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Condução • Outubro 2014 • PGMEC Estudo do método de Separação de Variáveis para um Problema de difusão transiente bidimensional com geração de energia Isabela Pinheiro isabelaflorindo@id.uff.br Universidade Federal Fluminense Resumo A utilização de técnicas analíticas foi, por um longo período, o único meio disponível para a solução de problemas de difusão e de convecção. O método de separação de variáveis é aplicado para a solução de várias equações diferenciais, tanto ordinárias quanto parciais, mas é limitado a poucas classes de problemas, em sua maioria, lineares. O trabalho proposto buscou utilizar essa metodologia para a resolução do problema de difusão transiente bidimensional com geração de energia. O problema é tratado na forma adimensional com três condições de contorno homogêneas e uma não homogênea. Foram expostas diversas respostas para o mesmo problema, variando os principais parâmetros que influenciam direta ou indiretamente o resultado final. Mesmo com a evolução de métodos discretos e sistemas híbridos de resolução, tais como a abordagem da transformada integral, o método de separação de variáveis ainda se mostra como uma técnica eficaz para a solução de problemas de difusão como este. I. Introdução No século XVII, o estudo do Cálculopor Issac Newton e Gottfried W. Leib-niz se tornou precursor para a criação de diversos métodos de resolução de equa- ções diferenciais ordinárias e parciais. Newton atuou relativamente pouco na área de equações diferenciais, mas o seu desenvolvimento do Cálculo e a elucidação dos princípios básicos da mecânica forneceram a base para a aplica- ção das equações diferenciais no século XVIII. Já Leibniz, com a ampliação de metodologias de notação matemática, desenvolveu o método de separação para as equações, a redução de equações homogêneas a equações separáveis e o procedimento para resolver equações line- ares de primeira ordem. Estas foram apenas algumas contribuições que inspiraram outros personagens na história da matemática e da física como, por exemplo, Euler, Fourier e La- grange. A técnica de Separação de Variáveis per- mite reescrever, algebricamente, uma equação de tal modo que cada uma das variáveis apa- recem em lados diferentes da equação. Essa metodologia, mesmo que seja antiga, foi utili- zada para a resolução do problema proposto, comprovando que sua aplicabilidade continua válida. II. Formulação do Problema O problema estudado é o de transferência de calor por condução com geração de energia. O problema para a temperatura é dado pela equação: ∂θ ∂τ = G + ∂2θ ∂η2 + ∂2θ ∂ξ2 (1) Para 0≤ η ≤ 1; 0≤ ξ ≤ 1 Onde as quantidades adimensionais são da- 1 Condução • Outubro 2014 • PGMEC das por: ξ = x L , η = y H , τ = tα L2 (2a) θ = T − Tf ∆T , ∆T = ˙q0′′L k (2b) q˙∗= ˙q0′′L k∆T (2c) O número de Biot é definido como: Bi = hL k (3) Já as condições de contorno e a condição inicial associadas ao problema são:( ∂θ ∂ξ ) ξ=0 =−1 (4)( ∂θ ∂ξ ) ξ=1 = 0 (5) θ(ξ,0,τ) = 0 (6) − ( ∂θ ∂η ) η=1 = Biθ(ξ,1,τ) (7) θ(ξ,η,0) = 0 (8) Com estas condições de contorno, encontram-se algumas dificuldades para obter a solução diretamente. Como as condições em ξ são de segundo tipo (Neumann), não é possível resolver utilizando mais de um filtro. O que pode ser feito é uma combinação de métodos analíticos, sendo que a primeira parte se remete a solução por superposição. Isso torna possível a solução final por separação de variáveis. III. Solução por Superposição A solução do problema será constituído pela combinação de soluções resultantes dos casos 1D permanente na componente η com ge- ração de energia, 2D Permanente e, finalmente, 2D transiente com condições de contorno ho- mogêneas. Pode-se explicitar o resultado da seguinte forma: θ(ξ,η,τ) = σ(ξ,η,τ) +Φ(ξ,η) (9) Φ(ξ,η) = φ(ξ,η) + f (η) (10) A equação governante para obter a solução por superposição é: G + ∂2Φ ∂η2 + ∂2Φ ∂ξ2 = 0 (11) Analisa-se, primeiramente, a parcela da so- lução 1D Permanente. A equação e as condi- ções de contorno estão descritas abaixo: G + ∂2 f ∂η2 = 0 (12) f (0) = 0 (13) − ( ∂ f ∂η ) η=1 = Bi f (1) (14) Utilizando as condições de contorno, resolve-se a solução para a primeira parte do problema por superposição. f (η) = ηG 2(Bi+ 1) (2+ Bi− (Bi+ 1)η) (15) Para o caso bidimensional permanente com as condições de contorno originais: ∂2φ ∂ξ2 =−∂ 2φ ∂η2 (16)( ∂φ ∂ξ ) ξ=0 =−1 (17)( ∂φ ∂ξ ) ξ=1 = 0 (18) φ(ξ,0) = 0 (19) − ( ∂φ ∂η ) η=1 = Biφ(ξ,1) (20) Esta parte do problema será a primeira na qual é necessário o uso da Técnica de Separa- ção de variáveis. A separação feita pode ser analisada pela equação (21): φ= X(ξ)Y(η) (21) ∂2 ∂ξ2 (X(ξ)Y(η)) =− ∂ 2 ∂η2 (X(ξ)Y(η)) (22) X′′(ξ) X(ξ) =−Y ′′(η) Y(η) = λ (23) Y(η) = C1 sin(ηµ) + C2 cos(ηµ) (24) 2 Condução • Outubro 2014 • PGMEC X(ξ) = C3 sinh(µ(1− ξ))+ + C4 cosh(µ(1− ξ)) (25) Uma observação a ser feita é que as Condi- ções de Contorno são homogêneas na compo- nente η. Como as condições são de primeiro tipo (Dirichlet) em η = 0 e de terceiro tipo em η = 1, não há solução para λ=±µ2 = 0. Com a aplicação das condições de contorno, pode-se afirmar que λ=+µ2>0. Utilizando as equações (24) e (25) com as condições de contorno e colocando as soluções obtidas na relação proposta pela equação (21), temos: Yn(η) = sin(ηµn) (26) Xn(ξ) = C6 cosh(µn(1− ξ)) (27) Bisin(µ) =−µcos(µ) (28) µn = µ1,µ2,µ3... (29) φ(ξ,η) = ∞ ∑ n=1 An sin (ηµn)cosh ((1− ξ)µn) (30) Agora utiliza-se da condição em ξ = 0 para calcular as constantes An. An→ csch (µn)Nrmnµ2n (1− cos (µn)) (31) A Norma Nrmn é determinada utilizando a propriedade de ortogonalidade da função seno. O resultado pode ser visto na equação (32). Nrmn = 1 2 − sin (2µn) 4µn (32) As relações apresentadas pelas equações anteriores são suficientes para encontrar a solu- ção pelo método da superposição. Somente se torna necessário somar o caso unidimensional com o caso bidimensional. Esta resposta ainda será utilizada para a solução final, já que a aná- lise feita implica na combinação das soluções. IV. Solução Bidimensional Transiente Para terminar a análise e compreensão do problema, é necessário avaliar a última parte da solução com a seguinte equação governante e condições de contorno: ∂σ ∂τ = ∂2σ ∂η2 + ∂2σ ∂ξ2 (33)( ∂σ ∂ξ ) ξ=0 = 0 (34)( ∂σ ∂ξ ) ξ=1 = 0 (35) σ(ξ,0,τ) = 0 (36) − ( ∂σ ∂η ) η=1 = Biσ(ξ,1,τ) (37) Sendo que a condição inicial para este caso é expressa pela equação (38). σ(ξ,η,0) =−Φ(ξ,η) (38) Aplica-se a mesma metodologia da separa- ção de variáveis, utilizada anteriormente. A única diferença que há um dependência do tempo que é qualificada na separação. Além disso, desenvolve-se a resposta a partir de dois autovalores e a solução no tempo adimensional Γ(τ) será a soma desses dois autovalores µn e νi. σ→ Γ(τ)ψ(η)χ(ξ) (39) Γ′(τ) Γ(τ) = λ1 + λ2 (40) Deve-se avaliar que as condições homogê- neas de segundo tipo em ξ geram uma solução para o autovalor λ= 0. A aplicação das condi- ções de contorno resultam nas equações (42) e (43). νi = pii (41) χi(ξ) = cos(νiξ) (42) ψn(η) = sin(µnη) (43) σ(ξ,η,τ) = ∞ ∑ i=1 ∞ ∑ n=1 Ai,n cos (ξνi)sin (ηµn) e τ(−ν2i −µ2n)+ + ∞ ∑ n=1 A0,ne−τµ 2 n sin (ηµn) (44) 3 Condução • Outubro 2014 • PGMEC Da mesma forma que foi feita anterior- mente, calculam-se as normas e as constantes Ai,p e A0,p: Nrmi = ∫ 1 0 cos2(piiξ)dξ = 1 2 (45) Nrm0 = 1 (46) (47) A0,p = 1 Nrm0Nrmn × × ∫ 1 0 ∫ 1 0 Φ(ξ,η) (−sin (ηµn)) dξ dη (48) Ai,p =1 NrmiNrmn × × ∫ 1 0 ∫ 1 0 Φ(ξ,η) (−cos (ξνi))sin (ηµn) dξ dη (49) Com este resultado, foram feitas manipula- ções nas variáveis de geração de energia (G), no número de Biot (Bi) e no tempo adimensional. Os gráficos para os casos mais importantes são apresentados na seção de resultados do pre- sente trabalho. V. Resultados e Discussão Depois de apresentar a solução do pro- blema usando a metodologia analisada, im- plementações computacionais foram desenvol- vidas e resultados numéricos são agora apre- sentados para comparações. a. Caso 1 (G = 1; Bi = 1) Na figura 1, pode-se observar que os va- lores de µ1,µ2,µ3 ... são encontrados quando se analisa os pontos onde as curvas se cru- zam. Esse gráfico é determinado pela equação (28). O conjunto dos pontos obtidos também foi impresso no gráfico da figura 2 na forma da equação (50). Figura 1: Gráfico para encontrar os valores de µn. Tabela 1: Amostra dos autovalores µn até n = 10 n µn 1 2.02876 2 4.91318 3 7.97867 4 11.0855 5 14.2074 6 17.3364 7 20.4692 8 23.6043 9 26.7409 10 29.8786 Rest[µn]−Most[µn] pi (50) Figura 2: Valores encontrados através da equação (50), diminuindo os valores de µn, retirando o pri- meiro e depois o último elemento da lista de autovalores. 4 Condução • Outubro 2014 • PGMEC • Resultados para a difusão bidimensio- nal permanente Com a equação (30), é possível observar o comportamento da temperatura para o caso bi- dimensional permanente. Substituindo os valo- res das constantes An encontradas na equação (31), utilizando valores de n até 51 e variando apenas a componente ξ, consegue-se imprimir uma tabela com a relação de φ(ξ,η), conside- rando η = 1. Tabela 2: Relação de φ(ξ,1) com n. nmax φ (0.9,1) φ (0.5,1) φ (0.3,1) 1 0.143617 0.21953 0.308112 6 0.142616 0.214721 0.296521 11 0.142616 0.214721 0.296529 16 0.142616 0.214721 0.296529 21 0.142616 0.214721 0.296529 26 0.142616 0.214721 0.296529 31 0.142616 0.214721 0.296529 36 0.142616 0.214721 0.296529 41 0.142616 0.214721 0.296529 46 0.142616 0.214721 0.296529 51 0.142616 0.214721 0.296529 A figura 3 mostra a distribuição de tempera- tura φ(ξ,η), utilizando os parâmetros expostos na tabela 2. Uma observação importante está relacionada ao fato que esta não é a resposta do problema estudado neste trabalho. Apenas é uma parcela da solução final. Figura 3: Distribuição da Temperatura para a difusão bidimensional permanente. Somando a solução da equação da difusão bidimensional permanente com a solução uni- dimensional com geração de calor, tem-se a distribuição de temperatura indicada pela fi- gura 4. Figura 4: Distribuição da Temperatura, juntando as duas soluções por superposição. A área em que há o maior gradiente de temperatura é um ponto a ser evidenciado. De acordo com a figura 4, pode-se demonstrar que os pontos de maior temperatura estão locali- zados próximos a ξ = 0 e η = 1. A explicação para este comportamento está na avaliação das condições de contorno em toda a extensão da área do problema. Diferentemente de ξ = 0, que há um fluxo de calor conhecido, o lado ξ = 1 é isolado. Já em η = 0, temos a condição de contorno de primeiro tipo homogênea e em η = 1, há uma troca de calor com um fluido a temperatura Tf . Outra maneira de avaliar esta parcela do problema seria analisar o fluxo de calor em toda a superfície da placa. Figura 5: Fluxo de calor para Φ(ξ,η). 5 Condução • Outubro 2014 • PGMEC Como pode ser visto na figura 5, há uma tendência do fluxo de passar da área de maior temperatura para a de menor temperatura. Esta análise, por mais óbvia que seja, deve ser feita para comprovar a veracidade da so- lução, a medida que não contradiz as leis da termodinâmica. • Resultados para a difusão bidimensio- nal transiente com geração de energia A medida que encontramos as soluções por superposição e por separação de variáveis, se torna simples a implementação do resultado para o problema original exposto neste traba- lho. A soma das parcelas obtidas e verifica- das individualmente mostram boa parte do comportamento da distribuição da tempera- tura. Por exemplo, a área com maior tempe- ratura continua próxima de ξ = 0 e η = 1. O que muda é a intensidade, a área avaliada e a escala de temperatura. Figura 6: Gráficos Bidimensionais para a Distribuição da Temperatura θ(ξ,η,τ) para os tempos τ = 0.01, 0.04, 0.1, 0.3, 0.5 e 1. Figura 7: Verificação tridimensional da distribuição de temperatura θ(ξ,η,τ) para os tempos τ = 0.01, 0.04, 0.1, 0.3, 0.5 e 1. Nas figuras 6 e 7, pode-se afirmar que a medida que o tempo varia, a temperatura au- menta da esquerda para a direita. Essa in- fluência do tempo comprova que a solução se comporta da forma que deveria, se apenas fosse feita uma análise inicial das condições de contorno. O número de Biot (Bi) e a geração de ener- gia (G) influenciam na parcela da solução unidi- mensional e da solução bidimensional perma- nente. Valores altos ou baixos desses números se projetam indiretamente na distribuição final do problema e influenciam na forma dos gráfi- cos 6 e 7. Porém, o número de Biot tem uma importância fundamental no cálculo dos au- tovalores µn, como pode ser visto na equação (28). b. Caso 2 (G = 1; Bi = 1000) Como os autovalores µn dependem do va- lor do número de Biot, foi necessário avaliar novamente os valores para cada n. A tabela 3 explicita esse novo arranjo. 6 Condução • Outubro 2014 • PGMEC Tabela 3: Amostra dos autovalores µn até n = 10 n µn 1 3.13845 2 6.27691 3 9.41536 4 12.5538 5 15.6923 6 18.8307 7 21.9692 8 25.1076 9 28.2461 10 31.3846 Além dos autovalores, o alto valor de Biot também influencia na condução unidimensio- nal com geração de energia, como foi dito ante- riormente. Verifica-se também que a condição de contorno em η = 1 vai mudar a configura- ção da distribuição de temperatura a medida que um alto valor de Bi, implica em uma me- nor diferença de temperatura entre T e Tf . Esta diferença, adimensionalmente, é representada por θ. Para este caso com um alto número de Biot, também foram impressos os gráficos da distri- buição da temperatura com diferentes tempos de 0.01 , 0.05, 0.1 e 1. Figura 8: Distribuição da Temperatura θ(ξ,η,τ) com altos valores de Biot e para os tempos τ = 0.01, 0.05, 0.1 e 1. Figura 9: Verificação tridimensional da distribuição θ(ξ,η,τ) com altos valores de Biot e para os tempos τ = 0.01, 0.05, 0.1 e 1. Com o aumento de Biot, presencia-se um fato importante. Em η = 1, o valor de θ é igual a 0 na extensão do componente ξ. Isso se deve a menor diferença entre T e Tf , como já foi dito. Há um valor alto de Biot onde esta diferença se iguala a zero, o que centraliza a distribuição e o fluxo da temperatura apenas em η. c. Caso 3 (G = 1000; Bi = 1) Para altos valores de geração de energia e com o número de Biot baixo, obtém-se os seguintes gráficos: Figura 10: Distribuição da Temperatura θ(ξ,η,τ) com altos valores de Geração G e para os tempos τ = 0.03, 0.1 e 1. 7 Condução • Outubro 2014 • PGMEC Figura 11: Verificação tridimensional da Distribuição θ(ξ,η,τ) com altos valores de Geração G e para os tempos τ = 0.03, 0.1 e 1. Um alto valor de geração de energia repre- senta um aumento na parcela unidimensional do problema, mas também tem sua participa- ção na solução bidimensional permanente. O gráfico de f(η) para este caso pode ser visto na figura 12. Figura 12: Gráfico do Caso Unidimensional com Geração G = 1000 O aumento de G, como pode ser visto nas figuras 10 e 11, aumenta a área com maior temperatura. Antes os pontos com maior dis- tribuição estavam localizados em ξ = 0. Agora, os pontos são expandidos para toda a extensão de ξ. d. Caso 4 (G = 1000; Bi = 1000) Para altos valores de geração de energia e com o número de Biot alto, obtém-seos seguin- tes gráficos: Figura 13: Distribuição da Temperatura θ(ξ,η,τ) com altos valores de Geração G e Bi e para os tempos τ = 0.01, 0.05, 0.1 e 1. Figura 14: Verificação tridimensional da distribuição θ(ξ,η,τ) com altos valores de Geração G e Bi e para os tempos τ = 0.01, 0.05, 0.1 e 1. Como pode ser observado pelos gráficos nas figuras 13 e 14, há uma tendência do com- portamento de se assemelhar às conclusões ob- tidas nos dois casos anteriores. Assemelha-se pelo fato da distribuição ser centralizada em η e os pontos de maior temperatura estão expan- didos em uma linha da componente ξ. Pode-se avaliar novamente o valor da solução unidi- mensional f(η), demonstrado pela figura 15. 8 Condução • Outubro 2014 • PGMEC Figura 15: Gráfico do Caso Unidimensional com Geração G = 1000 e Bi = 1000 e. Caso 5 (G = 1; Bi = 0) Para este caso, as mudanças nos autova- lores µn, que dependem do número de Biot, são substanciais e influenciam tanto na solução unidimensional quanto na solução bidimensio- nal em regime permanente. Por isso, avalia-se novamente a solução para a parte do problema por superposição e novas respostas são obtidas. f (η) = 1 2 (2− η)ηG (51) µn=pi ( n− 1 2 ) (52) Nrmn = ∫ 1 0 (Y(η))2 dη = 1 2 (53) An = 8 csch ( pi ( n− 12 )) pi2(1− 2n)2 (54) Utilizando valores de n até 51 e variando apenas a componente ξ, temos: Tabela 4: Nova relação de φ(ξ,η) com n. nmax φ (0.9,1) φ (0.5,1) φ (0.3,1) 1 0.356577 0.466557 0.587482 6 0.354808 0.458522 0.568112 11 0.354808 0.458522 0.56812 16 0.354808 0.458522 0.56812 21 0.354808 0.458522 0.56812 26 0.354808 0.458522 0.56812 31 0.354808 0.458522 0.56812 36 0.354808 0.458522 0.56812 41 0.354808 0.458522 0.56812 46 0.354808 0.458522 0.56812 51 0.354808 0.458522 0.56812 A figura 16 mostra a distribuição de tempe- ratura φ(ξ,η), utilizando os parâmetros expos- tos na tabela 4. Figura 16: Distribuição da Temperatura para a difusão bidimensional permanente com Bi = 0. Juntando as as duas soluções por super- posição obtém-se um gráfico parecido com o exposto na figura 16, sendo que a intensidade da distribuição e a escala tornam-se diferentes do anterior. Figura 17: Distribuição da Temperatura, juntando as duas soluções por superposição. Figura 18: Fluxo de calor com Bi = 0. 9 Condução • Outubro 2014 • PGMEC O fluxo de calor indicado na figura 18 pode ser interpretado pela direção dos vetores apre- sentados. Com o Bi = 0, a condição de contorno em η = 0 continua de primeiro tipo, enquanto em η = 1 se torna de segundo tipo isolado. O fluxo, então se verifica da esquerda para baixo, já que em ξ = 1 a parede também é isolada. A solução final do problema original, é apresentada na figura 19. Figura 19: Distribuição da Temperatura, juntando as duas soluções por superposição com Bi = 0. f. Caso 6 (G = 0; Bi = 0) O caso com Bi = 0 e G = 0 anula a solução de f(η), o que implica que agora a resolução do problema é um conjunto das soluções bi- dimensional permanente com a bidimensional transiente. Com o passar do tempo, a figura 20 se assemelha à configuração da figura 16. Isso comprova que o valor de f(η) influencia na escala de temperatura, mas não influencia na configuração do gráfico. Figura 20: Distribuição da Temperatura θ(ξ,η,τ) com Geração G = 0, Bi =0 e para os tempos τ = 0.01 e 10. Figura 21: Verificação tridimensional da distribuição θ(ξ,η,τ) com Geração G = 0, Bi =0 e para os tempos τ = 0.01 e 10. g. Caso 6 (G = 1000; Bi = 0) O caso com Bi = 0 e com altos valores de G nos remete ao caso 3, onde novamente as maiores escalas de temperatura se estendem em uma linha na componente ξ. Figura 22: Distribuição da Temperatura θ(ξ,η,τ) com Geração G = 0, Bi =0 e para os tempos τ = 0.01, 0.03 e 10. 10 Condução • Outubro 2014 • PGMEC Figura 23: Verificação tridimensional da distribuição θ(ξ,η,τ) com Geração G = 0, Bi =0 e para os tempos τ = 0.01, 0.03 e 10. VI. Conclusão Este trabalho apresentou a validação do mé- todo de Separação de Variáveis na resolução do problema de transferência de calor por con- dução bidimensional em regime transiente. A estratégia de solução foi computacionalmente implementada na plataforma Mathematica e al- guns artifícios foram elaborados para que a solução fosse obtida. Os resultados das simu- lações foram conduzidos para comparação do comportamento da distribuição de tempera- tura com a mesma metodologia, porém vari- ando o número de Biot e a geração de energia. Problemas foram encontrados principalmente na escolha do número de termos a serem consi- derados na resolução do problema. Tomou-se o devido cuidado na escolha dos termos com o objetivo de obter taxas de convergência satis- fatórias. Outro fato importante foi a escolha dos tem- pos na demonstração da evolução da distribui- ção de temperatura para certos períodos. Esco- lhas de menores tempos, em alguns casos, pro- vocavam algumas descontinuidades nos grá- ficos, que foram reparados com um aumento no número de termos. Para trabalhos futuros, aconselha-se considerar uma análise do mesmo problema para diferentes geometrias ou tentar encontrar a solução a partir de outra metodo- logia como, por exemplo, a técnica de trans- formada integral. A validação do método de separações de variáveis foi comprovada neste trabalho, mas uma avaliação que não foi feita foi sua comparação com outra metodologia mais moderna. Referências [Figueredo and Wolf, 2009] Figueredo, A. J. and Wolf, P. S. A. (2009). Assortative pai- ring and life history strategy - a cross- cultural study. Human Nature, 20:317–330. [DiPrima e Boyce,2002] DiPrima, Richard C. e Boyce, William E. (2002) Equações Diferen- ciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. 7th ed. LTC Editora,RJ. [Ozisik, 1993] Ozisik, M. N. (1993) Heat Con- duction Jonh Willey and Sons 2nd ed. Jonh Willey and Sons [Wolfram, 2003] Wolfram S. (2003) The Mathe- matica Book. Wolfram Media/Cambridge Uni- versity Press, New York/Champaign, IL 5th edition [Sphaier, 2001] Sphaier, Leandro A. (2001) In- trodução ao Mathematica. E-papers Serviços Editoriais, RJ, Brazil. 11 Introdução Formulação do Problema Solução por Superposição Solução Bidimensional Transiente Resultados e Discussão Caso 1 (G = 1; Bi = 1) Caso 2 (G = 1; Bi = 1000) Caso 3 (G = 1000; Bi = 1) Caso 4 (G = 1000; Bi = 1000) Caso 5 (G = 1; Bi = 0) Caso 6 (G = 0; Bi = 0) Caso 6 (G = 1000; Bi = 0) Conclusão
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