Aula 04 Parte 01 Taxa equivalente

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Matemática Financeira
Aula 04: Taxas de juros
Introdução
Nesta aula, você irá distinguir as taxas: equivalente, nominal/efetiva/proporcional e a taxa real/aparente.
Objetivos
Determinar taxa equivalente, taxa nominal, taxa proporcional ou efetiva, taxa real, taxa bruta e taxa líquida.
Taxa equivalente
Taxas equivalentes são aquelas referidas a períodos de tempo diferentes, mas que quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo prazo, geram o mesmo montante.
Seja o capital C aplicado por um ano a uma taxa anual i𝛼.
O montante M ao final do período de 1 ano será igual a
M = C (1 + i𝛼)
Consideremos agora, o mesmo capital M aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im.
O montante M’ ao final do período de 12 meses será igual a
M’ = C (1 + im)124
Vejamos algumas aplicações desse conceito:
Primeira aplicação:
Seja:
Im = 1% a.m. (Período mês)
Vamos determinar qual a taxa equivalente ao ano (i𝜶 % a.a.). (Período ano)
Solução:
(1 + i𝛼) = (1 + Im)12
(1 + i𝛼) = (1 + 0,01)12
(1 + i𝛼) = 1,1268
Logo: i𝛼 = 1,1268 – 1 = 0,1268 ou 12,68% a.a.
Segunda aplicação:
Vamos determinar qual o montante acumulado no final de um ano, a partir de um principal de R$100,00, com uma taxa de juros de 1% a.m., no regime de juros compostos.
Solução:
C = R$100,00
i = 1% a.m. ou i = 0,01
t = 1 ano
n = 12 meses
M = ?
Temos: M = C (1 + i)n
M = 100 (1 + 0,01)12
M = 100 x 1,126825 (da Tabela)
M = R$112,68
Terceira aplicação:
Vamos calcular a taxa ao mês equivalente a 60% ao ano.
Solução:
im = ? % a.m. (Período mês)
(ia = 60% a.a.)? (Período ano)
(1 + i) = (1 + im)12 (1 ano = 12 meses, logo expoente 12)
(1 + 0,60) = (1 + im)12
1,6 = (1 + im)12
Consultando a Tabela de Acumulação de Capital:
Na linha n = 12, encontramos 1,60 (aproximado) na coluna i = 4% a.m.
Quarta aplicação:
Vamos calcular a taxa ao trimestre equivalente a 60% ao ano.
Solução:
it = ? % a.t. (Período trimestre)
(ia = 60% a.a.)? (Período ano)
(1 + ia) = (1 + it)4 (1 ano = 4 trimestres, logo expoente 4)
(1 + 0,60) = (1 + it)4
1,6 = (1 + it)4
Consultando a Tabela de Acumulação de Capital:
Na linha n = 4, encontramos 1,60 (aproximado) na coluna it = 12% a.m.
Quinta aplicação:
Vamos calcular a taxa ao mês equivalente a 60% ao trimestre.
Solução:
Im = ? % a.t. (Período ao mês)
(it = 60% a.t.)? (Período trimestre)
(1 + it) = (1 + im)3 (1 trimestre = 3 meses, logo expoente 3)
(1 + 0,60) = (1 + im)3
1,6 = (1 + im)3
Consultando a Tabela de Acumulação de Capital:
Na linha n = 3, encontramos 1,60 (aproximado) na coluna im = 17% a.m.
Saiba+
Seja:
ia = taxa de juros anual
is = taxa de juros semestral
im = taxa de juros mensal
id = taxa de juros diária
Como fazer as conversões das taxas?
Podem ser feitas de acordo com as seguintes fórmulas:
	
1 + im = (1 + id)30 [porque 1 mês = 30 dias]
	
1 + ia = (1 + im)12 [porque 1 ano = 12 meses]
	
1 + ia = (1 + is)2 [porque 1 ano = 2 semestres]
	
1 + ia = (1 + im)6 [porque 1 semestre = 6 meses]
Todas elas baseadas no mesmo princípio fundamental de que taxas equivalentes aplicadas a um mesmo capital produzem montantes iguais. Não é necessário memorizar todas as fórmulas. Basta verificar a lei de formação que é bastante clara.
Por exemplo, se iq = taxa de juro num quadrimestre, poderíamos escrever: 1 + ia = (1 + iq)3 [porque 1 ano = 3 quadrimestres].
Exemplo
Vamos determinar qual o montante acumulado no final de dois anos, a partir de um principal de R$2.000,00, com taxa de juros de 1% a.m., no regime de juros compostos.
C = R$2.000,00
i = 1% a.m. ou i = 0,01
t = 2 anos
n = 24 meses
M = ?
Temos:
M = C (1 + i)n
M = 2000 (1 + 0,01)24
M = 2000 x 1,269735 (da Tabela)
M = R$2.539,47