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Trabalho de Condução

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Condução • Outubro 2014 • PGMEC
Estudo do método de Separação de Variáveis
para um Problema de difusão transiente
bidimensional com geração de energia
Isabela Pinheiro
isabelaflorindo@id.uff.br
Universidade Federal Fluminense
Resumo
A utilização de técnicas analíticas foi, por um longo período, o único meio disponível para a solução de
problemas de difusão e de convecção. O método de separação de variáveis é aplicado para a solução de
várias equações diferenciais, tanto ordinárias quanto parciais, mas é limitado a poucas classes de problemas,
em sua maioria, lineares.
O trabalho proposto buscou utilizar essa metodologia para a resolução do problema de difusão transiente
bidimensional com geração de energia. O problema é tratado na forma adimensional com três condições de
contorno homogêneas e uma não homogênea. Foram expostas diversas respostas para o mesmo problema,
variando os principais parâmetros que influenciam direta ou indiretamente o resultado final. Mesmo com
a evolução de métodos discretos e sistemas híbridos de resolução, tais como a abordagem da transformada
integral, o método de separação de variáveis ainda se mostra como uma técnica eficaz para a solução de
problemas de difusão como este.
I. Introdução
No século XVII, o estudo do Cálculopor Issac Newton e Gottfried W. Leib-niz se tornou precursor para a criação
de diversos métodos de resolução de equa-
ções diferenciais ordinárias e parciais. Newton
atuou relativamente pouco na área de equações
diferenciais, mas o seu desenvolvimento do
Cálculo e a elucidação dos princípios básicos
da mecânica forneceram a base para a aplica-
ção das equações diferenciais no século XVIII.
Já Leibniz, com a ampliação de metodologias
de notação matemática, desenvolveu o método
de separação para as equações, a redução de
equações homogêneas a equações separáveis
e o procedimento para resolver equações line-
ares de primeira ordem. Estas foram apenas
algumas contribuições que inspiraram outros
personagens na história da matemática e da
física como, por exemplo, Euler, Fourier e La-
grange.
A técnica de Separação de Variáveis per-
mite reescrever, algebricamente, uma equação
de tal modo que cada uma das variáveis apa-
recem em lados diferentes da equação. Essa
metodologia, mesmo que seja antiga, foi utili-
zada para a resolução do problema proposto,
comprovando que sua aplicabilidade continua
válida.
II. Formulação do Problema
O problema estudado é o de transferência
de calor por condução com geração de energia.
O problema para a temperatura é dado pela
equação:
∂θ
∂τ
= G +
∂2θ
∂η2
+
∂2θ
∂ξ2
(1)
Para 0≤ η ≤ 1; 0≤ ξ ≤ 1
Onde as quantidades adimensionais são da-
1
Condução • Outubro 2014 • PGMEC
das por:
ξ =
x
L
, η =
y
H
, τ =
tα
L2
(2a)
θ =
T − Tf
∆T
, ∆T =
˙q0′′L
k
(2b)
q˙∗=
˙q0′′L
k∆T
(2c)
O número de Biot é definido como:
Bi =
hL
k
(3)
Já as condições de contorno e a condição
inicial associadas ao problema são:(
∂θ
∂ξ
)
ξ=0
=−1 (4)(
∂θ
∂ξ
)
ξ=1
= 0 (5)
θ(ξ,0,τ) = 0 (6)
−
(
∂θ
∂η
)
η=1
= Biθ(ξ,1,τ) (7)
θ(ξ,η,0) = 0 (8)
Com estas condições de contorno,
encontram-se algumas dificuldades para obter
a solução diretamente. Como as condições
em ξ são de segundo tipo (Neumann), não é
possível resolver utilizando mais de um filtro.
O que pode ser feito é uma combinação de
métodos analíticos, sendo que a primeira parte
se remete a solução por superposição. Isso
torna possível a solução final por separação de
variáveis.
III. Solução por Superposição
A solução do problema será constituído
pela combinação de soluções resultantes dos
casos 1D permanente na componente η com ge-
ração de energia, 2D Permanente e, finalmente,
2D transiente com condições de contorno ho-
mogêneas. Pode-se explicitar o resultado da
seguinte forma:
θ(ξ,η,τ) = σ(ξ,η,τ) +Φ(ξ,η) (9)
Φ(ξ,η) = φ(ξ,η) + f (η) (10)
A equação governante para obter a solução
por superposição é:
G +
∂2Φ
∂η2
+
∂2Φ
∂ξ2
= 0 (11)
Analisa-se, primeiramente, a parcela da so-
lução 1D Permanente. A equação e as condi-
ções de contorno estão descritas abaixo:
G +
∂2 f
∂η2
= 0 (12)
f (0) = 0 (13)
−
(
∂ f
∂η
)
η=1
= Bi f (1) (14)
Utilizando as condições de contorno,
resolve-se a solução para a primeira parte do
problema por superposição.
f (η) =
ηG
2(Bi+ 1)
(2+ Bi− (Bi+ 1)η) (15)
Para o caso bidimensional permanente com
as condições de contorno originais:
∂2φ
∂ξ2
=−∂
2φ
∂η2
(16)(
∂φ
∂ξ
)
ξ=0
=−1 (17)(
∂φ
∂ξ
)
ξ=1
= 0 (18)
φ(ξ,0) = 0 (19)
−
(
∂φ
∂η
)
η=1
= Biφ(ξ,1) (20)
Esta parte do problema será a primeira na
qual é necessário o uso da Técnica de Separa-
ção de variáveis. A separação feita pode ser
analisada pela equação (21):
φ= X(ξ)Y(η) (21)
∂2
∂ξ2
(X(ξ)Y(η)) =− ∂
2
∂η2
(X(ξ)Y(η)) (22)
X′′(ξ)
X(ξ)
=−Y
′′(η)
Y(η)
= λ (23)
Y(η) = C1 sin(ηµ) + C2 cos(ηµ) (24)
2
Condução • Outubro 2014 • PGMEC
X(ξ) = C3 sinh(µ(1− ξ))+
+ C4 cosh(µ(1− ξ)) (25)
Uma observação a ser feita é que as Condi-
ções de Contorno são homogêneas na compo-
nente η. Como as condições são de primeiro
tipo (Dirichlet) em η = 0 e de terceiro tipo em
η = 1, não há solução para λ=±µ2 = 0. Com
a aplicação das condições de contorno, pode-se
afirmar que λ=+µ2>0.
Utilizando as equações (24) e (25) com as
condições de contorno e colocando as soluções
obtidas na relação proposta pela equação (21),
temos:
Yn(η) = sin(ηµn) (26)
Xn(ξ) = C6 cosh(µn(1− ξ)) (27)
Bisin(µ) =−µcos(µ) (28)
µn = µ1,µ2,µ3... (29)
φ(ξ,η) =
∞
∑
n=1
An sin (ηµn)cosh ((1− ξ)µn) (30)
Agora utiliza-se da condição em ξ = 0 para
calcular as constantes An.
An→ csch (µn)Nrmnµ2n
(1− cos (µn)) (31)
A Norma Nrmn é determinada utilizando a
propriedade de ortogonalidade da função seno.
O resultado pode ser visto na equação (32).
Nrmn =
1
2
− sin (2µn)
4µn
(32)
As relações apresentadas pelas equações
anteriores são suficientes para encontrar a solu-
ção pelo método da superposição. Somente se
torna necessário somar o caso unidimensional
com o caso bidimensional. Esta resposta ainda
será utilizada para a solução final, já que a aná-
lise feita implica na combinação das soluções.
IV. Solução Bidimensional
Transiente
Para terminar a análise e compreensão do
problema, é necessário avaliar a última parte
da solução com a seguinte equação governante
e condições de contorno:
∂σ
∂τ
=
∂2σ
∂η2
+
∂2σ
∂ξ2
(33)(
∂σ
∂ξ
)
ξ=0
= 0 (34)(
∂σ
∂ξ
)
ξ=1
= 0 (35)
σ(ξ,0,τ) = 0 (36)
−
(
∂σ
∂η
)
η=1
= Biσ(ξ,1,τ) (37)
Sendo que a condição inicial para este caso
é expressa pela equação (38).
σ(ξ,η,0) =−Φ(ξ,η) (38)
Aplica-se a mesma metodologia da separa-
ção de variáveis, utilizada anteriormente. A
única diferença que há um dependência do
tempo que é qualificada na separação. Além
disso, desenvolve-se a resposta a partir de dois
autovalores e a solução no tempo adimensional
Γ(τ) será a soma desses dois autovalores µn e
νi.
σ→ Γ(τ)ψ(η)χ(ξ) (39)
Γ′(τ)
Γ(τ)
= λ1 + λ2 (40)
Deve-se avaliar que as condições homogê-
neas de segundo tipo em ξ geram uma solução
para o autovalor λ= 0. A aplicação das condi-
ções de contorno resultam nas equações (42) e
(43).
νi = pii (41)
χi(ξ) = cos(νiξ) (42)
ψn(η) = sin(µnη) (43)
σ(ξ,η,τ) =
∞
∑
i=1
∞
∑
n=1
Ai,n cos (ξνi)sin (ηµn) e
τ(−ν2i −µ2n)+
+
∞
∑
n=1
A0,ne−τµ
2
n sin (ηµn) (44)
3
Condução • Outubro 2014 • PGMEC
Da mesma forma que foi feita anterior-
mente, calculam-se as normas e as constantes
Ai,p e A0,p:
Nrmi =
∫ 1
0
cos2(piiξ)dξ =
1
2
(45)
Nrm0 = 1 (46)
(47)
A0,p =
1
Nrm0Nrmn
×
×
∫ 1
0
∫ 1
0
Φ(ξ,η) (−sin (ηµn)) dξ dη (48)
Ai,p =1
NrmiNrmn
×
×
∫ 1
0
∫ 1
0
Φ(ξ,η) (−cos (ξνi))sin (ηµn) dξ dη
(49)
Com este resultado, foram feitas manipula-
ções nas variáveis de geração de energia (G), no
número de Biot (Bi) e no tempo adimensional.
Os gráficos para os casos mais importantes são
apresentados na seção de resultados do pre-
sente trabalho.
V. Resultados e Discussão
Depois de apresentar a solução do pro-
blema usando a metodologia analisada, im-
plementações computacionais foram desenvol-
vidas e resultados numéricos são agora apre-
sentados para comparações.
a. Caso 1 (G = 1; Bi = 1)
Na figura 1, pode-se observar que os va-
lores de µ1,µ2,µ3 ... são encontrados quando
se analisa os pontos onde as curvas se cru-
zam. Esse gráfico é determinado pela equação
(28). O conjunto dos pontos obtidos também
foi impresso no gráfico da figura 2 na forma
da equação (50).
Figura 1: Gráfico para encontrar os valores de µn.
Tabela 1: Amostra dos autovalores µn até n = 10
n µn
1 2.02876
2 4.91318
3 7.97867
4 11.0855
5 14.2074
6 17.3364
7 20.4692
8 23.6043
9 26.7409
10 29.8786
Rest[µn]−Most[µn]
pi
(50)
Figura 2: Valores encontrados através da equação (50),
diminuindo os valores de µn, retirando o pri-
meiro e depois o último elemento da lista de
autovalores.
4
Condução • Outubro 2014 • PGMEC
• Resultados para a difusão bidimensio-
nal permanente
Com a equação (30), é possível observar o
comportamento da temperatura para o caso bi-
dimensional permanente. Substituindo os valo-
res das constantes An encontradas na equação
(31), utilizando valores de n até 51 e variando
apenas a componente ξ, consegue-se imprimir
uma tabela com a relação de φ(ξ,η), conside-
rando η = 1.
Tabela 2: Relação de φ(ξ,1) com n.
nmax φ (0.9,1) φ (0.5,1) φ (0.3,1)
1 0.143617 0.21953 0.308112
6 0.142616 0.214721 0.296521
11 0.142616 0.214721 0.296529
16 0.142616 0.214721 0.296529
21 0.142616 0.214721 0.296529
26 0.142616 0.214721 0.296529
31 0.142616 0.214721 0.296529
36 0.142616 0.214721 0.296529
41 0.142616 0.214721 0.296529
46 0.142616 0.214721 0.296529
51 0.142616 0.214721 0.296529
A figura 3 mostra a distribuição de tempera-
tura φ(ξ,η), utilizando os parâmetros expostos
na tabela 2. Uma observação importante está
relacionada ao fato que esta não é a resposta
do problema estudado neste trabalho. Apenas
é uma parcela da solução final.
Figura 3: Distribuição da Temperatura para a difusão
bidimensional permanente.
Somando a solução da equação da difusão
bidimensional permanente com a solução uni-
dimensional com geração de calor, tem-se a
distribuição de temperatura indicada pela fi-
gura 4.
Figura 4: Distribuição da Temperatura, juntando as
duas soluções por superposição.
A área em que há o maior gradiente de
temperatura é um ponto a ser evidenciado. De
acordo com a figura 4, pode-se demonstrar que
os pontos de maior temperatura estão locali-
zados próximos a ξ = 0 e η = 1. A explicação
para este comportamento está na avaliação das
condições de contorno em toda a extensão da
área do problema. Diferentemente de ξ = 0,
que há um fluxo de calor conhecido, o lado
ξ = 1 é isolado. Já em η = 0, temos a condição
de contorno de primeiro tipo homogênea e em
η = 1, há uma troca de calor com um fluido a
temperatura Tf .
Outra maneira de avaliar esta parcela do
problema seria analisar o fluxo de calor em
toda a superfície da placa.
Figura 5: Fluxo de calor para Φ(ξ,η).
5
Condução • Outubro 2014 • PGMEC
Como pode ser visto na figura 5, há uma
tendência do fluxo de passar da área de maior
temperatura para a de menor temperatura.
Esta análise, por mais óbvia que seja, deve
ser feita para comprovar a veracidade da so-
lução, a medida que não contradiz as leis da
termodinâmica.
• Resultados para a difusão bidimensio-
nal transiente com geração de energia
A medida que encontramos as soluções por
superposição e por separação de variáveis, se
torna simples a implementação do resultado
para o problema original exposto neste traba-
lho. A soma das parcelas obtidas e verifica-
das individualmente mostram boa parte do
comportamento da distribuição da tempera-
tura. Por exemplo, a área com maior tempe-
ratura continua próxima de ξ = 0 e η = 1. O
que muda é a intensidade, a área avaliada e a
escala de temperatura.
Figura 6: Gráficos Bidimensionais para a Distribuição
da Temperatura θ(ξ,η,τ) para os tempos τ =
0.01, 0.04, 0.1, 0.3, 0.5 e 1.
Figura 7: Verificação tridimensional da distribuição de
temperatura θ(ξ,η,τ) para os tempos τ =
0.01, 0.04, 0.1, 0.3, 0.5 e 1.
Nas figuras 6 e 7, pode-se afirmar que a
medida que o tempo varia, a temperatura au-
menta da esquerda para a direita. Essa in-
fluência do tempo comprova que a solução
se comporta da forma que deveria, se apenas
fosse feita uma análise inicial das condições de
contorno.
O número de Biot (Bi) e a geração de ener-
gia (G) influenciam na parcela da solução unidi-
mensional e da solução bidimensional perma-
nente. Valores altos ou baixos desses números
se projetam indiretamente na distribuição final
do problema e influenciam na forma dos gráfi-
cos 6 e 7. Porém, o número de Biot tem uma
importância fundamental no cálculo dos au-
tovalores µn, como pode ser visto na equação
(28).
b. Caso 2 (G = 1; Bi = 1000)
Como os autovalores µn dependem do va-
lor do número de Biot, foi necessário avaliar
novamente os valores para cada n. A tabela 3
explicita esse novo arranjo.
6
Condução • Outubro 2014 • PGMEC
Tabela 3: Amostra dos autovalores µn até n = 10
n µn
1 3.13845
2 6.27691
3 9.41536
4 12.5538
5 15.6923
6 18.8307
7 21.9692
8 25.1076
9 28.2461
10 31.3846
Além dos autovalores, o alto valor de Biot
também influencia na condução unidimensio-
nal com geração de energia, como foi dito ante-
riormente. Verifica-se também que a condição
de contorno em η = 1 vai mudar a configura-
ção da distribuição de temperatura a medida
que um alto valor de Bi, implica em uma me-
nor diferença de temperatura entre T e Tf . Esta
diferença, adimensionalmente, é representada
por θ.
Para este caso com um alto número de Biot,
também foram impressos os gráficos da distri-
buição da temperatura com diferentes tempos
de 0.01 , 0.05, 0.1 e 1.
Figura 8: Distribuição da Temperatura θ(ξ,η,τ) com
altos valores de Biot e para os tempos τ =
0.01, 0.05, 0.1 e 1.
Figura 9: Verificação tridimensional da distribuição
θ(ξ,η,τ) com altos valores de Biot e para os
tempos τ = 0.01, 0.05, 0.1 e 1.
Com o aumento de Biot, presencia-se um
fato importante. Em η = 1, o valor de θ é igual
a 0 na extensão do componente ξ. Isso se deve
a menor diferença entre T e Tf , como já foi dito.
Há um valor alto de Biot onde esta diferença
se iguala a zero, o que centraliza a distribuição
e o fluxo da temperatura apenas em η.
c. Caso 3 (G = 1000; Bi = 1)
Para altos valores de geração de energia
e com o número de Biot baixo, obtém-se os
seguintes gráficos:
Figura 10: Distribuição da Temperatura θ(ξ,η,τ) com
altos valores de Geração G e para os tempos
τ = 0.03, 0.1 e 1.
7
Condução • Outubro 2014 • PGMEC
Figura 11: Verificação tridimensional da Distribuição
θ(ξ,η,τ) com altos valores de Geração G e
para os tempos τ = 0.03, 0.1 e 1.
Um alto valor de geração de energia repre-
senta um aumento na parcela unidimensional
do problema, mas também tem sua participa-
ção na solução bidimensional permanente. O
gráfico de f(η) para este caso pode ser visto na
figura 12.
Figura 12: Gráfico do Caso Unidimensional com Geração
G = 1000
O aumento de G, como pode ser visto nas
figuras 10 e 11, aumenta a área com maior
temperatura. Antes os pontos com maior dis-
tribuição estavam localizados em ξ = 0. Agora,
os pontos são expandidos para toda a extensão
de ξ.
d. Caso 4 (G = 1000; Bi = 1000)
Para altos valores de geração de energia e
com o número de Biot alto, obtém-seos seguin-
tes gráficos:
Figura 13: Distribuição da Temperatura θ(ξ,η,τ) com
altos valores de Geração G e Bi e para os
tempos τ = 0.01, 0.05, 0.1 e 1.
Figura 14: Verificação tridimensional da distribuição
θ(ξ,η,τ) com altos valores de Geração G e
Bi e para os tempos τ = 0.01, 0.05, 0.1 e 1.
Como pode ser observado pelos gráficos
nas figuras 13 e 14, há uma tendência do com-
portamento de se assemelhar às conclusões ob-
tidas nos dois casos anteriores. Assemelha-se
pelo fato da distribuição ser centralizada em η
e os pontos de maior temperatura estão expan-
didos em uma linha da componente ξ. Pode-se
avaliar novamente o valor da solução unidi-
mensional f(η), demonstrado pela figura 15.
8
Condução • Outubro 2014 • PGMEC
Figura 15: Gráfico do Caso Unidimensional com Geração
G = 1000 e Bi = 1000
e. Caso 5 (G = 1; Bi = 0)
Para este caso, as mudanças nos autova-
lores µn, que dependem do número de Biot,
são substanciais e influenciam tanto na solução
unidimensional quanto na solução bidimensio-
nal em regime permanente. Por isso, avalia-se
novamente a solução para a parte do problema
por superposição e novas respostas são obtidas.
f (η) =
1
2
(2− η)ηG (51)
µn=pi
(
n− 1
2
)
(52)
Nrmn =
∫ 1
0
(Y(η))2 dη =
1
2
(53)
An =
8 csch
(
pi
(
n− 12
))
pi2(1− 2n)2 (54)
Utilizando valores de n até 51 e variando
apenas a componente ξ, temos:
Tabela 4: Nova relação de φ(ξ,η) com n.
nmax φ (0.9,1) φ (0.5,1) φ (0.3,1)
1 0.356577 0.466557 0.587482
6 0.354808 0.458522 0.568112
11 0.354808 0.458522 0.56812
16 0.354808 0.458522 0.56812
21 0.354808 0.458522 0.56812
26 0.354808 0.458522 0.56812
31 0.354808 0.458522 0.56812
36 0.354808 0.458522 0.56812
41 0.354808 0.458522 0.56812
46 0.354808 0.458522 0.56812
51 0.354808 0.458522 0.56812
A figura 16 mostra a distribuição de tempe-
ratura φ(ξ,η), utilizando os parâmetros expos-
tos na tabela 4.
Figura 16: Distribuição da Temperatura para a difusão
bidimensional permanente com Bi = 0.
Juntando as as duas soluções por super-
posição obtém-se um gráfico parecido com o
exposto na figura 16, sendo que a intensidade
da distribuição e a escala tornam-se diferentes
do anterior.
Figura 17: Distribuição da Temperatura, juntando as
duas soluções por superposição.
Figura 18: Fluxo de calor com Bi = 0.
9
Condução • Outubro 2014 • PGMEC
O fluxo de calor indicado na figura 18 pode
ser interpretado pela direção dos vetores apre-
sentados. Com o Bi = 0, a condição de contorno
em η = 0 continua de primeiro tipo, enquanto
em η = 1 se torna de segundo tipo isolado. O
fluxo, então se verifica da esquerda para baixo,
já que em ξ = 1 a parede também é isolada.
A solução final do problema original, é
apresentada na figura 19.
Figura 19: Distribuição da Temperatura, juntando as
duas soluções por superposição com Bi = 0.
f. Caso 6 (G = 0; Bi = 0)
O caso com Bi = 0 e G = 0 anula a solução
de f(η), o que implica que agora a resolução
do problema é um conjunto das soluções bi-
dimensional permanente com a bidimensional
transiente. Com o passar do tempo, a figura
20 se assemelha à configuração da figura 16.
Isso comprova que o valor de f(η) influencia na
escala de temperatura, mas não influencia na
configuração do gráfico.
Figura 20: Distribuição da Temperatura θ(ξ,η,τ) com
Geração G = 0, Bi =0 e para os tempos
τ = 0.01 e 10.
Figura 21: Verificação tridimensional da distribuição
θ(ξ,η,τ) com Geração G = 0, Bi =0 e para
os tempos τ = 0.01 e 10.
g. Caso 6 (G = 1000; Bi = 0)
O caso com Bi = 0 e com altos valores de
G nos remete ao caso 3, onde novamente as
maiores escalas de temperatura se estendem
em uma linha na componente ξ.
Figura 22: Distribuição da Temperatura θ(ξ,η,τ) com
Geração G = 0, Bi =0 e para os tempos
τ = 0.01, 0.03 e 10.
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Condução • Outubro 2014 • PGMEC
Figura 23: Verificação tridimensional da distribuição
θ(ξ,η,τ) com Geração G = 0, Bi =0 e para
os tempos τ = 0.01, 0.03 e 10.
VI. Conclusão
Este trabalho apresentou a validação do mé-
todo de Separação de Variáveis na resolução
do problema de transferência de calor por con-
dução bidimensional em regime transiente. A
estratégia de solução foi computacionalmente
implementada na plataforma Mathematica e al-
guns artifícios foram elaborados para que a
solução fosse obtida. Os resultados das simu-
lações foram conduzidos para comparação do
comportamento da distribuição de tempera-
tura com a mesma metodologia, porém vari-
ando o número de Biot e a geração de energia.
Problemas foram encontrados principalmente
na escolha do número de termos a serem consi-
derados na resolução do problema. Tomou-se
o devido cuidado na escolha dos termos com
o objetivo de obter taxas de convergência satis-
fatórias.
Outro fato importante foi a escolha dos tem-
pos na demonstração da evolução da distribui-
ção de temperatura para certos períodos. Esco-
lhas de menores tempos, em alguns casos, pro-
vocavam algumas descontinuidades nos grá-
ficos, que foram reparados com um aumento
no número de termos. Para trabalhos futuros,
aconselha-se considerar uma análise do mesmo
problema para diferentes geometrias ou tentar
encontrar a solução a partir de outra metodo-
logia como, por exemplo, a técnica de trans-
formada integral. A validação do método de
separações de variáveis foi comprovada neste
trabalho, mas uma avaliação que não foi feita
foi sua comparação com outra metodologia
mais moderna.
Referências
[Figueredo and Wolf, 2009] Figueredo, A. J.
and Wolf, P. S. A. (2009). Assortative pai-
ring and life history strategy - a cross-
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Boyce, William E. (2002) Equações Diferen-
ciais Elementares e Problemas de Valores de
Contorno. 7th ed. LTC Editora,RJ.
[Ozisik, 1993] Ozisik, M. N. (1993) Heat Con-
duction Jonh Willey and Sons 2nd ed. Jonh
Willey and Sons
[Wolfram, 2003] Wolfram S. (2003) The Mathe-
matica Book. Wolfram Media/Cambridge Uni-
versity Press, New York/Champaign, IL 5th
edition
[Sphaier, 2001] Sphaier, Leandro A. (2001) In-
trodução ao Mathematica. E-papers Serviços
Editoriais, RJ, Brazil.
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	Introdução
	Formulação do Problema
	Solução por Superposição
	Solução Bidimensional Transiente
	Resultados e Discussão
	Caso 1 (G = 1; Bi = 1)
	Caso 2 (G = 1; Bi = 1000)
	Caso 3 (G = 1000; Bi = 1)
	Caso 4 (G = 1000; Bi = 1000)
	Caso 5 (G = 1; Bi = 0)
	Caso 6 (G = 0; Bi = 0)
	Caso 6 (G = 1000; Bi = 0)
	Conclusão

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