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matematica para negocios e financas

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Matemática para
Negócios e Finanças
Eduardo Araújo
Matemática para
Negócios e Finanças
Matemática para
Negócios e Finanças
2010
Eduardo Araújo
Sumário
Fundamentos da Matemática | 5
Equação do 1.º grau | 5
Razão | 7
Proporção | 8
Regra de três | 9
Função do 1.º grau | 10
A porcentagem: considerações básicas e importantes | 19
Definição e generalizações | 19
A porcentagem como uma parte do todo | 21
Regras de arredondamento | 24
A porcentagem e a tabela do Imposto de Renda | 25
Estatística I | 35
Distribuição de frequências para dados não agrupados | 36
Representação gráfica de dados não agrupados | 38
Estatística II | 47
A média aritmética para dados não agrupados | 47
A moda para dados não agrupados (Mo) | 48
A mediana para dados não agrupados (Md) | 49
A média ponderada para dados não agrupados (Xw) | 50
Agrupando os conhecimentos | 51
Curiosidade | 51
Medidas de variabilidade para dados não agrupados | 59
Simplificando a definição | 59
A variância (σ2 ), o desvio padrão (σ) e a amplitude (A) para dados não agrupados (Xw) | 60
Agrupando os conhecimentos | 63
Concluindo e comparando | 64
Trabalhando com dados agrupados | 71
Construindo a tabela de frequência | 71
Medidas de tendência central para dados agrupados: a média, a moda e a mediana | 73
Medidas de variabilidade para dados agrupados: a variância, o desvio padrão e a amplitude total | 75
Introdução à Matemática Financeira: juros simples | 83
Noções básicas | 83
Cálculo dos juros simples (J) | 84
Cálculo do valor futuro ou montante (VF) | 86
Capitalizando e descapitalizando capitais | 88
Desconto simples | 93
Definição – Operações de desconto | 93
Desconto racional (DR) ou por dentro (taxas de juros) e o desconto nominal ou por fora | 94
Relação entre taxa de desconto e taxa de juros | 96
Equivalência de capitais | 101
 Igualando os valores atuais | 101
Operações com juros compostos | 109
Definição de juros compostos | 109
Cálculo do montante de juros compostos para períodos não inteiros | 112
Equivalência de taxas efetivas e nominais | 123
Taxas nominais de juros | 123
Transformando taxas efetivas de juros | 125
Séries de pagamento I | 133
O cálculo com séries postecipadas | 133
Série postecipada: cálculo de valor futuro | 136
Séries de pagamento II | 143
Séries diferidas | 147
Sistema de amortização progressiva (SAP) | 156
Sistema de amortização francês, sistema price ou sistema de amortização progressiva – SAP | 156
Cálculo das variáveis para um período qualquer no SAP | 159
Sistema de amortização constante (SAC) | 165
A planilha de cálculos no SAC | 165
Cálculo das variáveis para um período qualquer no sistema SAC | 167
Anexos | 175
Tabela 1 | 175
Tabela 2 | 187
Anotações | 199
Resumo
Existem fundamentos de Matemática que são imprescindíveis nas diver-
sas formações profissionais. Médicos, arquitetos, engenheiros, adminis-
tradores, gestores e tantos outros profissionais utilizam a Matemática 
para resolver, diariamente, problemas pessoais e profissionais. Esta aula 
tratará, dessa forma, dos principais conceitos de matemática básica que 
são fundamentais para a sua formação.
Fundamentos da Matemática
Eduardo Araújo* 
Equação do 1.º grau
Chamamos de equação do 1.º grau na incógnita x toda equação que pode ser escrita na forma 
ax = b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero. 
Vamos entender a definição?
Equação: é toda sentença composta por uma (ou mais) incógnita(s) e uma igualdade.
Incógnita: é o que desejamos descobrir (em geral representada por uma letra).
Grau: é dado pelo maior expoente da incógnita.
O valor da incógnita, que torna uma equação verdadeira, recebe o nome de zero ou raiz da equação.
 Mestre em Ensino de Ciências e Matemática pela Universidade Luterana do Brasil (Ulbra). Especialista em Educação a Distância pelo Serviço 
Nacional de Aprendizagem Comercial (Senac). Graduado em Matemática pela Ulbra.
6 | Fundamentos da Matemática
Em igualdades matemáticas, podemos adicionar, multiplicar, subtrair ou dividir elementos iguais 
aos dois membros dessa igualdade que a identidade se mantém. É claro, se fizermos as mesmas opera-
ções, com os mesmos valores, o resultado tem de permanecer o mesmo. Dessa forma, para resolvermos 
equações do primeiro grau, utilizaremos operações matemáticas de ambos os lados da igualdade até 
que a incógnita fique isolada. Vamos ver um exemplo:
2x + 10 = 18
Para isolarmos o termo “2x”, iniciaremos subtraindo 10 unidades de cada lado da igualdade. Veja:
2x + 10 – 10 = 18 – 10
2x + 0 = 8
2x = 8
Para eliminarmos o valor “2” que multiplica nossa incógnita, dividiremos ambos os lados da igual-
dade por “2”, e ficamos com:
2
2x
2
8=
x = 4
Dessa forma, sempre que realizarmos as mesmas operações em ambos os membros da igualda-
de com os mesmos valores, a igualdade permanecerá verdadeira.
Como nosso objetivo sempre é isolar a incógnita, podemos eliminar esses termos conforme nossa 
necessidade. Veja outro exemplo:
5y = 90
2 3 
5y = 90
y = 18
2y + 3y
6 
= 90
6 
3
y
2
y+ = 15
 
 (Nesse caso fizemos o MMC entre 3 e 2.)
Uma maneira simplificada de resolver equações dessa forma é passando termos semelhantes de 
um lado para o outro da igualdade, invertendo, sempre, a operação matemática que está sendo reali-
zada (lembre-se: adição é o inverso de subtração e multiplicação é o inverso de divisão). Observe:
Se 3x + 4 =19, qual é o valor de “x” que resolve essa equação?
Solução:
 3x = 19 – 4 (Enviando o elemento 4 e invertendo a operação de adição.)
 3x = 15 (Resolvendo 19 – 4.)
 x = 15
3
 (Enviando o elemento 3 e invertendo a operação de multiplicação.)
 x = 5 
7|Fundamentos da Matemática
Veja outros exemplos:
Ex.: –3x + 5 = –7
Solução:
 –3x = –7 – 5
 –3x = –12
 x = –12
–3 
 x = +4 
Testando a resposta encontrada:
 –3 . 4 + 5 = –7
 –12 + 5 = –7
 –7 = –7
 Ok!
Ex.: 4 – 2k = 4k – 8
Solução:
 –2k – 4k = – 8 – 4
 –6k = –12
 k= –12
–6 
 k = +2
Como você pôde perceber, resolver equações do 1.° grau é bastante simples. O método simpli-
ficado permite apenas enviar elementos de um lado a outro da igualdade, invertendo a operação que 
estamos realizando, até que tenhamos nossa incógnita isolada.
Razão
A palavra razão é derivada do latim ratio e significa divisão. Ou seja, para obtermos a razão entre 
dois termos quaisquer basta dividirmos um pelo outro. Imagine que, em um condomínio com 40 apar-
tamentos, 12 sejam de 3 dormitórios, 18 sejam de 2 dormitórios e 10 de 1 dormitório. Qual será a razão 
entre o número de apartamentos de 3 e de 2 dormitórios?
Razão entre o número de apartamentos de 3 e de 2 dormitórios
= 212 : 6
18 : 6 3 
8 | Fundamentos da Matemática
Isso quer dizer que, para cada 2 apartamentos de 3 dormitórios, há 3 apartamentos de 2 dormi-
tórios.
Razão entre o número de apartamentos de 3 dormitórios e o total de apartamentos:
= 312 : 4
40 : 4 10 
Portanto, essa razão será: para cada 10 apartamentos do edifício, 3 são de 3 dormitórios.
Esse conceito de razão, que nada mais é do que a divisão entre dois elementos, será fundamental 
para que possamos entender o conceito de proporção que veremos a seguir.
Proporção
Uma proporção é uma igualdade entre duas razões. Podemos dizer que 1/2 e 2/4, por exemplo, 
formam uma proporção, pois representam uma mesma quantidade. Então, quando falamos que duas 
coisas são proporcionais, estamos dizendo que elas formam uma proporção entre si. Veja outro exem-
plo:
2 e 3
8 12 representam a mesma quantidade, pois ambas se referem a 0,25 ou 1/4.
Propriedade: