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Sistemas de partículas Objetivos: Entender o conceito de centro de massa; saber deter- minar o centro de massa de distribuições contínuas de massa. Até agora, estudamos somente sistemas formados por partículas (ou pontos materiais). Nosso próximo objetivo é mostrar que os prin- cípios de conservação da energia, e mais tarde os de conservação do momento linear também se aplicam a sistemas de muitas partículas e a corpos extensos. A motivação para isso surge novamente, de uma limitação na resolução de problemas. Posição ponderada pelas massas Considere um sistema formado por duas massas, m1 em2. Defini- mos como centro de massa (cm) do sistema como a posição ponderada pelas massas xcm = m1x1 +m2x2 m1 +m2 = 1 M (m1x1 +m2x2), (Módulo 9.1.1) onde M será utilizado para representar a massa total do sistema. Com essa definição, podemos também teorizar o que seria a velocidade e aceleração do centro de massa. Derivando a relação Módulo 9.1.1 em relação ao tempo, temos: dxcm dt = 1 M ( m1 dx1 dt +m2 dx2 dt ) , ou vcm = 1 M (m1v1 +m2v2) (Módulo 9.1.2) Derivando novamente em relação ao tempo, temos dvcm dt = 1 M ( m1 dv1 dt +m2 dv2 dt ) acm = 1 M (m1a1 +m2a2) (Módulo 9.1.3) A equação Módulo 9.1.3 nos fornece algo bem interessante, pois m1a1 e m2a2 são, respectivamente, as forças sofridas por m1 e m2. Numa situação onde duas massas interagem entre si (e.g. mola com duas massas), essas forças constituem um par ação-reação. Assim, a soma m1a1 + m2a2 = ~F12 + ~F21 = 0, lembrando, é claro que ~F12 = −~F21. De fato, todas as vezes que um sistema for livre da ação de forças externas, teremos, necessariamente, acm = 0. Nos casos onde houver uma força externa atuando, o tratamento com o centro de massa é também adequado, pois teríamos as seguintes forças atuando nas massas m1 e m2. Em m1: Fext,1 + F12 = m1a1 Em m2: Fext,2 + F21 = m2a2 Somando as duas equações, chegaremos a ∑ Fext = (m1a1 + m2a2), ou ∑ Fext = Macm (Módulo 9.1.4) A relação Módulo 9.1.4 pode ser entendida como a 2a Lei de New- ton para um sistema de muitas partículas. Isso significa adotar um sistema de massa M onde a força atuasse no centro de massa. Em várias dimensões, podemos fazer uma análise semelhante. Seja S um sistema formado por n partículas. A soma das massas é expressa por M = m1 + m2 + m3 + ... + mn = ∑n i=1mi Definimos as coordenadas do centro de massa como xcm = 1 M n∑ i=1 mixi; ycm = 1 M n∑ i=1 miyi; zcm = 1 M n∑ i=1 mizi (Módulo 9.1.5) Se definirmos o vetor posição ~rcm = xcmiˆ+ ycmjˆ + zcmkˆ, teremos ~rcm = 1 M (m1~r1 +m2~r2 + ...+mn~rn) = 1 M n∑ i=1 mi~ri. (Módulo 9.1.6) Derivando em relação ao tempo: ~vcm = 1 M (m1~v1 +m2~v2 + ...+mn~vn) = 1 M n∑ i=1 mi~vi (Módulo 9.1.7) derivando novamente: ~acm = 1 M (m1~a1 +m2~a2 + ...+mn~an) = 1 M n∑ i=1 mi~ai, ou ~acm = 1 M n∑ i=1 ~Fi (Módulo 9.1.8) No caso, como as forças internas ao sistema sempre se anulam, podemos dizer que o somatório das forças na equação anterior é sim- plesmente a soma das forças externas. Daí:∑ ~Fext = Macm Para distribuições contínuas de massa, é necessária uma formulação mais completa sobre o centro de massa de um sistema de partícu- las, agora de tamanho infinitesimal. Podemos pensar que um ob- jeto qualquer é dividido em infinitos pedaços de massa, sendo cada pedaço infinitesimalmente pequeno. Considerando cada partícula de massa ∆mi, podemos escrever, segundo a formulação anterior: ~rcm = 1 M ∑n i=1 ~ri∆mi, para cobrir toda a massa, é necessário tomar um nú- mero de termos tendendo a infinito (lembre-se que aqui, ∆mi é uma quantidade que tende à zero). Daí: ~rcm = limn→∞ 1 M ∑n i=1 ~ri∆mi. Assim, ~rcm = 1 M ∫ ~r dm, (Módulo 9.1.9) Universidade de Brasília - Física 1 - Prof. Pedro Henrique ou em termos de suas componentes: xcm = 1 M ∫ x dm ycm = 1 M ∫ y dm (Módulo 9.1.10) zcm = 1 M ∫ z dm Exercício Resolvido 9.1.1: O bloco 1 repousa numa superfície sem atrito, e o bloco 2 está na extrimadade oposta de um fio inestensível, de comprimento L e de massa desprezível. Considerando a polia ideal, calcule a aceleração do sistema. Adotando o sistema de coordenadas na polia, teremos: xcm = m1 · [−(L− y)] +m2 · 0 M ⇒ xcm = −m1(L− y) m1 +m2 ycm = m2 · y m1 +m2 Derivando, podemos encontrar velocidades e acelerações do centro de massa. vxcm = m1 M vy e vycm = m2 M vy , derivando novamente: axcm = m1 M ay e aycm = m2 M ay . Como ay é constante, podemos escrever ay = a. Analisando as forças Em x: −T = −Maxcm Em y: m1g − FN1 +m2g − T = Maycm , somando, teremos: m2g = ��Mm2a ��M + ��Mm1a ��M ,ou a = m2g M Exercício Resolvido 9.1.2: Calcular o centro de massa da seguinte distribuição contínua de massa: O objeto acima é resultado da retirada, a partir de um disco maior, de raio 2R de um disco menor de raio R. Assim, para resolver a ques- tão, usaremos de dois corpos separados: chamaremos de A o disco de raio R e de B o disco de raio 2R. Para o disco A (por simentria): xcmA = −R e ycmA = 0 Para o disco B (por simentria): xcmB = 0 e ycmB = 0 Como o objeto em questão, que chamaremos de C, é resultado da “subtração” de A do disco B, podemos pensar que B é resultado da “soma” de A e C. Assim, ���: 0xBcm = mAxcmA +mCxcmC mA +mC , xcmC = − mAxcmA mC = mAR mC . Como a distribuição de massa é contínua, podemos escrever que a densidade superficial das partes do corpo σ é constante. Assim, σA = σB ⇒ mA ÁreaA = mB ÁreaB mA mC = ÁreaA ÁreaC = piR2 pi(2R)2 − piR2 = piR2 3piR2 , ou mA mB = 1 3 , substituindo: xcmC = R 3 , e ycmC = 0 . A conclusão de que ycmC = 0 foi baseada na simetria da situação. Exercício Resolvido 9.1.3: Calcular o centro de massa de um semi-anel de raio R. Universidade de Brasília - Física 1 - Prof. Pedro Henrique Por simetria, notamos que xcm = 0. Como a distribuição de massa é contínua, podemos escrever: M φtotal = dm dφ ⇒ dm dφ = M pi . Como y = Rsenφ, podemos escrever que: Assim, ycm = 1 M ∫ y dm = 1 ��M ∫ pi 0 ��M pi Rsenφ dφ ycm = R pi cosφ ∣∣∣∣∣ pi 0 , ou ycm = 2R pi Universidade de Brasília - Física 1 - Prof. Pedro Henrique
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