Derivada: Definição e Exemplos

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1 Aula 5 – Derivada: definic¸a˜o e exemplos
A ideia que apresentaremos a seguir foram introduzidas por Newton e Leibnitz no
se´culo XVIII. Ela consiste em definir a derivada de uma func¸a˜o f(x) em um ponto pode
ser definida como a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f neste ponto.
Seja f(x) a curva definida no intervalo [a, b] conforme a figura 1 e sejam P = (x1, y1)
e Q = (x2, y2) dois pontos desta curva.
Figura 1: [2], p.144
Considere s a reta secante passando por estes pontos e o triaˆngulo PMQ que deter-
mina a inclinac¸a˜o (ou coeficiente angular) da reta s. Ou seja,
tgα =
∆y
∆x
=
y2 − y1
x2 − x1
Figura 2: [2], p.144
Suponhamos agora que, mantendo o ponto P fixo o ponto Q se mova sobre a curva
em direc¸a˜o a` P . Desta forma, a inclinac¸a˜o da reta secante s sofrera´ variac¸o˜es. A` medida
que Q vai se aproximando cada vez mais de P a variac¸a˜o da inclinac¸a˜o da reta secante
1
varia cada vez menos, tendendo para um valor limite constante, veja a figura 2. Este valor
limite e´ chamado inclinac¸a˜o da reta tangente da curva f no ponto P .
Definic¸a˜o 1.1. Dada uma y = f(x) a inclinac¸a˜o da reta tangente a esta curva no ponto
P = (x1, y1) e´ dada por
m(x1) = lim
Q→P
∆y
∆x
= lim
x2→x1
y2 − y1
x2 − x1 = limx2→x1
f(x2)− f(x1)
x2 − x1
quando o limite existe. Fazendo x2 = x1 + h temos
m(x1) = lim
h→0
f(x1 + h)− f(x1)
h
Exemplo 1.2. Encontre a inclinac¸a˜o da reta tangente a` curva f(x) = x2 − 2x + 1 no
ponto P = (x1, y1)
Resoluc¸a˜o: Vamos calcular o seguinte limite
m(x1) = lim
h→0
f(x1 + h)− f(x1)
h
= lim
h→0
(x1 + h)
2 − 2(x1 + h) + 1− [x21 − 2x1 + 1]
h
= lim
h→0
x21 + 2x1h+ h
2 − 2x1 − 2h+ 1− x21 + 2x1 − 1
h
= lim
h→0
h(2x1 + h− 2)
h
= lim
x→0
(2x1 + h− 2)
= 2x1 − 2
Observac¸a˜o 1.3. Observe que se x1 > 1 temos que a inclinac¸a˜o da reta tangente e´ um
valor positivo, ou seja, e´ uma reta crescente. Caso contra´rio, se x1 < 1 a inclinac¸a˜o e´
negativa e, portanto, a reta tangente e´ decrescente. No ponto x1 = 1 a inclinac¸a˜o da reta
tangente e´ zero, ou seja, a reta tangente e´ paralela ao eixo-x.
Exemplo 1.4. Deˆ a equac¸a˜o da reta tangente a` curva y = f(x) = 2x2 + 3 no ponto cuja
abscissa e´ 2.
Resoluc¸a˜o: A inclinac¸a˜o da reta tangente e´ dada por
m(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
2(x+ h)2 + 3− [2x2 + 3]
h
= lim
h→0
2(x2 + 2xh+ h2) + 3− [2x2 + 3]
h
= lim
h→0
2x2 + 4xh+ 2h2 + 3− 2x2 − 3
h
= lim
h→0
4xh+ 2h2
h
= lim
h→0
h(4x+ 2h)
h
= lim
h→0
4x+ 2h = 4x
2
Assim, no ponto x = 2 temos que a inclinac¸a˜o da reta tangente a` curva neste ponto
e´ m(2) = 8. Se x = 2 e´ a abscissa de um ponto da curva, enta˜o y = f(2) = 11 e´ o valor
da ordenada.
Para determinarmos a equac¸a˜o da reta passando pelo ponto (2, 11) cuja inclinac¸a˜o
e´ 8, substitu´ımos o ponto na equac¸a˜o da reta y = 8x+ b. Logo, obtemos b = −5.
Portanto, a equac¸a˜o da reta tangente a` curva no ponto (2, 11) e´ dada por
y = 8x− 5
Definic¸a˜o 1.5. A derivada de uma func¸a˜o f(x) no ponto x1, denotada por f
′(x1) e´
definida por
f ′(x1) = lim
h→0
f(x1 + h)− f(x1)
h
Observe que este limite nos da´ a inclinac¸a˜o da reta tangente a` curva y = f(x) no
ponto x1. Portanto, geometricamente, a derivada da func¸a˜o f no ponto x1 representa a
inclinac¸a˜o da reta tangente a` curva neste ponto.
Observac¸a˜o 1.6. Uma outra notac¸a˜o para derivada de f(x) no ponto x1 pode ser dada
por df
dx
(x1).
Exemplo 1.7. Dada a func¸a˜o f(x) = 5x2 + 6x− 1 encontre o valor de f ′(2) e de f(−1).
Resoluc¸a˜o: Podemos encontrar a derivada, primeiramente, em um ponto x qual-
quer e depois de obter f ′(x) substitu´ımos os pontos desejados.
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x1)
h
= lim
h→0
5(x+ h)2 + 6(x+ h)− 1− [5x2 + 6x− 1]
h
= lim
h→0
5(x2 + 2xh+ h2) + 6x+ 6h− 1− 5x2 − 6x+ 1
h
= lim
h→0
5x2 + 10xh+ 5h2 + 6x+ 6h− 1− 5x2 − 6x+ 1
h
= lim
x→0
10xh+ 5h2 + 6h
h
= lim
x→0
h(10x+ 5h+ 6)
h
= lim
x→0
10x+ 5h+ 6 = 10x+ 6
Logo, num ponto qualquer a derivada da func¸a˜o e´ f ′(x) = 10x+ 6 enta˜o temos f ′(2) = 26
e f ′(−1) = −4
Exerc´ıcio 1.8. Dada a func¸a˜o f(x) =
√
x encontre a derivada f ′(4) e f ′(3).
Resoluc¸a˜o: Podemos encontrar a derivada, primeiramente, em um ponto x qual-
3
quer e depois de obter f ′(x) substitu´ımos os pontos desejados.
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x1)
h
= lim
h→0
√
x+ h−√x
h
= lim
h→0
(
√
x+ h−√x)(√x+ h+√x)
h(
√
x+ h+
√
x)
= lim
h→0
(
√
x+ h)2 +
√
x+ h
√
x−√x+ h√x− (√x)2
h(
√
x+ h+
√
x)
= lim
x→0
x+ h− x
h(
√
x+ h)
= lim
x→0
h
h(
√
x+ h+
√
x)
= lim
x→0
1√
x+ h+
√
x
=
1
2
√
x
Logo, num ponto qualquer a derivada da func¸a˜o e´ f ′(x) = 1
2
√
x
enta˜o f ′(4) = 1
4
e f ′(3) =
1
2
√
3
Exemplo 1.9. Encontre a derivada da func¸a˜o f(x) = ln x.
Resoluc¸a˜o: Para obtermos a derivada num ponto x qualquer do domı´nio de f
fazemos
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x1)
h
= lim
h→0
ln(x+ h)− lnx
h
= lim
h→0
ln
(
x+h
x
)
h
= lim
h→0
1
h
· ln
(x+ h
x
)
= lim
h→0
ln
(x+ h
x
) 1
h
= lim
h→0
ln
(
1 +
h
x
) 1
h
Para resolvermos o u´ltimo limite fazemos a seguinte mudanc¸a de varia´vel
t =
h
x
enta˜o h = x · t
Se h→ 0 enta˜o t→ 0. Voltando no ca´lculo do limite temos
f ′(x) = lim
h→0
ln
(
1 +
h
x
) 1
h
= lim
t→0
ln
(
1 + t
) 1
xt
= lim
t→0
1
x
ln
(
1 + t
) 1
t
=
1
x
· ln
[
lim
t→0
(
1 + t
) 1
t
]
O u´ltimo limite tambe´m e´ calculado fazendo uma mudanc¸a de varia´vel, onde
r =
1
t
enta˜o t =
1
r
Se t→ 0± enta˜o t→ ±∞. Logo, voltando no limite temos
f ′(x) =
1
x
· ln
[
lim
t→0
(
1 + t
) 1
t
]
=
1
x
· ln
[
lim
r→±∞
(
1 +
1
r
)r]
=
1
x
· ln e = 1
x
4
Para os pro´ximos exemplos vamos utilizar as seguintes identidades trigonome´tricas:
1. sin p− sin q = 2 sin(p−q
2
) cos(p+q
2
)
2. cos p− cos q = −2 sin(p+q
2
) sin(p−q
2
)
Exemplo 1.10. Encontre a derivada da func¸a˜o f(x) = sin x.
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x1)
h
= lim
h→0
sin(x+ h)− sinx
h
= lim
h→0
2 sin(x+h−x
2
) cos(x+h+x
2
)
h
= lim
h→0
2 sin(h
2
) cos(2x+h
2
)
h
= lim
h→0
[2 sin(h
2
)
h
· cos(x+ h/2)
]
= lim
h→0
sin(h
2
)
h/2
· lim
h→0
cos(x+ h/2) = cos(x)
Exemplo 1.11. Encontre a derivada da func¸a˜o f(x) = cos x.
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x1)
h
= lim
h→0
cos(x+ h)− cosx
h
= lim
h→0
−2 sin(x+h+x
2
) sin(x+h−x
2
)
h
= lim
h→0
−2 sin(2x+h
2
) sin(h
2
)
h
= lim
h→0
[
− sin(x+ h/2) · 2 sin(
h
2
)
h
]
= lim
h→0
− sin(x+ h/2) · lim
h→0
sin(h
2
)
h/2
= − sin(x)
Exemplo 1.12. Encontre a derivada da func¸a˜o exponencial f(x) = ax, com a > 0 e a 6= 1
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x1)
h
= lim
h→0
ax+h − ax
h
= lim
h→0
ax · ah − ax
h
= lim
h→0
ax · (ah − 1)
h
= ax · lim
h→0
(ah − 1)
h
= ax · ln a
Observac¸a˜o 1.13. Observe que se f(x) = ex enta˜o a sua derivada e´ f ′(x) = ex.
1.0.1 Regras de derivac¸a˜o
A seguir vamos listar as regras de derivac¸a˜o. Todas elas podem ser demonstradas
usando a definic¸a˜o de derivada.
1. Se c e´ uma constante e f(x) = c para todo x ∈ R enta˜o f ′(x) = 0;
2. “Regra do tombo”: Se r e´ um nu´mero racional e f(x) = xr enta˜o f ′(x) = r · xr−1;
3. Seja g(x) = c · f(x), onde c e´ uma constante. Enta˜o g′(x) = c · f ′(x);
4. Sejam f(x) e g(x) duas func¸o˜es tais que as derivadas f ′(x) e g′(x) existam. Enta˜o
(f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x);
5
5. “Regra do produto”:Sejam f(x) e g(x) duas func¸o˜es tais que as derivadas f ′(x) e
g′(x) existam. Enta˜o (f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x);
6. Sejam f(x) e g(x) duas func¸o˜es tais que as derivadas f ′(x) e g′(x) existam e g(x) 6= 0.
Enta˜o (f
g
)′
(x) =
f ′(x) · g(x)− f(x) · g′(x)
[g(x)]2
;
7. “Regra da cadeia”: Sejam f(x) e g(x) duas func¸o˜es tais que as derivadas f ′(x) e
g′(x) existam. Enta˜o (f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)) · g′(x)
Exemplo 1.14. Encontre a derivada das func¸o˜es abaixo no ponto dado.
1. f(x) = x5 + x3/2 − 5x+ 19. No ponto x = 1. Resp: f ′(1) = 3/2
2. g(x) = −4x8. No ponto x = 2. Resp: g′(2) = −4096
3. p(x) = 10. No ponto x = −2. Resp: p′(2−) = 0
4. r(x) = x2 · cosx. No ponto x = pi/2. Resp: r′(pi/2) = −pi2/4
5. f(x) = 2x
4−3
x2−5x+3 . No ponto x = 0. Resp: f
′(0) = 5/3
6. f(x) = (x2 + 5x+ 2)7. No ponto x = 1
7. h(x) =
√
9 + x2. No ponto x = 1
8. g(x) = sin(5x). No ponto x = pi/5
9. h(x) = ex + lnx. No ponto x = 2
10. p(x) = tgx
6
Refereˆncias
[1] A. C. Chiang, K. Wainwright, Matema´tica para Economistas – Campus, 4a. edic¸a˜o,
2006.
[2] D. M. Flemming; M. B. Gonc¸alves. Ca´lculo A: func¸o˜es, limite, derivac¸a˜o, noc¸o˜es de
integrac¸a˜o. Pearson Education, 1992.
[3] A. Howard, B. Irl, D. Steephen, P. Thomas, Calculus-early transcendentals, vol 2,
Wiley, 2002.
[4] J. Stewart, Calculus – Early Transcendentals, 6th edition, 2007.
[5] N. Gregory Mankiw. Introduc¸a˜o a` economia. Traduc¸a˜o: Allan Vidigal Hastings, Eli-
sete Paes e Lima. Revisa˜o te´cnica: Manuel Jose´ Nunes Pinto. Sa˜o Paulo : Cengage
Learning, 2014.
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