Aula Exercício 1

Prévia do material em texto

GET00118 – Me´todos Estat´ısticos Aplicados a` Economia II
GET00178 – Estat´ıstica Aplicada para Engenharia
Exerc´ıcios resolvidos - Varia´veis aleato´rias bidimensionais discretas
Profa. Ana Maria Farias - 2014-2
1. Um aluno faz um teste de mu´ltipla escolha com 4 questo˜es do tipo Verdadeiro-Falso.
Suponha que o aluno esteja “chutando” todas as questo˜es, uma vez que ele na˜o estudou
a mate´ria da prova. Defina as seguintes varia´veis aleato´rias:
X1 = nu´mero de acertos entre as duas primeiras questo˜es da prova
Y1 = nu´mero de acertos entre as duas u´ltimas questo˜es da prova
X2 = nu´mero de acertos entre as treˆs primeiras questo˜es da prova
Y2 = nu´mero de acertos entre as treˆs u´ltimas questo˜es da prova
(a) Construa uma tabela com o espac¸o amostral associado a este experimento, listando
todas as possibilidades de acerto e os valores de X1, Y1, X2, Y2 e suas probabilidades.
(b) Construa a func¸a˜o de distribuic¸a˜o conjunta de (X1, Y1) com as respectivas marginais.
(c) Construa a func¸a˜o de distribuic¸a˜o conjunta de (X2, Y2) com as respectivas marginais.
(d) Verifique se X1 e Y1 sa˜o independentes.
(e) Verifique se X2 e Y2 sa˜o independentes.
(f) Por que ja´ era de se esperar as diferenc¸as observadas em (d) e (e)?
(g) Calcule a covariaˆncia entre X1 e Y1.
(h) Calcule a covariaˆncia entre X2 e Y2.
(i) Calcule as seguintes distribuic¸o˜es condicionais com suas esperanc¸as condicionais:
X2 |Y2 = 0 X2 |Y2 = 1 X2 |Y2 = 2 X2 |Y2 = 3
(j) Calcule E [E (X2 |Y2)] .
Soluc¸a˜o:
(a) Vamos representar por 1 um acerto e por 0, um erro.
Q.1 Q.2 Q.3 Q.4 X1 Y1 X2 Y2 Prob.
0 0 0 0 0 0 0 0 1/16
1 0 0 0 1 0 1 0 1/16
0 1 0 0 1 0 1 1 1/16
0 0 1 0 0 1 1 1 1/16
0 0 0 1 0 1 0 1 1/16
1 1 0 0 2 0 2 1 1/16
1 0 1 0 1 1 2 1 1/16
1 0 0 1 1 1 1 1 1/16
0 1 1 0 1 1 2 2 1/16
0 1 0 1 1 1 1 2 1/16
0 0 1 1 0 2 1 2 1/16
1 1 1 0 2 1 3 2 1/16
1 1 0 1 2 1 2 2 1/16
1 0 1 1 1 2 2 2 1/16
0 1 1 1 1 2 2 3 1/16
1 1 1 1 2 2 3 3 1/16
Departamento de Estat´ıstica 1
(b) .
X1
0 1 2 P(Y1 = y)
0 1/16 2/16 1/16 1/4
Y1 1 2/16 4/16 2/16 2/4
2 1/16 2/16 1/16 1/4
P(X1 = x) 1/4 2/4 1/4 1
(c) .
X2
0 1 2 3 P(Y2 = y)
0 1/16 1/16 0 0 1/8
Y2 1 1/16 3/16 2/16 0 3/8
2 0 2/16 3/16 1/16 3/8
3 0 0 1/16 1/16 1/8
P(X2 = x) 1/8 3/8 3/8 1/8 1
(d) Para cada uma das 9 celas, temos que P(X1 = x, Y1 = y) = P(X1 = x)× P(Y1 = y);
por exemplo, para a cela (2,1), P(X1 = 0, Y1 = 1) = 2/16 = P(X1 = 0) × P(Y1 =
1) = (1/4)× (2/4). Portanto, X1 e Y1 sa˜o independentes.
(e) X2 e Y2 na˜o sa˜o independentes, pois, por exemplo, P(X2 = 2, Y2 = 0) = 0 6= P(X2 =
2)× P(Y2 = 0) = (3/8)× (1/8).
(f) Na definic¸a˜o de X2 e Y2 o nu´mero de acertos nas questo˜es 2 e 3 e´ contabilizado
nas duas varia´veis, enquanto na definic¸a˜o de X1 e Y1 os acertos considerados sa˜o de
questo˜es diferentes.
(g) Como X1 e Y1 sa˜o independentes, temos que Cov(X1, Y1) = 0.
(h) Sabemos que |Cov(X,Y ) = E(XY )− E(X)E(Y ).
E(X2Y2) = 1× 1× 3
16
+ 2× 1× 2
16
+ 1× 2× 2
16
+ 2× 2× 3
16
+
3× 2× 1
16
+ 2× 3× 1
16
+ 3× 3× 1
16
=
44
16
=
11
4
E(X2) = E(Y2) =
3
2
Cov(X2, Y2) =
11
4
− 3
2
× 3
2
=
2
4
=
1
2
(i) • X2|Y2 = 0
x 0 1 2 3
P(X2 = x) 1/2 1/2 0 0
E(X2|Y2 = 0) = 1
2
• X2|Y2 = 1
x 0 1 2 3
P(X2 = x) 1/6 1/2 2/6 0
E(X2|Y2 = 1) = 7
6
• X2|Y2 = 2
x 0 1 2 3
P(X2 = x) 0 1/3 1/2 1/6
E(X2|Y2 = 2) = 11
6
Departamento de Estat´ıstica 2
• X2|Y2 = 3
x 0 1 2 3
P(X2 = x) 0 0 1/2 1/2
E(X2|Y2 = 3) = 5
2
(j) Seja h(y) = E(X2|Y = y). A distribuic¸a˜o da varia´vel aleato´ria h(Y ) e´
y 0 1 2 3
P(Y = y) 1/8 3/8 3/8 1/8
h(y) = E(X2|Y2 = y) 1/2 7/6 11/6 5/2
Logo,
EY [EX(X2|Y2)] = 1
8
×1
2
+
3
8
×7
6
+
3
8
×11
6
+
1
8
×5
2
=
1
16
+
7
16
+
11
16
+
5
16
=
24
16
=
3
2
= E(X)
2. Considere o lanc¸amento de dois dados honestos e definaX = mı´nimo das faces e Y =ma´ximo
das faces; quando ha´ empate, faz-se X = Y .
(a) Obtenha a func¸a˜o de probabilidade conjunta e as func¸o˜es de probabilidade marginais
de X e Y .
(b) X e Y sa˜o independentes?
(c) Calcule P(X + Y > 9).
Soluc¸a˜o:
(a) No esquema a seguir, cada cela da tabela corresponde ao par (X,Y )
Dado 1
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (1,2) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
Dado 2 3 (1,3) (2,3) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (5,6)
6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
A distribuic¸a˜o conjunta e as marginais de X e Y sa˜o
X
1 2 3 4 5 6 P(Y = y)
1 1/36 0 0 0 0 0 1/36
2 2/36 1/36 0 0 0 0 3/36
Y 3 2/36 2/36 1/36 0 0 0 5/36
4 2/36 2/36 2/36 1/36 0 0 7/36
5 2/36 2/36 2/36 2/36 1/36 0 9/36
6 2/36 2/36 2/36 2/36 2/36 1/36 11/36
P(X = x) 11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36 1
(b) X e Y na˜o sa˜o indepententes, pois, por exemplo, P(X = 2, Y = 1) = 0 6= P(X =
2)× P(Y = 1) = 936 × 136
(c) P(X + Y > 9) = P(X = 4, Y = 6) + P(X = 5, Y = 5) + P(X = 5, Y = 6) + P(X =
6, Y = 4) + P(X = 6, Y = 5) + P(X = 6, Y = 6) =
2 + 1 + 2 + 0 + 0 + 1
36
=
1
6
3. Sejam X e Y varia´veis aleato´rias com E(X) = E(Y ) = 0 e Var(X) = Var(Y ) = 1. Prove
que ρ (U, V ) = 0, em que U = X + Y e V = X − Y.
Departamento de Estat´ıstica 3
Soluc¸a˜o:
Cov(U, V ) = Cov(X + Y,X − Y ) = Cov(X,X) − Cov(X,Y ) + Cov(Y,X) − Cov(Y, Y ) =
Var(X)−Var(Y ) = 0
Departamento de Estat´ıstica 4