntos B= {carros usados}, C = {carros Ford}, D = {carros Volkswagen}, E= {modelos anteriores a 1995} * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos A = {automóveis à venda} com subconjuntos B= {carros usados}, C = {carros Ford}, D = {carros Volkswagen}, E= {modelos anteriores a 1995} * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos A = {automóveis à venda} com subconjuntos B= {carros usados}, C = {carros Ford}, D = {carros Volkswagen}, E= {modelos anteriores a 1995} CONJUNTO UNIVERSO * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Carros usados, Ford ou Volkswagen, modelo 1995 ou mais novos. * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Carros usados, Ford ou Volkswagen, modelo 1995 ou mais novos. * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Carros usados, Ford ou Volkswagen, modelo 1995 ou mais novos. * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Carros usados, Ford ou Volkswagen, modelo 1995 ou mais novos. * * Aula 1 - Teoria dos Conjuntos ((C∩B) – (C∩E) U (D∩B) – (D∩E)) *
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