lista 5 IC242 T64 2016 2

Prévia do material em texto

Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
Instituto de Cieˆncias Exatas
DEMAT
Professor Edivaldo F. Fontes Junior
Lista 5 - Ca´lculo II - T64 / Derivadas Parciais
Exercı´cio 1 Exercı´cios do Livro Texto JAMES STEWART Ca´lculo - Volume 2, 6a Edic¸a˜o. Cengage Learnig,
2011:
(Exercı´cios 14.3):1,3 ; 15-42 ; 51-56 ; 73 ; 77
(Exercı´cios 14.4):1-6
(Exercı´cios 14.5):1-12; 21-26;45
(Exercı´cios 14.6):4-6;7-10;11-17;18;21-26;29;49
(Exercı´cios 14.7):5-18;19;21,23;29-36;39,41
Exercı´cio 2 Encontre as derivadas parciais indicadas:
(a) f (x, y) = 3xy + 6x − y2 , ∂ f∂x (x, y)= 3y + 6
(b) f (x, y) = x+y√
y2−x2 ,
∂ f
∂y (x, y) = − x
2+xy
(y2−x2)3/2
(c) f (x, y) = e(
y
x )ln
(
x2
y
)
,
∂ f
∂y (x, y)= e
y
x
[
1
x ln(
x2
y ) − 1y
]
(d) f (x, y) =
∫ y
x
ln(sen(t)) dt ,
∂ f
∂x
(x, y) = −ln(sen(x))
Exercı´cio 3 Verifique se as func¸o˜es abaixo sa˜o diferencia´veis em (0, 0).
(a) f (x, y) =
{ xy
x2+y2 , (x, y) , (0, 0),
0 , (x, y) = (0, 0).
= f na˜o e´ diferencia´vel em (0, 0)
(b) f (x, y) =
 x
2y2
x2+y2 , (x, y) , (0, 0),
0 , (x, y) = (0, 0).
= f na˜o e´ diferencia´vel em (0, 0)
(c) f (x, y) =
 x
3
x2+y2 , (x, y) , (0, 0),
0 , (x, y) = (0, 0).
= f e´ diferencia´vel em (0, 0)
Exercı´cio 4 Encontre o ponto onde o plano tangente a cada uma das superfı´cies, de equac¸a˜o abaixo, e´ horizontal.
(a) z = 2x2 + 2xy − y2 − 5x + 3y − 2=( 13 , 116 ,− 112 )
(b) z = x2y2 + 2(x − y)=(−1, 1,−3)
Exercı´cio 5 Encontre a derivada direcional no ponto Q na direc¸a˜o do vetor v.
(a) f (x, y) =
√
4 − x2 − y2 , Q = (0, 1) , v = (2, 2)=−
√
6
6
(b) f (x, y) = ex2−y2 , Q = (1, 1) , v = (1, 3)=− 2
√
10
5
(c) f (x, y, z) = sen(xy) + cos(yz) , Q = (1, 0,−1) , v = (−1, 2, 2)= 23
1
Exercı´cio 6 Considere a func¸a˜o f (x, y) = x2 + y2 − 2y e o ponto Q = (2, 2). Obtenha
(a) A taxa de variac¸a˜o de f em Q na direc¸a˜o do vetor (1, 1).=3
√
2
(b) A taxa de variac¸a˜o de f em Q na direc¸a˜o do vetor tangente σ′(t) a` curva σ(t) = t, t2 − t em (3, 6).=7
√
26
13
(c) A direc¸a˜o na qual a taxa de variac¸a˜o de f em Q e´ ma´xima.=na direc¸a˜o do vetor ( 2√
5
, 1√
5
)
Exercı´cio 7 Determine as derivadas parciais de segunda ordem abaixo.
(a) f (x, y) = (x2 + y2)3/2 , fxx(x, y) , fyx(x, y)
(b) f (x, y) = x cos(y) − y ex , fyy(x, y) , fxy(x, y)
(a) fxx(x, y) = 3(2x
2+y2)√
x2+y2
e fyx(x, y) =
3xy√
x2+y2
(b) fyy(x, y) = −x cos(y) e fxy(x, y) = −sen(y) − ex
Exercı´cio 8 Considere f (x, y) = ax2 + 3xy + y2, onde a , 94 .
(a) Determine o ponto crı´tico de f .=(0, 0)
(b) Se a = 94 , o que podemos dizer sobre o ponto crı´tico de f encontrado em (a)?
Exercı´cio 9 Encontre os pontos crı´ticos e verifique se e´ ma´ximo, mı´nimo ou ponto de sela.
(a) f (x, y) = 4xy2 − 2x2y − x =(0, 1/2) e (0,−1/2) pontos de sela.
(b) f (x, y) = x sen(y) =0, kpi pontos de sela, k e´ um numero inteiro qualquer.
(c) f (x, y) = xy − x3 − y2 =(0, 0) ponto de sela, e (1/6, 1/12) ponto de ma´ximo relativo.
(d) f (x, y) = x2 + xy + y2 + 1x +
1
y =
(
1
3√3 ,
1
3√3
)
ponto de mı´nimo relativo.
(e) f (x, y) = 4y2e−(x2+y2)
Exercı´cio 10 Estude os pontos crı´ticos da func¸a˜o
f (x, y) = (x2 − 3) e−(x2+y2).
=ponto de mı´nimo relativo: (0, 0). pontos de ma´ximo relativo:(−2, 0) e (2, 0).
2