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PROFMAT(GAB) L5

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Universidade Federal de Goiás Tutor: Prof. Maxwell
Instituto de Matemática e Estatística Disciplina: MA22(PROFMAT)
Goiânia, 17 de Maio de 2012 Turma: Polo de Anápolis
Lista 5 - GABARITO
OBS: Esta lista DEVE ser entregue ATÉ dia 23/05/2012!
1) Um avião, em combate, realiza um o vôo hiperbólico rasante (y = 1√
x
). Sabendo que, ao se efetuar um disparo, as
balas percorrem um caminho que é tangente a trajetória do avião, responda:
a) Determine o coe�ciente angular ma da reta que representa a trajetória das balas
sabendo que ma = lim
h→0
1√
a+h
− 1√
a
h
.
1√
a+h
− 1√
a
=
√
a−
√
a+h√
a
√
a+h
=
a−(a+h)√
a
√
a+h[
√
a+
√
a+h]
= − h√
a(a+h)[
√
a+
√
a+h]
. Assim ma = − 12a√a .
b) Obtenha a equaçao da reta, que é a trajetória das balas, sabendo que o disparo
foi feito do ponto Pa =
(
a,
1√
a
)
.
Sol: A equação da reta é
(
y −
1
√
a
)
=
−1
2a
√
a
(x− a).
c) Veri�que em que ponto as balas atingem o solo.
Sol: Tal ponto é da forma (x, 0). Logo,
(
0−
1
√
a
)
=
−1
2a
√
a
(x− a) implica em x = 3a.
Isto é, o ponto é da forma (3a, 0).
d) Determine de qual ponto, (x0, y0), devemos atirar a �m de acertar um alvo no
ponto (6,0).
Sol: Basta que (6, 0) = (3a, 0). Portanto a = 2 e o ponto onde deve ser feito o disparo é
(
2, 1√
2
)
.
PSfrag replacements
Pa
Qa
O Ra
2) Determine todas as retas que passam pela origem e são tangentes ao grá�co de y = x3 + 2x2 − 3x.
Sol: A reta tangente ao grá�co de y = f(x) no ponto (xo, f(xo)) possui equação y − f(xo) = f ′(xo)(x− xo). Se tal reta passa pela origem
(0, 0), então 0− f(xo) = f ′(xo)(0− xo). Como f ′(xo) = 3x2o + 4xo − 3, temos que xo = 0 ou xo = 1. Logo as retas são y = −3x e y = −4x.

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