Apostila - Projeto e Construção de Estradas

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Notas de aula de Projeto de Estradas 
Prof. José Nuno Amaral Wendt, Msc. 
1. INTRODUÇÃO 
 
As estradas de ferro e de rodagem estão inseridas no plano de transportes de cargas e 
passageiros, constituindo a modalidade de transportes terrestres. 
 
 1.1. Modalidades de transporte 
 
Os transportes são efetuados por via terrestre, aérea, aquáticas ou especiais, utilizando 
veículos e procedimentos adequados a cada via, constituindo cada conjunto de vias, veículos e 
normas de circulação uma modalidade de transporte. 
 
1.1.1. Modalidades 
 
a) Terrestres: Vias terrestres: Rodovias; ciclovias. 
 Ferrovias; metrô; aeromovel. 
b) aéreas: Vias aéreas 
c) aquáticas: Vias aquáticas: Hidrovias interiores; Hidrovias exteriores ou marítimas 
d) dutos Tubulações 
e)especiais Vias especiais elevadores, planos inclinados, bondinhos, cabos, etc. 
 
1.1.2. Classificação funcional de vias de transporte terrestres: 
 
Vias arteriais (inclusive vias expressas): alto nível de mobilidade para grandes volumes de 
trafego, com restrições para os acessos. 
Vias coletoras: com funções de mobilidade e acesso. 
Vias locais: com função de acesso, restringindo a mobilidade. 
 
1.1.3. Classificação técnica das vias de transporte terrestres: 
 
Classe Especial ou classe 0: vias expressas (pista dupla), com controle total dos acessos. 
Classe I A: vias de pista dupla, com controle parcial dos acessos. 
Classe I B; vias de pista simples com controle parcial de acessos de volume horário (Vh) 
acima de 200 veículos/hora ou volumes diários médios (VDM) acima de 1400 veículos/dia (v/d) 
no 10
o
. ano. 
Classe II: pista simples com VDM entre 700 e 1400 v/d no 10
o
. ano. 
Classe III: pista simples com VDM entre 300 e 700 v/d no 10
o
. ano. 
Classe IV A: pista simples com VDM entre 50 e 200 v/d no ano de abertura ao trafego. 
Classe IV B: pista simples com VDM menor de 50 v/d no ano de abertura. 
 
1.1.4. Região: caracterização do relevo do terreno. 
 
Região plana – apresenta desníveis até 10 m/km 
Região ondulada – desníveis entre 10 e 40 m/km 
Região montanhosa – desníveis acima de 40 m/km 
 
 
1.1.5. Velocidade diretriz ou velocidade de projeto: 
 
É a máxima velocidade que o veiculo pode manter com segurança. 
 
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Tabela 1.1. Características geométricas de novas estradas (fonte: DNIT): 
 
Características técnicas Unidade Classe 0 Classe 1 A Classe 1 B Classe 2 
Plano Ond. Mont Plano Ond. Mont Plano Ond. Mont Plano Ond. Mont. 
Velocidade Km/h 120 100 80 100 80 60 100 80 60 100 70 50 
Raio mínimo m 540 345 210 345 210 115 375 230 125 375 170 80 
Raio para curva circular m 2800 1900 1200 1900 1200 700 1900 1200 700 1900 950 500 
Superelevação máxima % 10 10 10 10 10 10 8 8 8 8 8 8 
Rampa máxima % 3 4 5 3 4.5 6 3 4.5 6 3 5 7 
Largura da faixa M 3,6 3,6 3,6 3,6 3,6 3,6 3,6 3,6 3,6 3,6 3,5 3,3 
Largura do acostamento M 3,5 3 3 3 2,5 2,5 3 2,5 2,5 2.5 2.5 2 
 
 
Características técnicas Unidade Classe 3 Classe 4A Classe 4B 
Plano Ond. Mont Plano Ond. Mont Plano Ond. Mont 
Velocidade Km/h 80 60 40 80 60 40 60 40 30 
Raio mínimo M 230 125 50 230 125 50 125 50 25 
Raio para curva circular M 1200 700 300 1200 700 300 700 300 170 
Superelevação máxima % 8 8 8 8 8 8 8 8 8 
Rampa máxima % 4 6 8 4 6 8 6 8 10 
Largura da faixa M 3,5 3,3 3,3 3 3 3 2,5 2,5 2,5 
Largura do acostamento M 2,5 2 1,5 1,3 1,3 0,8 1 1 0,5 
 
 
 
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1.1.6. Planos de viação: 
 
Foi sancionada, em 06 de janeiro de 2011, a Lei federal nº 12.379 que dispõe sobre o Sistema 
Nacional de Viação (SNV). 
Sistema nacional de viação: compreende os sub-sistemas rodoviário, ferroviário, aquaviario e 
aeroviario, relacionando as rodovias, ferrovias, portos e aeroportos sob jurisdição federal, 
atendendo principalmente ao transporte internacional ou interestadual. Classifica as estradas de 
rodagem ou de ferro, segundo a sua orientação geográfica, em estradas: 
a) radiais: partem da capital ou sede em direção a pontos extremos (litoral, fronteira ou 
divisa). 
b) longitudinais: apresentam a direção norte – sul. 
c) transversais: orientam-se na direção leste – oeste. 
d) diagonais: situam-se nas direções nordeste – sudoeste ou noroeste – sudeste. 
e) ligação: ramal destinado a ligar pontos entre estradas, litoral, fronteira ou divisa, 
instalações turísticas ou militares e áreas populacionais ou industriais. 
 
Planos estaduais e municipais de viação: relaciona as vias de transporte de jurisdição estadual 
ou municipal. 
 
1.1.7. Nomenclatura de estradas: 
 
As estradas federais, estaduais e municipais têm a sua nomenclatura oficial segundo as normas 
preconizadas pelo plano nacional de viação, à exceção das rodovias estaduais de São Paulo. 
As rodovias apresentam uma sigla com duas letras maiúsculas - identificando o país (BR) ou 
estado (SC), ou com três letras – identificando o município, seguido de três algarismos: a centena 
identifica a orientação geográfica (centena 0 para as radiais; 1 nas longitudinais; 2 – transversais; 3 
– diagonais e centena 4 para as ligações), a dezena e a unidade seguem uma numeração crescente 
em determinadas direções. Exemplos: BR-101, SC-470. 
As ferrovias adotam a sigla EF (estrada de ferro) ou AF (acesso ferroviario) seguindo-se três 
algarismos identificando a orientação geográfica, ex.: EF-116. 
 
1.1.8. Níveis de serviço: 
 
O nível de serviço está asssociado as condições de operação da via, e é estabelecido em função 
da velocidade desenvolvida e da relação entre volume de tráfego e capacidade da via. 
NIVEL A: condição de escoamento livre, com baixos volumes e alta velocidade. A densidade 
de trafego é baixa, e não há restrições de velocidade devido à presença de outros veículos. 
NIVEL B: fluxo estável, com velocidades de operação restringidas pelas condições de trafego. 
Os motoristas possuem razoável liberdade de escolha da velocidade e tem condições de 
ultrapassagem. 
NIVEL C: fluxo ainda estável, porém as velocidades e as ultrapassagens já são controladas 
pelo alto volume de tráfego. Portanto, muitos dos motoristas não têm liberdade de escolher faixa e 
velocidade. 
NIVEL D: próximo à zona de fluxo instável, com velocidades de operação toleráveis, mas 
consideravelmente afetadas pelas condições de operação, cujas flutuações no volume e as 
restrições temporárias podem causar quedas substanciais na velocidade de operação. 
NIVEL E: é denominado também de nível de capacidade. Avia trabalha a plena carga e o fluxo 
é instável, sem condições de ultrapassagem. 
NÍVEL F: descreve o escoamento forçado, com velocidades baixas e volumes abaixo da 
capacidade da via. Formam-se extensas filas que impossibilitam a manobra. Em situações 
extremas, velocidade e fluxo podem reduzir-se a zero. (PONTES FILHO, 1998). 
 
 
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 1.2 Projetos componentes do estudo da estrada: 
 
O estudo da estrada é composto de vários projetos específicos, em um trabalho de equipe. 
Integram o estudo os projetos: geométrico, geotécnico, hidrológico, terraplenagem, pavimentação, 
drenagem, sinalização, obras complementares, obras de arte, interseções, impacto ambiental, 
cadastro de desapropriações, orçamento e viabilidade técnico-econômica. 
 
 1.2.1. Projeto geométrico: 
No projeto geométrico procedem-se as etapas de reconhecimento do terreno, exploração, 
estudo dos elementos geométricos do traçado e locação. 
Reconhecimento do terreno: estudo geral da região compreendendo relevo, uso do solo e 
hidrografia, através de exame de mapas e cartas, inspeção in loco, sobrevôo, fotos aéreas ou de 
satélites, objetivando identificar diretrizes. Diretriz de um traçado ou rodovia e um itinerário 
compreendendo uma amplafaixa de terreno ao longo e ao largo do qual se presume que possa ser 
lançado o traçado da via. 
A exploração é o levantamento detalhado da diretriz, visando à obtenção de uma planta plani-
altimétrica de uma faixa de terreno ao longo da diretriz, em escala adequada e com precisão 
topográfica. 
A geometria da estrada é definida pelo traçado do seu eixo longitudinal em planta e pelos 
perfis longitudinal e transversais, com base em normas geométricas adotadas pelos estados ou 
União. 
O eixo é o alinhamento longitudinal planimétrico composto de tangentes e curvas horizontais 
de concordância das tangentes. Os alinhamentos retos entre duas curvas de concordância são 
denominados tangentes, a as curvas de concordância podem ser: a) circulares simples, quando se 
emprega somente um arco de circulo; b) compostas com transição, quando são empregadas curvas 
radioides ou de raios variáveis entre o arco de circulo e a tangente; e c) compostas sem transição, 
por utilização de dais ou mais arcos de circulo de raios diferentes. 
O perfil longitudinal é o alinhamento longitudinal altimétrico ou seção vertical longitudinal 
composto pelas rampas e curvas de concordância verticais. Este perfil resultante do conjunto das 
cotas da rodovia, englobando rampas e curvas verticais, é denominado greide, e estuda-se em 
conjunto com o perfil longitudinal do terreno, este obtido pelo nivelamento do terreno ao longo do 
eixo. Normalmente emprega-se a parábola de segundo grau para as concordâncias verticais, que 
podem ser do tipo: a) concavas ou convexas; b) simples ou compostas. A rampa é o trecho reto 
entre duas curvas verticais, podendo ser em nível, ascendente (no sentido do projeto) ou 
descendente. 
Os perfis transversais são constituídos das seções verticais transversais dos tipos: a) plenas em 
corte; b) plenas em aterro; e c) mistas, com corte e aterro na mesma seção. 
São elementos da seção transversal de rodovias: pista - parte pavimentada ou revestida da 
estrada; faixa de trafego - largura da pista que permite a passagem de um veiculo tipo com folga; 
acostamentos - laterais da pista destinada a estabilizar a pista e acostar veículos; sarjetas - 
reentrância destinada a receber água dos cortes, pistas e acostamentos; Plataforma - soma das 
larguras de pistas, acostamentos, sarjetas e canteiro central; rampa do corte - inclinação do talude 
de corte; saia do aterro - inclinação do talude de aterro; taludes - expressão que indica a inclinação 
das rampas do corte ou das saias de aterro, dada pela relação entre a altura e a base de um 
triângulo retângulo que tem a rampa do corte ou a saia de aterro como hipotenusa; faixa de 
domínio - faixa desapropriada para construção da estrada; canteiro central - divisão física entre 
duas pistas; defensa - cerca robusta no topo da saia do aterro para segurança; refugio - 
alargamento do acostamento destinado a parada eventual. 
 
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Os elementos das seções transversais das ferrovias que tem denominações ou conceitos 
diferentes das rodovias são: pista - parte da plataforma que suporta o lastro; banqueta - larguras 
laterais ao leito; entrevia - espaço entre duas vias paralelas. 
As seções transversais são projetadas de acordo com os abaulamentos (inclinações transversais 
na pista, do eixo para os bordos) nas tangentes, e superelevações (inclinações transversais na pista, 
do bordo externo para o bordo interno) e superlarguras (acréscimo de largura da pista) necessários 
nas tangentes e curvas horizontais do traçado. 
A etapa final do projeto geométrico consiste na locação do traçado, ou seja, transpor para o 
terreno com aparelhagem topográfica o projeto elaborado, com as amarrações dos pontos 
importantes e com referencias de nível e de coordenadas ao longo do trecho. 
 1.2.2. Projeto geotécnico: 
Compreende três etapas: estudo geológico geral, consistindo na verificação da geologia por 
levantamento bibliográfico e algumas observações de campo objetivando definir possíveis opções 
geológicas; estudo geológico regional, com investigação da faixa do traçado através de 
fotointerpretação e reconhecimento de campo; e estudo geológico local, com informações 
horizontais e verticais por meio de fotointerpretação, investigação de campo e sondagens. Obtêm-
se volumes disponíveis em jazidas e as classificações por categoria e tipo de solo, com indicações 
de taludes para cortes e aterros e remoções. 
 1.2.3. Projeto hidrológico: 
Objetiva obter elementos que possibilitem analises de obras de arte existentes e as necessárias 
ao longo do trecho em vista da determinação das descargas afluentes. Consistem em caracterizar o 
comportamento pluviométrico, as áreas das bacias de captação, o tempo de recorrências 
(usualmente 5 ou 10 anos para drenagem superficial, 10 anos para bueiros como canal e 20 ou 25 
anos como orifício, e 50 anos para pontes), o tempo de concentração da bacia e estimativas de 
vazão em cada obra de arte para se conhecer a seção útil necessária. 
1.2.4.Projeto de terraplanagem: 
 
As seções transversais são utilizadas para o cálculo das áreas das seções transversais e através 
destas ao cálculo dos volumes de escavação, aterro, empréstimos, refugos e remoções. O projeto 
de terraplanagem busca definir a localização e distribuição dos volumes em conformidade com os 
projetos geotécnicos e geométricos, compreendendo notas de serviço de terraplanagem nas seções 
correspondentes a cada estaca (a cada comprimento de 20,00 metros) do projeto; quadros de 
origem e destino, com volumes envolvidos em cada intervalo, distâncias e momentos de 
transporte. 
Através das sondagens realizadas classificam-se os materiais a serem escavados por categoria 
(1
ª
 - solos escavados por lamina; 2
ª
 - solos escarificados ou com presença de matacos; ou 3
ª
 - 
rocha), obtendo-se em cada categoria os volumes de escavações de corte ou empréstimos, os 
volumes de refugos (bota-fora), os volumes de compactação de aterros e os volumes de remoção 
de solos moles ou inaproveitáveis. 
1.2.5. Projeto de pavimentação: 
 
O leito da estrada poderá ser natural (simples abertura), revestido com saibro ou pavimentado 
com lajotas, paralelepípedos, briquetes, concreto de cimento, materiais asfálticos como tratamento 
superficial, pré-misturados a quente ou a frio, concreto asfáltico ou lama asfáltica. O projeto de 
 
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pavimentação determinará o dimensionamento (larguras e espessuras), materiais e a seção tipo de 
pavimentação. 
1.2.6. Projeto de drenagem: 
Prevê a execução de sarjetas, valetas, meios-fios, descidas de água, drenos profundas, saídas 
de dreno, banquetas de condução, travessia sobre sarjetas, galerias pluviais e de esgotos. 
Estabelece os locais necessários, a vista do projeto geométrico, bem como os materiais e 
dimensões, e as necessidades de escavação de valas classificadas por categoria. 
1.2.7. Projeto de obras de arte: 
As obras de arte classificam-se em: a) correntes - compreendendo os bueiros em geral; b) 
especiais - abrangendo as pontes e viadutos. Os bueiros são identificados no projeto por 4 letras 
seguido da dimensão, sendo a 1
ª
. letra B, de bueiro, a 2
ª
 caracterizando o numero de bocas 
(simples - S, duplo - D, triplo - T), a 3
ª
 a forma da seçao (tubular - T, celular - C) e a quarta o 
material (concreto - C), por exemplo: BDCC 2,00m. x 1,50m. refere-se a um bueiro duplo celular 
de concreto, tendo cada boca uma seçao útil de 2,00 metros de largura por 1,50 m. de altura. As 
obras de arte especiais, pelo porte, muitas vezes requerem um projeto especifico e normalmente 
são contratadas em separado. 
O projeto estabelecera na nota de serviço dos bueiros os materiais, numero de bocas, forma da 
seção, dimensões das obras de arte,localização, declividade, esconsidade, cotas de fundação, cotas 
de fundo d' água, e os pontos de corte e aterro do terreno para execução do bueiro, em vista do 
projeto geométrico (cotas do terreno, linha d’água e greide). Permite o cálculo dos volumes de 
escavação classificados por categoria, e os volumes de reaterro. Estabelecera também as bocas e 
caixas coletoras, e eventuais descidas d’água, a montante e a jusante. 
1.2.8. Projeto de sinalização: 
Compreende a sinalização horizontal - constituída de faixas, setas, desenhos e dizeres, e a 
sinalização vertical - formada pelas placas de regulamentação, advertência e indicação afixadas na 
lateral da rodovia ou em pórticos. O código de transito brasileiro regulamenta a interpretação, o 
uso e a colocação da sinalização em vias urbanas e rodovias. 
 
1.2.9. Projeto de obras complementares: 
A implantação ou melhoramento da estrada envolve serviços de remoções diversos como redes 
de serviço publicas (água, esgoto, luz, telefone) e de cercas, postes, muros, prédios; requer 
proteção vegetal de taludes, jazidas e canteiros por meio de enleivamento, hidrossemeadura e/ou 
plantio de mudas; a execução de cercas para delimitação da faixa de domínio; obras de proteção 
contra erosão (muros de arrimo, enrocamentos); proteção acústica das comunidades nas travessias 
urbanas; calçadas para pedestres e ciclovias em áreas urbanas; passagens de animais (passa-gado) 
nas áreas rurais; defensas em locais perigosos; e travessia de pedestres com ilhas de segurança, 
passarelas ou passagem inferior nos locais com intenso transito de pedestres. 
 
1.2.10. Projeto de interseções: 
Os cruzamentos ou junções com outras vias necessitam ser estudadas quanto ao volume de 
trafego para compatibilizar com a capacidade da interseção. Em interseções em nível, o numero de 
 
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faixas; faixas de conversão; faixas de aceleração e desaceleração; dispositivos físicos como 
canalizadores, rótulas ou ilhas; sinalização e semáforos são opções para o projeto da interseção. 
Quando o volume de trafego exceder a capacidade da interseção em nível, ou uma das vias é uma 
via expressa, projeta-se uma interseção em desnível tipo trevo ou diamante. 
1.2.11. Projeto ambiental: 
Ao largo do traçado busca-se identificar a situação do meio ambiente nos seus componentes 
físicos (relevo, hidrografia), bióticos (florestas, capoeiras, fauna) e antrópicos (construções, 
cultivos) passíveis de receberem impactos ambientais, com a definição de medidas preventivas ou 
mitigadoras dos impactos. O estudo de impacto ambiental e o relat6rio de impacto no meio 
ambiente – EIA/RIMA são obrigat6rios nos projetos de estradas conforme estabelece a legislação 
federal sobre o meio ambiente. A legislação estabelece ainda as áreas de preservação permanente e 
os parques e reservas a serem protegidos. 
1.2.12. Cadastro de desapropriações: 
Um levantamento planimétrico das propriedades atingidas pela faixa de domínio caracteriza o 
cadastro de desapropriações, definindo a área de cada propriedade e as benfeitorias (prédios, 
ranchos, poços, açudes, cultivos, cercas, muros) a serem indenizadas. 
1.2.13. Orçamento: 
De posse de todos os quantitativos necessários à obra levantados pelos projetos, como 
volumes, distancias de transportes, comprimentos de obras de arte, drenagem e cercas, áreas de 
limpeza, de faixas e de proteção vegetal, quantidade de placas, caixas e bocas, podemos 
determinar o orçamento de projeto compondo preços unitários para cada serviço. Considerar 
acréscimo de volume de compactação devido a uma maior densidade na execução e perdas no 
transporte, bem como eventuais acréscimos por classificação ou pequenos serviços não previstos 
no projeto. 
1.2.14. Viabilidade técnica econômica: 
O projeto concebido de acordo com as normas geométricas admissíveis, com a geologia, 
hidrografia, especificações e legislação em vigor, viabiliza sua execução por razões econômicas 
ou por razoes políticas de integração (como a ligação com a sede de um município, ou acesso a 
uma região despovoada), de segurança do território, de situação de emergência ou de orgulho 
nacional. Para verificar a viabilidade econômica, precisamos de estudos de trafego que embasem o 
cálculo dos benefícios oriundos da execução do projeto. Os custos normal mente são conhecidos 
pelo orçamento do projeto. 
Para processar a analise da viabilidade econômica, cotejaremos os custos e benefícios durante 
a vida útil do projeto, após a consideração de uma taxa de juros, para verificar se os benefícios 
resultam maiores que os custos do projeto. Os principais benefícios mensuráveis encontrados nos 
projetos de transporte são a redução dos custos operacionais dos veículos, a redução dos custos de 
manutenção das vias, os ganhos de tempo, a redução de custos de acidentes (em projetos que 
visam a segurança), o desenvolvimento econômico (agrícola, industrial, comercial) resultante da 
nova opção de transporte, a mobilidade social (migrações), e valorização de terras. Outros 
benefícios como conforto, integração, segurança ou orgulho são benefícios não mensuráveis. 
Os resultados da avaliação econômica sao apresentados pela relação beneficio-custo 
(benefícios divididos pelos custos), valor atual liquido (benefícios menos custos) ou taxa interna 
 
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de retorno (taxa de juros para a qual os benefícios igualam os custos). Países em desenvolvimento 
adotam uma taxa mínima de 12%. 
 
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2. PROJETO GEOMÉTRICO EM PLANTA: 
 2.1. Etapas preliminares: 
 Reconhecimento: 
 
O reconhecimento para identificação do terreno e determinação das possíveis diretrizes é 
realizado por meio de mapas, cartas, fotos aéreas, imagens de satélites, dados topográficos e sócio-
economicos, informações de trafego, coleta de estudos geológicos e hidrológicos existentes, 
observações de campo, etc. 
A determinação das diretrizes levará em conta os pontos obrigados por condição e os pontos 
obrigados de passagem por circunstancia (gargantas, desfiladeiros, rios, etc.). 
 
 Exploração: 
 
A exploração é o levantamento topográfico de precisão de uma ampla faixa de terreno 
seguindo as diretrizes levantadas no reconhecimento, permitindo a elaboração dos ante-projetos 
em escala 1:2000. Efetua-se através do lançamento da poligonal de exploração, nivelamentos e 
levantamento das seções transversais, que possibilitam obter uma planta cotada com as curvas de 
níveis e a locação de todos os obstáculos, que servirá de base para o desenho do anteprojeto. 
O traçado pode ter desenvolvimento direto ou artificial, estes empregados em regiões 
íngremes, como os desenvolvimentos em ziguezague ou laço. 
 
 
 2.2. Lançamento do eixo: 
 
Consiste no lançamento do alinhamento longitudinal da estrada. O lançamento do eixo inicia-
se pela disposição de alinhamentos retos, denominados de tangentes. Para se conhecer as 
distancias e os ângulos formados por estas tangentes, pode-se utilizar as coordenadas dos pontos 
extremos de cada segmento. 
 
Exemplo 2.1: Conhecidas as coordenadas cartesianas leste e norte dos pontos A (1000; 4000), 
B (6000; 6000) e C (12000; 3000), quais as distancias AB e BC, os azimutes AB e BC e a 
deflexão entre as retas AB e BC? 
 
Solução: dAB = [(6000 - 1000)
2 
+ (6000 - 4000)
2
 ] 
0,5 
 = 5385,165 m 
 dBC = [(12000 - 6000)
2 
+ (3000 - 6000)
2 
] 
0,5 
= 6708,204 m 
 tg (AzAB ) = 5000/2000 : AzAB = arc tg ( 2,5 ) = 68,19859
 o 
= 68
 o 11’ 55” 
 tg (AzBC - 90
 o
) = 3000/6000 : AzBC = (arc tg 0,5) + 90
 o 
= 116 
o 33’ 54” 
 deflexão  = AzBC - AzAB = 48 
o 21’ 59” 
 
As tangentes são concordadas com curvas circulares simples, curvas circulares compostassem 
transição ou curvas circulares com transição. 
 
 Estaqueamento: 
 
Denomina-se estaca a unidade de estrada. Tem um comprimento fixo de 20 metros, 
correspondente ao comprimento de uma trena padrão. Pontos intermediários são definidos pela 
ultima estaca inteira mais a distancia em metros da ultima estaca inteira até o ponto em questão. 
Os pontos inicial e final denominam-se OPP e PF, respectivamente. 
 
10 
 
 
Exemplo2.2 : Qual o comprimento de estrada entre o OPP até o ponto de estaca 32 + 15,20 m? 
Solução: O ponto 32 + 15,20 m encontra-se a 655,20 m da estaca zero. 
 
 
Exemplo 2.3: Considerando o ponto A do exemplo 1 como OPP, qual a estaca do ponto B? 
Solução: Como a distancia AB é 5385,165 m, estaca B = 269 + 5,165 m. 
 
 
Exemplo 2.4: Qual a distancia entre os pontos P = 122 + 12,50m e Q = 209 + 0,00m ? 
Solução: 1727,5 m. 
 
 
2.3. Concordância das tangentes com curvas circulares simples. 
 
 
2.3.1. Introdução 
 
O DNIT estabelece para os raios mínimos de curvas circulares simples os raios constantes da 
tabela 2.1. 
 
 
Tabela 2.1. Raios mínimos de curva que dispensam curvas de transição: curvas circulares 
simples: 
 
V (km/h) 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 
R (m) 170 300 500 700 950 1200 1550 1900 2300 2800 
 Fonte: DNIT. 
 
 
 
2.3.2. Elementos das curvas circulares simples: 
 
Os elementos de uma curva circular simples são: 
- ponto PC: ponto inicial da curva, no sentido do estaqueamento do projeto. Pode ser PCD – 
quando for inicio de uma curva a direita, ou PCE – a esquerda. 
- ponto PT: ponto de tangente ou ponto final da curva. 
- ponto PI: ponto de interseção das tangentes. 
- D : desenvolvimento da curva circular, ou comprimento do arco entre PC e PT. 
-  : ângulo de deflexão entre as tangentes, igual ao ângulo central da curva circular. 
- R : raio da curva circular simples. 
- T: tangente externa da curva circular simples. 
- O : centro da curva. 
- c : corda de locação, máximo comprimento de curva medido a cada vez. 
- G: grau da curva. 
- d : deflexão entre a corda e a tangente 
- dm : deflexão entre uma corda de 1 m e a tangente. 
- dI : deflexão entre a corda até um ponto I qualquer e a tangente. 
- E : afastamento entre a curva circular e o PI. 
 
 
 
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2.3.3. Formulário para curvas circulares simples: 
 
T = R . tan ( / 2) 
 
D =  . R .  / 180 (para  em graus) 
 
E = T . tan ( / 4 ) ou E = [ ( R2 + T2 ) 0,5 ] - R 
 
G = 180 . c / ( . R ) ou G = 2 . arc sen [ c / ( 2 . R ) ] ou G = c .  / D 
 
d = G / 2 
 
dm = d / c 
 
dI = LI . dm sendo LI = comprimento de PC ao ponto I. 
 
 
2.3.4 Estacas dos pontos PC e PT 
 
As estacas dos pontos PC e PT, quando conhecida a estaca de PI, determinam-se por: 
 
[ Estaca PC ] = [estaca PI ] – [ T ] 
 
[ Estaca PT ] = [estaca PC ] + [ D ] 
 
 
2.3.5. Valores da corda de locação ( c ): 
 
A curva será medida por meio de segmentos retos ou cordas. Para que a corda exprima o 
comprimento do arco sem erro significativo, os comprimentos máximos desta corda, em função do 
raio da curva circular, podem ser os apresentados na tabela 2.2. 
 
 
 
Tabela 2.2. Valores máximos da corda de locação. 
 
 
Para R  600 m c = 20 m 
Para 600 > R  100 m c = 10 m 
Para 100 > R  25 m c = 5 m 
Para R < 25 m c = 2 m 
 
 
 
Exemplo 2.5: Considere o ponto A, do exemplo 1, como OPP do traçado, e o ponto B o PI 
localizado na estaca = 269 + 5,165 m, com a deflexão  = 48 o 21’ 59”. Qual o desenvolvimento, 
tangente, grau da curva, espaçamento e as estacas dos pontos PC e PT, para um raio de 
concordância circular R de 200 m? 
 
 
12 
 
Solução:  = 48 o 21’ 59” = 48,366389 o 
 D = 2 .  . 200 . 48,366389 / 360 = 168,830 m 
 T = 200 . tg (48 
o 21’ 59” /2) = 89,813 m 
 G = 2,8648
 o 
 Estaca PC = [ 269 + 5,165m ] – 89,813m = 264 + 15,352m 
 Estaca PT = [264 + 15,352m ] + 168,830m = 273 + 4,182m 
 E = 19,240 m 
 
Exemplo 2.6: Determine a locação da curva circular do exemplo 2.5. 
Solução: c= 10 m 
d = 1,4324
 o 
 
dm = 0,14324
 o 
Planilha de locação: 
Ponto estaca distancia Deflexão Deflexão 
 (m) (graus decimais) graus minutos segundos 
PC 264+15,352 0 0 0 0 0 
1 265+5,352 10 1,4324 1 25 56,6 
2 265+15,352 20 2,8648 2 51 53,3 
3 266+5,352 30 4,2972 4 17 49,9 
4 266+15,352 40 5,7296 5 43 46,6 
5 267+5,352 50 7,1620 7 9 43,2 
6 267+15,352 60 8,5944 8 35 39,8 
7 268+5,352 70 10,0268 10 1 36,5 
8 268+15,352 80 11,4592 11 27 33,1 
9 269+5,352 90 12,8916 12 53 29,8 
10 269+15,352 100 14,3240 14 19 26,4 
11 270+5,352 110 15,7564 15 45 23,0 
12 270+15,352 120 17,1888 17 11 19,7 
13 271+5,352 130 18,6212 18 37 16,3 
14 271+15,352 140 20,0536 20 3 13,0 
15 272+5,352 150 21,4860 21 29 9,6 
16 272+15,352 160 22,9184 22 55 6,2 
PT 273+4,182 168,83 24,18321 24 10 59,6 
 
 
 
2.3.6. Locação por coordenadas: 
 
Atualmente, com o emprego de estação total, pode-se locar varias curvas a partir de um 
mesmo ponto, dentro ou fora do traçado, com ampla visibilidade do trecho a ser locado, através 
das medidas das coordenadas dos diversos pontos que compõem as tangentes e as curvas de 
concordância. 
 
 
 
Leia mais: Pontes Filho, cap. 4 – p. 71 a 89. Exercícios: p. 117 a 126. 
 
 
 
 
 
 
13 
 
2.4. Curvas circulares compostas: 
 
As curvas circulares compostas sem transição são utilizadas em terrenos montanhosos, onde 
uma sucessão de curvas simples é necessária para adequar o traçado da via a topografia do terreno, 
ou em alças de interseções. O ponto de contato entre duas curvas circulares sucessivas denomina-
se PCC. 
 
2.4.1. Curvas compostas com 2 centros e 2 raios: 
 
Neste caso tem-se duas curvas simples - a e b - com os elementos: 
- raios Ra e Rb 
- ângulos centrais a e b 
- tangentes externas Ta e Tb 
e as seguintes relações: 
 
  = a + b 
 
Tb = [ Ra – Rb . cos  – ( Ra – Rb ) cos a ] / sen  
 
Ta = [ Rb – Ra . cos  + ( Ra – Rb ) cos b ] / sen  
 
Rb= [ Tb . sen  - Ta . tg(a/2) – Tb . cos  . tg(a/2) ] / [ 1 – sen  . tg(a/2) – cos  ] 
 
Ra= [ Tb . tg(b/2) + Ta . cos  . tg(b/2) – Ta . sen ] / [ sen  . tg(b/2) + cos  - 1 ] 
 
1 – cos a = [ Tb . sen  – Rb ( 1 – cos  ) ] / ( Ra – Rb ) 
 
1 – cos b = [ Ra . ( 1 – cos  ) – Ta . sen  ] / ( Ra – Rb ) 
 
tan ( a / 2 ) = [ Tb . sen  - Rb . ( 1 – cos  ) ] / ( Ta + Tb . cos  - Rb . sen  ) 
 
tan ( b / 2 ) = [ Ra . ( 1 – cos  ) – Ta . sen  ] / ( Ra sen  – Tb – Ta cos  ) 
 
Ra = Rb + { [ Tb . sen  - Rb . (1 – cos  ) ] / ( 1 – cos a ) } 
 
Rb = Ra – { [ Ra . ( 1 – cos  ) – Ta . sen  ] / ( 1 – cos b ) } 
 
Exemplo 2.7: Conhecidos Ra = 572,96 m, Rb = 337,04 m, a = 20º
 
e b = 25º, determine 
Ta, Tb, Da, Db, Ga e Gb. 
Solução:  = 45º 
Ta = 206,068 m 
 Tb = 159,728 m. 
 Da =200,001 m 
 Db = 147,062m 
 Ga = 1º 
 Gb = 1,7000º 
 
 
Exemplo 2.8 Para Ta=220m, Tb=180m, a = 20º e b = 30º, determine Ra e Rb. 
Solução: Ra= 542,327m e Rb= 354,261m. 
 
14 
 
 
Exemplo 2.9 Para a = 25º , b = 37º, Ta= 124,119m e Tb= 142,787m, determine: Ra, Rb, 
Da, Db, ca, cb, Ga e Gb. 
 
Os pontos principais são: PI, PC, PCC e PT. Conhecido a estaca de PI, obtém-se a estaca dos 
demais pontos pelas distancias entre si: 
Estaca de PC = estaca PI – Ta 
Estaca de PCC = estaca PC + Da 
Estaca de PT = estaca PCC + Db. 
 
 
2.4.2. Curvas circulares compostas com 3 centros e 3 raios: 
 
Neste caso tem-se três curvas simples – a, b e c – com os elementos:- raios Ra, Rb e Rc 
- ângulos centrais a, b e c 
- tangentes externas Ta e Tb 
e as seguintes relações: 
 
 Ta3 = { Rc + [ ( Ra – Rb ) . cos ( b + c ) ] + [ ( Rb – Rc ) . cos c ] – Ra . cos  } / sen  
 
 Tb3 = { Ra – [ ( Ra – Rb ) . cos a ] – [ ( Rb – Rc ) . cos (a + b ) ] – Rc . cos  } / sen  
 
 
Exemplo 2.10: Determine Ta3 e Tb3 para a concordância composta pelos raios Ra = Rc = 
55m, Rb = 20m, a = c = 18,97º , b =52,07º . 
Solução: Ta3 = Tb3 = 33,282 m. 
 
2.5. Superelevação 
 
Na curva o veiculo e os passageiros ficam sujeitos aos efeitos das forças centrífugas que 
atuam transversalmente ao eixo no sentido de dentro para fora da curva. 
Nas rodovias, parte do efeito destas forças centrifugas nas curvas é absorvida pelo atrito 
entre pista e pneus do veiculo. Outra parte é contrabalançada pela superelevação, que é a 
declividade transversal da pista proporcionada por uma cota superior do bordo externo da pista em 
relação ao bordo interno. 
O Departamento Nacional de Infra-estrutura de Transportes – DNIT, utiliza a seguinte 
expressão para o cálculo da superelevação (SE) em uma curva de raio R, em função do raio 
mínimo com transição (Rmin) e da superelevação máxima (SEMAX) estipulado para a velocidade 
diretriz da rodovia: 
 
SE = SEMAX [ ( 2 Rmin / R ) – ( Rmin
2 
/ R
2 
) ] 
 
No calculo de SE se utiliza o raio mínimo com transição mesmo quando o raio R dispensar 
a transição. 
 
Exemplo 2.11: Qual a superelevação a ser utilizada na concordância de raio R = 593,20 m 
em uma rodovia classe III com velocidade diretriz 80 km/h? 
Solução: SEMAX = 8% 
 Rmin = 230 m (com transição espiral) 
 SE = 0,05 = 5% 
 
15 
 
 
Exemplo 2.12: Qual a superelevação a ser utilizada na concordância de raio R = 300 m em 
uma rodovia classe II com velocidade diretriz 70 km/h? 
Solução: SEMAX = 8% 
 Rmin = 170 m 
 SE = 0,065 = 6,5% 
 
 
 
2.6. Superlargura 
 
Nos trechos em curva, os veículos ocupam fisicamente espaços laterais maiores que na 
tangente, e devido a um efeito visual causado pela perspectiva, há uma aparência de estreitamento 
da pista à frente, causando uma sensação de confinamento. 
Para compensar estes fatores, os trechos em curva podem ser alargados, denominando-se 
superlargura ( SL ) a diferença entre a largura na curva (LT ) e a largura na tangente (LN ), obtida 
pelas expressões abaixo, para pista simples com 2 faixas de trafego: 
 
SL = LT – LN onde: 
 
LN = 2 . Lf sendo Lf = largura da faixa de trafego, e 
 
LT = 2 . ( GC + GL ) + GD + F sendo 
 
GC = LV + R – ( R
2 – E2 ) 0,5 
 
GD = [ R
2 
+ B ( 2 . E + B ) ] 
0,5 
 – R 
 
F = V / [ 10 . ( R ) 
0,5 
] 
 
Sendo V a velocidade em km/h, e LV , B e E são as características geométricas de largura, 
balanço dianteiro e distancia entre eixos do veiculo tipo, respectivamente. Em geral, considera-se 
o veiculo tipo CO, com as seguintes dimensões: 
 
LV = 2,60 m 
B = 1,20 m 
E = 6,10 m. 
 
 
GL é a folga lateral, tabelada em função da largura da faixa, conforme tabela 2.3: 
 
 
Tabela 2.3. Valores de GL: 
 
Largura da faixa LF 3,00 - 3,20 3,30 - 3,40 3,50 - 3,60 
Folga lateral GL 0,60 0,75 0,90 
 
 
Exemplo 2.13. Qual a superlargura a ser utilizada na concordância de raio R = 300 m em 
uma rodovia classe III com velocidade diretriz 80 km/h? 
 
 
16 
 
Solução: utilizando veiculo CO: Lv = 2,60 m, B = 1,20 m , E = 6,10 m. 
 largura da faixa = 3,50 m  GL = 0,90 m e LN = 7,00 m. 
 GC = 2,66 m 
 GD = 0,026 m. 
 F = 0,46 m. 
LT = 7,61 m 
SL = 0,61 m. 
 
Exemplo 2.14. Qual a superlargura nas concordâncias a seguir: 
 
 Raio (m) classe Velocidade (km/h) terreno 
a) 593,2 2 70 ond. 
b) 593,2 3 80 plano 
c) 300 2 70 ond. 
d) 214,88 2 70 ond. 
e) 300 2 100 plano 
f) 300 2 50 mont 
g) 593,2 3 60 ond. 
h) 593,2 2 100 plano 
i) 593,2 2 50 mont 
j) 593,2 3 40 mont 
l) 593,2 4ª 80 plano 
m) 1200 2 100 plano 
n) 1200 1 80 ond. 
o) 300 3 80 plano 
 
 Solução: 
 
 Lf (m) Gc (m) Gd (m) Gl (m) F (m) Lt (m) Ln (m) SL (m) 
a) 3,5 2,63 0,01 0,90 0,29 7,36 7,00 0,36 
b) 3,5 2,63 0,01 0,90 0,33 7,40 7,00 0,40 
c) 3,5 2,66 0,03 0,90 0,40 7,55 7,00 0,55 
d) 3,5 2,69 0,04 0,90 0,48 7,69 7,00 0,69 
e) 3,6 2,66 0,03 0,90 0,58 7,73 7,20 0,53 
f) 3,3 2,66 0,03 0,75 0,29 7,14 6,60 0,54 
g) 3,3 2,63 0,01 0,75 0,25 7,02 6,60 0,42 
h) 3,6 2,63 0,01 0,90 0,41 7,49 7,20 0,29 
i) 3,3 2,63 0,01 0,75 0,21 6,98 6,60 0,38 
j) 3,3 2,63 0,01 0,75 0,16 6,94 6,60 0,34 
l) 3 2,63 0,01 0,60 0,33 6,80 6,00 0,80 
m) 3,6 2,62 0,01 0,90 0,29 7,33 7,20 0,13 
n) 3,6 2,62 0,01 0,90 0,23 7,27 7,20 0,07 
o) 3,5 2,66 0,03 0,90 0,46 7,61 7,00 0,61 
 
 
Superlargura para pistas com 3 faixas (SL3): 
 
 Em relação a superlargura para 2 faixas (SL), a superlargura nas pistas com 3 faixas será 
obtida pela expressão: 
 SL3 = 1,25 x SL 
 
 
 
17 
 
Superlargura para pistas com 4 faixas (SL4): obtem-se pela expressão: 
 
SL4 = 1,5 x SL 
 
Veja mais: http://youtu.be/gGB8Vh1Uh1M 
 
 
2.7. Distribuição da superelevação e superlargura na concordância 
 
 
Nas curvas com transição, a superlargura e a superelevação são zeradas no inicio da 
transição, atingindo o valor calculado somente no final da curva de transição. Entre os pontos 
de inicio e fim da transição, cresce de zero ao valor calculado proporcionalmente ao 
comprimento de transição. Na curva circular intermediaria, o valor da superlargura e da 
superelevação permanece constante e igual ao valor calculado. 
Nas curvas circulares, a variação da superelevação e da superlargura entre os valores zero e 
calculado é feita ao longo de um comprimento de transição fictício Lc, calculado conforme as 
fórmulas que serão apresentadas nos itens 2.8.5 e 2.8.6 a seguir, comprimento este que será 
disposto 2/3 de Lc na tangente (2/3 de Lc antes do ponto PC e 2/3 de Lc após o ponto PT) e 
1/3 de Lc dentro da curva (1/3 de Lc após PC e 1/3 de Lc antes do PT). 
Nas curvas circulares compostas, pode ser necessário um comprimento de transição (Lcp) 
proporcional a Lc, em função da variação da superelevação, no ponto PCC. O comprimento 
Lcp pode ser distribuído metade antes de PCC e metade após PCC: 
 
 Lcp = Lc x (SEA – SEB ) / SEA 
 
Anterior a Lc no PC, e posterior a LC no PT, necessita-se de um comprimento La para 
zerar o abaulamento: 
 
 La= 0,02 x Lc / SE 
 
 
2.8. Curvas compostas com transições de raio variável: 
 
 
2.8.1. Introdução: 
 
Ao iniciar ou finalizar a curva de concordância entre as tangentes, há necessidade de uma 
adaptação do veiculo e do condutor ao novo traçado, tanto mais trabalhosa quanto menor for o 
raio de curvatura. 
Para assegurar o conforto e a segurança nas curvas, pode-se intercalar entre a tangente e a 
curva circular curvas de transição de raio variável entre os valores de raio infinito da tangente e 
o raio R utilizado na curva circular. 
 
2.8.2. Curva espiral ou clotoide: 
 
A curva espiral, também denominada de clotoide, espiral de Van Leber, espiral de Cornu, 
espiral de Euler ou Radioide aos arcos, é uma curva de raio variável (), cujo valor em um dado 
ponto P é obtido pela relação entre uma constante (c) e o comprimento de curva (L) entre o inicio 
da transição e o ponto P: 
 = c / L 
 
18 
 
 
2.8.3. Tipos de transição: 
 
Para inserção da curva de transição entre a curva circular intermediaria e a tangente, 
podem-se utilizar dois processos: a) conservando o raio e a tangente, e alterando-se o centro da 
curva circular; b) conservando o centro e o raio, deslocando-se a tangente.2.8.4. Elementos das curvas com transição 
 
Deflexão  
Pontos PI, TS, SC, CS, ST 
Raio R e Desenvolvimento D 
Tangente TT 
Comprimento de transição Lc 
Ângulos centrais de transição a e b 
ângulo central circular  
Coordenadas cartesianas de pontos da curva de transição: X e Y 
 
 
2.8.5. Cálculo do comprimento mínimo de transição Lc 
 
O comprimento de transição Lc deve ser igual ou superior ao maior valor calculado pelos 
critérios a seguir: 
 
a) pelo critério do tempo mínimo: o comprimento da curva deve apresentar um 
comprimento correspondente a um tempo de percurso mínimo de 2 segundos, na velocidade 
diretriz V, o que resulta: 
 
Lc = 0,56 . V para Lc em m e V em Km/h. 
 
 
b) para um comprimento compatível com raios R maiores que 800 m: 
 
Lc = R / 9 
 
 
c) pelo critério do conforto: 
 
 Lc = [ V
3 
/ ( 46,656 . C . R ) ] – [ ( SE . V ) / ( 0,367 . C ) ] 
 
e C = 1,5 – 0,009 . V 
 
para Lc em m, V em km/h, R em m, SE em m/m e C em m/s
3
. 
 
 
 
d) pelo critério da rampa de superelevação: 
 
Lc = K . LF . SE / rs 
 
 
19 
 
para K e rs tabelados, LF (largura da faixa) em m e SE em m/m. 
 
 
 Tabela 2.4. Valores de K 
 
Numero de faixas K Pista 
Giro de uma faixa 1 Simples (2 faixas) 
Giro de 2 faixas 1,5 Dupla com 2 faixas em cada sentido 
Giro de 3 faixas 2 Dupla com 3 faixas em cada sentido 
Giro de 4 faixas 2,5 Dupla com 4 faixas em cada sentido 
 Fonte: DNER 
 
 
Tabela 2.5. Valores de rs 
 
V (km/h) 40 50 60 70 80 90 100 
RS 1/137 1/154 1/169 1/185 1/200 1/213 1/233 
 Fonte: DNER 
 
 
 
2.8.6. Cálculo do comprimento máximo de transição Lc 
 
O comprimento de transição Lc deve ser igual ou inferior aos valores obtidos pelos 
critérios a seguir: 
 
a) pelo raio R (m) : 
 
Lc = R 
 
 
b) pelo tempo de percurso máximo de 8 segundos na velocidade diretriz V em Km/h: 
 
Lc = 2,2 . V 
 
Exemplo 2.15: Qual o comprimento de transição para uma rodovia classe II terreno 
ondulado, com velocidade diretriz V= 70 km/h, raio R = 300 m? 
 
Solução: - cálculo do comprimento mínimo: 
a) Lc  39,2 m. 
b) Não se aplica, porque R < 800m. 
c) C = 0,87 m/s3 SE = 6,5% Lc  13,92 m. 
d) K = 1 (pista simples) r = 1/185 LF = 3,50 m Lc = 42,09 m. 
 
Então: Lc  42,09 m. 
 
- cálculo do comprimento máximo: 
a) Lc  300 m. 
b) Lc  154 m. 
 
Então: Lc  154,00 m. 
 
20 
 
 
Conclusão: o comprimento Lc deve situar-se no intervalo: 42,09 m  Lc  154,00 m. 
 
Observação: quando os comprimentos Lc de ambas as espirais são iguais, a concordância é 
simétrica. Para Lca diferente de Lcb temos a concordância assimétrica. 
 
2.8.7. Cálculo dos ângulos centrais parciais de transição p entre o ponto TS e um ponto 
P da espiral situado a uma distancia LP de TS (LP ≤ Lc): 
 
 Na espiral a: p = LP
2
 / 2 . R . Lca 
 
 Na espiral b: p = LP
2
 / 2 . R . Lcb 
 
para LP, L e R em m, e  em radianos. 
 
Observação: para Lp = Lca, temos p = a; para Lp = Lcb, temos p = b (sendo a e b os 
ângulos centrais totais das espirais a e b). 
 
2.8.8. Cálculo do ângulo central circular  
 
 =  – a – b 
Sendo: 
 a : ângulo central total da primeira espiral (entre TS e SC) 
 b: ângulo central total da segunda espiral (entre ST e CS) 
 
2.8.9. Cálculo do desenvolvimento circular D 
 
D = 2  R  / 360 
 
para D e R em m, e  em graus decimais. 
 
2.8.10. Cálculo das coordenadas cartesianas de um ponto qualquer da espiral 
 
XP = ( LP . P / 3 ) . [ 1 – (P
2
 / 14 ) + (P
4
 / 440 ) ] 
 
YP = LP . [1 – (P
2
 / 10 ) + (P
4
 / 216 ) ] 
 
para X, Y, L em metros, e  em radianos. 
 
Observação: quando Lp = Lca, tem-se: Xp = XSC , Yp = YSC e P = a 
 
2.8.11. Cálculo da tangente TT da espiral simétrica (para Lca = Lcb) 
 
TT = q + [ ( p + R ) . tg (  / 2 ) ] 
 
sendo: p = XSC – [ R . ( 1 – cos a ) ] 
 
 q = YSC – R . sen a 
 
para R, X ,Y, p, q e TT em m. 
 
21 
 
 
Curvas com transições assimétricas de raio variável: 
 
 
São curvas que possuem transições com comprimentos diferentes, de modo que as 
tangentes também resultam diferentes: a tangente TTa entre TS e PI é diferente da tangente TTb 
entre PI e ST. Os demais elementos das transições são calculados com as mesmas expressões da 
curva espiral simétrica. 
 Quando o comprimento de transição Lc1 é menor que o comprimento de transição Lc2 
aplicam-se as seguintes expressões: 
 
 TTa = K1 + [ ( R + p1 ) tg (  / 2 ) ] + [ ( p2 – p1 ) / sen  ] 
 
 TTb = K2 + [ ( R + p2 ) tg (  / 2 ) ] – [ ( p2 – p1 ) / sen  ] 
 
sendo: Ka = Ysc – R sen a 
 
 pa = Xsc – R ( 1 – cos a ) 
 
 Kb = Ycs – R sen b 
 
 Pb = Xcs – R ( 1 – cos b ) 
 
 Xsc ,Ysc , Xcs e Ycs são as coordenadas dos pontos finais das espirais, 
 
 é a deflexão no PI, 
 
1 e 2 representam os ângulos centrais das transições. 
 
 
2.8.12. Cálculo das estacas: 
 
Estaca TS = estaca PI - TTa 
Estaca SC = estaca TS + Lca 
Estaca CS = estaca SC + D 
Estaca ST = estaca CS + Lcb 
 
2.8.13. Locação da curva espiral com deflexões a partir da tangente na origem da espiral 
(aparelho instalado no ponto TS ou ST): 
 
dP = arc tg ( XP / YP ) 
 
 
Exemplo 2.16: Qual o ângulo central total de transição, o ângulo central circular, 
desenvolvimento circular, coordenadas cartesianas do ponto SC e a tangente da transição, para 
uma rodovia classe II terreno ondulado, com velocidade diretriz V= 70 km/h, raio R = 300 m, PI 
localizado na estaca = 269 + 5,165 m, com a deflexão  = 48 o 21’ 59” e comprimento de transição 
(conforme exemplo 2.13) adotado como Lca = Lcb = 50 m ? 
 
Solução: LP = Lc = 50 m. C = 0,083333 rd = 4,774648º
 = 4º 46’ 29” 
  = 38,81709º 
 
22 
 
 D = 203,246 m. 
 XSC = 1,388 m. 
 YSC = 49,965 m. 
 p = 0,347 m. q = 24,994 m. TT = 159,869 m. 
 
 
Exemplo 2.17: Quais as estacas dos pontos TS, SC, CS e ST do exemplo anterior? 
 
Solução: est. TS = 261 + 5,29 m est. SC = 263 + 15,29 m 
 est. CS = 273 + 18,54 m est. ST = 276 + 8,54 m 
 
Exemplo 2.18. Determine as deflexões em relação à tangente na origem da espiral do 
exemplo 2.14. 
 
Solução: Tratando-se de curva espiral simétrica, a planilha será idêntica para as espirais 
entre TS e SC e entre ST e CS: 
 
 
Ponto estaca distancia ângulo X Y deflexão dP 
 (m) (radianos) (m) (m) (graus decimais) 
TS (ou ST) 0 0 0 0 0 
1 10 0,0033333 0,0111111 9,9999889 0,063661971 
2 20 0,0133333 0,0888878 19,999644 0,254647526 
3 30 0,0300000 0,2999807 29,997300 0,572953430 
4 40 0,0533333 0,7109666 39,988624 1,018567106 
SC (ou CS) 50 0,0833333 1,3882001 49,965289 1,591455850 
 
 
2.8.14. Locação da curva circular central: 
 
 A curva circular entre os pontos CS e SC da concordância com transição espiral é locada 
independente da espiral, com aparelho em CS ou SC, através do grau da curva. 
 
 
 Exemplo 2.19: Determine a locação da curva circular central na concordância com 
transição espiral mostrada no exemplo 2.14. 
 
 
Solução: 
Ponto Estaca int. Estaca frac. distância (m) deflexão (graus) 
SC 263 15,29 0 0 
1 264 5,29 10 0,954910 
2 264 15,29 20 1,909820 
3 265 5,29 30 2,864730 
4 265 15,29 40 3,819640 
5 266 5,29 50 4,774550 
6 266 15,29 60 5,729460 
7 267 5,29 70 6,684370 
8 267 15,29 80 7,639280 
9 268 5,29 90 8,594190 
10 268 15,29 100 9,549100 
 
23 
 
11 269 5,29 110 10,504010 
12 269 15,29 120 11,458920 
13 270 5,29 130 12,41383014 270 15,29 140 13,368739 
15 271 5,29 150 14,323649 
16 271 15,29 160 15,278559 
17 272 5,29 170 16,233469 
18 272 15,29 180 17,188379 
19 273 5,29 190 18,143289 
20 273 15,29 200 19,098199 
CS 273 18,54 203,25 19,408545 
 
Exemplo 2.20. Determine as tangentes TT1 e TT2 para transição assimétrica com Lc1 = 50,00 
m, Lc2 = 80,00 m, raio circular R = 300,00 m e  = 48 
o 21’ 59” . 
 
Solução: 
 
X1 1,3882 m 
Y1 49,9653 m 
X2 3,5510 m 
Y2 79,8579 m 
1 0,083333 
rd 
4,774648 º 
2 0,133333 
rd 
7,639437 º 
 
k1 24,9942 m 
k2 39,9763 m 
p1 0,3471 m 
p2 0,8883 m 
 
TT1 160,5938 
m 
 
TT2 174,3707 
m 
 
 
 
 
Exemplo 2.21. Qual o ângulo central e o desenvolvimento da curva circular intermediaria no 
exemplo 2.19? 
Solução:  = 35,9523 graus. D= 188,25 m 
 
 
2.8.15. Locação por coordenadas: 
 
Com o emprego de estação total, pode-se locar varias curvas a partir de um mesmo ponto, 
dentro ou fora do traçado, com ampla visibilidade do trecho a ser locado, através das medidas 
das coordenadas dos diversos pontos que compõem as tangentes e as curvas de concordância. 
 
 
 2.8.16. Locação da espiral em relação à tangente em um ponto A qualquer da espiral 
(teodolito no ponto A, fora da origem da espiral): 
 
 
24 
 
 Conforme a posição do ponto a ser locado, denominamos o ângulo para locação de 
deflexão a vante ou deflexão a ré. Caso o ponto a ser locado encontra-se entre o ponto A e o final 
da espiral, a deflexão a ser utilizada é a deflexão a vante, e se o ponto a ser locado encontrar-se 
entre o ponto A e o inicio da espiral, utilizaremos a deflexão a ré. 
 
a) cálculo da deflexão a vante para um ponto V situado entre o ponto A e o final da 
espiral: 
 
dAV = arc tg [ ( XV – XA ) / (YV – YA ) ] - A 
 
 
b) cálculo da deflexão a ré para um ponto R situado entre o ponto A e o inicio da espiral: 
 
jAR = A - R - dRA 
 
 
 Exemplo 2.18. Determine a locação da curva espiral do exemplo 2.14 para aparelho 
instalado nos pontos 1, 2, 3, 4 ou 5 da curva espiral. 
 
Solução: 
 
PONTO ÂNGULO COORDENADAS Aparelho em zero Aparelho no 
ponto 1 
Aparelho no 
ponto 2 
  y x Deflexão Deflexão Deflexão Deflexão Deflexão Deflexão 
Rd (m) (m) rd graus rd graus rd graus 
0 =TS ou ST 0 0 0 xxxxxx xxxxxx 0,00222 0,12732 0,008889 0,5093 
1 0,003333 9,999988 0,011111 0,001111 0,06366 xxxxx xxxxx 0,00556 0,31831 
2 0,013333 19,999644 0,0888877 0,0044444 0,25465 0,00444 0,25465 xxxxx xxxxx 
3 0,030000 29,997300 0,2999807 0,0099999 0,57295 0,01111 0,63662 0,00778 0,44563 
4 0,053333 39,988623 0,7109666 0,0177773 1,01857 0,02 1,1459 0,01778 1,01859 
5 =SC ou CS 0,083333 49,965288 1,3882001 0,0277761 1,59146 0,03111 1,78248 0,03 1,71885 
 
 
 
PONTO ÂNGULO COORDENADAS Aparelho no 
ponto 3 
Aparelho no 
ponto 4 
Aparelho no 
ponto 5 
  y x Deflexão Deflexão Deflexão Deflexão Deflexão Deflexão 
Rd (m) (m) rd graus rd graus rd graus 
0 =TS ou ST 0 0 0 0,020000 1,14592 0,03556 2,03721 0,055557 3,18319 
1 0,0033333 9,9999888 0,0111111 0,015556 0,89127 0,0300 1,71886 0,04889 2,80118 
2 0,0133333 19,999644 0,0888877 0,008889 0,50930 0,02222 1,27324 0,04000 2,29185 
3 0,0300000 29,997300 0,2999807 xxxxxxx xxxxxxx 0,01222 0,70028 0,028889 1,65522 
4 0,0533333 39,988623 0,7109666 0,011111 0,63662 xxxxxxx xxxxxxx 0,015556 0,89127 
5 =SC ou CS 0,0833333 49,965288 1,3882001 0,024444 1,40056 0,01444 0,82760 xxxxxxxx xxxxxx 
 
 
 
 
 
25 
 
 
3. DISTÂNCIA DE VISIBILIDADE 
 
 
3.1. Distância de visibilidade de parada simples: 
 
A distância de visibilidade de parada simples em terreno plano (Dp) é a distância mínima 
necessária para um veiculo, a uma certa velocidade efetiva Ve em km/h (inferior a velocidade 
diretriz V), possa parar antes de atingir um obstáculo. É a distância de visibilidade normalmente 
empregada para o cálculo de curvas verticais convexas. Dp obtém-se pela soma da distância de 
observação (Do) mais a distância de frenagem (Df): 
 
Dp = Do + Df 
 
sendo: Do = 0,7 Ve 
 
e Df, em terrenos planos: Df = Ve
2
 / ( 255 . fa ) 
 
resulta: Dp = 0,7 Ve + Ve
2
 / ( 255 . fa ) 
 
onde fa é um fator de atrito em pavimentos molhados, tabelado em função de Ve (tabela 3.1). 
 
Tabela 3.1. Valores de Ve e fa: 
 
Velocidade diretriz V Km/h 30 40 50 60 70 80 90 100 120 
Velocidade efetiva Ve Km/h 30 38 46 54 62 71 79 86 98 
Fator de atrito fa - 0.4 0.38 0.36 0.34 0.32 0.31 0.3 0.3 0.28 
 
 
Quando se quer considerar o efeito da rampa longitudinal na distância de visibilidade, 
calcula-se a distancia de visibilidade de parada simples em rampa: Dpi, utilizando-se a rampa i 
positiva, quando ascendente, ou negativa, se descendente: 
 
 Dpi = 0,7 Ve + Ve
2
 / [ 255 . ( fa + i ) ] 
 
 
Exemplo 3.1. Qual a distancia de visibilidade de parada simples em rodovia de 
velocidade diretriz 80 km/h em greide plano? 
Solução: para V=80, Ve = 71 km/h e fa = 0,31 Dp = 113,47 m. 
 
Exemplo 3.2. Qual a distância de visibilidade de parada simples em rodovia de 
velocidade diretriz 80 km/h com uma rampa descendente de 3% ( i = – 3% ) ? 
Solução: Dp = 120,30 m. 
 
3.2. Distância de visibilidade de parada dupla: 
 
Distância necessária (Dd) para que dois carros parem quando ambos vêm em sentidos 
contrários na mesma faixa de tráfego. 
 
Dd = 2 . Dp 
 
 
26 
 
 
3.3. Distância de visibilidade de ultrapassagem em vias simples com dois sentidos de 
tráfego: 
Distância necessária Du para um veiculo ultrapassar outro veiculo que se desloca a uma 
velocidade inferior a velocidade de projeto da via. A distância Du é a soma das distâncias de 
observação do em velocidade constante, da distância de passagem dp propriamente dita em 
aceleração constante, da distância de segurança ds e da distância percorrida por um terceiro 
veiculo que venha no sentido oposto dv: 
Du = do + dp + ds + dc 
 
Em pistas em nível, a distância Du resulta nos valores constantes da tabela 3.2. 
 
Tabela 3.2. Distâncias de visibilidade de ultrapassagem. 
 
 
Velocidade diretriz 
(km/h) 
30 40 50 60 70 80 90 100 
Du (m) 180 270 350 420 490 560 620 680 
 
 
27 
 
 
4. PROJETO EM PERFIL LONGITUDINAL 
 
 
4.1. Introdução 
 
 
O projeto em perfil é constituído por greides retos concordados 2 a 2 por curvas verticais 
do tipo parábola do 2
º
 grau. 
Denominamos de greide o perfil resultante dos níveis de terraplenagem concluída, na 
estrada projetada. 
As curvas verticais podem ser: 
quanto a concavidade: a) côncavas, quando ( i1 – i2 ) resulta valor negativo; 
b) convexas, quando ( i1 – i2 ) for positivo. 
quanto a simetria: a) simétricas (ou simples), quando a distância PCV-PIV é igual a 
distância PIV-PTV. 
 b) assimétricas (ou compostas), quando a distância PCV-PIV for 
diferente de PIV a PTV. 
 
 
 4.2. Elementos das curvas verticais 
 
 a) Pontos PCV, PIV e PTV: 
PCV: inicio da curva vertical; 
PIV: interseção das rampas i1 ei2; 
PTV: final da curva vertical. 
c) Comprimento da curva L: distância horizontal entre PCV e PTV. 
Comprimento L1 = distancia PCV a PIV 
Comprimento L2 = distancia PIV a PTV. 
Comprimento L= L1 + L2 
d) Flechas f e F: distância vertical entre a parábola e a rampa longitudinal. 
e) Cotas na rampa 
f) Cotas na parábola 
g) Cotas do terreno 
h) Cota vermelha 
i) Cota do greide 
 
 
4.3. Rampas 
 
 
O valor da rampa longitudinal i entre dois PIVs, no greide reto, é obtido pela diferença 
das cotas z1 e z2 dos PIVs, dividido pela distância horizontald12 entre os PIVs. 
 
i = ( z2 – z1 ) / d12 
 
 
Exemplo 4.1. Qual a rampa situada entre o PIV1, de cota 54,75m e localizado na estaca 
25 + 10,00m, e o PIV2, de cota 58,13 m e localizado na estaca 38 + 10,00m? 
Solução: i = 1,3 %. 
 
 
28 
 
 
4.4. Cota vermelha 
 
 
Denomina-se cota vermelha a diferença entre a cotas do terreno e a cota do greide. 
 
 
 
4.5. Cálculo das flechas em curvas verticais: 
 
a) flecha maxima F: flecha correspondente ao PIV, 
 
 
F = L1 . L2 . ( i1 – i2 ) / [ 2 (L1 + L2)] 
 
 
b). flechas f1 entre PCV e PIV: 
 
f1 = F . x1
2
 / L1
2 
 x1= distancia da flecha ate o PCV 
 
c) flechas f2 entre PIV e PTV: 
 
f2 = F . x2
2
 / L2
2 
x2= distancia da flecha ate o PTV. 
 
Exemplo 4.2. Quais as flechas da parábola de comprimento 100 m, situada entre as 
rampas i1 de +2% e a rampa i2 de –3%, nos seguintes pontos: 
a) PCV + 20 m. 
b) PCV + 50 m. 
c) PCV + 80 m. 
 
Solução: a) f = 0,10 m. 
 b) F = 0,625 m. 
 c) f = 0,10 m. 
 
 
4.6. Cálculo do comprimento mínimo da curva vertical convexa em rodovias: 
 
 
O comprimento mínimo da curva vertical convexa Lmin é obtido em relação a dois 
critérios: a) pela distância de visibilidade de parada simples em terreno plano Dp; b) pela 
velocidade diretriz. 
 
a) Lmin em relação a distância de visibilidade de parada simples Dp (em terreno plano), 
 
quando Dp  L: 
 
Lmin = Dp
2
 . ( i1 – i2 ) / 4,12 
 
para Dp  L: 
 
 Lmin = 2 . Dp – [ 4,12 / (i1 – i2 ) ] 
 
29 
 
 
 
b) Lmin em relação a velocidade diretriz em km/h: 
 
Lmin = 0,6 V 
 
Exemplo 4.3. Qual o comprimento mínimo da curva vertical de concordância entre as 
rampas i1 = 3% e i2 = – 2%, em rodovia de velocidade diretriz 80 km/h? 
 
Solução: Dp = 113,47 m 
 
e: a) Lmin = 156,34 m Verificação: 113,5 < 156,25 confere 
 
 Lmin = 144,54 m Verificação: 113,5 > 144,54 não confere 
 
 b) Lmin = 48,00 m 
 
 Resultado: L  156,34 m 
 
 O que permite, por exemplo: L adotado = 160 m. 
 
4.7. Cálculo do comprimento mínimo da curva vertical côncava em rodovias: 
 
a) em relação a distância de visibilidade simples em terreno plano Dp, 
 
para Dp  L: 
 
 Lmin = – Dp2 . ( i1 – i2 ) . 100 / ( 122 + 3,5 Dp ) 
 
para Dp  L: 
 
 Lmin = 2 Dp + { ( 122 + 3,5 Dp ) / [ ( i1 –i2 ) . 100 ] } 
 
b) pela velocidade diretriz V em km/h: 
 
 Lmin = 0,6 V 
 
Exemplo 4.4. Qual o comprimento mínimo da curva vertical de concordância entre as 
rampas i1 = – 3% e i2 = 2%, em rodovia de velocidade diretriz 80 km/h? 
 
Solução: Dp = 113,47 m 
 
 a) Lmin = 124,05m Verificação: 113,5 < 124,01 confere 
 Lmin = 123,15m Verificação: 113,5 > 123,11 não confere 
 
 b) Lmin = 48,00 m 
 
 Resultado: L  124,05m L adotado = 140 m. 
 
 
 
 
30 
 
4.8. Cálculo do comprimento mínimo da parábola em ferrovias: 
 
L min = (i1 – i2) * 30 / ru 
 
Sendo ru tabelado em função da classe da ferrovia e do tipo de curva côncava ou convexa. 
 
 
Exemplo 4.5. Determinar o comprimento da concordância vertical com i1 = 0,4 % e i2 = 
–0,2% para ru = 0,1%. 
 
 Solução: L min = 180 m. 
 
 
 
4.9. Cálculo das estacas e cotas no PCV e PTV: 
 
Estaca PCV = estaca PIV – comprimento L1 
 
Estaca PTV = estaca PIV + comprimento L2 
 
Cota PCV = cota PIV – ( i1 . L1 ) 
 
Cota PTV = cota PIV + ( i2 . L2 ) 
 
 
Exemplo 4.6. No PIV, formado pelas rampas i1 = 3% e i2 = – 2%, localizado na estaca 
45 + 0,00 m e de cota 37,50 m, vai-se utilizar uma curva vertical de comprimento 160 m. 
Quais as estacas e cotas do PCV e PTV? 
 
Solução: estaca PCV = 41 + 0,00 m 
 estaca PTV = 49 + 0,00 m 
 cota PCV = 35,10 m 
 cota PTV = 35,90 m. 
 
 
Exemplo 4.7. Quais as cotas na rampa e as cotas da parábola nas estacas inteiras da curva 
vertical do exemplo 4.6? 
 
Solução: 
 
Ponto estaca distância flecha cota 
rampa 
cota 
curva 
PCV 0 41 0 0,000 35,10 35,100 
1 42 20 0,063 35,70 35,638 
2 43 40 0,250 36,30 36,050 
3 44 60 0,563 36,90 36,338 
PIV 4 45 80 1,000 37,50 36,500 
5 46 60 0,563 37,10 36,538 
6 47 40 0,250 36,70 36,450 
7 48 20 0,063 36,30 36,238 
PTV 8 49 0 0,000 35,90 35,900 
 
 
31 
 
 
Exemplo 4.8. Qual a cota vermelha na estaca 45 do exemplo 4.7, sabendo que a cota do 
terreno no eixo projetado é 39,50 m? 
 
Solução: cota vermelha = 3,00 m (corte). 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.10. Ponto de ordenada máxima ou de ordenada mínima em curvas verticais 
simples: 
Quando houver um ponto M de cota máxima ou mínima na curva vertical, este ponto pode 
ser determinado pelas seguintes expressões: 
 
 Lo = i1 . L / ( i1 – i2 ) 
 
 Yo = i1
2
 . L / [ 2 . ( i1 – i2 ) ] 
 
sendo Lo a distância (m) do PCV ao ponto M de ordenada máxima ou mínima, e 
Yo a altura ou diferença de cota (m) entre o PCV e o ponto M. 
 
Exemplo 4.9. Determinar Lo , Yo , a estaca e a cota do ponto de ordenada máxima para a 
concordância vertical do exemplo 4.6. 
 
Solução: Lo = 96,00 m 
 Yo = 1,44 m 
 Estaca do ponto de ordenada máxima = 45 + 16,00 m. 
 Cota do ponto de ordenada máxima = 36,54 m. 
 
4.11. Raio mínimo da parábola (Rv): 
 
Rv = L / ( i1 – i2 ) 
 
 
Exemplo 4.10. Qual o raio mínimo da curva vertical do exemplo 4.6? 
 
Solução: Rv = 3200 m. 
 
4.12. Curva vertical composta ou assimétrica, para L1 diferente de L2: 
 
Neste caso, a distância PCV-PIV (L1) e a distância PIV-PTV (L2) são diferentes. O 
comprimento L da parábola será a soma de L1 e L2: 
 
 L = L1 + L2 
 
 
32 
 
As flechas em um ponto P qualquer da parábola composta obtêm-se através das 
expressões mostradas no item 4.5, e relacionadas a seguir, sendo x1 a distância horizontal de P 
até o PCV e x2 a distância de P até PTV: 
 
d) flecha máxima F: 
 
F = L1 . L2 . ( i1 – i2 ) / 2 L 
 
e) flechas f1 entre PCV e PIV: 
 
f1 = F . (x1)
2
 / (L1)
2
 
 
f) flechas f2 entre PIV e PTV: 
 
f2 = F . (x2)
2
 / (L2)
2
 
 
 
Exemplo 4.11. No PIV, formado pelas rampas i1 = 3% e i2 = – 2%, localizado na estaca 
45 + 0,00 m e de cota 37,50 m, vai-se utilizar uma curva vertical assimétrica de 
comprimentos L1 = 100 m e L2 = 60 m. Determine as cotas da rampa e da parábola vertical 
nas estacas inteiras. 
 
Solução: 
ponto estaca distância flecha cota 
rampa 
cota 
curva 
PCV 0 40 0 0,000 34,50 34,500 
1 41 20 0,038 35,10 35,062 
2 42 40 0,150 35,70 35,550 
3 43 60 0,338 36,30 35,962 
4 44 80 0,600 36,90 36,300 
PIV 5 45 100 0,938 37,50 36,562 
6 46 40 0,417 37,10 36,683 
7 47 20 0,104 36,70 36,596 
PTV 8 48 0 0,000 36,30 36,300 
 
Leia mais: Pontes Filho, cap. 8. Exercícios, p.233 a 254. 
 
 
33 
 
 
5. PROJETO DAS SEÇÕES TRANSVERSAIS 
 
5.1. Introdução 
 
No estudo das seções transversais são estabelecidas as dimensões das larguras e taludes, 
permitindo obterem-se os quantitativos de terraplenagem, a partir do conhecimento das áreas, 
volumes e distâncias de transporte. 
 
5.2. Tipos de seções transversais 
 
- Seções em corte: todos os pontos da plataforma estão abaixo das cotas do terreno, 
necessitando escavação. 
- Seções em aterro: todos os pontos da plataforma estão acima das cotas do terreno, 
necessitando aterro. 
- Seções mistas: ocorrem pontos da plataforma abaixo e acima das cotas do terreno, 
necessitando escavação e aterro. 
 
 
5.3. Cálculo de áreas de seções transversais: 
A área deuma seção transversal pode ser obtida através dos seguintes processos: processo 
mecânico (utilizando planímetros), processo gráfico (divisão da seção em figuras geométricas 
conhecidas), processo analítico (formulário), processo matricial (coordenadas) ou processo 
informatizado (softwares, como CAD, Topograph e outros). 
No processo analítico utiliza-se as seguintes expressões para determinar a área A em m
2
, 
conhecidas a cota vermelha h (m), a semi-plataforma p (m), o talude i (m/m) e a declividade 
media do terreno t (m/m): 
a) para seção plena: 
A = { [ i . ( h + p . i ) 
2
 ] / [ i
2
 – t2 ] } – p2 . i 
b) para seção mista: 
A = [ i . ( p . t  h )2 ] / [ 2 . t . ( i – t ) ] 
Pelo processo matricial, temos: 
 x1 x2 x3 x4 .............. xn x1 
 A = 1 . 
 2 y1 y2 y3 y4 .............. yn y1 
 
que resulta: 
 A = ½ [ ( x1 y2 + x2 y3 + ...... + xn y1 ) – ( x2 y1 + x3 y2 + ...... + x1 yn ) ] 
 
34 
 
Exemplo 5.1. Qual a área da seção formada pelos seguintes pontos: 
A [ 0 ; 5 ], B [ 5 ; 0 ], C [ 15 ; 0,2 ], D [ 25 ; 0 ], E [ 35 ; 10 ], F [ 15 ; 8 ]. 
Solução: A = 213,00 m
2
. 
Exemplo 5.2. a) Qual a área da seção plena de aterro com as seguintes dimensões: cota 
vermelha no eixo h = 3,00 m, declividade media do terreno t = 0,1 (10%), talude i = 1,5:1 e a 
semiplataforma p = 7,00 m? b) Qual a área da seção mista com cota vermelha h de aterro em 
0,5 m, declividade media do terreno t = 0,2, semi-plataformas de 8m em direção ao corte e de 
7 m em direção ao aterro, talude de corte 1:1 e talude de aterro 1:1,5? 
Solução: a) A = 48,54 m2 
 b) A corte = 3,78 m2 e A aterro = 12,86 m2 
 
5.4. Fator de homogeneização de volumes: 
 
 
 Devido as diferenças de densidades dos materiais no corte e no aterro, e as perdas que 
ocorrem no transporte e espalhamento (≥5 %), o volume necessário de escavação no corte para 
executar 1 m
3
 de aterro pode ser maior ou menor que 1 m
3
. 
No caso de solos, a densidade do aterro é normalmente maior que a densidade natural, 
exigindo um volume de escavação maior. Para a escavação em rocha, ocorre o inverso. Por este 
motivo, os volumes de aterro são multiplicados por um fator de homogeneização: 
 
 Fh (solos) = 1,05 . densidade compactada / densidade natural 
 
Pode-se incluir perdas maiores e uma folga para atender pequenos serviços não previstos 
em projeto. Para aterro em rochas, utiliza-se Fh em torno de 0,95. 
 
5.5. Cálculo de volumes 
 
 
A partir das áreas de cada seção transversal, o volume entre duas seções pode ser obtido 
através da media da área das duas seções multiplicado pela distância entre as seções, ou através 
da soma destas duas áreas multiplicado pela semi-distância entre elas: 
 
 V12 = ( A1 + A2 ) . d / 2 
 
 O volume de corte (ou aterro) total ao longo do trecho será o somatório de todos os 
volumes de corte (ou aterro) encontrados entre as seções: 
 
 Vt = V01 + V12 + V23 + ........ + Vxy 
 
 Os volumes de aterro, em função da densidade e das perdas, são multiplicados pelo fator 
de homogeneização, para se obter o volume equivalente de corte. 
 Quando se tem volumes de corte e aterro na mesma estaca, só será transportada a 
diferença entre ambos os volumes. O volume que não recebe transporte longitudinal é 
denominado de volume lateral. 
 
 
35 
 
 
 
5.6. Volumes acumulados: 
 
 
É a soma algébrica dos volumes de corte e aterro ao longo de um trecho, considerando os 
volumes de cortes e aterros com sinais contrários. 
 
Exemplo 5.3. Para as áreas obtidas nas estacas conforme planilha abaixo determine os 
volumes parciais em cada segmento, os volumes totais de corte e aterro homogeneizado no 
trecho e os volumes acumulados para cada ponto da planilha. 
 
Dados: Solução: 
 
Estacas áreas fator de semi - soma áreas volumes volumes 
int. frac. corte aterro homog. distância corte aterro corte aterro acumulados 
5 15 0 1,3 0 
6 14 1,3 2,5 14 0 35 0 35 
7 25 1,3 10 39 0 390 0 425 
8 52 1,3 10 77 0 770 0 1195 
9 37 5 1,3 10 89 5 890 65 2020 
10 18 22 1,3 10 55 27 550 351 2219 
11 4 68 1,3 10 22 90 220 1170 1269 
12 86 1,3 10 4 154 40 2002 -693 
12 10 0 1,3 5 0 86 0 559 -1252 
 totais 2895 4147 
 
 
Exercicio: Determine os volumes laterais do exemplo 5.3. 
 
 
5.7. Diagrama de Brueckner ou diagrama de massas: 
 
 
O diagrama de Brueckner é a representação gráfica dos volumes acumulados em cada 
estaca ou seção transversal do projeto. No diagrama, trechos ascendentes ou descendentes 
representam regiões com cortes ou aterros, e os pontos máximos e mínimos indicam as 
mudanças entre cortes e aterros. 
 
 
 
Exemplo 5.4. Desenhar o diagrama de massas do exemplo 5.3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
Solução: 
 
 
5.8. Distribuição do material escavado: 
 
De posse do diagrama de massas, e dos resultados de sondagens quanto a qualidade dos 
materiais, pode determinar a distribuição do material escavado entre os diversos cortes e 
aterros (através da compensação de volumes), e os locais de empréstimo (devido a falta de 
materiais) ou de bota-fora (devido a sobra ou refugo de materiais). 
 
5.9. Segmentos compensados: 
 
São trechos onde ocorre aproveitamento dos volumes de corte para os volumes de aterro 
homogeneizado. 
 
 
Exemplo 5.5. Determinar o trecho de segmento compensado do diagrama do exemplo 
5.4. 
 
Solução: O segmento compensado situa-se entre as estacas 5 + 15,00 m e 11 + 12,94 m. 
 
5.10. Distâncias médias de transporte: 
 
As distâncias médias de transporte dmt são determinadas para os segmentos 
compensados, empréstimos e bota-foras. Nos segmentos compensados, conhecidos os 
trechos de escavação e aterro, utiliza-se a expressão: 
 
 Dmt = área do segmento compensado / altura do segmento compensado. 
 
Exemplo 5.6. Qual a distância media de transporte no segmento compensado do diagrama 
do exemplo 5.4? 
Solução: dmt = 62,423 m. 
 
Leia mais: Pontes Filho, cap. 9. Exercícios, p. 272 a 282. 
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
5+
15 6 7 8 9 10 11 12
12
+1
0
 
37 
 
 
6. PROJETO DA TERRAPLENAGEM 
 
6.1. Introdução 
 
O projeto de terraplenagem abrange as investigações geológicas e geotécnicas, as notas 
de serviço e as planilhas de origem e destino. 
 
6.2. Investigações geológicas e geotécnicas: 
São desenvolvidas em três etapas: a primeira, durante os estudos iniciais do projeto, outra, 
no desenvolvimento dos anteprojetos ou projetos básicos, e a última etapa na fase do projeto 
final ou projeto executivo. Na fase de estudos iniciais, buscam-se informações bibliográficas 
ou documentadas acerca dos materiais e geologia da região, e prepara-se o plano de sondagem 
preliminar. 
Por ocasião do desenvolvimento dos anteprojetos, realizam-se levantamentos de campo e 
estudos em laboratório para identificação dos materiais do terreno, das jazidas de empréstimos e 
pedreiras. Os materiais são identificados através de furos de sondagens executados a intervalos 
de 1.000 m, com profundidade suficiente para ultrapassar em 1 m o greide de terraplenagem. Nas 
jazidas, realizam-se de 5 a 8 furos, sendo 4 furos na periferia da jazida, para determinar a sua 
área, e de 1 a 4 furos no centro para verificar a homogeneidade do material. Nas pedreiras, 
coletam-se pedras soltas como amostra. 
Na fase de projeto final, repetem-se os estudos dos materiais com mais precisão. Os 
materiaisdo terreno são sondados a cada 100 m, nas jazidas os furos de sondagem são 
executados com espaçamento máximo longitudinal e transversal de 30m e as pedreiras 
(utilizadas na pavimentação) são caracterizadas através de testemunhos de três sondagens 
rotativas. 
Ao final do trabalho, tem-se identificados os materiais de construção aproveitáveis e 
inaproveitáveis, e a localização e volumes disponíveis nas jazidas de empréstimo e em pedreiras. 
 
 
6.3. Notas de serviço: 
 
Descreve as medidas de cotas e distâncias para execução de cada seção transversal. 
 
 
6.4. Planilhas de origem e destino 
 
Relaciona a movimentação do material escavado: dos cortes, dos alargamentos de cortes 
ou dos locais de ocorrência de empréstimos laterais ou concentrados para os locais de aterro ou 
bota-fora. Os locais de escavação e aterro são identificados pelas suas estacas, volumes e 
classificação do material por categoria de escavação. Obtem-se os dados no Diagrama de 
Brueckner. 
 
38 
 
 
 
7. BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR: 
 
1. ADLER, Hans A. Avaliação econômica dos projetos de transporte. Rio de Janeiro. LTC. 1978. 
2. BRINA, Helvécio L. Estradas de Ferro. Belo Horizonte. UFMG.1988. 
3. CAMPOS, Raphael A. Projetos de Estradas. São Paulo. USP. 1978. 
4. CARVALHO, Manoel P. Curso de estradas. Rio de Janeiro. Científica. 1967. 
5. COMASTRI e CARVALHO. Estradas: traçado geométrico. Viçosa. UFV. 1996 
6. DER/SC. Especificações gerais para obras rodoviárias. Florianópolis. 1992. 
7. DNER. Diretrizes básicas para elaboração de estudos e projetos rodoviários. Rio de Janeiro. 1999. 
8. _________. Manual de implantação básica. Rio de Janeiro. 1996. 
9. _________. Manual de projeto de rodovias rurais. Rio de Janeiro. 1999. 
10. FIGEIRA. Estudo e concepção de estradas. Coimbra. Almedina. 1984 
11. FRAENKEL, Benjamin. Engenharia Rodoviária. Rio de Janeiro. Guanabara Dois. 1980. 
12. INSTITUTO PANAMERICANO DE CARRETERAS. Manual internacional de conservação 
rodoviária. IPC. 1982. 
13. INSTITUTO DE PESQUISAS TECNOLOGICAS. Estradas vicinais de terra. São Paulo. IPT. 1985. 
14. LEE, Shu et al. Introdução ao projeto geométrico de estradas. Florianópolis. UFSC. 2000. 
15. LIMA, ROHM, BUENO. Tópicos em estradas. Viçosa. UFV. 1985. 
16. PIMENTA, Carlos R. T. Projeto de estradas. São Carlos. EESC. 1981. 
17. PONTES FILHO, Glauco. Estradas de Rodagem: projeto geométrico. São Carlos. 1998. 
18. PORTO, Telmo F. A. Projeto geométrico de rodovias. São Paulo. T. A. Queiroz. 1989. 
19. SENÇO, Wlastermiler. Estradas de Rodagem: projeto. São Paulo. Grêmio Politécnico. 1975. 
20. SENÇO. Wlastermiler. Manual de técnicas de pavimentação. São Paulo. Pini. Vol I. 1997. 
21. SILVA, Ricardo S. O. Projeto geométrico de vias urbanas. Brasília. EBTU. 1985. 
22. VIEIRA, Jair Lot. Licitações e contratos na administração publica : lei n. 8.666, de 21 de junho de 
1993, de acordo com a republicação do DOU de de 6 de julho de 1994. 9.ed. São Paulo. EDIPRO. 
1994.