Prova de Cálculo limites resolvida (36)

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Universidade Federal de Goiás Tutor: Prof. Maxwell
Instituto de Matemática e Estatística Disciplina: MA22
Goiânia, 03 de Abril de 2012 Turma: PROFMAT (Anápolis)
Lista 2
Pessoal, ESCOLHA e RESOLVA 2 (dois) exercícios abaixo.
1) Seja an = n
√
n, n ∈ N.
a) Sabendo que a sequência xn =
(
1 + 1
n
)
n
é limitada, veri�que se (an) é monótona. Em caso a�rmativo, ela
é crescente ou decrescente?
b) Devemos esperar que (an) seja uma sequência convergente? Justi�que! Em caso a�rmativo, calcule lim
n→∞
an.
c) Se 0 < a < b, mostre que lim
n→∞
n
√
(an + bn) = b.
2) Calcule o limite das seguintes sequências:
a) xn =
√
n sin (n!en)
n+ 1
b) xn =
n!
nn
c)xn =
√
(n2 + 3n) − n
d) xn =
(
1− 1
n
)(
1− 2
n
)(
1− 3
n
)(
1− 4
n
)
· · ·
(
1− n− 1
n
)
3) Sabendo que e = lim
n→∞
(
1 + 1
n
)
n
, mostre que
n+ 1
n2
+
(n+ 1)2
n3
+
(n+ 1)3
n4
+ · · ·+ (n+ 1)
n
n(n+1)
−→ e− 1