Aula Medidas e Erros

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Medidas Algarismos Significativos Erros
Medidas, Algarismos Significativos
e Erros
.
F´ısica Experimental I
Prof. Dr. Franciscarlos Gomes da Silva
Bras´ılia,19 de marc¸o de 2014
IF-UnB
Medidas, Algarismos Significativos e Erros
Medidas Algarismos Significativos Erros
Suma´rio
1 Medidas
2 Algarismos Significativos
3 Erros
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Medidas, Algarismos Significativos e Erros
Medidas Algarismos Significativos Erros
Tipos de Medidas
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Medidas diretas:
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Obtidas diretamente do instrumento de medida.
Exemplos:comprimento e tempo (trenas e cronoˆmetros). —
————
Medidas indiretas:
Obtidas a partir das medidas diretas, com o aux´ılio de equac¸o˜es.
Exemplo: a a´rea de uma superf´ıcie, volume de um corpo, den-
sidade.
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Medidas, Algarismos Significativos e Erros
Medidas Algarismos Significativos Erros
Algarismos Significativos
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Aqueles que possuem um significado f´ısico e fornecem a in-
formac¸a˜o real do valor de uma grandeza. —————
Ide´ia do grau de precisa˜o de uma medida.
Algarismos que sabemos que esta˜o corretos, mais o algarismo
duvidoso.
Exemplo:
Se o resultado de uma medida e´ 3,24 cm, os algarismos 3 e 2
sa˜o corretos e o algarismo 4 e´ o duvidoso.
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Medidas, Algarismos Significativos e Erros
Medidas Algarismos Significativos Erros
Observac¸o˜es
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A presenc¸a de v´ırgula na˜o e´ considerada ao se tratar da identi-
ficac¸a˜o de algarismos significativos. Por exemplo, uma medida
de 7,45 cm possui duas casas decimais, mas treˆs algarismos
significativos. —————
Zero a` direita de algarismo significativo e´ algarismo significa-
tivo, tambe´m e´ considerado caso esteja a` direita da v´ırgula e
seja os nu´meros terminais. Por exemplo, uma medida de 2,300
cm possui quatro algarismos significativos. —————
Na mudanc¸a de unidades: atentar para a escrita de zeros que
na˜o sa˜o significativos. Ex: 7,3 kg = 7300 g : ide´ia erroˆnea
de que o treˆs e´ um algarismo correto, sendo o u´ltimo zero um
algarismo duvidoso. —————
Para evitar este erro de interpretac¸a˜o: notac¸a˜o cient´ıfica e es-
crevemos 7,3 kg = 7, 3.103 g. —————
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Medidas, Algarismos Significativos e Erros
Medidas Algarismos Significativos Erros
Regras de Arrendondamento
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Quando a` direita do u´ltimo algarismo significativo for menor a
5 este e´ abandonado. Ex: 3,3623 torna-se 3,362. —————
Quando a` direita do u´ltimo algarismo significativo for maior
ou igual a 5, somamos 1 unidade ao algarismo significativo
anterior. Ex: 4,34696 torna-se 4,35.
Esse crite´rio dever ser usado apenas no resultado final. Ex:
(10,00/6,00)x3,2=5,33333 que deve ser escrito como 5,3.
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Resultado Experimental
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E´ constitu´ıdo por treˆs itens:
X = (X¯ + ∆X )u
Onde:
X e´ o resultado da medida.
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X¯ e´ o valor mais prova´vel.
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∆X e´ o erro absoluto da medida.
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Erros Experimentais
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Diferenc¸a entre o real valor de uma grandeza f´ısica (peso, a´rea,
velocidade...) e o respectivo valor dessa grandeza obtido atrave´s
de medic¸o˜es experimentais. —————
Mesmo que o experimento seja realizado com o ma´ximo de
cuidado, ha´ sempre fontes de erro que podem afeta´-lo.
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Classificac¸a˜o dos Erros
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Erros de Acura´cia (falhas) e Erros de Precisa˜o
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Erros de Acura´cia (falhas):
Erros grosseiros: cometidos por inabiliade, distrac¸a˜o ou por
desconhecimento do assunto tratado. Ex: leitura errada, erro
aritme´tico, ... devem ser eliminados (refazer a medida) ——
———
Erros sistema´ticos: causados por fontes identifica´veis, e em
princ´ıpio podem ser eliminados ou compensados. Fazem com
que as medidas estejam consistentemente acima ou abaixo do
valor real, prejudicando a exatida˜o da medida.
Causas: falhas no aparelho de medida, por calibrac¸a˜o incorreta,
por aproximac¸o˜es teo´ricas incorretas. Ex: Calculando o tempo
de queda de um corpo de uma altura h admitir desprez´ıvel a
resisteˆncia do ar.
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Erros de Precisa˜o:
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Erro Instrumental: Devido ao limite da resoluc¸a˜o da escala do
isntrumento de medida. (erro ma´ximo aceita´vel) —————
Erro aleato´rio: Dependendo da montagem experimental e dos
instrumentos de medida utilizados, os resultados podem na˜o
ser exatamente iguais a cada nova leitura. Ex: medindo o
comprimento de uma mesa com uma re´gua va´rias vezes (mesmo
valor), valor diferente quando medido com outro aparelho de
alt´ıssima precisa˜o como por exemplo um interferoˆmetro o´ptico.
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Precisa˜o:
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Quando em uma medida repetida va´rias vezes a variac¸a˜o da
mesma em relac¸a˜o ao valor me´dio medido e´ baixa.
Acura´cia:
Associada a auseˆncia de erros sistema´ticos, mantendo as
medidas em torno do valor real.
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Ca´lculo do Erro Experimental Absoluto
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Supondo que os erros de acura´cia foram eliminados enta˜o o
erro experimental absoluto e´ dado por:
∆X = ∆XInstrumental + ∆XAleatorio
Ca´lculo de ∆XInstrumental
—————
Instrumento Analo´gico: So´ se pode fazer uma estimativa da
metade da menor divisa˜o. Ex: re´gua (0,5 mm). —————
Instrumento Digital: Adota-se como sendo a menor variac¸a˜o
poss´ıvel no u´ltimo d´ıgito de leitura. Ex: em uma balanc¸a a
menor divisa˜o e´ 0,1 g, o erro instrumental e´ 0,1 g.
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Ca´lculo do Erro Aleato´rio ∆XAleatorio
—————
Supondo que uma se´rie de medidas e´ realizada, devido a sua
inpresivibilidade e´ imposs´ıvel determinar o valor verdadeiro do
erro aleato´rio. Faz-se uma estimativa desse erro utilizando um
tratamento estat´ıstico. —————
Para que a ana´lise estat´ıstica fac¸a algum sentido, o nu´mero de
medidas na˜o deve ser inferior a dez. Logo:
X¯ =
x1 + x2 + xN ....
N
=
1
N
N∑
i=1
xi
Desvio Padra˜o:
Indica a tendeˆncia das medidas se distribu´ırem em torno da
me´dia.
σ =
√∑N
i=1(Xi − X¯ )2
N(N − 1)
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σ na˜o varia com o nu´mero de dados, e´ uma medida da precisa˜o
do instrumento. —————
Indica a tendeˆncia das medidas se distribu´ırem em torno do seu
valor mais prova´vel.
σN =
σ√
N
=
√∑N
i=1(Xi − X¯ )2
N(N − 1)
σN varia com o nu´mero de medidas N. ↑ N ↓ σN ↑ Precisa˜o
O erro aleato´rio pode ser estimado pela expressa˜o:
∆X = k .σm
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Propagac¸a˜o de Erros
—————
Estudo da influeˆncia, dos erros individuais no resultado das
operac¸o˜es matema´ticas que fornecem o valor da grandeza me-
dida indiretamente. —————
Determinac¸a˜o dos Erros: —————
Sejam duas Grandezas medidas:
A = A¯±∆A
B = B¯ ±∆B
Adic¸a˜o e subtrac¸a˜o:
C = A± B = (A¯± B¯)± (∆A + ∆B) ≡ (C¯ ±∆C )
Multiplicac¸a˜o:
C = AxB = (A¯xB¯)± (B¯∆A + A¯∆B) ≡ (C¯ ±∆C )
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Divisa˜o
C =
A
B
=
(
A¯
B¯
)
±
(
1
B¯
∆A +
A¯
B¯2
∆B
)
≡ (C ±∆C )
Erro relativo para Multiplicac¸a˜o e Divisa˜o(
∆C
C¯
)
=
(
∆A
A¯
)
±
(
∆B
B¯
)
Multiplicac¸a˜o por nu´mero
C = aB = (aB¯ ± (a∆B) ≡ (C ±∆C)
Potenciac¸a˜o
C = aBn = (aB¯n)± (anB¯n−1∆B) ≡ (C¯ ±∆C )
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Func¸a˜o arbitra´ria de n varia´veis
Y = f (X1,X2, ...Xn)
∆Y =
∣∣∣∣ δfδX1
∣∣∣∣∆X1 + ∣∣∣∣ δfδX2
∣∣∣∣∆X2 + .... ∣∣∣∣ δfδXn
∣∣∣∣∆Xn
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