Erros gerados por operações com dados experimentais

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A forma padrão para relatar a medição de uma grandeza física X é
X = Xmelhor ± ΔX
Que quer dizer:
(Valor medido de x) = (melhor estimativa para x) ± (incerteza ou erro na
medição)
Esta declaração expressa nossa confiança de que o valor correto de X
provavelmente está no intervalo de Xmelhor – ΔX até Xmelhor + ΔX 
Numa medida direta o erro na medição é o erro instrumental (ΔXinst)
Se o instrumento é digital, o erro instrumental é igual a precisão
Exemplo: balança digital com precisão 0,1g
Medida da massa esfera m = 28,1 ± 0,1g
Se o instrumento é analógico, o erro instrumental é metade da menor
divisão da escala.
Exemplos: 
(1) régua milimetrada, menor divisão = 0,1 cm → ΔXinst = 0,05g
Medida da altura da mesa H = 90,00 ± 0,05 cm
(2) paquímetro cuja menor divisão = 0,05mm →ΔXinst = 0,025 ~ 0,03mm
Medida do diâmetro da esfera D = 14,00 ± 0,03cm
Regra para declaração de incertezas
Incertezas experimentais devem quase sempre ser arredondadas para
um dígito significativo.
Regra para declaração de respostas
O último digito significativo em uma resposta deve geralmente ser da
mesma magnitude (na mesma posição decimal) que a incerteza. 
Exemplos: 
(1) 5,03 ± 0,0432 m → 5,03 ± 0,04 m
(2) 3,323 ± 0,4mm → 3,3 ± 0,4 mm
(3) 1,5432 ± 1s → 2 ± 1 s
(4) 3,267 x 103 ± 42 g cm/s → (3,27 ± 0,04) x 10-2 kg m/s
Na repetição de medida direta o erro da medição é a soma do erro
instrumental com o erro aleatório (ΔX = ΔXinst + ΔXale)
O erro aleatório deve ser calculado como desvio padrão da média
σm = √∑ (xi−x ̅ )2N (N−1)
 
Exemplo: o tempo de queda da esfera medido com um cronômetro digital
de precisão 0,001s.
x (xi-x̅) (xi - x̅)2
0,429 0 0
0,430 0,001 0,000001
0,429 0 0
0,431 0,002 0,000004
0,428 -0,001 0,000001
x̅ = 0,429 ∑(xi - x̅)2 = 0,000006
Δtale = σm=√ 0,0000065(4) = 0,0005477 ~ 0,0005 s
Δtinst = 0,001 s →Δt = Δtinst + Δtale = 0,002 s
Portanto, o tempo de queda medido é 0,429 ± 0,002 s.
Nas medidas indiretas usam-se as regras de propagação de erros
Feitas as medidas: A = A̅ ± ΔA e B = B̅ ± ΔB
Se:
(a) X = A + B então X̅ = A̅ + B̅ e ΔX = ΔA + ΔB
(b)Y = A – B então Y̅ = A̅ - B̅ e ΔX = ΔA + ΔB
(c) Z = A x B então Z̅ = A̅ x B̅ e
ΔA
A´
+ ΔB
B̅
ΔZ= z´ ¿
]
(d)W = A÷B então W̅̅ = A̅÷B̅ e ΔW = 
ΔA
A´
+ ΔB
B̅
W´ ¿
]
(1)Y = cte A então Y̅ = cte A̅ e ΔY = cte ΔA
Exemplos:
(1)Se a esfera é solta de uma altura h1 = 23,50 ± 0,05cm e sai da rampa
numa altura h0 = 3,50 ± 0,05cm, medidas em relação à mesa. A altura
de soltura é h = h1 – h0 = 20,00 ± 0,10cm.
(2)Se a massa da esfera é 28,1 ± 0,1g, a energia potencial (mgh)
associada a altura h= 20,00 ± 0,10cm é 
U̅ = 28,1 x 10-3 kg x 9,78 m/s2 x 20,00 x 10-2m = 0,0549636 J
ΔU = 0,00047 ~ 0,0005 J
Portanto, U = 0,0550 ± 0,0005 J.
(3)Se o alcance é R = 61,5 ± 1,8 cm e o tempo de queda é t = 0,429 ± 
0,002 s, a velocidade de lançamento na saída da rampa é
V̅ = R̅/ t̅ = 143,357 cm/s
ΔV = 4,8641 cm/s
Portanto, V = 143 ± 5 cm/s