AULA ANALISE DE TENSÕES EM ELEMENTOS GIRADOS

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ANANÁÁLISE DE TENSÕES EMLISE DE TENSÕES EM
ELEMENTOS GIRADOSELEMENTOS GIRADOS
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Vamos considerar um cubo infinitesimal retirado de uma barra sujeita a 
cargas externas. O mesmo apresenta o estado de tensões mostrado abaixo 
para essas cargas externas, associado a um sistema de coordenadas (xy). O 
que vamos analisar é estado de tensões quando esse elemento é girado de um 
ângulo θ (x’y’). Ou seja, a grandeza das tensões que ocorrem nesse elemento 
girado.
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Para isso, é mais conveniente cortar um triângulo no elemento original, 
obtendo-se a hipotenusa do triângulo alinhada com a direção y’ do sistema 
de coordenadas girado, no sentido anti-horário, de um ângulo “θ”. Vamos 
supor que a área do plano girado seja “∆A”.
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Ao plano girado vão estar associadas à tensão normal σx´ e a tensão 
tangencial τxý´. Como o estado de tensões está em equilíbrio, as forças 
associadas a todas as tensões têm que se equilibrarem também nas direções 
x’ e y’. É necessário, portanto, que se transformem as tensões em forças, 
multiplicando-as por suas respectivas áreas de atuação.
θτθσθσσ 2cos 22
´
sensen xyyxx ++=
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Vamos adotar a simbologia das tensões que atuam em planos 
girados de um ângulo “θ” como sendo:
σx´= σθ τx´y´= τθ
θτθ
σσ
τ 2cos2
2´´ xy
yx
yx sen −




 −
=
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Tensões Principais
“As tensões principais são aquelas tensões que ocorrem em um 
elemento girado, onde uma é máxima e a outra é mínima e nesse 
elemento não temos tensões tangenciais - estas são zero.”
Se sabemos que τθ = 0, para obter o ângulo de giro do elemento onde 
ocorrem as tensões principais e suas grandezas, faremos:
* Obtido o ângulo “θθθθ”, basta aplicá-lo nas equações de σθθθθ e σθθθθ +90 para obter as 
grandezas das tensões principais.
θτθ
σσ
2cos2
2
0 xy
yx
sen −




 −
=





 −
=
2
2
yx
xytg
σσ
τ
θ
yx
xytg
σσ
τ
θ
−
=
2
2
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Tensões Tangenciais Máximas
Para saber o ângulo de giro do elemento onde ocorrem as tensões 
tangenciais máximas, fazemos:
* Obtido o ângulo “θθθθ”, basta aplicá-lo nas equações de τθθθθ e τθθθθ +90 para obter as 
grandezas das tensões tangenciais máximas.
0=
dx
d θτ 0222cos2
2
=+




 − θτθ
σσ
senxy
yx







 −
−=
xy
yxtg
τ
σσ
θ
2
2
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Cisalhamento Puro
“O cisalhamento puro ocorre sempre quando sobre um elemento 
cúbico agem tensões normais de compressão na direção “y” e 
tensões normais de tração na direção “x” e estas forem de mesma 
grandeza. Se dermos um giro de 45° no elemento, nesse elemento 
girado ocorrerão as tensões tangenciais máximas, sendo que as 
tensões normais serão zero.”
σy σx = σy
Nesse elemento as tensões normais são zero.
σx σx σθθθθ = 0
Sendo: θ = 45°
σy
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σy 
τθ´ τθ
θ = 45°
σx σx
τθ τθ´
σy
CISALHAMENTO PUROCISALHAMENTO PURO
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