Apostila+Teoria+dos+Jogos v2 (2)

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Conceitos básicos da Teoria dos Jogos
 Profa. Luciana Oriqui e Prof. Maurício Cassar
Teoria dos Jogos
Referências Bibliográficas:
Teoria dos Jogos Com Aplicações em Economia, Administração e Ciências Sociais
Ronaldo Fiani
Editora Campus
Teoria dos Jogos: Jogos de Estratégia, Estratégia Decisória, Teoria da Decisória,...
Duílio de Ávila Bêrni
Reichmann & Affonso Editores
Alguns Conceitos:
Interação Estratégica: é aquela em que os participantes, sejam indivíduos ou organizações, reconhecem a interdependência mútua de suas decisões.
Modelo: é o que necessitamos para poder afirmar algo acerca de qualquer situação de interação estratégica.
É uma representação simplificada de um objeto de estudo, em que propositadamente alguns elementos são destacados, enquanto outros são omitidos.
Teoria dos Jogos: nos oferece tanto formas de modelar uma situação de interação estratégica quanto de analisar essas situações, após elas terem sido modeladas. A teoria dos jogos ajuda a entender teoricamente o processo de decisão de agentes que interagem entre si, a partir da compreensão da lógica da situação em que estão envolvidos.
Exemplo de modelo: A Batalha do Mar de Bismarck
Em dezembro de 1942 o alto comando de guerra japonês decidiu transferir um maciço reforço da China e do Japão para Lae, em Papua – Nova Guiné. Isso permitiria aos japoneses se recuperarem da derrota de Guadacanal e se prepararem para a próxima ofensiva aliada. Contudo, a movimentação de um volume grande de tropas por mar tinha um risco elevado: o poderio aéreo aliado na área era fortíssimo.
Um dado importante da situação era o fato de que o comboio japonês dispunha de duas rotas alternativas: a rota pelo sul, que apresentava tempo bom e boa visibilidade, e a rota pelo norte, que apresentava tempo ruim e baixa visibilidade. As forças aliadas, por outro lado, somente possuíam aviões de reconhecimento para pesquisar uma rota por vez, sendo que a busca em qualquer uma das rotas consumiria um dia inteiro.
Dessa forma, se as forças aliadas enviassem seus aviões de reconhecimento para a rota certa, poderiam começar o ataque em seguida. Porém, se mandassem os aviões para a rota errada, perderiam um dia de bombardeios.
Modelo:
	
	Comboio
	Japonês
	Forças Aliadas
	Rota Sul (tempo bom)
	Rota Norte (tempo ruim)
	Busca Rota Sul no Primeiro Dia
	3 dias de bombardeio
	1 dia de bombardeio
	Busca Rota Norte no Primeiro Dia
	2 dias de bombardeio
	2 dias de bombardeio
Se você fosse o comandante das forças aliadas, o que faria?
Lógica da Situação:
Resposta: você deveria mandar os aviões fazerem a busca no primeiro dia pela rota norte.
Por que?: para os japoneses a rota norte era a melhor das escolhas caso os aliados escolhessem o sul e era uma opção tão boa quanto a rota sul se os aliados escolhessem o norte. O alto comando japonês desejava obviamente minimizar as perdas.
A guerra foi vencida pelos Aliados, que massacraram os japoneses.
Os Aliados “adivinharam” por onde os japoneses viriam simplesmente considerando:
que os japoneses agiriam racionalmente (não se exporiam a perdas desnecessárias)
 os dados da situação (o número de dias de bombardeio que o tempo em cada rota permitiria).
Variáveis do jogo:
Disponibilidade de aviões para reconhecimento dos aliados;
Condições meteorológicas das duas rotas.
LÓGICA SITUACIONAL
Método das ciências sociais, que busca compreender objetivamente a lógica de uma determinada situação de interação entre indivíduos ou organizações, a partir dos dados objetivos dessa situação, sem analisar a subjetividade dos indivíduos envolvidos (sentimentos, expectativas, desejos) na interação.
Situações que envolvam interações entre agentes racionais que se comportam estrategicamente podem ser analisados formalmente como um jogo. Assim, um jogo nada mais é do que uma representação formal que permite a análise das situações em que agentes interagem entre si, agindo racionalmente.
Um jogo é um modelo formal : a teoria dos jogos envolve técnicas de decisão e análise, com regras preestabelecidas para apresentar e estudar um jogo.
Interações: significam que as ações de cada agente, consideradas individualmente, afetam os demais. O grau de interação também pode ser uma das variáveis do jogo;
Agentes: é qualquer indivíduo ou grupo de indivíduos, com capacidade de decisão para afetar os demais; pode ser considerado o indivíduo isolado, ou um grupo de indivíduos associados para um determinado fim, ou mesmo uma organização, ou ainda grupos de organizações associadas.
Racionalidade: assume que os indivíduos empregam os meios mais adequados aos objetivos que almejam, sejam quais forem esses objetivos.Exclui aqui qualquer avaliação de natureza moral acerca dos objetivos dos jogadores (eles podem ser bons ou maus).
Comportamento estratégico: cada jogador, ao tomar sua decisão, considera que esta terá consequências sobre os demais jogadores, assim como as decisões dos demais jogadores terão consequências sobre ele. Isso envolve um raciocínio complexo, sobre o que ele acha que os demais farão como reação às suas ações e vice-versa.
Jogo de Votação da Diretoria
Imagine que a diretoria de uma empresa hipotética vai se reunir para definir, por meio de votação, os planos da empresa para o ano seguinte.
Vamos supor que há apenas três decisões possíveis:
investir na construção de uma nova fábrica (Investir)
ampliar a fábrica já existente (Ampliar)
aplicar os recursos no sistema financeiro (Aplicar)
Vamos supor também que, para facilitar a decisão, os diretores decidem votar em dois turnos:
Turno I: votam se Investem ou Ampliam
Turno II: decidem entre a escolha vitoriosa do Turno I e Aplicar
A ordem de preferências dos diretores são as seguintes:
	Diretor 1
	Diretor 2
	Diretor 3
	Investir
	Aplicar
	Ampliar
	Aplicar
	Investir
	Investir
	Ampliar
	Ampliar
	Aplicar
Caso não haja interação estratégica, o resultado da votação será o seguinte:
1o. Turno: Investir ou Ampliar
	Diretor 1: Investir
	Diretor 2: Investir
	Diretor 3: Ampliar
	Escolha Vencedora: Investir
2o. Turno: Investir ou Aplicar
	Diretor 1: Investir
	Diretor 2: Aplicar
	Diretor 3: Investir
	Escolha Vencedora: Investir
Caso o Diretor 2 resolvesse agir estrategicamente, conhecendo as preferências dos outros 2:
1o. Turno: Investir ou Ampliar
	Diretor 1: Investir
	Diretor 2: Ampliar
	Diretor 3: Ampliar
	Escolha Vencedora: Ampliar
2o. Turno: Ampliar ou Aplicar
	Diretor 1: Aplicar
	Diretor 2: Aplicar
	Diretor 3: Ampliar
	Escolha Vencedora: Aplicar (que era a preferência inicial do Diretor 2)
Racionalidade
É a coerência entre os fins e os meios dos agentes.
Observar que racionalidade não é sinônimo de motivação egoísta.
Ranking dos lutadores de Sumô no Japão
É definido a partir de seis torneios anuais, sendo que em cada torneio o lutador tem de lutar 15 vezes.
Regras:
Se o lutador não tiver mais vitórias que derrotas, pode até ser excluído da elite de lutadores de sumô
Pertencer à elite significa fortuna e glória
Como são 15 lutas, obter um placar de 8 x 7 é essencial.
Imagine que 2 lutadores com placar 7 x 7 se enfrentem:
podemos afirmar com segurança que o objetivo de cada um será a vitória
Imagine um lutador com um placar de 8 x 6 enfrentando outro com placar de 7 x 7:
pode haver uma troca de favores entre os jogadores
Um jogador racional extrai conclusões a partir de premissas de uma forma coerente, empregando raciocínio lógico apoiado na razão. Há também de considerar as evidências de forma neutra, sem distorcer os fatos ou omitir evidências.
Teoria da Escolha Racional
A teoria dos jogos procura entender como os jogadores (sejam ele indivíduos, empresas, organizações, países, etc.) tomam suas decisões em situação de interação estratégica.Para estudarmos como os jogadores tomam suas decisões, temos de considerar as preferências desses jogadores.
Utilizaremos aqui a Teoria da Escolha Racional (teoria que parte das preferências dos jogadores para entender suas escolhas), assumindo como um princípio básico a idéia de que os jogadores são racionais.
Sendo assim, o primeiro passo para formularmos essa teoria é encontrar uma maneira de expressar as preferências que norteiam as escolhas dos jogadores.
Algumas representações:
≥ = “ao menos tão bom quanto”
> = relação de preferência estrita
~ = relação de indiferença
Exemplos:
“Ir à praia ≥ jogar tênis” : alguém está informando que acha pelo menos tão bom ir à praia quanto jogar uma partida de tênis.
a > b: “a” é estritamente preferível a “b”
a ~ b : “a” é indiferente em relação à “b”
�
Modelos de Jogos: Representando uma Situação de Interação Estratégica
Agora vamos discutir como se modela um jogo, quais são os elementos fundamentais que devem sempre fazer parte de um modelo e que tipos de modelos podem ser construídos.
Ao se modelar um jogo, o que se está fazendo é representar uma situação de interação estratégica de forma abstrata, isto é, focalizando-se apenas aqueles elementos considerados mais importantes para explicar como os agentes (jogadores) interagem entre si.
Assim, qualquer modelo sempre será uma representação muito simplificada de uma realidade infinitamente mais complexa.
Uma primeira distinção importante entre as situações de interação estratégica diz respeito a se os jogadores conhecem antecipadamente, ou não, as decisões dos outros jogadores, antes de tomarem suas próprias decisões.
Jogador: um jogador é qualquer indivíduo ou organização envolvido no processo de interação estratégica que tenha autonomia para tomar decisões.
Ação: uma ação ou movimento de um jogador é uma escolha que ele pode fazer em um dado momento do jogo.
Conhecer o conjunto de ações de cada jogador é um passo fundamental na análise de um processo de interação estratégica.
Todavia, não basta considerar as ações possíveis, é importante também conhecer como essas ações se desenvolvem no jogo. Em outras palavras, os jogadores tomam suas decisões ao mesmo tempo ou sucessivamente.
Caso em alguma etapa do jogo eles tomem suas decisões sucessivamente, é importante saber se o jogador que decide em uma etapa seguinte conhece ou não conhece a decisão do jogador anterior.
Forma Estratégica ou Normal: para representar um Jogo Simultâneo
A forma mais simples de apresentar um jogo simultâneo é por meio da forma estratégica ou normal.
Exemplo: Estudo do Caso 1
Caso 1: O Problema da renovação dos empréstimos de dois bancos
Suponha que, para iniciar suas atividades, uma empresa tomou emprestado R$ 5 milhões em um banco,que chamaremos de banco A, e em um segundo banco, o banco B, mais R$ 5 milhões, perfazendo um total de R$ 10 milhões em empréstimos.Vamos supor, para simplificar o problema, que a empresa não possui capital próprio, apenas capital de terceiros.
Vamos supor ainda que, em virtude de maus negócios, após um ano de operação, seus ativos se depreciaram significativamente: embora inicialmente a empresa dispusesse dos R$ 10 milhões de capital, que correspondiam aos dois empréstimos de R$ 5 milhões, hoje os ativos totais da empresa valeriam apenas R$ 6 milhões, insuficientes para cobrir o total de empréstimos caso os bancos decidissem cobra-los. Mais grave ainda, a perspectiva é que a empresa continue operando por apenas mais um ano.
Sabe-se que:
Juros dos empréstimos: R$ 1 milhão/ano, para cada banco.
Se um dos bancos decide não renovar seu crédito, acabará precipitando a falência da empresa.
Vamos chamar de AA e AB, seus conjuntos de ações possíveis, então:
AA = {Renova o Empréstimo, Não Renova o Empréstimo}
AB = {Renova o Empréstimo, Não Renova o Empréstimo}
Precisamos saber quais as ações que cada banco pode adotar e quais seriam as conseqüências das várias combinações de ações.
Como foi feita a suposição que os bancos só tinham duas opções disponíveis, renovar ou não renovar, podemos dizer:
caso o banco decida renovar, ele continua recebendo o pagamento dos juros.
caso decida não renovar, a empresa é obrigada a reembolsar o principal do empréstimo.
Conclusões:
se os dois bancos renovarem seus empréstimos, ao final de um ano terão direito cada um a R$ 1 milhão de juros + R$ 3 milhões da divisão dos ativos, portanto R$ 4 milhões para cada banco
se os dois bancos decidem não renovar, caberá a cada um R$ 3 milhões referentes a divisão dos ativos.
Se um dos bancos decide não renovar seu empréstimo e ou outro renovar, então o primeiro receberá os R$ 5 milhões como devolução do principal, mas acaba precipitando a falência da empresa e ao segundo banco só caberá receber os R$ 1 milhões restantes dos ativos como restituição do principal.
	
	Banco
	B
	Banco A
	Renova
	Não Renova
	Renova
	4,4
	1,5
	Não Renova
	5,1
	3,3
Os: O primeiro número refere-se à opção do banco A e o segundo ao banco B
Além das estratégias possíveis de cada jogador, a forma apresenta as recompensas que cada jogador recebe por suas escolhas, em função das escolhas do outro jogador.
Recompensa: uma recompensa é aquilo que todo jogador obtém depois de encerrado o jogo, de acordo com suas próprias escolhas, em função das escolhas de outros jogadores.
A função recompensa apenas especifica um valor numérico que nos ajuda a perceber como o jogador avalia um determinado resultado do jogo, ou seja, ela visa apenas a traduzir numericamente as preferências individuais: ela não pretende de modo algum “medir” as preferências dos jogadores.
Devemos empregar a função de recompensa apenas para ordenar as preferências de um mesmo jogador e nunca para ordenar as preferências de jogadores diferentes.
Jogos Simultâneos: jogos simultâneos são aqueles em que cada jogador ignora as decisões dos demais no momento em que toma sua própria decisão, e os jogadores não se preocupam com as conseqüências futuras de suas escolhas.
Forma Estendida: para representar um Jogo Seqüencial
Neste caso o processo de interação estratégica se desenvolve em etapas sucessivas, e os jogadores fazem escolhas a partir do que os outros jogadores decidiram no passado.
Nesse tipo de interação, as escolhas presentes exigem considerara s conseqüências futuras, uma vez que os demais jogadores poderão retaliar em etapas posteriores do jogo.
Exemplo: estudo do Caso 2:
Caso 2: Lançar ou não um produto competidor?
Suponha que uma empresa automobilística ainda não possui um modelo de van no mercado, enquanto sua concorrente já produz um modelo de van bem-sucedido. A empresa que ainda não produz vans tem de decidir se lança, ou não, o seu modelo, pelo que podemos chamar essa empresa de “Inovadora”. A empresa que já possui um modelo de van será denominada “Líder”, uma vez que lançou seu modelo primeiro. A empresa “Líder” tem de decidir se mantém o preço de sua van como está ou se reduz esse preço para competir com a van da empresa “Inovadora”, caso ela efetivamente decida lança-la.
A particularidade nessa situação de interação estratégica é que a “Inovadora” decide se lançará ou não sua van antes de a “Líder” decidir se mantém ou reduz o preço de seu próprio modelo. Em outras palavras, a “Líder” decidirá o que fazer já conhecendo a decisão da “Inovadora”.
Sabe-se que:
caso a Inovadora decida lançar sua van e a empresa Líder reduza o preço da sua, cada empresa obtém um lucro na produção de vans de R$ 2 milhões de reais, uma vez que ambas disputam o mercado acirradamente.
se a Líder, nessas circunstâncias, decide manter inalterado o preço de sua van, suas vendas se reduzem significativamente e seus lucros caem para R$ 1 milhão, enquanto que a Inovadora ocupa mercado e vê seus lucros aumentando para R$ 4 milhões.
Se a Inovadora decidenão lançar sua van, a decisão da Líder de reduzir ou não o preço de sua van vai afetar apenas seus lucros (R$ 3 milhões em um caso, R$ 4 milhões no outro), mas não o lucro da Inovadora, que não possui um concorrente direto para a van da Líder (nos dois casos seu lucro é de R$ 1 milhão)
A Inovadora decide antes de vai ou não introduzir seu novo modelo de van.
Conjunto de Ações:
A Inovadora: {Lança a Van, Não Lança a Van}
A Líder: {...}
Mantém o preço se a Inovadora lança a van, Reduz o Preço se a Inovadora Não Lança a Van
Reduz o preço se a Inovadora lança a van, Mantém o preço se a inovadora não lança a van
Mantém o preço se a Inovadora Lança a Van, Mantém o preço se a Inovadora não lança a van
Reduz o preço se a Inovadora lança a van, reduz o preço se a inovadora não lança a van
�
A modelagem neste caso é feita por uma árvore de jogos, composta por ramos e nós.
							
							Mantém Preço
									 (4,1)			
				 Líder .
						
		Lança Van			 Reduz Preço	 (2,2)
Inovadora.
	Não Lança Van				
							Mantém Preço (1,4) 
				 Líder .
									 (1,3)	
							Reduz Preço
Cada nó representa uma etapa do jogo em que um dos jogadores tem de tomar uma decisão. Já um ramo apresenta uma escolha possível para o jogador, a partir do seu nó, isto é, um ramo é uma ação do conjunto de ações do jogador, em um dado nó. Ramos podem ser representados por flechas para facilitar o entendimento de como o jogo se desdobra.
Jogo Seqüencial: um jogo seqüencial é aquele em que os jogadores realizam seus movimentos em uma ordem predeterminada.
A modelagem de uma situação de interação estratégica em forma estendida por intermédio de uma árvore de jogos, possui algumas regras, essenciais para que sejam preservadas a coerência e a inteligibilidade do modelo.
�
As regras da Árvore de Jogos:
Todo nó deve ser precedido por, no máximo, um outro nó apenas;
B1	.
A1	.					 A2	.	
		B2	.
Nenhuma trajetória pode ligar um nó a ele mesmo (não há como identificar qual nó é sucessor de qual – evitar “loopings”);
B1	.
A1	.						
		C1	.
Todo nó na árvore de jogos deve ser sucessor de um único e mesmo nó inicial.
 B1	. 	
	A1.		 B2 .
	A2.		 B3	.
			 B4 . 
Aqui não temos como saber em qual nó o jogo efetivamente irá se iniciar e, portanto, não temos como analisar o jogo.
Uma saída possível é separar a trajetória que se inicia em A1 da trajetória que se inicia em A2, e tratá-las como dois jogos distintos.
Uma outra solução possível é estabelecer uma distribuição de probabilidades de que o jogo se inicie em A1 e A2. Isso significa supor que há uma probabilidade p de que o jogo se inicie em A1, e uma probabilidade (1 – p) de que o jogo se inicie em A2.
Estratégias e Conjuntos de Informação
Estratégia: uma estratégia é um plano de ações que especifica, para um determinado jogador, que ação tomar em todos os momentos em que ele terá de decidir o que fazer.
Conjunto de Informação: é um conjunto constituído pelos nós que o jogador acredita poder alcançado em uma dada etapa do jogo, quando é sua vez de jogar.
Jogo de Informação Perfeita: quando todos os jogadores conhecem toda a história do jogo antes de fazerem suas escolhas.
Jogo de Informação Imperfeita: se algum jogador, em algum momento do jogo, tem de fazer suas escolhas sem conhecer exatamente a história do jogo até ali.
Representação Gráfica:
				 B		
B1	.
A1	.						
		B2	.
 B
Apresentando um Jogo Simultâneo de Forma Estendida
Vejamos o exemplo do Caso 1
Forma Estratégica
	
	Banco
	B
	Banco A
	Renova
	Não Renova
	Renova
	4,4
	1,5
	Não Renova
	5,1
	3,3
Os: O primeiro número refere-se à opção do banco A e o segundo ao banco B
Forma Estendida
						 (4,4)		
				 B	 Ren.	
 Banco B	.
		Renova Não Ren. (1,5) 
 Banco A	.						
				 (5,1)
Não Renova Ren.
	 Banco B	. Não Ren.
 B		 (3,3)							
Apresentando um Jogo Seqüencial em Forma Estratégica
Vejamos o exemplo do Caso 2
Forma Estendida
								Mantém Preço
									 (4,1)			
				 Líder .
						
		Lança Van			 Reduz Preço	 (2,2)
Inovadora.
	Não Lança Van				
							Mantém Preço (1,4) 
				 Líder .
									 (1,3)	
							Reduz Preço
Forma Estratégica
	
	
	Lí
	der
	
	Inovadora
	Reduz Preço,
Reduz Preço
	Reduz Preço, Mantém Preço
	Mantém Preço,
Reduz Preço
	Mantém Preço,
Mantém Preço
	Lança Van
	2,2
	2,2
	4,1
	4,1
	Não lança Van
	1,3
	1,4
	1,3
	1,4
Exemplo de como se entende 2a. coluna “Reduz Preço, Mantém Preço”: caso a Inovadora lance sua van, reduzo o preço de minha van,; caso a Inovadora não lance sua van, mantenho o preço de minha van.
Lista de Exercícios
Suponha uma situação de interação estratégica entre duas empresas, a empresa Vermelha e a empresa Azul. A empresa Azul está considerando a possibilidade de adquirir a empresa Vermelha, que vem apresentando baixa lucratividade, fazendo uma oferta aos acionistas da empresa Vermelha: R$ 1,00 por cada ação (a empresa Vermelha possui 1 milhão de ações no mercado), que valem hoje R$ 0,90 cada. Considere os seguintes fatos na sua modelagem:
a empresa Azul acredita que, substituindo a administração da empresa Vermelha, conseguirá aumentar a lucratividade e revender as ações que adquiriu da empresa Vermelha por R$ 1,20, obtendo assim uma taxa de retorno de 20% sobre seu investimento (R$ 200.000,00).
Os executivos da empresa Vermelha podem decidir tomar a “pílula envenenada” (do inglês, poison pill). No jargão de administração de empresas, tomar uma pílula envenenada significa adotar medidas administrativas que prejudicam a própria empresa (por exemplo, aumentando exageradamente os benefícios aos empregados), reduzindo seu valor no mercado.
Se os executivos da empresa Vermelha não tomam a pílula envenenada e a empresa Azul compra a empresa Vermelha, a empresa Azul tem garantido seu lucro no valor de R$ 200.000,00 e os executivos da Empresa Vermelha sofrem um prejuízo líquido em termos de perda de salários e benefícios no valor de R$ 50.000,00.
Se os executivos da empresa Vermelha decidem tomar a pílula envenenada e a empresa Azul não tenta adquirir a empresa Vermelha. Eles se desgastam com os acionistas e são demitidos, sofrendo a mesma perda de R$ 50.000,00, enquanto a Empresa Azul não tem nenhum lucro.
Se a empresa Azul compra a empresa Vermelha e os executivos desta última tomam a pílula envenenada, as mudanças realizadas pela empresa Azul apenas compensam os prejuízos da pílula envenenada e seus lucros são nulos, enquanto os executivos da empresa Vermelha são demitidos, sofrendo a mesma perda de R$ 50.000,00.
Finalmente, se nem a empresa Azul tenta adquirir a empresa Vermelha nem os executivos desta última tomam a pílula envenenada, a empresa Azul não realiza nenhum lucro e os executivos da empresa Vermelha mantém seus benefícios no valor de R$ 50.000,00.
Trata-se, então, de uma situação de interação estratégica entre a empresa Azul e os executivos da empresa Vermelha. Pede-se:
representar a situação de interação estratégica entre os dois jogadores na forma estratégica, supondo que ambos tomam suas decisões sem conhecer as decisões do outro.
representar a situação de interação estratégica entre os dois jogadores na forma estratégica, supondo que os executivos da empresaVermelha tomam suas decisões conhecendo as ações da empresa Azul.
representar a situação de interação estratégica entre os dois jogadores na forma estendida, supondo que os executivos da empresa Vermelha tomam suas decisões conhecendo as ações da empresa Azul.
representar a situação de interação estratégica entre os dois jogadores na forma estendida, supondo que ambos tomam suas decisões sem conhecer as decisões do outro.
James D. Morrow, em seu livro Game Theory for Political Scientists, analisa a decisão do presidente norte-americano Richard M. Nixon de bombardear, no Natal de 1972, o então Vietnã do Norte. Vamos analisar uma adaptação desse jogo. Após um acordo inicial acerca da retirada das tropas norte-americanas da guerra, houve uma discordância sobre a natureza do acordo. Considere as seguintes informações no momento de se modelar a situação que se seguiu:
do ponto de vista do Estados Unidos, o governo vietnamita estaria tentando obter concessões adicionais protelando a assinatura do acordo. Contudo, havia uma chance de que estivesse havendo realmente um mal-entendido. Os vietnamitas poderiam, ou não, estar blefando. Os norte-americanos, por sua vez, poderiam bombardear o Vietnã do Norte para forçar um acordo, ou não bombardear.
se os norte-vietnamitas estivessem blefando, o bombardeio os faria voltar à mesa de negociação, pois o custo do blefe se tornaria maior do que as vantagens que poderiam obter. Suponha que nesse caso a função de recompensa representando a preferência dos norte-americanos resulte em um valor de 1 (forçariam um acordo rápido) e para os norte-vietnamitas um valor de –2 (sofreriam um ônus do bombardeio desnecessariamente).
se não estivessem blefando, o bombardeio seria interpretado como uma provocação e quebra de acordo, as negociações seriam abandonadas e a guerra recomeçaria. Com isso, os norte-americanos teriam uma perda de –3 (seriam obrigados a sustentar uma guerra impopular desnecessariamente) e os norte-vietnamitas receberiam uma recompensa de 0 (provariam que os norte-americanos não eram sinceros em sua busca pela paz, o que lhes renderia alguma propaganda mas prolongaria a guerra)
se os norte-americanos não bombardeassem e os norte-vietnamitas estivessem realmente blefando, os Estados Unidos seriam forçados a concessões desnecessárias (perda de –1) e os norte-vietnamitas estariam em melhor situação (ganho de 2).
se os norte-americanos não bombardeassem, mas não se tratasse de um blefe, haveria novas concessões por parte dos norte-americanos, mas não seriam significativas e a guerra terminaria mais rapidamente ( o que lhes daria uma recompensa de 0), e os vietnamitas do norte sairiam um pouco melhor (recompensa de 1).
Monte esse jogo:
na forma estratégica
na forma estendida.
Jogos Simultâneos: Encontrando as Melhores Respostas Estratégicas
Até aqui discutimos apenas como se modela um jogo
Agora, contudo, já é tempo de começarmos a discutir como os jogadores tomam suas decisões em situações de interações estratégicas, isto é, como se deve jogar um jogo.
Precisamos determinar quais serão os resultados mais prováveis do jogo caso os jogadores ajam racionalmente.
Uma informação do jogo é dita de conhecimento comum quando todos os jogadores conhecem a informação.
Um jogo é dito de informação completa quando as recompensas dos jogadores são de conhecimento comum.
Ao estudarmos jogos simultâneos, nosso interesse será determinar que combinação de estratégias os jogadores poderão adotar, isto é, quais serão suas ações e que conseqüências essas ações terão para os jogadores, desde que eles ajam racionalmente.
Uma primeira busca da solução do jogo: eliminando estratégias estritamente dominadas
Em alguns casos, os jogadores têm uma ou mais opções de estratégia que proporcionam resultados melhores do que alguma outra estratégia, não importando o que os demais jogadores façam.
Exemplo 1: Considere a seguinte situação de interação estratégica.
A empresa de sabão em pó Limpo tem de decidir se lança, ou não, uma marca biodegradável para competir com o produto biodegradável de sua concorrente, a empresa Bonito. Esta última, por sua vez, tem de decidir se aumenta, ou não, os gastos de propaganda com o seu produto. Os lucros de cada empresa estão apresentados de forma estratégica a seguir, em milhões de reais.
	
	Bonito
	Limpo
	Aumentar os gastos com publicidade
	Não aumentar os gastos com publicidade
	Lançar o produto biodegradável
	5,5
	7,3
	Não lançar o produto biodegradável
	2,4
	2,7
Observar que não importa o que a empresa Bonito decida, é sempre melhor para a empresa Limpo lançar seu produto biodegradável. 
Utilizando os termos empregados pela Teoria dos Jogos, no caso do jogador Limpo, a estratégia {Lançar o Produto Biodegradável} domina a estratégia {Não lançar o produto biodegradável}.
Podemos dizer que o jogador Limpo possui uma estratégia estritamente dominante sobre outra dominada.
Note que todas as recompensas da estratégia {Lançar o produto biodegradável} são estritamente maiores do que as recompensas da estratégia (não lançar o produto biodegradável}. Nesse caso diz-se que a primeira estratégia é estritamente dominante em relação à outra.
Mas, além de estratégias estritamente dominantes, também podemos ter casos em que uma estratégia é melhor do que a outra em pelo menos uma situação, sendo no restante das vezes apenas tão boa quanto esta outra.
Veja o exemplo anterior ligeiramente reformulado:
	
	Bonito
	Limpo
	Aumentar os gastos com publicidade
	Não aumentar os gastos com publicidade
	Lançar o produto biodegradável
	2,5
	7,3
	Não lançar o produto biodegradável
	2,4
	2,7
Aqui, para a empresa Limpo, a estratégia {Lançar o produto biodegradável} é fracamente dominante em relação à estratégia {Não lançar o produto biodegradável}.
Eliminação Iterativa de Estratégias Estritamente Dominadas
O método mais simples para se determinar o resultado de um jogo simultâneo é a chamada eliminação iterativa de estratégias estritamente dominadas.
Situação Hipotética:
Duas, empresas, X e Y, competem no mercado automobilístico. A empresa Y já tem seu carro utilitário, que é um sucesso, enquanto a empresa X ainda não oferece nenhum modelo utilitário.
A empresa X tem 3 opções:
importar o utilitário de sua matriz estrangeira;
produzir o utilitário nacionalmente;
permanecer fora do segmento de utilitários.
A empresa Y pode responder às escolhas de X de três formas:
mantendo o preço de seu modelo;
diminuindo o preço de seu modelo;
lançando uma nova versão dos eu modelo.
Vamos supor que as empresas tomam suas decisões ao mesmo tempo, no momento de finalizar seu planejamento anual, sem conhecer as decisões uma da outra.
Como são empresas experientes no mercado e que já competiram entre si em outras oportunidades, conhecem o comportamento dos consumidores e fazem uma estimativa bastante razoável dos seus lucros e dos lucros da rival em cada situação.
	
	
	Empresa Y
	
	Empresa X
	Lançar Nova Versão
	Manter Preço
	Reduzir Preço
	Lançar Modelo Próprio
	1,4
	4,1
	1,3
	Importar da Matriz
	2,2
	2,1
	2,3
	Não Competir com a Empresa Y
	1,1
	0,6
	1,0
Como se pode observar, a Empresa Y não possui estratégia estritamente dominante.
Para a Empresa X, a estratégia {Não Competir com a Empresa Y} sempre resulta em uma recompensa pior do que {Importar da Matriz}, independentemente da escolha que a Empresa Y faça, ou seja, {Não Competir com a Empresa Y} é estritamente dominada por {Importar da Matriz}.
Portanto Eliminação Iterativa da 1a. Estratégia Estritamente Dominada.
	
	
	Empresa Y
	
	Empresa X
	Lançar Nova Versão
	Manter Preço
	Reduzir Preço
	Lançar Modelo Próprio
	1,4
	4,1
	1,3
	Importar da Matriz
	2,2
	2,1
	2,3
	Não Competir com a Empresa Y
	1,1
	0,6
	1,0
�
EQUILÍBRIODE NASH
O Equilíbrio de Nash representa uma situação em que, em um jogo envolvendo dois ou mais jogadores, nenhum jogador tem a ganhar mudando sua estratégia unilateralmente.
Para melhor compreender esta definição, suponha que há um jogo com n participantes. No decorrer deste jogo, cada um dos n participantes seleciona sua estratégia ótima, ou seja, aquela que lhe traz o maior benefício. Então, se cada jogador chegar à conclusão que ele não tem como melhorar sua estratégia dadas as estratégias escolhidas pelos seus n-1 adversários (estratégias dos adversários não podem ser alteradas), então as estratégias escolhidas pelos participantes deste jogo definem um "equilíbrio de Nash".
Dois jogadores A e B estão em um Equilíbrio de Nash se a estratégia adotada por A é a melhor dada à estratégia adotada por B e a estratégia adotada por B é a estratégia ótima dada a adotada por A. Ou seja, nenhum dos jogadores pode aumentar seu ganho alterando, de forma unilateral, sua estratégia.
Exemplo: Equilíbrio de Nash no Dilema dos Prisioneiros
	Prisioneiro 1
	Prisioneiro 2
	
	Coopera
	Trai
	Coopera
	-1 . -1
	-6 , 0
	Trai
	0 , -6
	-3 , -3
O dilema dos prisioneiros possui somente um par de ações configurando um equilíbrio de Nash:
(trai, trai) é um equilíbrio de Nash, pois dado que o jogador 2 escolheu trair a melhor escolha para o jogador 1 é trair, já que essa alternativa oferece um pagamento maior que cooperar. Além disso, dado que o jogador 1 escolheu trair, o jogador 2 não possui nenhuma escolha melhor que trair também.
(coopera, coopera) não é um equilíbrio de Nash, pois se o jogador 1 escolher cooperar o pagamento que o jogador 2 receberá ao escolher trair é maior que escolher cooperar.
(coopera, trai) não é um equilíbrio de Nash, pois dado que o jogador 2 escolhe trair, o jogador 1 teria um pagamento maior escolhendo trair também.
(trai, coopera) não é um equilíbrio de Nash, pois dado que o jogador 1 escolhe trair, o jogador 2 teria um pagamento maior escolhendo trair também.
	Prisioneiro 1
	Prisioneiro 2
	
	
	Coopera
	Trai
	
	Coopera
	-1 . -1
	-6 , 0
	-3,5
	Trai
	0 , -6
	-3 , -3
	-1,5
	
	-3,5
	-1,5
	
Aplicado na Teoria dos Jogos, o Equilíbrio de Nash (ou Equilíbrio Cooperativo) representa uma situação em que nenhum jogador pode melhorar a sua situação dada a estratégia seguida pelo jogador adversário. Um par de estratégias EA e EB, em que EA é a estratégia seguida pelo jogador A e EB é a estratégia seguida pelo jogador B diz-se um Equilíbrio de Nash se não for possível a nenhum dos jogadores melhorar a sua situação dada a estratégia do outro jogador.
Definição matemática para o Equilíbrio de Nash:
Deixe (S, f) ser um jogo com n participantes, onde Si é o conjunto de estratégias possíveis para o participante i, S=S1 X S2 … X Sn é o conjunto de estratégias que especificam todas as ações em um jogo (somente uma estratégia por participante) e f=(f1(x), …, fn(x)) é a função de payoff. Deixe x − i ser o conjunto de estratégias de todos os jogadores com exceção do jogador i. Quando cada jogador i {1, …, n} seleciona sua estratégia xi resultando no conjunto de estratégias x = (x1, …, xn) então o jogador i obtém o payoff fi(x). Note que o payoff depende da estratégia selecionada pelo jogador i e também pelas estratégias escolhidas pelos seus adversários. Um conjunto de estratégias x* S é um equilíbrio de Nash caso nenhuma alteração unilateral da estratégia é rentável para este jogador, ou seja:
�
Lista Exercício II
Suponha dois vendedores que vêem, simultaneamente, entrar um cliente em uma loja. Ambos estão perto do cliente. Se um deles aborda o cliente, ele marca um ponto na sua avaliação com o gerente da loja, o que pode lhe render uma promoção ao fim do mês, enquanto o outro que não abordou perde um ponto, pois não mostrou iniciativa, e muito provavelmente perde a promoção. E nenhum dos dois aborda o cliente, nenhum deles marca ponto com o cliente. Mas,s e os dois abordam o cliente, ele fica irritado e vai embora, e, cada um dos dois perde um ponto com o gerente. Modele esse jogo, na foram estratégica e na forma estendida, supondo que nenhum dos dois tem tempo de perceber o que o outro irá fazer.
Resolução:
Jogo Simultâneo
	
	V
	2
	V1
	Aborda
	Não Aborda
	Aborda
	-1,-1
	1,-1
	Não Aborda
	-1,1
	0,0
 A (-1,-1)
 V2
 A Ñ
V1 (1,-1) 
 Ñ A (-1,1)
 V2
 Ñ
 (0,0)
Determine o equilíbrio a partir da forma estratégica dos jogadores A (linhas) e B (colunas) a seguir, utilizando a eliminação iterativa de estratégias estritamente dominadas.
	
	B(1)
	B(2)
	B(3)
	B(4)
	A(1)
	3,0
	1,1
	5,4
	0,2
	A(2)
	1,1
	3,2
	6,0
	2,-1
	A(3)
	0,2
	4,4
	7,2
	3,0
	Resolução:
	
	
	B(1)
	B(2)
	B(3)
	B(4)
	A(1)
	3,0
	1,1
	5,4
	0,2
	A(2)
	1,1
	3,2
	6,0
	2,-1
	A(3)
	0,2
	4,4
	7,2
	3,0
		 2) B(2) x B(1)					 1) B(3) x B(4)
 5) B(2) x B(3)
Resposta: Combinação de Estratégias A(3) com B(2)
Alguns Jogos Importantes
A Batalha dos Sexos
Existem jogos em que os dois jogadores ganham se conseguirem coordenar suas decisões. Um importante jogo de coordenação é a “Batalha dos Sexos”.
Suponha que um casal está decidindo onde irá se encontrar e qual será o programa que farão para passar a noite. Ambos valorizam mais do que qualquer outra coisa passar a noite juntos, mas Ele (vamos chamar um dos jogadores dessa forma) prefere ir ao futebol a ir a um show de música popular que acontece ao mesmo tempo da partida, enquanto que Ela (o outro jogador) prefere ir ao show de música. O problema é que ambos têm de tentar se encontrar em um desses dois eventos, sem poderem se comunicar (suponha que ambos perderam seus celulares).
Caso os dois se encontrem em um dos eventos, a recompensa será dupla (2) para aquele que estiver no seu programa preferido e, única (1) para aquele que foi ao encontro. Se houver desencontro ambos perderão (-1) com o desencontro.
Modele essa interação de forma estratégica e faça uma análise após encontrar o(s) Equilíbrios de Nash, caso ele(s) exista(m).
	
	E
	le
	Ela
	Futebol
	Show
	Futebol
	(l) 1, 2 (c)
	-1, -1
	Show
	-1, -1
	(l) 2, 1 (c)
2 Equilíbrios de Nash: (Futebol,Futebol) e (Show,Show).Os jogadores ganham sempre que coordenarem suas decisões, mas têm preferências distintas sobre que tipo de coordenação deve ser adotada.
O Dilema dos Prisioneiros
O Dilema dos Prisioneiros é, provavelmente, o tipo de jogo mais popular da teoria dos jogos. Suponha que dois ladrões foram presos pela polícia, com algumas evidências circunstanciais (forma vistos rondando de forma suspeita o local do roubo na noite do crime), mas nada muito definitivo.
A polícia então isola cada suspeito em uma sala e faz a cada um dos suspeitos a seguinte proposta: se ele confessar o roubo e seu parceiro não confessar, ele será libertado em razão de sua cooperação com a polícia, enquanto seu parceiro (que não confessou) irá amargar quatro anos na penitenciária estadual.
Se, ao contrário, ele não confessar, mas seu parceiro o fizer, será ele a enfrentar quatro anos na penitenciária estadual, enquanto seu parceiro será libertado. Caso ambos confessem, a cooperação individual de um deles perde o valor como denúncia do comparsa e ambos enfrentam uma pena de dois anos na prisão estadual (menor do que quatro anos em função da confissão de ambos). Finalmente, embora a polícia não os informe a esse respeito, eles sabem que se nenhum dosdois confessar, ambos serão soltos após um ano de detenção, por vadiagem.
Dadas as características desse processo de interação estratégica, será que alguns dos dois ladrões confessará? Determine o resultado mais provável do jogo, modelando, antes, o jogo na forma estratégica.
	
	Ladrão
	2
	Ladrão 1
	Confessa
	Não Confessa
	Confessa
	(l) 2, 2 (c)
	(l) 0, 4
	Não Confessa
	4, 0 (c)
	1, 1
Equilíbrio de Nash: (Confessa, Confessa)
É interessante perceber que o resultado obtido no dilema dos prisioneiros é derivado da condição de que os prisioneiros não podem se comunicar. Se pudessem se comunicar, todo o resultado do jogo dependeria de eles poderem, ou não, estabelecer compromissos que pudessem ser garantidos.
Se ambos pudessem estabelecer compromissos garantidos, provavelmente nenhum dos dois confessaria. Pode-se perceber que a possibilidade de estabelecer compromissos garantidos é muito importante para a determinação do resultado do jogo e, nos fornece o critério para distinguir entre jogos não-cooperativos e jogos cooperativos.
Observação: Um jogo é dito não-cooperativo quando os jogadores não podem estabelecer compromissos garantidos. Caso contrário, se os jogadores podem estabelecer compromissos e, esses compromissos possuem garantias efetivas, diz-se que o jogo é cooperativo.
O Jogo da “Galinha”: Quando a Competição é Destrutiva
O jogo da “galinha” é uma representação esquemática de uma modalidade perigosa de competição entre os adolescentes norte-americanos nos anos 1950 e, que foi popularizada no filme de James Dean, Rebelde Sem Causa (1955), embora a descrição mais fiel (ao jogo) seja a do filme Footloose (1984), com Kevin Bacon.
Imagine dois adolescentes, James e John, que dirigem seus carros em alta velocidade, um em direção ao outro. O objetivo do jogo é identificar quem desvia primeiro: este será o covarde a ser apelidado de “galinha” pelos companheiros (recompensa –1), resultando daí o nome do jogo. O que não desvia fica com a fama de “durão” (em inglês, tough) (recompensa dupla, por ser “durão” e por não sofrer acidente).
Se ambos desviam ao mesmo tempo, ninguém perde o jogo (recompensa zero). Porém, se ambos são “durões” e nenhum se desvia, ambos sofrem um acidente gravíssimo, pondo em riso suas próprias vidas (perda dupla, recompensa –2).
	
	Jo
	hn
	James
	Não Desvia
	Desvia
	Não Desvia
	-2, -2
	(l) 2, -1 (c)
	Desvia
	 (l) -1, 2 (c)
	0, 0
Equilíbrios de Nash: (Não Desvia, Desvia) e (Desvia, Não Desvia)
Neste caso, falta algo que indique quem irá se desviar, uma vez que não há nenhuma indicação nesse jogo quanto a como os jogadores podem coordenar suas decisões de forma a evitar uma colisão.
O jogo da “galinha” tem sido empregado não apenas para descrever situações no mundo econômico nas quais é melhor evitar o enfrentamento, como também foi muito popular na época da guerra fria entre os Estados Unidos e a antiga União Soviética, para descrever os riscos de um conflito termonuclear e a necessidade de mecanismos que evitassem o confronto.
O Jogo da Caça ao Cervo: o Dilema do Contrato Social
O jogo da caça ao cervo vem se tornando uma forma muito popular entre cientistas sociais que estudam o “contrato social” por meio da teoria dos jogos.
Desde há muito tempo, caso haja possibilidade de ganhos pela cooperação mútua, os homens unem-se em bandos, ou qualquer outro tipo de associação. Os vínculos nessa situação, todavia, são frágeis: a cooperação costuma durar apenas enquanto a oportunidade que lhe deu origem, ainda existir. O imediatismo prevalece sobre o planejamento a longo prazo e, assim, “longe de se preocuparem com um futuro distante, não pensam sequer no dia de amanhã”.
Estudemos a caça ao cervo, suponde que há apenas dois caçadores envolvidos no processo. Sendo um animal de grande porte, além de muito rápido e ágil, nenhum dos dois caçadores tem qualquer chance de caça-lo sozinho, necessitando, assim, da ajuda do outro caçador.
Para que a caçada tenha sucesso, é preciso que cada caçador ocupe sua posição no bosque e mantenha a tenção no cervo. Ocorre que cada caçador também pode aproveitar seu tempo no bosque para caçar uma lebre. A lebre é uma caça mais fácil que o cervo, pois pode ser capturada por um caçador apenas. Porém, é também uma caça de muito menor valor: uma lebre representa uma quantidade de carne muito menor do que a metade de um cervo.
Por último, se qualquer um dos dois caçadores opta por perseguir a lebre, ele abandona seu posto e o cervo escapa, mas o caçador que capturou a lebre não é obrigado a dividi-la com o outro caçador. Podemos supor que, sendo a lebre pequena, o caçador que a capturou é capaz de ocultá-la do outro caçador com sucesso.
Vamos supor ainda que a metade de um cervo possui três vezes mais valor para os caçadores, dados a quantidade de carne e seu sabor, do que uma lebre.
Represente o jogo na forma estratégica e determine se há e qual(ais) é(são) o(s) equilíbrio(s) de Nash.
	
	Caçador
	B
	Caçador A
	Cervo
	Lebre
	Cervo
	(l) 3, 3 (c)
	0, 1
	Lebre
	1, 0 
	(l) 1, 1 (c)
Equilíbrios de Nash: (Cervo, Cerco) ou (Lebre, Lebre)
O jogo da caça ao cervo representa, portanto, aquelas situações de interação estratégica em que:
o melhor resultado depende da cooperação de todos;
se alguém buscar um resultado individual mais imediato, aqueles que se mantiverem fiéis ao compromisso inicial serão prejudicados.
Exercícios
Exercício 1: Determine o equilíbrio de Nash a partir da forma estratégica dos jogadores A (linhas) e B (colunas) a seguir, utilizando a eliminação iterativa de estratégias estritamente dominadas.
	
	B(1)
	B(2)
	B(3)
	B(4)
	A(1)
	3,0
	1,1
	5,4
	0,2
	A(2)
	1,1
	3,2
	6,0
	2,-1
	A(3)
	0,2
	4,4
	7,2
	3,0
 
B(3)x B(4) 
B(2) x B(1)
A(3) x A(2)
A(3) x A(1)
B(2) x B(3)
Equilíbrio de Nash: (4,4)
Exercício 2: Considere o seguinte jogo:
	
	i
	ii
	iii
	I
	(l) 1,1 (c)
	(l) 1, ½
	 (l) 2,0
	II
	(l) 1,0
	0,1
	(l) 2,2 (c)
Pede-se:
Determinar quantos equilíbrios de Nash há no jogo.
Verificar se, ao eliminar uma estratégia fracamente dominada, elimina-se também um dos equilíbrios de Nash do jogo.
Resolução:
Equilíbrios de Nash: (1,1) e (2,2)
1) II x I
2) i x ii
3) i x iii
Portanto ao eliminar a estratégia fracamente dominada (II x I), realmente eliminou-se o equilíbrio de Nash (2,2)
Estratégia Estritamente Dominada (recompensa sempre pior que as demais estratégias)
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