Lista+2+-+Limites

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2ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO I: LIMITES 
 2014/2 
 
 
Limites e Continuidade 
 
 
Objetivo Geral 
 
Propiciar o aprendizado dos conceitos de limite, para a posterior fundamentação do conceito de derivadas 
e integrais. 
 
 
 
Objetivos Específicos 
 
Após o desenvolvimento deste capítulo o aluno deverá: 
 
 Interpretar e calcular geometricamente o limite de uma função; 
 Interpretar e calcular algebricamente o limite de funções simples; 
 Determinar se a função é contínua ou descontínua num ponto. 
 
 
 
Conteúdo: 
 
Noção intuitiva. Definição. Propriedades. Limites laterais. Limites no infinito e limites infinitos. Limites 
fundamentais . Continuidade de funções. 
 
 
 
Considerações Gerais 
 
A ideia básica do cálculo é o conceito de limite, usado tanto para definir derivada como para definir 
integral. 
Entendemos que um estudo muito rigoroso da teoria dos limites, pelas dificuldades que encerra, foge 
completamente do objetivo do curso. Por outro lado o uso, como uma ferramenta, desta linguagem é 
bastante intuitiva, e podemos utilizá-la sem a necessidade de aprofundar esta teoria com os alunos. 
Acreditamos que a ideia intuitiva de simultaneidade de tendências, que o conceito de limite encerra, faz 
parte da bagagem científica que o aluno traz consigo. 
Iniciamos o estudo intuitivo dos limites através de uma análise gráfica, pois assim fica bem visível para o 
aluno o que queremos dizer com a expressão “o que acontece com a função quando x tende a determinado 
valor (tanto à esquerda como à direita). Insistimos nisto para, posteriormente, conceituarmos a derivada 
através da ideia de limite. 
Depois, trabalhamos as propriedades operatórias e desenvolvemos alguns exercícios somente para que os 
alunos possam entender como se calcula um limite algebricamente. Os exercícios são simples, pois o nosso 
objetivo é usar o limite somente para conceituar derivada e ter uma ideia do comportamento de uma 
função num ponto ou no infinito. 
Citamos os limites fundamentais somente para que eles tenham conhecimento de que estes limites existem, 
pois, como já dissemos, não é nosso objetivo aprofundar esta teoria. 
No que diz respeito à continuidade de funções, consideramos importante que o aluno tenha, pelo menos, 
uma noção intuitiva do que vem a ser uma função contínua. 
 
Exercícios 
1) Analisando o gráfico da função f(x), calcule os limites: 
 
 
 
 
2) Analisando o gráfico da função f(x) : 
 
 
Intuitivamente, encontre se existir: 
a) 


)(lim
2
xf
x
 b) 


)(lim
2
xf
x
 c) 


)(lim
2
xf
x
 
d) 


)(lim xf
x
 e) 


)(lim
1
xf
x
 f) 


)(lim
4
xf
x
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 


)(lim
2
xf
x
 b) 
2
lim ( )
x
f x


 
c) 


)(lim
2
xf
x
 d) 
 )1(f
 
e) 


)(lim xf
x 
f) 


)(lim xf
x
 
g) 


)(lim
0
xf
x
 h) 
)2(f
 
i) 


)(lim
3
xf
x 
j) 


)(lim
1
xf
x
 
 
3) Seja f(x) a função definida pelo gráfico: 
 
Intuitivamente, encontre se existir: 
a) 


)(lim
3
xf
x
 b) 


)(lim
3
xf
x
 c) 


)(lim
3
xf
x
 
d) 


)(lim xf
x
 e) 


)(lim xf
x
 f) 


)(lim
4
xf
x
 
 
 
4) Seja f(x) a função definida pelo gráfico: 
 
Intuitivamente, encontre se existir: 
 
22 2
0
) lim ( ) ) lim ( ) ) lim ( )
) lim ( ) ) lim ( ) ) lim ( )
xx x
x x x
a f x b f x c f x
d f x e f x f f x
   
  
  
  
 
 
 
5) Seja f(x) a função definida pelo gráfico: 
 
 Intuitivamente, encontre se existir: 
 
00 0
2
) lim ( ) ) lim ( ) ) lim ( )
) lim ( ) ) lim ( ) ) lim ( )
xx x
x x x
a f x b f x c f x
d f x e f x f f x
   
  
  
  
 
 
 
 
6) Seja f(x) a função definida pelo gráfico: 
 Intuitivamente, encontre se existir: 
 
22 2
1
) lim ( ) ) lim ( ) ) lim ( )
) lim ( ) ) lim ( ) ) lim ( )
xx x
x x x
a f x b f x c f x
d f x e f x f f x
   
  
  
  
 
 
 
1 
7) Seja f(x) a função definida pelo gráfico: 
Intuitivamente, encontre se existir: 
 
11 1
) lim ( ) ) lim ( ) ) lim ( )
) lim ( ) ) lim ( )
xx x
x x
a f x b f x c f x
d f x e f x
   
 
  
 
 
 
 
 
8) Seja f(x) a função definida pelo gráfico: 
 
Intuitivamente, encontre se existir: 
 
22 2
) lim ( ) ) lim ( ) ) lim ( )
) lim ( ) ) lim ( )
xx x
x x
a f x b f x c f x
d f x e f x
   
 
  
 
 
 
 
 
9) Seja 






3 x se 7,-3x
3 x se ,1
)(
x
xf
 . Calcule: 
 
a) 
)(lim
–3
xf
x
 = b) 
)(lim
3
xf
x 
= c) 
)(lim
3
xf
x
= 
 d) 
)(lim
–5
xf
x
 = e) 
)(lim
5
xf
x 
= f) 
)(lim
5
xf
x
= 
 
 
 
 
10) Seja 
4)(  xxf
 . Calcule: 
a) 
)(lim
4
xf
x 
= b) 
)(lim
–4
xf
x
= c) 
)(lim
4
xf
x
= 
 
 
 
11) Seja 













1x se x,-2
1x se 2,
1x0 se ,x
0x se ,
1
)(
2
x
xf
 . Calcule: 
 
a) 
)(lim
–1
xf
x
= b) 
)(lim
1
xf
x
= c) 
)(lim
0
xf
x 
= d) 
)(lim
–0
xf
x
= 
 
e)
)(lim
0
xf
x
= f) 
)(lim
2
xf
x 
= g) 
)(lim
–2
xf
x
= h) 
)(lim
2
xf
x
= 
 
12) Calcular os limites usando as propriedades: 
 a) 
)273( lim 2
3


xx
x
= b) 
13
4
 lim
2 

 x
x
x
= c) 
2
3
 lim
2 

 t
t
t
= 
d) 
1
1
 lim
2
1 

 x
x
x
= e) 
2
65
 lim
2
2 

 t
tt
t
= f) 
3
9
 lim
2
3 

 x
x
x
= 
g) 
100
 lim
x
x 
= h) 
xx
1
 lim

= i) 
25 25
5
lim
x
x
x 


 
 j) 
xx
x
x  2
3
0 2
lim
 k) 
2
8
lim
3
2 

 x
x
x
 l) 
1
34
lim
3
2
1 

 x
xx
x
 
m) 
2
33
lim
23
23
1 

 xx
xxx
x
 n) 
584
463
lim
23
23
1 

 xxx
xxx
x
 o) 
34
23
lim
4
3
1 

 xx
xx
x
 
p) 
x
xx
x
121
lim
2
0


 q) 
x
xx
x


11
lim
0
 r) 
1
12
lim
1 

 x
xx
x
 
 
s) 
232
4
lim
2
2 

 xx
x
x
 t) 
23
3333
lim
2
22
1 

 xx
xxxx
x
 
 
u) 
 )1235(lim
23 xxxx
 v)
 )122(lim
245 xxxx
 
 
w) 
 )123(lim
24 xxx
 x) 
 )853(lim
24 xxx
 
 
y) 
 )235(lim
3 xxx
 z) 




1
12
lim
2
2
x
x
x
 
 
aa) 




359
1253
lim
23
23
xxx
xxx
x
 bb) 



 24
23
7
54
lim
xx
xxx
x
 
 
cc) 




2086
73
lim
45
45
xx
xxx
x
 dd) 5 2
3 2
4 12 5
lim
4 2
x
x x x
x x

 

 13) Determine as assíntotas (se existirem), o intercepto das funções no eixo y, analise a continuidade e 
esboce o gráfico das funções abaixo: 
3
5
)


x
ya
 
1
13
)



x
x
yb
 
x
yc
2
) 
 
2)1(
2
)


x
yd
 









11
1
1
1
)
2
xse
xse
x
x
ye
 







23
2
2
1
)
xse
xse
xyf
 
 
6
3
)
2 

xx
yg 1
1
)
2 

x
yh 2
3
)



x
x
yi
 
 
 
Limites Fundamentais 
São três os chamados limites fundamentais: 
 
1lim
0

 x
senx
x
 
 
e
x
x
x








1
1lim
 
 
a
e
x
x
a
x
a
log ln
1
lim
0



 (a > 0; a  1) 
 
 
 
Exercícios 
 14) Calcule os limites, aplicando os limites fundamentais: 
a) 

x
xsen
x
2
3
lim 0
 
b) 

x
xtg
x
3
2
lim 0
 
c) 

xsen
xsen
x
3
4
lim 0
 
d) 







x
x
x
2
1
1lim
 
e) 







31
1lim
x
x
x
 
f) 









2
1
1lim
x
x
x
 
g) 







x
x
x
3
2
1lim
 
h) x
x x







 3
1
1lim
= 
i) 
x
xsen
x

0
lim

 = 
j) x
x x
4
2
1
1lim 







= 
 
 
 
Exercícios Complementares de Aplicação 
 
1) O gerente de uma empresa determina que 
t
 meses após começar a fabricação de um novo produto o 
número de unidades fabricadas deve ser 
P
 milhares, onde 
2
2
)12(
516
)(



t
tt
tP
. Qual será a produção máxima 
em longo prazo (ou seja, para 
t
). 
 
a) 16 000 unidades 
b) 8 000 unidades 
c) 2 000 unidades 
d) 5 000 unidades 
e) 4 000 unidades 
 
 
2) Um cano rompido em uma plataforma petrolífera da Petrobrás produz uma mancha de óleo circular que 
tem 
y
 metros de espessura a uma distância de 
x
 metros do local de vazamento. A turbulência torna difícil 
medir diretamente a espessura da mancha no local do vazamento 
)0( x
, mas para 
0x
 observa-se que 
xxx
xx
y
4
)3(5,0
23
2



. Supondo que a distribuição de óleo seja contínua, qual é a espessura estimada no local 
do vazamento (ou seja, para 
0x
)? 
 
a) 0,5 m. b) 0,250 m. c) 0,375 m. d) 0,125 m. e) 0,3 m. 
 
 
 
3) Os cientistas P. F. Verhulst, R. Pearl e L. J. Reed, contrariando a teoria de Malthus de que as populações 
crescem em progressão geométrica, propuseram uma lei de crescimento populacional cujo gráfico tem o 
seguinte aspecto: 
 
Para Pearl e Reed as condições físicas determinavam um limite superior L para a população de uma 
região ou país e, utilizando os censos norte-americanos de 1790 a 1910, obtiveram a lei experimental: 
tx
P


03,1 32,67 1
274,197
 
onde P é a população norte-americana em milhões de habitantes, t anos após 1790. 
Calcule o limite da função P, quando t  +. 
 
a) 160 584 000 habitantes 
b) 67 320 000 habitantes 
c) 293 039 000 habitantes 
d) 197 274 000 habitantes 
e) 97 058 000 habitantes 
4) Considere uma lente delgada convergente de distância focal f (nas lentes convergentes, f > 0). E seja “e” o 
eixo principal dessa lente: 
 
Seja P um objeto situado em “e”, e P´ a imagem correspondente. As abscissas p de P e p´de P´, 
tomadas em relação ao centro óptico O da lente, se relacionam através da equação de Gauss: 
fpp
111



 
Dessa equação tiramos que: 
fp
fp
p


. 
E se construirmos o gráfico de p´ em função de p, obteremos: 
 
Observando o gráfico acima, calcular: 
a)
p
P

 
lim
= b)
 f
lim
P
p


= c)
p
fP

 - 
lim
= 
 
 d)
p
fP

 
lim
= e) 
p
P

 f2 
lim
= f) 
p
P

 
lim
= 
 
5) A população de uma colônia de bactérias varia segundo a função definida por: 
te
tP


75
60
)(
 , onde 
P(t) é dada em bilhões e t em dias. Descreva o que acontece com a população no decorrer do tempo. 
Verifique a sua conclusão achando 
).(lim tP
t 
 
a) 12 b) 60 c) 15 d) 12,5 e) 21,6 
 
6) A população de uma determinada espécie animal em um zoológico varia através da seguinte lei: 
4/45
95
)(
te
tN


, onde N(t) é o número de animais e t é o tempo em semanas. Descreva o que 
acontece com a população no decorrer do tempo. Verifique a sua conclusão achando 
).(lim tN
t 
 
a) 20,5 b) 19 c) 95 d) 23,75 e) 21 
GABARITO 
 
 
 
1) a) ∞ b) 2 c) não existe d) 1 e) 2 f) 1 g) 2 h) 1 i) 0 j) 1 
 
2) a) 1,5 b) 0 c) não existe d) ∞ e) 0 f) - 2 
 
3) a) - 1 b) 3 c) não existe d) - 1 e) 3 f) 3 
 
4) a) 0 b) 0 c) 0 d) ∞ e) ∞ f) 2 
 
5) a) 0 b) 0 c) 0 d) ∞ e) - ∞ f) 4 
 
6) a) 0 b) 0 c) 0 d) ∞ e) - ∞ f) 1 
 
7) a) ∞ b) 1/2 c) não existe d) 1/2 e) - ∞ 
 
8) a) 5 b) 5 c) 5 d) - ∞ e) ∞ 
 
9) a) 2 b) 2 c) 2 d) 8 e) 8 f) 8 
 
10) a) 0 b) 0 c) 0 
 
11) a) 1 b) 1 c) 0 d) - ∞ e) não existe f) 0 g) 0 h) 0 
 
12) a) 8 b) 6/5 c) 5/4 d) 2 e) – 1 f) – 6 g) ∞ 
h) 0 i) 1/10 j) 0 k) 12 l) -2/3 m) - 4/5 n) 1 
o) 1/2 p) -1 q) 1 r) 
4/2
 s) -8 t) 3 u)+

 
v) -

 w) -

 x)+

 y) +

 z) 2 aa) 
3
1
 bb) 0 
cc) 
2
1
 dd) 

 
13. a) x = 3 é a assíntota vertical e y = 0 é a assíntota horizontal intercepto eixo y=-5/3 
 b) x = 1 é a assíntota vertical e y= 3 é a assíntota horizontal intercepto eixo y=-1 
 c) x = 0 é a assíntota vertical e y = 0 é a assíntota horizontal intercepto eixo y = não intercepta 
 d) x = 1 é a assíntota vertical e y = 0 é a assíntota horizontal intercepto eixo y= 2 
 e) não tem assíntotas intercepto eixo y = 1 
 f) x=-2 é a assíntota vertical e y = 0 é a assíntota horizontal intercepto eixo y = ½ 
 g) x=-3 e x=2 são as assíntotas verticais e y = 0 é a assíntota horizontal intercepto eixo y=-1/2 
 h) x=-1 e x=1 são as assíntotas verticais e y = 0 é a assíntota horizontal intercepto eixo y=-1 
 i) x = 2 é a assíntota vertical e y = 1 é a assíntota horizontal intercepto eixo y=-3/2 
 
14) a) 3/2 b) 2/3 c) 4/3 d) 2e e) 3/1e f) e g) 6e h) 3/1e 
i) π j) 2e 
 
Exercícios Complementares de Aplicação.1) e 
2) c 
3) d 
4) a) f b) não existe c) - ∞ d) ∞ e) 2f f) f 
5) a 
6) b