02_Cinemática_das_partículas

Prévia do material em texto

Mecânica 2
Cinemática das Partículas
Movimento Retilíneo
O A
x
Velocidade média: med
x
v
t
∆
=
∆
( ) ( )dv t x t x
dt
= = &Velocidade instantânea:
Aceleração média: med
v
a
t
∆
=
∆
( ) ( )da t v t v
dt
= = &Aceleração instantânea:
vdv adx=
Dados a(t) e v(t): ( ) ( )
2 2
1 1
2 1 2 1,
t t
t t
x x v t dt v v a t dt− = − =∫ ∫
Dado a(x): ( ) ( ) ( )2 2 2
1 1 1
2 2
2 1
1
2
v x x
v x x
vdv a x dx v v a x dx= ⇒ − =∫ ∫ ∫
Exemplo 1: queda com resistência do ar
( )4 29.81 1 10a v−= ⋅ −
Um objeto é largado de uma altura muito grande. Considerando a 
resistência do ar, qual é a velocidade terminal da partícula?
aceleração (v positiva para baixo):
( )
( )
( )
4 2
4 20 0
4
1
4 4
2
9.81 1 10
9.81
1 10
1 10
tanh 9.81
10 10
100 tanh 9.81 10
v t
dv a dt
dv v dt
dv dt
v
v t
v t
−
−
−
−
− −
−
= ⋅
= ⋅ − ⋅
=
−
 
= ⋅ 
 
= ⋅ ⋅
∫ ∫
( )2TER lim100 tanh 9.81 10 100m stv t−→∞= ⋅ ⋅ =
Exemplo 2: queda livre e gravidade
Qual é a velocidade de impacto com o solo de um tijolo que é largado 
de uma altura H0? Considere dois casos: gravidade constante e 
gravidade função da altura.
Gravidade em função da altura: ( )
2
0 2
T
T
R
g g
R y
= − ⋅
+
RT=6371 km, g0=9.81 m/s
2
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )( )
0
2
0 2
2
0 2
0
02 2
0
0
1
2
02
0
0
1
2
2
T
T
y v
T
H T
T
T T
T
T T
R
g dy v dv g dy v dv
R y
R
g dy v dv
R y
H y
g R v
R y R H
H y
v g R
R y R H
⋅ = ⋅ ⇒ − ⋅ ⋅ = ⋅
+
− ⋅ ⋅ = ⋅
+
−
=
+ +
 −
= −  
+ + 
∫ ∫
y
0H
( )
( )
0
0
0
0
2
0 0
1
2
0 0
1
2
2
y v
H
a dy v dv g dy v dv
g dy v dv
g y H v
v g H y
⋅ = ⋅ ⇒ − ⋅ = ⋅
− ⋅ = ⋅
− − =
= − −  
∫ ∫
Gravidade variável:
Gravidade constante:
H0=2000 m
Diferença de velocidade no impacto: 0.0149%
H0=20000 m
Diferença de velocidade no impacto: 0.1485%
H0=200000 m
Diferença de velocidade no impacto: 1.4748%
 
g constante 
g variável 
Movimento Curvilíneo
• Descrição vetorial do movimento
• Variação da direção dos vetores unitários
• Estratégia:
– Escolha de um sistema de coordenadas
– Vetor posição da partícula
– Velocidade e aceleração são obtidas por sucessivas 
derivações do vetor posição
Derivada de um vetor unitário
Suponhamos que um vetor unitário e gira com uma velocidade 
angular ω cuja direção é ortogonal ao plano do movimento.
( )e t dt+r
( )e tr
der
dθ
( ) e ede e t d d
e
ω ωθ θ
ω ω
× ×
= ⋅ ⋅ = ⋅
×
r rr r
r r
r rr
de d e e
dt dt
θ ω ω
ω
ω ω
× ×
= ⋅ = ⋅
r rr r r
r
de
e
dt
ω= ×
r
r r
Direção: perpendicular ao vetor unitário no sentido da rotação
Módulo: igual ao módulo da velocidade angular
Derivada de uma função vetorial
A derivada de ( )V tr é então: dV dV dee V
dt dt dt
= ⋅ + ⋅
r r
r
Mas:
de
e
dt
ω= ×
r
r r
( )V tr é uma função vetorial.
( )e tr é um vetor unitário. ( ) ( )V t V e t= ⋅
r r
Assim:
dV dV
e V e V e V e
dt dt
ω ω= ⋅ + ⋅ × = ⋅ + ⋅ ×
r
r rr r r r&
Coordenadas Retangulares ou Cartesianas
( ) ( ) ( )x yr t r t i r t j= ⋅ + ⋅r rrPosição da partícula:
( ) ( ) ( ) ( )x yv t r t r t i r t j= = ⋅ + ⋅r rr r& & &Velocidade:
( ) ( ) ( ) ( )x ya t r t r t i r t j= = ⋅ + ⋅r rr&& && &&Aceleração:
Exemplo (balística): suponha um projétil lançado com uma 
velocidade inicial cujo módulo é v0, e o ângulo com a horizontal é φ. 
Não se considera a resistência do ar.
( ) ( )0 0 0cos cosv v i v jφ φ= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅r rr
( )a t g j= − ⋅ rr
( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 0 0cos sinv t C i g t C j v i g t v jφ φ= ⋅ + − ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + − ⋅ + ⋅ ⋅r r r rr
( ) ( )( ) ( )20 0 0 01cos sin2x yr t v t r i g t v t r jφ φ
 
= ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅ + ⋅ ⋅ + 
 
r rr
Coordenadas Normal-Tangencial
n
r
t
r
t
r
n
r
n
r t
r
Comprimento do arco ds: ds r dθ= ⋅
dθ
r
( )1t tr
( )1t t dt+r
ds
( )1n tr
A
Velocidade: 1v r tθ= ⋅ ⋅
rr &
Aceleração:
1 1 1 1 1 1
dv
a v t v t v t v t v n vt
dt
ω θ= = ⋅ + ⋅ = ⋅ × + ⋅ = ⋅ ⋅ +
r
r r r r rrr r& && & &
1 1 1
ds d
v t r t r t
dt dt
θ θ= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅r r rr &
{
{
2
1 1
t
n
a
a
v
a n v t
r
= ⋅ + ⋅
r
r
rr r
&
Coordenadas Polares
r
r
θ
r
1r
r
1θ
r 1
r r r= ⋅
r r
Posição da partícula:
Velocidade da partícula:
dr
v r
dt
= =
r
r r&
1 1 1 1v r r r r r r r rω= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ×
rr r r r r&& &
Aceleração da partícula:
dv
a v
dt
= =
r
r r&
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
a r r r r r r r
r r r r r r r
r r r r r r r
ω θ ω θ ω θ
ω ω θ ω θ ω ω θ
ω θ ω θ ω θ ω ω
= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
= ⋅ + ⋅ × + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ × =
= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
r r rr r r && &&& & &
r r rr rr r
&&& & &
r rr r
&&& & &
1 1v r r rω θ= ⋅ + ⋅ ⋅
rr r
&
( ) ( )2 1 12
ra a
a r r r r r
θ
ω θ θ θ= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
r r
rr r & &&&& &
1442443 144424443
Coordenadas Cilíndricas
X
Y
Z
r
r
1Rr
r
1r
r
zk
r
1r Rr zk= +
rr r
Posição da partícula:
Velocidade da partícula:
dr
v r
dt
= =
r
r r&
1 1v r r r z kω θ= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅
rr r
& &
Aceleração da partícula:
dv
a v
dt
= =
r
r r&
( ) ( )2 1 12a r r r r r z kω θ θ θ= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ rrr r & &&&& & &&
A cinemática da partícula também pode 
ser descrita em coordenadas esféricas 
(ver o livro do Meriam).
Movimento Relativo (Translação)
O
A
B o≡
A Or
r
B Or
r
A Br
r
X
Y
x
y
Referencial inercial: OXY Referencial em translação: oxy
A O A B B O
A O A B B O
A O A B B O
r r r
v v v
a a a
= +
= +
= +
r r r
r r r
r r r
•Para que exista apenas translação, o ângulo entre os eixos deve ser constante.
•Se a velocidade de B é nula, o referencial em translação não possui aceleração. Ou seja, 
a aceleração da partícula será a mesma não importando qual o referencial utilizado para 
observá-la.
Movimento Relativo (Translação e Rotação)(1/3)
Referencial inercial: OXY
Referencial em rotação: oxy
O
A
B o≡
A Or
r
B Or
r
A Br
r
X
Y x
y
θ ω=&
i′
rj′r
,i j′ ′r r : vetores unitários em oxy
Derivação dos vetores unitários:
di i j i j
dt
dj j i j i
dt
ω ω ω
ω ω ω
′
′ ′ ′ ′= × = ⇒ =
′
′ ′ ′ ′= × = − ⇒ = −
r
r r r rr &
r
r r r rr &
Movimento Relativo (Translação e Rotação)(2/3)
Posição do ponto A: A O B O A Br r r= +
r r r
( )A O B O A Bdr r rdt= +
r r r& &
Velocidade do ponto A:
( )A O B O x yr r r i r j′ ′= + ⋅ + ⋅r rr r
A O B O A B A Br r v rω= + + ×
rr r r r& &
( )/A O B O A B B O A B A Bdr r r r v rdt ω= + = + + ×
rr r r r r r& & &
Derivada do vetor deslocamento relativo:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
A B x y x y x y
x y x y x y x y
x y A B A B A B
d d
r r i r j r i r j r i r j
dt dt
r i r j r i r j r i r j r i r j
r i r j r v r
ω ω ω
ω ω
′ ′ ′ ′ ′ ′= + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= ⋅ + ⋅ + ⋅ × + ⋅ × = ⋅ + ⋅ + × ⋅ + ⋅ =
′ ′= ⋅ + ⋅ + × = + ×
r r r r r rr & && &
r r r r r r r rr r r
& & & &
r r r rr r r
& &
De volta à velocidade:
O
A
B o≡
A Or
r
B Or
r
A Br
r
X
Y x
y
θ ω=&
i′
rj′r
Movimento Relativo (Translação e Rotação)(3/3)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
A B x y x y x y
x y x y x y x y A B A B
d d
v r i r j r i r j r i r j
dt dt
r i r j r i r j r i r j r i r j a vω ω ω ω
′ ′ ′ ′ ′ ′= + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= ⋅ + ⋅ + ⋅ × + ⋅× = ⋅ + ⋅ + × ⋅ + × = + ×
r r r r r rr & && & && && & &
r r r r r r r rr r rr r
&& && & & && && & &
Aceleração do ponto A:
( ) 2A O B O A B A B A B A Br r a r r vω ω ω ω= + + × + × × + ×r r r rr r r r r r&&& &&
Voltando à equação da aceleração do ponto A:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
A O B O A B A B B O A B A B
B O A B A B A B
d d d
r r v r r v r
dt dt dt
d d
r v r r
dt dt
ω ω
ω ω
= + + × = + + × =
= + + × + ×
r rr r r r r r r&& && &&
r rr r r r&&&
( ) ( ) ( )A B A B A B A B A Bd r v r v rdtω ω ω ω ω ω× = × + × = × + × ×
r r r r r rr r r r r
( )A O B O A B A B A B A B A Br r a v r v rω ω ω ω ω= + + × + × + × + × ×r r r r rr r r r r r r&&& &&