Vectores (2)

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Vectores. 
Definición: Un vector es un arreglo de números reales de la forma (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ llamada 𝑛 − 𝑢𝑝𝑙𝑎 
También se puede definir un vector de la siguiente forma: 
Definición: Un Vector es un segmento de recta que tiene dirección o sentido. Todo vector tiene un punto inicial Cola 
y un punto final Punta. 
 Los vectores se denotan por letras minúsculas con una flecha encima �⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� entre otras 
 Si un vector �⃗� tiene como punto inicial a 𝑝 = (𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛) y como punto final a 
𝑞 = (𝑞1, 𝑞2, … , 𝑞𝑛), se denota por �⃗� = 𝑝𝑞⃗⃗⃗⃗ , ( el comienzo de la flecha indica el punto inicial y el termino de 
la flecha indica el punto final) 
 Todo vector tiene una longitud y un sentido. 
 Si �⃗� tiene como unto inicial el origen y como punto final el punto 𝑞 = (𝑞1, 𝑞2, … , 𝑞𝑛), el vector se denota 
por 
�⃗� = (𝑞1, 𝑞2, … , 𝑞𝑛)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
 
Definición: Sean �⃗� y 𝑣 dos vectores. Diremos que �⃗� y 𝑣 son Equivalentes si tienen la misma longitud y el 
mismo sentido. 
 Si �⃗� tiene como punto inicial a 𝑝 = (𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛) y como punto final a 𝑞 = (𝑞1, 𝑞2, … , 𝑞𝑛), 
el vector 𝑣 anclado en el origen que es equivalente a el vector �⃗� , es el vector dado por 
𝑣 = (𝑞1 − 𝑝1, 𝑞2 − 𝑝2, … , 𝑞𝑛 − 𝑝𝑛)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
 
Operaciones entre vectores. 
Definición: Sean �⃗� = (𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ y 𝑣 = (𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ vectores de ℝ
𝑛 y sea ∝ 𝜖ℝ un escalar. Se 
definen las siguientes operaciones: 
1. La Suma de los vectores �⃗� y 𝑣 , es el vector 
�⃗� + 𝑣 = (𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + (𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (𝑢1 + 𝑣1, 𝑢2 + 𝑣2, … , 𝑢𝑛 + 𝑣𝑛)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
 
2. La Resta de los vectores �⃗� y 𝑣 , es el vector 
�⃗� − 𝑣 = (𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ − (𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (𝑢1 − 𝑣1, 𝑢2 − 𝑣2, … , 𝑢𝑛 − 𝑣𝑛)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
3. La Multiplicación de un vector por un escalar, es el vector 
∝. �⃗� =∝. (𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (∝. 𝑢1, ∝. 𝑢2, … , ∝. 𝑢𝑛)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
4. La Norma o Magnitud de un vector �⃗� = (𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗, es el número real dado por 
‖�⃗� ‖ = √(𝑢1)2 + (𝑢2)2 + ⋯+ (𝑢𝑛)2 
5. El Producto Escalar o Producto Punto entre los vectores �⃗� y 𝑣 , es el número real dado por: 
�⃗� . 𝑣 = (𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗. (𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑢1. 𝑣1 + 𝑢2. 𝑣2 + ⋯+ 𝑢𝑛. 𝑣𝑛 
6. El Producto Vectorial o Producto Cruz entre los vectores �⃗� = (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ y 𝑣 = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ vectores 
de ℝ3, es el vector dado por �⃗� × 𝑣 = |
𝑖 𝑗 𝑘
𝑢1 𝑢2 𝑢3
𝑣1 𝑣2 𝑣3
| = 𝑖. |
𝑢2 𝑢3
𝑣2 𝑣3
| − 𝑗 |
𝑢1 𝑢3
𝑣1 𝑣3
| + 𝑘 |
𝑢1 𝑢2
𝑣1 𝑣2
|. 
Observación �⃗� = (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ se puede escribir como �⃗� = 𝑢1𝑖 + 𝑢2𝑗 + 𝑢3𝑘 
7. El Angulo formado por los vectores �⃗� y 𝑣 esta dado por 
𝜃° = cos−1 (
�⃗⃗� .�⃗� 
‖�⃗⃗� ‖.‖�⃗� ‖
) 
Ejemplos: Sean �⃗� = (3,4,5)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗, 𝑣 = (−2,6,3)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ y �⃗⃗� = (4,−4,5)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ . Calcular: a) �⃗� + 𝑣 b) 𝑣 − �⃗⃗� 
c) 2. �⃗� − 3. �⃗⃗� d) ‖5�⃗⃗� − 3�⃗� + 2𝑣 ‖ e) (5𝑣 − 4�⃗⃗� + �⃗� ). (4�⃗� × 3𝑣 ) f) ∡(�⃗� 𝑦 𝑣 ) 
Solución: 
a) �⃗� + 𝑣 = (3,4,5)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + (−2,6,3)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (3 + (−2), 4 + 6, 5 + 3)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (1,10,8)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
b) 𝑣 − �⃗⃗� = (−2,6,3)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ − (4, −4,5)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (−2 − 4,6 − (−4), 3 − 5)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (−6,10,−2)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
c) 2. �⃗� − 3. �⃗⃗� 
2. �⃗� = 2. (3,4,5)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (2.3,2.4,2.5)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (6,8,10)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
3. �⃗⃗� = 3. (4, −4,5)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (3.4,3. (−4), 3.5)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (12,−12,15)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
2. �⃗� − 3. �⃗⃗� = (6,8,10)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ − (12,−12,15)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (6 − 12,8 − (−12), 10 − 15)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (−6,20,−5)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
d) ‖5.𝑤⃗⃗⃗⃗ − 3. �⃗� + 2. 𝑣 ‖ 
5.𝑤⃗⃗⃗⃗ = 5. (4, −4,5)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (5.4,5. (−4), 5.5)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (20,−20,25)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
3. �⃗� = 3. (3,4,5)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (3.3,3.4,3.5)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (9,12,15)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
2. 𝑣 = 2. (−2,6,3)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (2. (−2), 2.6,2.3)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (−4,12,6)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
5. 𝑤⃗⃗⃗⃗ − 3. �⃗� + 2. 𝑣 = (20,−20,25)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ − (9,12,15)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + (−4,12,6)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
= (20 − 9 + (−4),−20 − 12 + 12,25 − 15 + 6)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ == (7,−20,16)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
‖5.𝑤⃗⃗⃗⃗ − 3. �⃗� + 2. 𝑣 ‖ = √(7)2 + (−20)2 + (16)2 = √49 + 400 + 256 = √705 
e) (5𝑣 − 4�⃗⃗� + �⃗� ). (4�⃗� × 3𝑣 ) 
5. 𝑣 = 5. (−2,6,3)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (5. (−2), 5.6,5.3)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (−10,30,15)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
4.𝑤⃗⃗⃗⃗ = 4. (4, −4,5)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (4.4,4. (−4), 4.5)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (16,−16,20)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
5𝑣 − 4�⃗⃗� + �⃗� = (−10,30,15)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ − (16,−16,20)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + (3,4,5)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
= (−10 − 16 + 3,30 − (−16) + 4,15 − 20 + 5)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (−23,50,0)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
4. �⃗� = 4. (3,4,5)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (4.3,4.4,4.5)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (12,16,20)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
3. 𝑣 = 3. (−2,6,3)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (3. (−2), 3.6,3.3)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (−6,18,9)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
4�⃗� × 3𝑣 = |
𝑖 𝑗 𝑘
12 16 20
−6 18 9
| = 144𝑖 − 120𝑗 + 216𝑘 − 360𝑖 − 108𝑗 − (−96)𝑘
= −216𝑖 − 228𝑗 + 312𝑘 
4�⃗� × 3𝑣 = (−216,−228,312)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
(5𝑣 − 4�⃗⃗� + �⃗� ). (4�⃗� × 3𝑣 ) = (−23,50,0)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗. (−216, −228,312)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
= (−23). (−216) + 50. (−228) + 0.312 = 4968 − 11400 = −6432 
f) ∡(�⃗�𝑦 𝑣 ) 
�⃗� . 𝑣 = (3,4,5)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗. (−2,6,3)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 3. (−2) + 4.6 + 5.3 = −6 + 24 + 15 = 33 
‖�⃗� ‖ = √32 + 42 + 52 = √9 + 16 + 25 = √50 
‖𝑣 ‖ = √(−2)2 + 62 + 32 = √4 + 36 + 9 = √49 = 7 
𝜃° = cos−1 (
�⃗� . 𝑣 
‖�⃗� ‖. ‖𝑣 ‖
) = cos−1 (
33
√50. 7
) = 48,187° 
Ejemplo: sean �⃗� = (3,4)⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ , 𝑣 = (2, ∝)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗. Calcular el valor de ∝ tal que �⃗� y 𝑣 formen un ángulo de 30° 
Solución: 
�⃗� . 𝑣 = (3,4)⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ . (2, ∝)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 3.2 + 4. ∝= 6 + 4 ∝ 
‖�⃗� ‖ = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5 
‖𝑣 ‖ = √(−2)2 +∝2= √4 +∝2 
30° = cos−1 (
�⃗� . 𝑣 
‖�⃗� ‖. ‖𝑣 ‖
) ⇔ cos(30°) =
6 + 4 ∝
5. √4 +∝2
 
⇔ 
√3
2
=
6 + 4 ∝
5. √4 +∝2
 ⇔ √3. (5. √4 +∝2) = 2. (6 + 4 ∝) 
⇔ [√3. (5. √4 +∝2)]
2
= [2. (6 + 4 ∝)]2 
⇔ [√3]
2
. 52. [√4 +∝2]
2
= 22. [(6 + 4 ∝)]2 
⇔ 3.25. (4 +∝2) = 4. (36 + 48 ∝ +16 ∝2) 
⇔ 300 + 75 ∝2= 144 + 192 ∝ +64 ∝2 
⇔ 300 + 75 ∝2− 144 − 192 ∝ −64 ∝2= 0 
⇔ 11 ∝2− 192 ∝ +156 = 0 ⇒ {
∝1= 0,854
∝2= 16,600
 
Los valores que ∝ puede tomar para que �⃗� y 𝑣 formen un ángulo de 30° son {
∝1= 0,854
∝2= 16,600
 
Propiedades de las operaciones con vectores. 
Definición: Sean �⃗� = (𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ y 𝑣 = (𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ vectores de ℝ
𝑛 y sea ∝ 𝜖ℝ un escalar. 
Entonces 
1. �⃗� + 𝑣 = 𝑣 + �⃗� 
2. �⃗� + (𝑣 + �⃗⃗� ) = (�⃗� + 𝑣 ) + �⃗⃗� 
3. Existe el vector Nulo en ℝ𝑛, ⊘= (0,0, … ,0), Tal que �⃗� +⊘=⊘ +�⃗� = �⃗� , para todo �⃗� =
(𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∈ ℝ
𝑛 
4. Para cada vector �⃗� = (𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∈ ℝ
𝑛, existe un vector −𝑢⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (−𝑢1, −𝑢2, … , −𝑢𝑛)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∈
ℝ𝑛, tal que 
�⃗� + (−𝑢)⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ =⊘ 
5. ∝. (�⃗� + 𝑣 ) =∝. �⃗� +∝ 𝑣 
6. (�⃗� + 𝛽). �⃗� =∝. �⃗� + 𝛽. �⃗� 
7. (∝. 𝛽)�⃗� =∝. (𝛽. �⃗� ) = 𝛽. (∝. �⃗� ) 
8. 1. �⃗� = �⃗� 
9. �⃗� . �⃗� ≥ 0; �⃗� . �⃗� = 0 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 �⃗� =⊘ 
10. �⃗� . 𝑣 = 𝑣 . �⃗� 
11. (�⃗� + 𝑣 ). �⃗⃗� = �⃗� . �⃗⃗� + 𝑣 . �⃗⃗� 
12. (∝. �⃗� ). 𝑣 = �⃗� . (∝. 𝑣 ) =∝. (�⃗� . 𝑣 ) 
13. Desigualdad de Cauchy-Schwarz: 
|�⃗� . 𝑣 | ≤ ‖�⃗� ‖. ‖𝑣 ‖ 
14. Desigualdad Triangular: 
‖�⃗� + 𝑣 ‖ ≤ ‖�⃗� ‖ + ‖𝑣 ‖ 
15. �⃗� × 𝑣 = −𝑣 × �⃗� 
16. �⃗� × (𝑣 + �⃗⃗� ) = �⃗� × 𝑣 + �⃗� × �⃗⃗� 
17. (�⃗� + 𝑣 ) × �⃗⃗� = �⃗� × �⃗⃗� + 𝑣 × �⃗⃗� 
18. ∝. (�⃗� × 𝑣 ) = (∝. �⃗� ) × 𝑣 = �⃗� × (∝. 𝑣 ) 
19. �⃗� × �⃗� = 0 
20. �⃗� × 𝑣 ⊥ �⃗� 𝑦 �⃗� × 𝑣 ⊥ 𝑣