Aula 5 Transferência de calor

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Universidade Federal Fluminense
TEC - Departamento de Engenharia Civil
FENÔMENOS DE TRANSPORTE E
HIDRÁULICA II (FENTRAN II)
Disciplina:
Prof.: Elson Nascimento
5ª Aula - Transferência de Calor
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• BIBLIOGRAFIA:
– INCROPERA F. P. & DE WITT, D. P., Fundamentos de 
Transferência de Calor e de Massa
– LIENHARD, John H., A Heat Transfer Textbook
web.mit.edu/lienhard/www/ahtt.html
– KREITH, F., & BOHN, M. S, Princípios da 
Transmissão de Calor, Editora Thomson, 2003
– PITTS, Donald R. Leigton e Sisson. Fenômenos de 
Transporte
– MYERS, J.E. e Benet, C. O . Fenômenos de 
Transporte. Editora McGraw Hill do Brasil Ltda. 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
- Grandezas físicas
- 1ª Lei da termodinâmica
- 2ª Lei da termodinâmica
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Grandezas térmicas:
– Temperatura: (K)
– Calor: (J) 
– Transferência de calor: (J/s = W)
– Fluxo de calor: (W/m²)
dt
dQ
Q 
Q
n
dA
Qd
q


T
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
Q
Q
q
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Condições para existência de transferência de 
calor em um determinado domínio
– ???
• Condições para inexistência de transferência 
de calor em um determinado domínio:
– Sistema isotérmico
– Totalmente isolado (adiabático)
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• 1ª Lei da Termodinâmica:
dt
dW
Q
dt
dU
 
dt
dU
dt
dW
Q  
dt
dU
dt
dV
p 
Sistema
dU/dt
dQ/dt dW/dt
(+)( - ) (+)( - )
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• 1ª Lei da Termodinâmica:
dt
dU
dt
dV
pQ 
dt
dT
mc
dt
dU
dt
dV
pQ v

dt
dT
mc
dt
dU
dt
dV
pQ p

– Processo à volume constante:
– Processo à pressão constante:
0
dt
dH

dt
dT
mc
dt
dU
Q v

dt
dT
mc
dt
dH
Q p

TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• 1ª Lei da Termodinâmica:
dt
dU
dt
dV
pQ 
– Processo à volume constante:
– Processo à pressão constante:
– Substância incompressível:
dt
dT
mc
dt
dU
Q v

dt
dT
mc
dt
dU
dt
dV
pQ p

p
dt
dV
 0 ccc vp 
dt
dT
mcQ  
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• 2ª Lei da Termodinâmica
– Entropia:
– Taxa de variação da entropia:
– Enunciado de Clausius:
i
i
i
T
Q
S 



n
i i
i
T
Q
dt
dS
S
1


0
dt
dS
S
1 2
dQ/dt
?
T1>T2
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Formas de transferência de calor:
–Condução
–Convecção
–Radiação
CONDUÇÃO DE CALOR
- Lei de Fourier
- Condutividade térmica
- Equação da difusão
- Unidimensional
- tridimensional
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Condução
Lei de Fourier (1822):
“O fluxo de calor, resultante
da condução térmica é
proporcional à magnitude do
gradiente de temperatura, com
sentido contrário.”
Fluxo de calor ~ (-) gradiente de temperatura
Jean Baptiste Joseph Fourier
(1768 – 1830)
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Lei de Fourier:
Caso unidimensional:
k: constante de condutividade térmica
dx
dT
kq 
Fluxo de calor ~ (-) gradiente de temperatura
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Coeficiente de condutividade térmica
dx
dT
kq 
 
 
 
 
KmW
K
m
m
W
m
K
m
W
k /
22











dx
dT
dA
Qd
k
dx
dT
q
k


TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Coeficiente de condutividade térmica
Freon Água Mercúrio Cobre
GASES
SÓLIDOS E LÍQUIDOS 
NÃO-METÁLICOS
SÓLIDOS E LÍQUIDOS 
METÁLICOS
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Condutividade térmica:
• Resistência térmica:






Km
W
k
k1 k2 kn
L1 L2 Ln
T1 T2 Tn
q q q q q
. . .
321 TTTT  
Rq
k
L
qT
L
T
k
x
T
kq 




 








n
1i
i
n
n
2
2
1
1
n
n
2
2
1
1
321 Rq
k
L
k
L
k
L
q
k
L
q
k
L
q
k
L
qTTTT 



n
1i
ieq RR
i
i
i
k
L
R 





 

W
mK
k
L
R
2
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Exemplo:
Quais são os valores de Ti, Tj e Tr na parede mostrada na
figura abaixo.
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Lei de Fourier:
Caso tridimensional:
Tkq 
Fluxo de calor ~ (-) gradiente de temperatura
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Exemplo:
O topo de uma laje (k = 35 W/m.K) é mantida à
110°C e o fundo à 50°C. Se a área da laje é 0,4 m²
sua espessura é de 0,03 m, calcule o fluxo de calor q
e a taxa de transferência de calor Q após atingido
regime permanente.
dQ/dt
A=0,4m²T=110°C
T=50°C
y
x
z
dx
dT
kq 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Equação da difusão (unidimensional)
x
T
kAQe


 dx
x
T
kA
x
T
kAQs 2
2






dx
x
T
kA
2
2



dx
seabs QQQ
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Equação da difusão (unidimensional)
x
e
x
T
kAQ



dx
seabs QQQ
 
xx
s
x
T
kAQ



xxx x
T
kA
x
T
kA






x
x
x
x
T
kA
x
T
kA
xxx 


















TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Equação da difusão (unidimensional)
seabs QQQ
  x
x
x
T
x
T
kA
xxx 


















x
x
x
T
x
T
kA
xxx
x 

 





























0lim
x
x
T
x
kA 










x
x
T
kAQabs 



2
2

TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Equação da difusão (unidimensional)
xA
t
T
cx
x
T
kA 





2
2
dt
dT
mc
dt
dU
Qabs 

t
T
k
c
x
T




 
2
2
x
x
T
kAQabs 



2
2
 xA
dt
dT
c 
t
T




1
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Equação da difusão (unidimensional)
a - Difusividade térmica
t
T
t
T
k
c
x
T









 1
2
2
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Equação da difusão (tridimensional)
– Volume de controle:
Transferência de calor na direção n:
   dSnTkQ 
Calor absorvido em toda região R:
    dRqdSnTkQ
RS
abs  
.

q
.
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Equação da difusão (tridimensional)
– Volume de controle:
Variação da energia interna em toda região R:
    dRqdSnTkQ
RS
abs  
.

 








R
abs dR
t
T
c
dt
dU
Q 
q
.
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Equação da difusão (tridimensional)
    dRqdSnTkQ
RS
abs  
.

 








R
abs dR
t
T
c
dt
dU
Q 
     








RRS
dR
t
T
cdRqdSnTk .
     









RS
dRq
t
T
cdSnTk
.
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Equação da difusão (tridimensional)
• Teorema de Gauss:
     









RS
dRq
t
T
cdSnTk
.
    RS dRAdSnA
0
.









R dRqt
T
cTk 
0
.



 q
t
T
cTk 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Equação da difusão (tridimensional)
0
.



 q
t
T
cTk t
T
cqTk


 
.
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Equação da difusão (tridimensional)
t
T
cqTk


 
.
2
t
T
cqTk


 
.
– Para k constante:
– Para k constante , regime 
permanente e sem fontes: 02  T
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Laplace:
– Coordenadas cartesianas:
– Coordenadas cilíndricas:
– Coordenadas esféricas:
2
2
2
2
2
2
2
z
T
y
T
x
T
T









2
2
2
2
2
2 11
z
TT
rr
T
r
rr
T















 
 
2
2
2222
2
2 111  















T
senr
T
sen
senrr
rT
r
T
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Exemplo:
Determine a distribuição da temperatura em regime
permanente num cilindro comprido oco com raio interno
Ri, raio externo Re, utilizando a equação de difusão
térmica. Considere as temperaturas interna e externa
constantes e iguais a Ti e Te, respectivamente e material
homogêneo.
Ri
Re 02  T
2
2
2
2
2
2 11
z
TT
rr
T
r
rr
T















 
Permanente e k constante:
Coordenadas cilíndricas:
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Exemplo:
Determine a distribuição da temperatura em regime
permanente num cilindro comprido oco com raio interno
Ri, raio externo Re, utilizando a equação de difusão
térmica. Considere as temperaturas interna e externa
constantes e iguais a Ti e Te, respectivamente e material
homogêneo.
Ri
Re
𝑇 − 𝑇𝑖
𝑇𝑒 − 𝑇𝑖
=
ln
𝑅
𝑅𝑖
ln
𝑅𝑒
𝑅𝑖
 𝑄 = −𝐴𝑘
𝑑𝑇
𝑑𝑟
=−
2𝜋𝐿𝑘 𝑇𝑖−𝑇𝑒
ln
𝑅𝑖
𝑅𝑒
CONVECÇÃO DE CALOR
- Descrição
- Lei de Newton do resfriamento
- Coeficiente de transferência de calor (h)
- Solução da capacidade aglomerada
- Camada Limite
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Convecção
– Isaac Newton, 1704:
Th Tcorpo
escoamento
 TT
dt
dT
corpo
corpo
Isaac Newton
(1643 – 1727)
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Convecção
 TT
dt
dT
corpo
corpo
dt
dT
Q
– 1ª Lei da Termodinâmica:
 TTQ corpo
   TThq corpo
Lei de resfriamento 
de Newton :
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Convecção
– : coeficiente de transferência de calor
– : coeficiente médio de toda superfície
  TThq corpo
h
h






Km
W
2
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Coeficiente de transferência de calor
h
SITUAÇÂO h (W/m²K)
Convecção natural em gases
Parede vertical de 0,3m no ar, T=30°C 4,33
Convecção natural em líquidos
Tubulação horizontal com De = 40mm, T=30°C 570
Fio de 0,25mm de diâmetro no metanol, T=30°C 4000
Convecção forçada de gases
Ar a 30 m/s sobre placa plana de 1 m, T = 70°C 80
Convecção forçada de líquidos
Água a 2 m/s sobre uma placa de 60 mm, T = 15°C 590
Mistura anilina-álcool a 3 m/s num tubo de Di = 25 mm, T = 80°C 2600
Sódio líquido a 5 m/s num tubo de Di = 13 mm a 370°C 75000
Água fervente
Furante fervura laminar a 1 atm 300
Numa chaleira 4000
Num fluxo máximo de convecção-fervura, sobre condições ótimas 1000000
Condensação
Num tubo condensador de água gelada típico 15000
Mesmo, porém condensando benzeno 1700
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Resistência térmica (condução):
• Resistência térmica (convecção):
k1 k2 kn
L1 L2 Ln
T1 T2 Tn
q q q q qconvecção
. . .
qRT cond 
conv
n
1i
i
cond
n
1i
ieq RRR 











 






 

W
mK
k
L
R
2
cond





 

W
mK
h
1
R
2
conv    
convconvcorpocorpoconv qRq
h
1
TThTThTThq  
TT corpo
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Exercício
Uma parede de um edifício tem 1,5 cm de argamassa (interna 
e externa) e 9 cm de espessura correspondente a tijolos maciços de 
cerâmica. Num dia em que a temperatura externa é de 35°C e a 
interna é mantida por ar-condicionado em 23°C, calcule:
a) o fluxo de calor que atravessa a parede;
b) o fluxo de calor caso fosse adicionada uma camada de 3cm 
de EPS (poliestireno expandido) e a diminuição percentual em 
comparação ao caso anterior.
Dados (NBR 15220-2 Desempenho térmico de edificações Parte 2):
- Coeficiente de transferência de calor: 7,7 W/m².K e 25,0 W/m².K 
(interno e externo)
- Condutividade térmica: argamassa 1,15 W/m.K; tijolos de cerâmica 
0,70 W/m.K e EPS 0,04 W/m.K
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Resfriamento (ou aquecimento) de um corpo por 
Convecção – solução de capacidade aglomerada
  refTTmc
dt
d
TTAh   )(
dt
dT
mcQ 
 
dt
mc
Ah
TT
TTd





)(
    TTmc
dt
d
TTAh )(
  TThAqAQ corpo
1ª Lei da Termodinâmica: Lei de resfriamento de Newton:
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Convecção – solução de capacidade aglomerada
 
dt
mc
Ah
TT
TTd





)(
 
C
Ahmc
t

/
iTtT  )0(
kTt
i
e
TT
TT /

 


C
mc
tAh
TT   )ln( CT
t
k

TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Convecção – solução de capacidade aglomerada
kcorpokcorpo
Distribuição de temperatura no corpo
(Tcorpo-Th )
kcorpo
Distribuição de temperatua
do fluxo próximo ao corpo
L
h
kcorpo

 
corpo
corpo
corpo k
hTT
k
q
x
T 



TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Convecção – solução de capacidade aglomerada
– Condição para consideração de uma temperatura 
única em todo o corpo:
1
corpok
LhNúmero de Biot:
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Camada limite - velocidade
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Camada limite – velocidade
– Análise dimensional: 
• Grupos :

TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Camada limite - velocidade
– Número de Nusselt:
– Número de Prandtl
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Camada limite – temperatura f
L
k
hL
Nu 
k
c
Pr
p

TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Exercício
Numa chopada de engenharia no DCE, uma lata de 
250 ml de cerveja é retirada do isopor a 2 °C para ser 
entregue ao aluno Sagaz, num ambiente a 40°C. A lata, 
colocada sobre uma superfície isolada, tem 6 cm de 
diâmetro e 9 cm de altura. Para esta situação, o 
coeficiente de transmissão térmica entre a superfície da 
lata e o ar ( ℎ) é 7,3 W/m²K. Neste momento, uma 
simpática aluna de arquitetura aparece ao seu lado e ele 
resolve conversar com ela sobre o cenário político atual 
do país. Admitindo-se que a temperatura apropriada para 
consumo é de, no máximo, 4°C, quanto tempo Sagaz tem 
para concluir sua conversa? Ignore a irradiação térmica e 
comente as demais suposições feitas para o cálculo.
RADIAÇÃO DE CALOR
- Espectro eletro-magnético
- Corpo negro
- Lei de Stefan-Boltzmann
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Radiação
– Espectro eletro-magnético:
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Radiação
– Espectro eletro-magnético:
Caracterização Comprimento de onda l
Raios cósmicos < 0,3 pm
Raios gama 0,3 - 100 pm
Raio-X 0,01 - 30 nm
Luz ultravioleta 3 - 400 nm
Luz visível 0,4 - 0,7 m
Infravermelho próximo 0,7 - 30 m
Infravermelho distante 30 - 1000 m
Ondas milimétricas 1 - 10 mm
Microondas 10 - 300 mm
Ondas curtas de rádio e TV 300 mm - 100 m
Ondas longas de rádio 100 m - 30 km
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Radiação – incidência de energia num corpo
q - incidente q - refletido
q - transmitido
q - absorvido
 +  +  = 1
 - absortividade
 - reflectividade
 - transmissividade
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Radiação
– Corpo negro:
É um corpo queabsorve totalmente a
energia incidente, ou seja, com reflexão e
transmissão nula. Toda a energia emitida pelo
corpo negro é proveniente de radiação
térmica, se caracterizando portanto como um
radiador térmico perfeito.
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Radiação
– Lei de Stefan-Boltzmann
A energia total emitida por um corpo negro é 
função apenas de sua temperatura e é dada pela 
fórmula:
4)( TTe 

TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Radiação
0c
h
Bk
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Radiação
trocado = Q1-2 – Q 2-1
outros-1
1-outros
, onde F1-2 é a fração da energia emitida 
por 1 que incide em 2
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Exercício 1:
Uma parede comprida e preta a 27°C faceia outra cuja 
superfície encontra-se a 127°C. Entre as paredes há vácuo. Se a 
segunda parede tem espessura de 0,1 m e condutividade 
térmica de 17,5 W/m.K, qual é a sua temperatura no lado de 
trás? (assuma estado permanente)
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Exercício 2:
Uma lâmpada incandescente de 150 W é grosseiramente 
uma esfera de 0,06m de diâmetro. A temperatura permanente 
da sua superfície numa sala com ar é 90°C e ℎ no lado externo é 
7 W/m²K. Qual fração da transferência de calor da lâmpada é 
irradiada diretamente do filamento através do vidro? (exponha 
qualquer pressuposto adicional)
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
• Bibliografia:
– LIENHARD, John H., A Heat Transfer Textbook
web.mit.edu/lienhard/www/ahtt.html
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