Cap 5_Graficos de controle para variaveis_Montgomery

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Controle Estatístico de Qualidade
Capítulo 5 
(montgomery)
Gráficos de Controle para Variáveis
� Relembrando
– Dois objetivos do CEP:
� Manter o processo operando em condição estável durante maior 
parte do tempo;
� Reduzir a sua variabilidade
– As Cartas de Controle (introduzidas por Shewhart na década 
de 20) são ferramentas para alcançar tais objetivos.
– Além disso, o uso de cartas de controle facilita:
� Reconhecer desvios em relação ao comportamento normal;
� Identificação de oportunidades de melhoria;
� Verificação da eficácia das ações tomadas com o intuito de 
corrigir esses desvios.
Gráficos de Controle para Variáveis
� Introdução
– No contexto do Controle de Qualidade, uma 
característica da qualidade que é medida em uma 
escala numérica é chamada variável.
� Ex: Tamanho, Largura, Temperatura, Volume, etc;
– Os gráficos e R foram desenvolvidos por 
Shewhart para monitorar a média e a variabilidade 
de variáveis numéricas.
– Posteriormente, serão introduzidas algumas 
variações destes gráficos.
X
Gráficos de Controle para Variáveis
� Base Estatística dos Gráficos e R
– Suponha que a característica de interesse, X, é 
normalmente distribuída com média µ e desvio 
X
normalmente distribuída com média µ e desvio 
padrão σ, conhecidos;
– Seja x1, ..., xn uma amostra de tamanho n, então a 
média amostral é dada por
– Também sabemos que é normalmente distribuído 
com média µ e desvio padrão σ/√n
n
x
x
n
i i∑ =
=
1
x
Gráficos de Controle para Variáveis
� Base Estatística dos Gráficos e R
– Além disso, há uma probabilidade de 1-α de 
qualquer média amostral cair entre
X
qualquer média amostral cair entre
– Assim, se µ e σ são conhecidos, podemos usar a 
expressão acima para obter os LIC e LSC em um 
gráfico de controle para média amostral.
– Vimos também que é comum utilizar Zα/2 = 3.
n
Z σµ α
2
±
Gráficos de Controle para Variáveis
� Base Estatística dos Gráficos e R
– Se uma média amostral cair fora desses limites, 
X
– Se uma média amostral cair fora desses limites, 
isso é uma indicação que a média do processo não 
é mais igual a µ.
– Vale ressaltar que os resultados acima ainda 
continuam aproximadamente corretos, mesmo na 
hipótese de não-normalidade da variável X, devido 
ao Teorema Central do Limite.
Gráficos de Controle para Variáveis
� Base Estatística dos Gráficos e RX 
X
 
 1 2 3 4 5 6 7 Amostra 
n/3LIC 00 σ−µ=
0LM µ=
n/3LSC 00 σ+µ= 
Gráficos de Controle para Variáveis
� Base Estatística dos Gráficos e R
– No entanto, na prática µµµµ e σσσσ são desconhecidos e 
X
precisam ser estimados a partir de amostras ou 
subgrupos, coletados quando o processo estava 
sob controle.
– Shewhart sugere a coleta de m subgrupos (20 a 25) 
de tamanho n pequeno (4, 5, ou 6 cada), 
objetivando a construção de subgrupos racionais 
com baixo custo de amostragem.
Gráficos de Controle para Variáveis
� Gráfico 
– Sejam as médias de cada uma das 
amostras, em m subgrupos. Então, o melhor 
X
mxxx ,,, 21 K
amostras, em m subgrupos. Então, o melhor 
estimador para média do processo (µµµµ) é dado por
– onde, é a média amostral do i-ésimo subgrupo.
– Logo, deverá ser usado como a linha central do 
gráfico
m
x
x
m
i i∑ =
=
1
x
X
ix
Gráficos de Controle para Variáveis
� Gráfico
– Para construir os limites de controle, precisamos de 
um estimador para σσσσ
X
um estimador para σσσσ
� σσσσ pode ser estimado pelos desvios-padrões ou pelas 
amplitudes das m amostras;
– No momento, vamos optar pelas amplitudes. Defina 
a amplitude de uma amostra por
R = xmax - xmin
– Seja as amplitudes das m amostras, 
temos que a amplitude média é dada por
– .
mRRR ,,, 21 K
m
R
R
m
i i∑ =
=
1
Gráficos de Controle para Variáveis
� Gráfico
– Apresentamos a seguir as expressões para construção dos 
limites de controle para o gráfico
X
Xlimites de controle para o gráfico
A constante A2 encontra-se no Apêndice VI do livro:
Introd. ao Controle de Qualidade - Montgomery (4ª Ed.)
X
RAxLIC
xLM
RAxLSC
2
2
−=
=
+=
Gráficos de Controle para Variáveis
� Gráfico R
– A variabilidade do processo pode ser monitorada através das 
amplitudes amostrais R, em um gráfico de controle:amplitudes amostrais R, em um gráfico de controle:
– Lembrando que o estimador não viesado para σ é dado por
As constantes D3 e D4 encontram-se no Apêndice VI do livro:
Introd. ao Controle de Qualidade - Montgomery (4ª Ed.)
RDLIC
RLM
RDLSC
3
4
=
=
=
2
ˆ
d
R
=σ
Gráficos de Controle para Variáveis
Limites de Controle Tentativos
– Quando amostras preliminares são usadas para a 
construção dos gráficos, é comum tratar os limites 
de controles obtidos como limites de controle 
tentativos.
– Se todos os pontos caem dentro dos limites de 
controle e não se observa nenhum comportamento 
sistemático, conclui-se que o processo estava sob 
controle no passado e que os limites tentativos 
são apropriados
Gráficos de Controle para Variáveis
Limites de Controle Tentativos
– Caso algum ponto se configure fora de controle 
quando comparado com os limites tentativos, quando comparado com os limites tentativos, 
torna-se necessária uma revisão de tais limites.
– Revisão
1. Identificar uma causa atribuível;
2. Se não for encontrada uma causa, eliminar o ponto 
supondo que o mesmo provem de um processo fora de 
controle ou
3. Não eliminar o ponto, caso ele não altere 
significativamente os valores dos limites de controle.
Gráficos de Controle para Variáveis
Revisão dos Limites Tentativos e Linhas Centrais
– Em geral, todos os gráficos de controle 
necessitam uma revisão periódica dos limites necessitam uma revisão periódica dos limites 
tentativos e linhas centrais
� A cada: semana, mês, 25, 50 ou 100 amostras.
– Na revisão lembre-se de usar pelo menos 25 
amostras ou subgrupos.
Desenvolvimento e Uso dos 
Gráficos e R 
– Na construção dos gráficos e R é aconselhável 
iniciar com o gráfico R.
– Como os limites de controle do gráfico dependem 
X
X
X– Como os limites de controle do gráfico dependem 
da variabilidade do processo, tais limites não serão 
significativos no caso da variabilidade do processo 
não estar sob controle.
– Dicas
� O gráfico monitora a média da característica da 
qualidade de um processo
� O gráfico R monitora a variabilidade dessa característica.
� Nunca tente interpretar o gráfico quando o gráfico R 
indicar alguma condição fora de controle
X
X
X
Desenvolvimento e Uso dos 
Gráficos e R 
Exemplo
– Anéis de pistão para motores de automóveis são 
X
– Anéis de pistão para motores de automóveis são 
fabricados por um processo. Deseja-se estabelecer 
um controle estatístico para o diâmetro interno dos 
anéis.
– 25 amostras (m), cada uma de tamanho 5 (n), 
foram extraídas quando o mesmo estava sob 
controle.
– As medidas são exibidas a seguir
Desenvolvimento e Uso dos 
Gráficos e R 
Exemplo – Anéis de Pistão
Construção do gráfico R
X
– A linha central do gráfico R é obtida por
onde Ri = xmax – xmin, i = 1, ..., m
– Para n = 5, obtemos do Apêndice VI os valores D3 = 
0 e D4 = 2,115.
– Logo,
023,0
25
581,0
25
1
===
∑
=
m
R
R i
i
049,0)115,2.(023,0
0)0.(023,0
4
3
===
===
DRLSC
DRLIC
Desenvolvimento e Uso dos 
Gráficos e R X
Nenhum ponto fora dos limites de controle
Nenhum padrão não aleatório foi identificado
Desenvolvimento e Uso dos 
Gráficos eR 
Exemplo – Anéis de Pistão
Construção do gráfico
– Como o gráfico R indica que a variabilidade do 
X
X
– Como o gráfico R indica que a variabilidade do 
processo está sob controle, podemos agora 
construir o gráfico 
– A linha central do gráfico é obtida por
– Para n = 5, obtemos do Apêndice VI A2 = 0,577.
– Logo,
001,74
25
0294,1850
25
1
===
∑
=
m
x
x i
i
014,74)023,0.(577,0001,74
988,73)023,0.(577,0001,74
2
2
=+=+=
=−=−=
RAxLSC
RAxLIC
X
Desenvolvimento e Uso dos 
Gráficos e R X
74.015
74.010
74.005n
UCL=74.01444
Xbar Chart
Nenhum ponto fora dos limites de controle
Nenhum padrão não aleatório foi identificado
252321191715131197531
74.005
74.000
73.995
73.990
Sample
S
a
m
p
l
e
 
M
e
a
n
__
X=74.00118
LCL=73.98791
Desenvolvimento e Uso dos 
Gráficos e R 
Exemplo – Anéis de Pistão
– Conclusão
X
– Conclusão
� Como ambos os gráficos exibem controle, podemos 
concluir que o processo está sob controle nos níveis 
estabelecidos e adotar os limites tentativos para um 
controle estatístico on-line do processo
Estimando a Capacidade do Processo
Os gráficos de controle fornecem informação sobre o
desempenho do processo. Uma forma de expressar a capacidade
do processo é em termos da razão (ou índice) da capacidade do
processo (RCP) C , definida para uma característica da qualidadeprocesso (RCP) Cp, definida para uma característica da qualidade
com limites superior e inferior de especificação LSE e LIE como
em que
σˆ6
ˆ
LIELSEC p
−
=
2
ˆ
d
R
=σ
Estimando a Capacidade do Processo
A RCP Cp pode ser interpretado de uma outra forma. A
quantidade
é simplesmente a percentagem da faixa de especificação usada
pelo sistema.
%100
ˆ
1
ˆ








=
pC
P
Estimando a Capacidade do Processo
Estimando a Capacidade do Processo
Os gráficos de controle pode ser usado para descrever a capacidade do processo
de produzir peças relativa as especificações. No exemplo dos pistões temos que
. = 74,001 mm. O desvio padrão pode ser estimado por
023,0
ˆ ===
R
σ
x
Os limites de especificação para os anéis de pistão são 74 ± 0,05 mm. Supondo
que o diâmetro dos anéis de pistão seja uma variável aleatória normalmente
distribuída, com média 74,001 e desvio padrão 0,0099, podemos estimar a fração
de anéis não-conformes como
Isto é, cerca de 0,002% [20 partes por milhão (ppm)] dos anéis produzidos estará
fora das especificações.
00002,099998,010)04,4(1)15,5(
0099,0
001,7405,741
0099,0
001,7495,73)05,74()95,73()( =−+=Φ−+−Φ=




 −Φ−+




 −Φ=>+<= XPXPNCP
0099,0
326,2
023,0
ˆ
2
===
d
R
σ
Para o exemplo dos anéis, temos: 
Estimando a Capacidade do Processo
95,7305,74 − 68,1
0099,06
95,7305,74
ˆ
=
×
−
=pC
%5,59%100
68,1
1
ˆ
=





=P
Desenvolvimento e Uso dos 
Gráficos e R 
Limites de Controle e Limites de 
Especificação
X
Especificação
– Não existe nenhuma relação entre os limites de 
controle e os limites de especificação do 
processo
– Limites de Controle (ou limites naturais de 
tolerância): são guiados pela variabilidade 
natural do processo (medido pelo desvio 
padrão)
Desenvolvimento e Uso dos 
Gráficos e R 
Limites de Controle e Limites de 
Especificação
X
Especificação
– Limites de Especificação: são determinados 
externamente, ou seja, podem ser especificados 
pela gerência, engenheiros, clientes, etc.
– Não há relação matemática ou estatística entre 
limites de controle e especificação
– O objetivo do CEP, é manter os limites de 
controle dentro dos limites de especificação
Desenvolvimento e Uso dos 
Gráficos e R 
Limites Naturais de Tolerância
X
– São determinados pela variabilidade natural do 
processo.
– É definido como os limites 3σ acima (LSNT) e 
abaixo (LINT) da média do processo.
Limites de Controle, Limites de 
Especificação e Limites Naturais de Tolerância
Desenvolvimento e Uso dos 
Gráficos e R 
Efeito da Não-Normalidade nos Gráficos
– A suposição de normalidade é fundamental no 
desenvolvimento dos gráficos de controle.
X
desenvolvimento dos gráficos de controle.
– Uma saída caso se conheça que a distribuição 
amostral da média e da amplitude não é normal, é 
utilizar limites probabilísticos para os gráficos de 
controle.
– No entanto, mesmo para populações não-normais, 
vários autores atestam que a utilização de amostras 
de tamanho (n>3) já são suficientes para garantir 
robustez em relação a hipótese de normalidade para o 
gráfico (Teorema Central do Limite)X
Desenvolvimento e Uso dos 
Gráficos e R 
Efeito da Não-Normalidade nos Gráficos
– Em relação ao gráfico R é importante ressaltar que:
X
– Em relação ao gráfico R é importante ressaltar que:
� Mesmo que a característica da qualidade tenha 
distribuição normal, o risco αααα para esse gráfico não 
será 0,0027. Isso deve ao fato da distribuição de R não 
ser simétrica . Além disso, note que o gráfico R não é 
contemplado pelo Teorema Central do Limite.
� Dessa forma, os limites 3σσσσ para esse gráfico são 
apenas aproximações.
� Segundo Montgomery, o gráfico R é mais sensível que 
o gráfico a desvios da normalidade.X
Função Característica da Operação 
– A habilidade dos gráficos e R em detectar 
mudanças na qualidade do processo é descrita 
pelas curvas característica de operação (CO).
X
pelas curvas característica de operação (CO).
– Considere o gráfico com σ conhecido e 
constante. Suponha que a média µ0 desloca-se 
para outro valor µ1 = µ0 + kσ
– A probabilidade (ou risco) de NÃO se detectar
esse deslocamento na 1ª amostra subseqüente é:
X
)|( 01 σµµµβ kLSCxLICP +==≤≤=
Função Característica da Operação 
Como
nLLSC
nLLIC
nNX
/
/
)/,(~
0
2
σµ
σµ
σµ
+=
−=
temos que
nLLSC /0 σµ +=
)|( 01 σµµµβ kLSCxLICP +==≤≤=





 +−Φ−




 +−Φ=
n
kLIC
n
kLSC
/
)(
/
)( 00
σ
σµ
σ
σµβ
.
/
)(/
/
)(/ 0000







 +−−Φ−





 +−+Φ=
n
knL
n
knL
σ
σµσµ
σ
σµσµ
Função Característica da Operação 
Logo
Onde Φ denota a distribuição acumulada da normal padrão.
)()( nkLnkL −−Φ−−Φ=β
Onde Φ denota a distribuição acumulada da normal padrão.
Exemplo
– Suponha que estamos usando um gráfico com 
L=3 (limites usuais), tamanho de amostra n=5 e 
queremos determinar a probabilidade de detectar 
um deslocamento para µ1 = µ0 + 2σ na primeira 
amostra.
– Logo, temos L=3, n=5 e k=2
X
Função Característica da Operação 
– Logo
)()( −−Φ−−Φ= nkLnkLβ
– Essa é a probabilidade (ou risco) de NÃO detectar
tal deslocamento.
– A probabilidade desse deslocamento ser detectado
na primeira amostra é
0708,0)37,7()47,1(
)523()523(
≅−Φ−−Φ=
=−−Φ−−Φ=
9292,00708,011 =−=− β
Curvas Característica de Operação 
para o Gráfico com limites 3σσσσ
β
X
k
Prob. de Não 
detectar um 
deslocamento na 
média de “kσσσσ” na 1ª 
amostra
Função Característica da Operação 
– Devido a suposição de independência, a probabilidade
de que o deslocamento seja detectado na r-ésima 
amostra (subgrupo) é simplesmente (1-β) vezes a 
probabilidade de não detecta-lo em cada uma das r-1 
amostras iniciais.
– O comprimento médio da sequência (CMS) é dado por 
1/p, onde p = probabilidade que um ponto exceda os 
limites de controle. Logo, teremos que
)1(1 ββ −−r
α
1
0 =CMS )1(
1
1 β−=CMS
Processo sob controle Processo fora de controle
Gráficos de Controle para Variáveis� Base Estatística dos Gráficos e S
– Os gráficos e S são preferidos quando:
� Tamanho de Amostra n > 10 (moderadamente grande)
X
X
� Tamanho de Amostra n > 10 (moderadamente grande)
� Tamanho de Amostra n é variável
– A construção de tais gráfico seguem a mesma 
sequência usada na construção dos anteriores.
– Na prática µµµµ e σσσσ são desconhecidos e precisam 
ser estimados a partir de amostras ou subgrupos, 
coletados quando o processo estava sob 
controle.
Gráficos de Controle para Variáveis
� Dedução dos Limites no Gráfico
– Portanto, para µT e σT desconhecidos, temos os limites do 
gráfico de controle dados por 
X
– Fazendo na expressão acima, obtemos
n
Zx
σ
α
)
2
±
nc
Z
A
4
2
3
α
=
SAxLIC
xLM
SAxLSC
3
3
−=
=
+=
Gráficos de Controle para Variáveis
� Dedução dos Limites no Gráfico
– A média dos desvios padrões nas m amostras é 
definida por
X
mdefinida por
– onde m
S
S
m
i
i∑
=
=
1
1
)(
1
2
−
−
=
∑
=
n
xx
S
n
i
i
i
Gráficos de Controle para Variáveis
� Gráfico S
– Assim, os parâmetros do gráfico S são obtidos por:
SBLSC =
onde: 
As constantes B3 e B4 encontram-se no Apêndice VI do livro:
Introd. ao Controle de Qualidade - Montgomery (4ª Ed.)
SBLIC
SLM
SBLSC
3
4
=
=
=
2
4
4
3 1
31 c
c
B −−= 24
4
4 1
31 c
c
B −+=
Gráficos de Controle para Variáveis
� Gráfico
– Consequentemente, obtemos os novos limites de controle 
necessários para construção do gráfico
X
X
SAxLSC +=
– Lembrando que o estimador não viesado para σ é dado por
As constantes A3 e c4 encontram-se no Apêndice VI do livro:
Introd. ao Controle de Qualidade - Montgomery (4ª Ed.)
SAxLIC
xLM
SAxLSC
3
3
−=
=
+=
4c
S
=σ
)
Exemplo: Anéis de Pistão
0094,0
25
2350,0
25
1
===
∑
=
m
S
S i
i
001,74
25
0294,1850
25
1
===
∑
=
m
x
x i
i
0094,0
25
===
m
S
0196,0)089,2.(0094,0
0)0.(0094,0
4
3
===
===
BSLSC
BSLIC
001,74
25
===
m
x
014,74)0094,0.(427,1001,74
988,73)0094,0.(427,1001,74
3
3
=+=+=
=−=−=
SAxLSC
SAxLIC
Exemplo: Anéis de Pistão
Nenhum ponto fora dos limites de controle
Nenhum padrão não aleatório foi identificado
Gráficos de Controle para Variáveis
– Considerações
� Os limites de controle do gráfico , construído a partir do X� Os limites de controle do gráfico , construído a partir do 
desvio padrão (S), podem coincidir com os limites obtidos 
com base na amplitude amostral (R). No entanto, 
normalmente os limites são um pouco diferentes.
� A interpretação do gráfico e também da curva 
Características de Operação (CO) são idênticas as dos 
gráficos anteriores
X
Gráficos de Controle para Variáveis
� Gráficos e S com tamanho de amostra 
variável
– São relativamente simples de usar
X
– São relativamente simples de usar
– A linha central dos gráficos será uma média 
ponderada em função do tamanho ni de cada 
amostra.
∑
∑
=
=
−
−
=
m
i
i
m
i
ii
mn
Sn
S
1
1
2)1(
∑
∑
=
=
=
m
i
i
m
i
ii
n
xn
x
1
1
Gráficos de Controle para Variáveis
� Gráficos e S com tamanho de amostra 
variável
– Os limites de controle continuam sendo calculados através 
X
– Os limites de controle continuam sendo calculados através 
das expressões
– No entanto, as constantes A3, B3 e B4 vão depender do 
tamanho de amostra usado em cada subgrupo individual.
SAxLIC
xLM
SAxLSC
3
3
−=
=
+=
SBLIC
SLM
SBLSC
3
4
=
=
=
Exemplo
Os dados a seguir 
são uma são uma 
modificação dos 
dados sobre anéis 
de pistão usados 
anteriormente
Exemplo: Anéis de Pistão 
Modificado
001,74
113
075,8362
535
)998,73(5)996,73(3)010,74(51
==
+++
+++
==
∑
∑
=
L
L
m
i
m
i
ii
n
xn
x
0098,0
88
008426,0
25535
)0162,0(4)0046,0(2)0148,0(4)1( 222
1
1
2
==
=
−+++
+++
=
−
−
=
∑
∑
=
=
L
L
m
i
i
m
i
ii
mn
Sn
S
1
∑
=i
in
Exemplo: Anéis de Pistão 
Modificado
– Para ilustrar, considere a primeira amostra onde n1 = 5. 
Logo,
020,0)089,2.(0098,0
0)0.(0098,0
4
3
===
===
BSLSC
BSLIC
015,74)0098,0.(427,1001,74
987,73)0098,0.(427,1001,74
3
3
=+=+=
=−=−=
SAxLSC
SAxLIC
– Os limites para segunda amostra devem ser calculados 
levando em conta que n2 = 3, e assim sucessivamente.
Gráficos de Controle para Variáveis
Gráficos de Controle para Variáveis
– Considerações
� Uma alternativa para o uso de limites de controle variáveis 
nos gráficos e S é tomar como base um tamanho de 
amostra médio .
X
amostra médio .
� Tal abordagem pode ser satisfatória se os ni não são muito 
diferentes.
� No entanto, como média dos ni pode não ser um número 
inteiro, uma saída é construir tais limites baseando-se no 
tamanho de amostra modal (mais frequente).
� Montgomery comenta que tal abordagem pode ser útil em 
algumas situações como, por exemplo, numa 
apresentação dos gráficos a gerência.
n
Gráficos de Controle Shewhart para 
Amostras Individuais
– Existem situações onde o tamanho da amostra para 
monitoramento do processo é n=1.
– Por exemplo:– Por exemplo:
� Utilização de inspeção e medição automática de modo que 
toda unidade fabricada é inspecionada;
� Taxa de produção muito lenta torna inconveniente 
acumular tamanhos de amostras n > 1;
� Medidas sobre algum parâmetro diferem muito pouco e 
produzem um desvio padrão muito pequeno.
� Entre outros
– Em tais situações o gráfico de controle para 
unidades individuais é útil.
Gráficos de Controle Shewhart para 
Amostras Individuais
– A variabilidade do processo é 
estimada através da amplitude 
móvel, definida por:
Lote Viscosidade (x) MR
1 33.75 -
2 33.05 0.70
Viscosidade da Tinta de Base para Aviões
MRi = | xi – xi-1 |
– No exemplo a seguir ilustramos o 
procedimento para construção dos 
gráficos de controle para a 
amplitude móvel e para medidas 
individuais
2 33.05 0.70
3 34.00 0.95
4 33.81 0.19
5 33.46 0.35
6 34.02 0.56
7 33.68 0.34
8 33.27 0.41
9 33.49 0.22
10 33.20 0.29
11 33.62 0.42
12 33.00 0.62
13 33.54 0.54
14 33.12 0.42
15 33.84 0.72
Média 33.52 0.48
Gráficos de Controle Shewhart para 
Amostras Individuais
– Os limites de controle são adaptações dos 
utilizados nos gráficos e R, sendo calculados 
através das expressões
X
através das expressões
– As constantes d2, D3 e D4 são obtidas no Apêndice 
VI.
2
2
3
3
d
RM
xLIC
xLM
d
RM
xLSC
−=
=
+=
RMDLIC
RMLM
RMDLSC
3
4
=
=
=
Gráficos de Controle Shewhart para 
Amostras Individuais
– Note que no exemplo usamos uma amplitude móvel 
de tamanho 2, logo n será igual 2 no Apêndice VI.
– Os limites de controle para o gráfico da amplitude– Os limites de controle para o gráfico da amplitude
móvel serão:
00,0)48,0(0
48,0
57,1)48,0(267,3
3
4
===
==
===
RMDLIC
RMLM
RMDLSC
Gráficos de Controle Shewhart para 
Amostras Individuais
– Os limites para o gráfico de controle das medidas 
individuais serão:
24,32
128,1
48,0352,333
52,33
80,34
128,1
48,0352,333
2
2
=−=−=
==
=+=+=
d
RM
xLIC
xLM
d
RM
xLSC
Gráficos de Controle Shewhart para 
Amostras Individuais
34.5
34.0
33.5
33.0
I
n
d
i
v
i
d
u
a
l
 
V
a
l
u
e
_
X=33.523
UC L=34.802
I-MR Charts
15141312111098765432132.5
Observation
I
LC L=32.245
151413121110987654321
1.6
1.2
0.8
0.4
0.0
Observation
M
o
v
i
n
g
 
R
a
n
g
e
__
MR=0.481
UC L=1.571
LC L=0
Nenhum ponto fora dos limites de controle
Nenhum padrão não aleatório foi identificado
Gráficos de Controle Shewhart para 
Amostras Individuais
35
34
33
n
d
i
v
i
d
u
a
l
 
V
a
l
u
e
_
X=33.523
UC L=34.802
11
I-MR Chart - Full Dataset
Banco de Dados Completo – Processo fora de Controle
28252219161310741
32
Observation
I
n
LC L=32.245
28252219161310741
1.6
1.2
0.8
0.4
0.0
Observation
M
o
v
i
n
g
 
R
a
n
g
e
__
MR=0.481
UC L=1.571
LC L=0
Gráficos de Controle Shewhart para 
Amostras Individuais
– Considerações
� O gráfico para observações individuais é interpretado de 
maneira análoga ao gráfico .X
� Alguns analistas recomendam que não se use o gráfico 
das amplitudes móveis, visto que elas são 
correlacionadas.
� Segundo Montgomery, gráficos para amostras individuais 
são extremamente sensíveis a dados não normais ou 
mesmo com um moderado desvio na normalidade.
� Uma saída seria determinar os limites com base na 
distribuição amostral (ao menos 100 observações).
� Outra saída seria transformar a variável original em uma 
nova variável aproximadamente normal. 
Exercício
Amostras de n=5 unidades são tiradas de um processo a cada hora. Os
valores de e R para uma determinada característica da qualidade são
calculados. Depois de 25 amostras serem coletadas, obtemos = 20 e
. =4,56.
X
x
R. =4,56.
a) Quais são os limites três-sigma para e R?
b) Ambos os gráficos exibem controle. Estime o desvio padrão do
processo.
c) Suponha que a saída do processo seja normalmente distribuída. Se as
especificações são 19 ± 5, quais são as suas conclusões com respeito
à capacidade do processo?
d) Se a média do processo se desloca para 24, qual é a probabilidade de
não se detectar esse deslocamento na amostra subsequente?
X
R
Exercício
Amostras de n=6 itens são retiradas de um processo de manufatura em
intervalos irregulares. Uma característica da qualidade, normalmente
distribuída, é medida e valores de e S são calculados para cada
amostra. Depois de 50 subgrupos serem analisados, obtém-se
X
amostra. Depois de 50 subgrupos serem analisados, obtém-se
a) Calcule os limites de controle para os gráficos de controle e S.
b) Quais são os limites naturais de tolerância do processo?
c) Se os limites de especificação são 19 ± 4, quais são as suas conclusões com relação à
habilidade do processo em produzir itens de acordo com essas especificações?
d) Supondo que, se um item excede o limite superior de especificação ele pode ser
retrabalhado e se ele está abaixo do limite inferior de especificação ele tem que ser
sucateado. Qual a percentagem de sucata e retrabalho que o processo está
produzindo?
e) Se o processo centrado em µ=19, qual seria o efeito sobre as percentagens de sucata e
retrabalho?
X
∑ ∑
= =
==
50
1
50
1
75 e 1000
i i
ii Sx