Prova de Cálculo limites resolvida (35)

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Universidade Federal de Goiás Tutor: Prof. Maxwell
Instituto de Matemática e Estatística Disciplina: MA22
Goiânia, 20 de Março de 2012 Turma: PROFMAT (Anápolis)
Lista 1
Pessoal, ESCOLHA e RESOLVA 2 (dois) exercícios abaixo.
1) Seja (an) a seqüência de�nida recursivamente por a0 =
√
2 e an+1 =
√
2 + an, para n ≥ 1.
a) Mostre que an < 2 para n ≥ 1.
b) Mostre que a2
n+1 − a2n = (2− an)(1 + an) para n ≥ 1. ( Dica: encontre um polinômio envolvendo an e fatore-o)
c) Veri�que se (an) é uma seqüência monótona. Em caso a�rmativo, ela é crescente ou decrescente?
d) Devemos esperar que (an) seja uma sequência convergente? Justi�que! Em caso a�rmativo, calcule lim
n→∞
an.
2) Seja (an) a seqüência de�nida por an =
1√
n2 + 1
+
1√
n2 + 2
+
1√
n2 + 3
+ · · ·+ 1√
n2 + n
, para n ≥ 1.
a) Mostre que an < 1 para n ≥ 1.
b) Note que temos uma certa di�culdade para veri�car se (an) é uma seqüência monôtona. Por este motivo,
encontre (bn) e (cn) tais que bn ≤ an ≤ cn. (Dica: compare an com 1√
n
2+1
e com
1√
n
2+n
.)
c) Devemos esperar que (an) seja uma sequência convergente? Justi�que! Em caso a�rmativo, calcule lim
n→∞
an.
3) Sejam a1, b1 ∈ R tais que 0 < a1 < b1. De�na an =
√
an−1bn−1 e bn =
an−1+bn−1
2
para n ≥ 2.
a) Mostre que an < bn, ∀n ∈ N.
b) Mostre que (an) é crescente e (bn) é decrescente
c) Mostre que an < bk, ∀n, k ∈ N.
d) Mostre que (an) e (bn) são convergentes.
e) Mostre que lim
n→∞
an = lim
n→∞
bn.