APOSTILA_ASEE_2011

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Universidade Estadual Paulista – UNESP 
Campus de Ilha Solteira 
Departamento de Engenharia Elétrica 
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Análise de 
Sistemas de Energia 
Elétrica
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Ilha Solteira-SP, Março-2011. 
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Universidade Estadual Paulista – UNESP 
Campus de Ilha Solteira 
Departamento de Engenharia Elétrica 
Curso de Graduação em Engenharia Elétrica 
 
 
 
 
 
 
Disciplina: ELE1091 - Análise de Sistemas de Energia Elétrica 
 
 
 
 
 
 
Estrutura do Sistema de Energia 
Elétrica e Modelos 
 
 
Carlos Roberto Minussi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CCCaaapppííítttuuulllooo 111 
Ilha Solteira – SP, Março-2011 
 
 
 
DEE-CISA-UNESP  Análise de Sistemas de Energia Elétrica  C.R. Minussi 
 2
1. ESTRUTURA DO SISTEMA DE ENERGIA ELÉTRICA E MODELOS 
 
 
 
 
1.1. Rudimentos 
 
 
Os regimes operacionais de circuitos encontram-se ilustrados na Figura 1.1.1. Os 
principais regimes são: (1) permanente, (2) transitório e (3) regime subtransitório. 
 
 
 
Figura 1.1.1. Regimes elétricos. 
 
 
 Regime Permanente : Equações algébricas não-lineares (que são casos particulares das 
equações diferenciais). 
 Regime Transitório : Equações diferenciais não-lineares (para modelagem contínua) ou 
de diferenças (para modelagem discreta) e equações algébricas não-
lineares. 
 Regime Subtransitório : Equações diferenciais não-lineares (para modelagem contínua) ou 
de diferenças (para modelagem discreta) e equações algébricas não-
lineares. Diferencia-se do regime transitório pelo tempo de 
abrangência (correspondente ao tempo inicial do sistema sob 
perturbação). 
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1.2. Sistemas de Energia Elétrica 
 
    
 Hídrica 
 Térmica 
 - carvão 
 - gás 
 - óleo combustível 
 - nuclear 
 - etc. 
  Atendimento 
 - Demanda autônoma 
 (residencial e comercial) 
 - Demanda contratada 
 (industrial) 
 - Demanda com “controle”: 
 (corte de energia / incenti-
vos / penalização) 
Operação 
 estática 
 dinâmica tênue 
 dinâmica acentuada 
 
   estática  estática 
 dinâmica tênue 
 
Figura 1.2.1. Estrutura de um sistema de energia elétrica. 
 
 Objetivo dos sistemas elétricos de potência interligados: 
 Fornecer energia aos consumidores, com qualidade desejada: 
  confiabilidade 
  grandezas elétricas adequadas (tensão e frequência constantes, forma de onda 
senoidal). 
 O consumidor não será atendido quando houver: 
1. insuficiência das fontes mecânicas 
2. deficiência do sistema de transmissão 
3. deficiência do sistema de distribuição 
  4. violação dos limites físicos e operacionais das unidades geradoras 
5. ocorrência de falhas: curto-circuito, saída de operação de equipamentos elétricos, 
manobras mal sucedidas, etc. 
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1.3. Modelagem de Máquinas Síncronas 
 
 O modelo da máquina síncrona (modelo de Park) mostrado na Figura 1.3.1, 
representa as grandezas elétricas considerando-se o eixo direto e o eixo em quadratura. Neste 
modelo, constam os enrolamentos d e q (fictícios) que representam as correntes do estator vistas 
no rotor. Os enrolamentos amortecedores (kd e kq para a máquina síncrona de polos salientes e, 
kd, kq1 e kq2, para a máquina síncrona de rotor liso. Tais amortecedores são também fictícios e 
simulam o efeito amortecedor da máquina síncrona (via circulação de correntes na massa da 
máquina) toda vez que houver mudança de velocidade em relação à velocidade síncrona (377 
radianos elétricos/s para uma frequência de 60 Hz). Estas correntes produzem torques frenantes. 
A máquina síncrona de polos salientes é representada por um enrolamento amortecedor no eixo 
direto e um enrolamento amortecedor no eixo em quadratura. Enquanto que a máquina síncrona 
de rotor liso é representada por um enrolamento amortecedor no eixo direto e dois enrolamentos 
amortecedores no eixo em quadratura. Esta idealização foi concebida via exaustivos ensaios em 
laboratório pelos fabricantes. As indutâncias mútuas Lad e Laq, associadas ao eixo direto e ao 
eixo em quadratura, respectivamente, foram estabelecidas como sendo únicas em cada eixo a 
partir da adoção de potências bases do estator e do rotor iguais. As indutâncias Lad e Laq 
(reação da armadura) são escolhidas de forma arbitrária, ou seja: 
Ld = Lad + Lld 
Lf = Lad + Llf 
LD = Lad + Llkd 
LQ = Laq + Llkq 
LQ2 = Laq + Llkq2 
sendo: 
Ld : indutância do enrolamento do eixo direto; 
Lq : indutância do enrolamento do eixo em quadratura; 
Lf : indutância do enrolamento do campo; 
LD : indutância do enrolamento amortecedor do eixo direto; 
LQ : indutância do enrolamento amortecedor do eixo em quadratura; 
LQ2 : indutância do segundo enrolamento amortecedor do eixo em quadratura (para máquina 
síncrona de rotor liso); 
Lad : indutância referente à reação da armadura do eixo d; 
Laq : indutância referente à reação da armadura do eixo q; 
Lld : indutância de dispersão do enrolamento d; 
Llf : indutância de dispersão do enrolamento do campo; 
Llkd : indutância de dispersão do enrolamento kd; 
Llkq : indutância de dispersão do enrolamento kq; 
Llkq2 : indutância de dispersão do enrolamento kq2. 
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Máquinas síncronas 
Polos salientes Rotor liso 
 geração hídrica  geração térmica 
 baixa rotação  alta rotação 
 
 
sendo: 
d (eixo direto), f (campo), Lad (reação da 
armadura/eixo direto), q (enrolamento do eixo em 
quadratura), Laq (reação da armadura/eixo q); kd 
(enrolamento amortecedor de eixo direto), kq 
(enrolamento amortecedor de eixo em quadratura). 
 
 
sendo: 
d (eixo direto), f (campo), Lad (reação da 
armadura/eixo direto), q (enrolamento do eixo em 
quadratura), Laq (reação da armadura/eixo q); kd 
(enrolamento amortecedor de eixo direto), kq1 e 
kq2 (enrolamentos amortecedores de eixo em 
quadratura). 
 
Figura 1.3.1. Modelos da máquina síncrona. 
 
 As equações que definem a dinâmica das máquinas síncronas são as seguintes: 
a) Máquina Síncrona de Polos Salientes 
vd = r Id  w q + 
dt
dd 
vq = r Iq + w d + 
dt
qd 
v0 = r I0 + 
dt
0d 
vf = rf If + 
dt
fd 
vkd = rkd Ikd + 
dt
kdd = 0 
vkq = rkq Ikq + 
dt
kqd = 0 
 
d = Ld Id + Lad If + Lad Ikd 
q = Lq Iq + Laq Ikq 
0 = L0 I0 
f = Lad Id + Lf If + Lad Ikd 
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D = Lad Id + Lad If + LD Ikd 
Q = Laq Iq + LQ Ikq (1.3.1) 
 
b) Máquina Síncrona de Rotor Liso 
 
vd = r Id  w q + 
dt
dd 
vq = r Iq + w d + 
dt
qd 
v0 = r I0 + 
dt
0d 
vf = rf If + 
dt
fd 
vkd = rkd Ikd + 
dt
kdd = 0 
vkq = rkq Ikq + 
dt
kqd = 0 
vkq2 = rkq2 Ikq2 + 
dt
2kqd = 0. 
 
d = Ld Id + Lad If + Lad Ikd 
q = Lq Iq + Laq Ikq 
0 = L0 I0 
f = Lad Id + Lf If + Lad Ikd 
D = Lad Id + Lad If + LD Ikd 
Q = Laq Iq + LQ Ikq + Laq Ikq2 
Q2 = Laq Iq + Laq Ikq + LQ2 Ikq2. (1.3.2) 
 
 
 Na Figura 1.3.2 apresentam-se os circuitos equivalentes dos eixos d e q para cada 
uma das máquinas síncronas: máquina síncrona de polos salientes e máquina síncrona de rotor 
liso. Ressalta-se que os termos (w q) e (+w q) são conhecidos como tensões de velocidade 
do eixo direto e do eixo em quadratura, respectivamente. 
 
NB.Por vezes usam-se as letras D e Q (letras maiúsculas) para indicar as grandezas 
referentes aos enrolamentos amortecedores do eixo direto e do eixo em 
quadratura, respectivamente. 
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Máquina Síncrona de Polos Salientes Máquina Síncrona de Rotor Liso 
 
 
Figura 1.3.2. Circuitos equivalentes referentes ao eixo d e ao eixo q. 
 
 
 
 As demais equações que completam o modelo de Park que descrevem a dinâmica 
das máquinas síncronas são as seguintes: 
dt
d
 = w (1.3.3) 
M
dt
dw
 = Pm – Pe (1.3.4) 
 
sendo: 
Pm : potência mecânica de entrada à máquina síncrona; 
Pe : potência elétrica entregue pela máquina síncrona; 
M = 
f2
H2
 
H : constante de inércia (segundo) 
f : frequência do sistema; 
w : velocidade angular da máquina síncrona (rad.elét./s); 
 : posição angular da máquina síncrona medida em relação a uma referência que gira à 
velocidade síncrona (377 rad.elét./s considerando a frequência nominal de 60 Hz). 
 
 Finalmente, as equações de tensão referentes ao enrolamento de campo e ao 
enrolamento amortecedor do eixo direto, são comumente normalizadas como forma torná-las 
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com valores por unidades próximos das grandezas do estator. Assim, tomando-se a equação da 
tensão do campo: 
vf = rf If + 
dt
fd . (1.3.5) 
 
 Multiplicando-se a equação (1.3.5) por (Xad/rf), obtém-se: 
 
(
rf
Xad
) vf = (
rf
Xad
) rf If + (
rf
Xad
)
dt
fd . (1.3.6) 
 
sendo: 
Xad = w Lad. 
 
 A equação (1.3.6) pode ser reescrita como: 
 
Efd = Eq + 
dt
d
{
rf
Xad
Lf
Lf f} (1.3.7) 
sendo: 
Efd = 
rf
Xad
vf 
Eq = Xad if. 
 
 A equação (1.3.7) pode ser posta na seguinte forma: 
Efd = ’do 
dt
q'dE
 + Eq (1.3.8) 
em que: 
’do = 
rf
Lf
 
E’q = f
rf
Xad  . 
 
 Analogamente, tomando-se a equação da tensão do enrolamento amortecedor do 
eixo direto: 
vkd = rkd Ikd + 
dt
kdd = 0 (1.3.9) 
obtém-se a seguinte equação diferencial de primeira ordem: 
 
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0 = ’qo 
dt
d'dE
 + Ed (1.3.10) 
 
 As equações (1.3.8) e (13.10) representam o decaimento da tensão do eixo em 
quadratura e do eixo direto, respectivamente. Ressalta-se que nos equacionamentos aqui 
apresentados, as variáveis / parâmetros são grandezas por unidades, exceto aquelas 
explicitamente designadas por outras unidades. 
 
 As indutâncias Ld e Lq, no domínio da frequência (funções de transferência), 
podem ser expressas por: 
 
Ld(s) = Ld 
do''do's+)do''+do'(s+1
d''d's+)d''+d'(s+1
2
2


 (1.3.3) 
 
 
Lq(s) = Lq 
qo''s+1
q''s+1


 (para máquina síncrona de polos salientes) (1.3.4) 
 
ou 
 
Lq(s) = Lq 
qo''qo's+)qo''+qo'(s+1
q''q's+)q''+q'(s+1
2
2


 (para máquina de rotor liso) (1.3.5) 
 
sendo: 
’do : constante de tempo transitória do eixo direto a vazio (estator aberto); 
’’do : constante de tempo subtransitória do eixo direto a vazio; 
’d : constante de tempo transitória do eixo direto de curto-circuito (estator curto-
circuitado); 
’’d : constante de tempo subtransitória do eixo direto de curto-circuito (estator curto-
circuitado); 
’qo : constante de tempo transitória do eixo em quadratura a vazio; 
’’qo : constante de tempo subtransitória do eixo em quadratura a vazio; 
’q : constante de tempo transitória do em quadratura de curto-circuito; 
’’q : constante de tempo subtransitória do eixo em quadratura de curto-circuito. 
 
 Observa-se que as constantes de tempo ’qo e ’’qo não fazem parte do modelo da 
máquina síncrona de polos salientes, apenas da máquina síncrona de rotor liso. 
 
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 Deste modo, as respostas em frequência de Ld(s) e Lq(s) são ilustradas na 
Figura 1.3.3. 
 
 
 
Figura 1.3.3. Respostas em frequência de Ld e Lq das máquinas síncronas de rotor liso e de 
polos salientes. 
 
 
 Na Figura 1.3.4 apresenta-se o procedimento de cálculo das indutâncias Ld, L’d, 
L’’d., Lq, L’q e L”q. 
 
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Figura 1.3.4. Indutâncias referentes ao eixo direto e ao eixo em quadratura. 
 
 Como se pode observar na Figura 1.3.4., as indutâncias do eixo direto e do eixo em 
quadratura são: 
Ld = Lld + Lad 
L’d = Lld + Lad Llf 
L’’d = Lld + Lad LlfLlD 
 
Lq = Llq + Laq 
L’q = Llq + LaqLlq1 
L’’q = Llq + LaqLlq1Llq2 
 
Lq = Llq + Laq 
L’’q = Llq + LaqLq1 
 
sendo: 
 : simbologia de paralelismo de componentes elétricos. 
 
 
 As constantes de tempo do eixo podem ser calculadas, a partir do esquema 
ilustrado na Figura 1.3.5. Nota-se que este procedimento é válido tanto para máquina síncrona 
de rotor liso, como também para a máquina síncrona de polos salientes. 
 
Para as máquinas síncronas de rotor liso e de polos salientes 
Para a máquina síncrona de rotor liso 
Para a máquina síncrona de polos salientes. 
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Figura 1.3.5. Constantes de tempo referentes ao eixo direto das máquinas síncronas de rotor 
liso e de polos salientes. 
 
 
 Finalmente, nas Figuras 1.3.6. e 1.3.7. mostra-se o processo de obtenção das 
constantes de tempo do eixo em quadratura, respectivamente, para a máquina síncrona de rotor 
liso e para a máquina síncrona de polos salientes. 
 
 
 
Figura 1.3.6. Constantes de tempo referentes ao eixo em quadratura da máquina síncrona de 
rotor liso. 
 
 
 
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Figura 1.3.7. Constantes de tempo referentes ao eixo em quadratura da máquina síncrona de 
polos salientes. 
 Na Figura 1.3.8 apresentam-se os modelos das máquinas síncronas representados 
por fonte de tensão atrás de uma impedância constante. 
 Máquina síncrona de polos salientes. Máquina síncrona de rotor liso. 
Figura 1.3.8. Modelo da máquina síncrona: representação por fonte de tensão. 
sendo: 
 
(xd – xq) : saliência síncrona. 
 
 
 
 
1.4. Modelos de Linhas de Transmissão e Transformadores Para o Cálculo do 
Fluxo de Potência 
 
 
1.4.1. Linha de Transmissão 
 
 
 
Figura 1.4.1.1. Modelo . 
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sendo: 
 
Zkm : impedância série do elemento k-m; 
Rkm : resistência do elemento k-m; 
Xkm : reatância do elemento k-m; 
bkmsh : admitância (susceptância) shunt do elemento k-m; 
Ykm (admitância) = gkm + j bkm = (Zkm)1 
 = Rkm / (Rkm2 + Xkm2)  j Xkm / (Rkm2 + Xkm2) (1.4.1.1) 
 
 
Modelo : (Rkm, Xkm(indutivo)) positivos  gkm > 0 
 bkm < 0 
 
NB. bkmsh > 0  shunt capacitivo. 
 
 
então: 
 
 Ikm = Ykm ( Ek  Em) + j bkmsh Ek (1.4.1.2) 
 
 
sendo: 
Ek = Vk e
jk 
Em = Vm e
jm 
Imk = Ykm ( Em Ek ) + j bkmsh Em . (1.4.1.3) 
 
 
1.4.2. Transformadores em Fase e Defasadores 
 
 
 Representação Geral de Transformadores (Em fase e Defasadores) 
 
 
 
 
 
Figura 1.4.2.1. Representação do transformador. 
 
 
 
 O transformador é representado por uma admitância série Ykm (com susceptância 
shunt nula ou considerada nula (muito pequena), em série com um autotransformador ideal, com 
uma relação de transformação (1: t). 
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 15
 Transformador Em fase:  t é um número real 
 t = a (número real). 
 Transformador Defasador :  t é um número complexo 
 t = a ej. 
 
 
 Representação de Transformador em Fase 
 
 
 
 
 
Figura 1.4.2.2. Transformador em fase. 
 
 
 
 Neste caso, no nó p há alteração somente do módulo de tensão. Assim, tem-se: 
 
 
k
p
E
E
 = 
k
p
V
V
 = a (1.4.2.1) 
 
sendo: 
 
A = a Ykm 
B = a (a  1) Ykm 
C = (1  a) Ykm 
 
 se a = 1  (B, C) = 0 
 se a < 1  B < 0 (capacitivo), C > 0 (indutivo) 
 Vk  (aumenta) , Vm (diminui) 
 se a > 1  B > 0 (indutivo), C < 0 (capacitivo) 
 Vk  , Vm. 
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 16
 
 
Figura 1.4.2.3. Circuito equivalente (modelo ) do transformador em fase. 
 
 
 Representação de Transformador Defasador 
 
 
 
 
Figura 1.4.2.4. Transformador defasador puro. 
 
NB. 
 Este tipo de transformador permite que se controle o fluxo de potência ativa no ramo no 
qual está inserido; 
 não é possível determinar os parâmetros A, B e C do circuito equivalente, como 
representado na Figura 1.2.3.4; 
 defasador com t = a ej afeta os fluxos de potência ativa e reativa do ramo onde está 
inserido. 
 
 
 
1.5. Referências Bibliográficas 
 
[1] Anderson P.M. and Fouad, A. A. Power System Control and Stability, Iowa State 
University Press. AMES-USA, 1977. 
 
[2] Monticelli, A.J. “Fluxo de Carga em Redes de Energia Elétrica”, Edgard Blücher Ltda., 
São Paulo, 1983. 
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Universidade Estadual Paulista – UNESP 
Campus de Ilha Solteira 
Departamento de Engenharia Elétrica 
Curso de Graduação em Engenharia Elétrica 
 
 
 
 
 
 
Disciplina: ELE1091 - Análise de Sistemas de Energia Elétrica 
 
 
 
 
 
 
Operação de Sistemas de Energia 
Elétrica 
 
 
Carlos Roberto Minussi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CCCaaapppííítttuuulllooo 222 
 Ilha Solteira – SP, Março-2011 
 
 
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 18
2.1. Característica da Carga 
 
 
 
 Em geral, o termo carga refere-se a um equipamento ou conjunto de equipamentos que retira 
(absorve) energia do sistema. 
 
 Na prática, a carga pode variar desde uma lâmpada de poucos watts até uma máquina 
assíncrona (máquina de indução) de muitos MW’s ou um forno elétrico em siderurgia. 
 
 Um sistema de energia elétrica, bem projetado, deve ser capaz de fornecer energia a todas as 
cargas com boas condições de tensão, frequência, continuidade, etc.; 
 É possível dividir as cargas nas seguintes categorias: 
1) motores (incluindo os motores estacionários, na indústria, e os móveis, em 
equipamentos de transporte, i.e., trens, etc.; 
2) equipamentos de aquecimento; 
3) diversos equipamentos eletrônicos; 
4) equipamentos de iluminação; 
5) etc. 
 
 Do ponto de vista elétrico, os diversos equipamentos são caracterizados por grandes 
diferenças no que diz respeito a: 
1) tamanho; 
2) simetria (monofásico ou trifásico); 
3) constância da carga (em relação a tempo, frequência e tensão); 
4) ciclo de funcionamento (uso regular ou aleatório). 
 
 As cargas industriais possuem, em geral, poucas semelhanças com as cargas domésticas 
(residenciais): 
  carga industrial pode ser constituída, em torno de 95%, de grandes motores de indução 
trifásicos, com considerável constância de carga e a um ciclo de funcionamento bem 
determinado; 
 uma carga residencial típica, ao contrário, consiste, principalmente de aparelhos 
monofásicos operando aleatoriamente. 
 
 Muito embora as cargas individuais possam ser de caráter inteiramente aleatório, uma certa 
configuração média é “vista” pelo sistema. Este comportamento pode ser perfeitamente 
identificado, através de sistemas previsores de cargas elétricas. 
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 19
 
 De maneira resumida, apresentam-se as seguintes regras que caracterizam as cargas típicas 
dos sistemas: 
1) embora individualmente do tipo aleatório, as cargas concentradas ou compostas, 
encontradas nos níveis de subtransmissão e de transmissão, são de caráter altamente 
previsíveis; 
2) estas cargas variam com o tempo de maneira previsível. Para fins de ilustração, mostra-
se, na Figura 2.1.1, o comportamento típico diário da carga elétrica e o resultado da 
previsão, por exemplo, usando-se redes neurais [2]. 
0 5 10 15 20 25
2200
2400
2600
2800
3000
3200
3400
3600
3800
Hour
Lo
ad
 (M
V
A
)
Fuzzy BP
BP 
Actual 
 
Figura 2.1.1. Comportamento típico da carga diária x previsão. 
 
 
3) em geral, há variação considerável, não apenas durante as horas do dia, mas também 
entre os dias da semana e aos domingos e feriados e, ainda, entre as diferentes estações 
do ano; 
4) muito embora as cargas sejam variáveis no tempo, tais variações são relativamente 
lentas. De minuto a minuto tem-se uma carga quase constante: 
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 20
  um minuto é um período de tempo longo, se comparado com as constantes de tempo 
elétricas dos sistemas de energia elétrica. Isto permite considerar o sistema 
funcionando em regime permanente, 
5) a carga típica sempre consome potência reativa; 
6) a carga típica é sempre simétrica (ou muito próxima da simetria) 
  nos casos de motores grandes visto que eles são sempre projetados para o 
funcionamento equilibrado; 
  nos casos de equipamentos monofásicos, a simetria provém da distribuição 
intencional entre as fases que, conjuntamente, considerando os vários consumidores, 
o funcionamento aproxima-se muito de um sistema equilibrado. 
 
 
2.2. Dependência da Carga Com a tensão e a Frequência 
 
 
 Em certos estudos de SEE (Sistemas de Energia Elétrica) é necessário saber como as 
diversas cargas das barras variam com a tensão e com a frequência. 
 
 As referidas cargas podem ser expressas por: 
 
 P = P(f, V) (carga ativa) (2.2.1) 
 
 Q = Q(f, V) (carga reativa) (2.2.2) 
 
 sendo: 
 f = frequência 
 V = módulo de tensão. 
 
 Na maioria dos casos práticos, está-se interessado nas variações P e Q nas cargas ativas e 
reativas, causadas por variações pequenas, f e V, na frequência e na tensão. Das 
equações (2.2.1) e (2.2.2), obtém-se (modelo linearizado): 
 
 P  
f
P

 f + 
V
P

 V (2.2.3) 
 Q  
f
Q

 f + 
V
Q

 V (2.2.4) 
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 21
 Nestas expressões, as quatro derivadas parciais não podem ser determinadas analiticamente 
para cargas compostas. Elas devem ser encontradas empiricamente. 
 Exemplo: 
 (composição) 
  
 Considerando-se : (1) motores de indução = 60% 
 (2) motores síncronos = 20% 
 (3) outros tipos = 20%, tem-se: 
 
V
P

  1,00 
 
f
P

  1,00 
 
f
Q

 (desprezível) 
 
V
Q


  1,30. 
NB. 1) Uma carga composta é caracterizada por uma dependência com a tensão muito 
menor do que à relativa a uma carga tipo impedância; 
2) enquanto que uma carga constituída pela impedância RL decresce com o aumento da 
frequência, uma carga composta aumentará. 
 
 
 
2.3. Balanço da Potência Ativa e Seus Efeitos Sobre a Frequência do Sistema 
 
 Razões para se manter as flutuações da frequência de um sistema dentro de limites rigorosos: 
1) a maioria dos tipos de motores de corrente alternada gira com velocidades diretamente 
relacionadas com a frequência;2) o funcionamento global de um sistema de potência pode ser mais efetivamente 
controlado, se mantido o erro de frequência dentro de limites rigorosos. 
 
 
NB. 1) A maioria das cargas acionadas por motores de corrente alternada, provavelmente, 
são sensíveis a flutuações de ordem de (60 + 2 Hz); 
 2) em sistemas reais a frequência é mantida nos limites (60 + 0,05 Hz). 
 
 
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 22
2.4. Balanço da Potência Reativa e Seus Efeitos Sobre a Tensão 
 
 
 O balanço da potência ativa e seus efeitos sobre a frequência do sistema (Seção 2.3), assim 
como o balanço da potência reativa sobre a tensão (Seção 2.4) serão ilustrados, aqui, através 
de um exemplo bastante simples, porém que serve perfeitamente para estabelecer a 
compreensão destes fenômenos. 
 
 Exemplo: 
 Considere a rede elétrica composta por duas barras (vide Figura 2.4.1): 
 
 
 
 
Figura 2.4.1. Sistemas de duas barras. 
 
 
 A tensão na barra 1 é mantida constante, em módulo, via controle de campo do gerador; 
 Escolhe-se a tensão V1 como referência, ou seja: V10o; 
 A impedância da linha de transmissão é considerada puramente indutiva, i.e., 
Z = j X (R/X muito pequena  0). 
 
 A potência na linha é igual a (P + j Q); 
 
 A tensão na barra 2 é dada por: 
 V2 = V1 – i Z (2.4.1) 
 A corrente de linha (i) satisfaz a seguinte relação: 
V1 i* = P + j Q, portanto: 
 
DEE-CISA-UNESP  Análise de Sistemas de Energia Elétrica  C.R. Minussi 
 23
 I = (P  j Q) / V1 (2.4.2) 
 Tem-se, então: 
 V2 = V1  (P  j Q)/V1 (j X) 
 = V1  (X/V1) Q  j (X/V1) (2.4.3) 
 
 
Figura 2.4.2. Diagrama fasorial. 
 Diagrama fasorial considerando-se variações em P e Q: 
  Variação na potência reativa 
  Potência ativa constante 
 
Figura 2.4.3. Diagrama fasorial: (1) variação na potência reativa; (2) potência ativa constante. 
  Potência reativa constante 
  Variação na Potência ativa 
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 24
 
Figura 2.4.4. Diagrama fasorial: (1) potência reativa constante; (2) variação na potência ativa. 
 
 NB. (1) Uma variação na potência ativa P afeta o fasor da queda de tensão que é 
perpendicular a V1. Portanto, não ocorrerá nenhuma variação apreciável no 
módulo de V2; 
 (2) Uma variação na potência reativa Q afeta o fasor correspondente à queda de 
tensão que está em fase com V1. A variação no módulo de tensão de V2 é, 
portanto, essencialmente proporcional a Q. 
 Deste modo, a partir das Figuras 2.4.3 e 2.4.4, pode-se concluir que: 
  uma mudança na potência reativa proporciona uma grande mudança no módulo da tensão 
e uma pequena alteração no ângulo; 
 
 uma mudança na potência ativa proporciona uma grande mudança no ângulo e uma 
pequena alteração no módulo de tensão. 
 
 Este fenômeno é observado na grande maioria dos sistemas de energia elétrica. Deste modo, 
costuma-se abordar os problemas, considerando-se os acoplamentos P- ou P-f (frequência) 
e Q-V (vide ilustração na Figura 2.4.5). Por exemplo: (1) controle carga (P) – frequência (f). 
(2) fluxo de potência desacoplado (assunto a ser abordado mais adiante): modelos P- e Q-
V, etc. 
 
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 25
 
Figura 2.4.5. Acoplamentos entre as variáveis P, Q, f,  e V. 
 
 
2.5. Condições de Operação e Restrições 
 
 O sistema de energia elétrica, para atender a demanda (energia aos consumidores), 
deve funcionar de tal modo que sejam satisfeitas as seguintes equações (equações de balanço): 
 


ng
1i
PGi - 

nl
1j
PLj - Perda total de potência ativa = 0 (2.5.1) 
 


ng
1i
QGi - 

nl
1j
QLj - Perda total de potência reativa = 0 (2.5.2) 
 
sendo: 
PGi : potência ativa gerada pela i-ésima unidade geradora; 
QGi : potência reativa gerada pela i-ésima unidade geradora; 
PLj : potência ativa consumida na j-ésima barra do sistema; 
QLj : potência reativa consumida na j-ésima barra do sistema; 
ng : número de barras de geração; 
nl : número de barras de carga. 
 Ou seja, a capacidade de geração deve ser suficiente para atender a carga total do 
sistema e as perdas em consequência do fluxo de corrente em circulação principalmente no 
sistema de transmissão. 
 A operação do sistema elétrico de potência, definida pelas equações (2.5.1) e 
(2.5.2), deve atender o seguinte conjunto de restrições: 
 
 Pmini < Pi < Pmaxi (referentes à geração) (2.5.3) 
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 26
 Qmini < Qi < Qmaxi (referentes à geração) (2.5.4) 
 
 Vmini < Vi < Vmaxi (2.5.5) 
 Fluxos nas linhas de transmissão < Limite máximo (2.5.6) 
 Aquecimento dos condutores na transmissão < Limite térmico (2.5.7) 
 Etc. 
 
sendo: 
Pmini : limite inferior de potência ativa gerada pela i-ésima unidade geradora; 
Pmaxi : limite superior de potência ativa gerada pela i-ésima unidade geradora; 
Qmini : limite inferior de potência reativa gerada pela i-ésima unidade geradora; 
Qmaxi : limite superior de potência reativa gerada pela i-ésima unidade geradora; 
Vmini : limite inferior da tensão da i-ésima barra de carga; 
Vmaxi : limite superior da tensão da i-ésima barra de carga. 
 
 
2.6. Capacidade de Transmissão 
 
 
 Um fator crítico no projeto e no funcionamento de um sistema de transmissão é a 
capacidade de linha de transmissão específica. 
 Quando se deseja conduzir energia elétrica por meio de uma linha de transmissão, deve-se 
considerar que existe um limite para a quantidade de energia a ser transmitida. 
 
2.6.1. Capacidade Estática de Transmissão 
 
 Hipótese: Aumentar lentamente a carga, forçando-se um aumento lento da energia que está 
sendo transmitida pela linha de transmissão. 
 
Figura 2.6.1.1. Representação por fase de um sistema trifásico de transmissão (LT entre os 
nós i e j). 
DEE-CISA-UNESP  Análise de Sistemas de Energia Elétrica  C.R. Minussi 
 27
 
 Toma-se uma linha de transmissão entre os nós i e j. Considerando-se a resistência da linha 
Rij = 0, a potência ativa transmitida vale: 
 
 Pij = - Pji = Pmáx sen  (2.6.1.1) 
 
 sendo: 
 Pmáx  
ij
ji
X
VV
 (2.6.1.2) 
  : ângulo de fase entra Vi e Vj. 
 
 Se as tensões Vi e Vj forem mantidas constantes (através da manipulação da potência 
reativa), então: 
 
 Pmáx : constante. 
 Assim, a única maneira pela qual se pode afetar o valor da potência elétrica transmitida é, 
obviamente, mudando o ângulo de fase . 
 
Figura 2.6.1.2. Potência elétrica transmitida na linha de transmissão entre os nós i e j. 
DEE-CISA-UNESP  Análise de Sistemas de Energia Elétrica  C.R. Minussi 
 28
 
 Note que a potência muda de sinal com a mudança de sinal de ; 
 Quando a potência transmitida atinge o valor Pmáx, o ângulo  atinge 90o e qualquer 
incremento à carga não resultará num aumento da potência transmitida. Quando um incremento 
na carga força  para além de 90o, a potência transmitida começa a decrescer. Neste ponto, 
chamado de limite de estabilidade estática, perde-se o sincronismo entre as barras i e j. 
 Notam-se duas importantes características com relação à Pmáx: 
 (1) cresce com o quadrado da tensão de transmissão; 
 (2) é inversamente proporcional à reatância da linha de transmissão. 
 Tem-se, portanto, uma boa razão para trabalhar-se com alta tensão de transmissão e uma 
baixa reatância em série (podendo ser obtida com o uso de linhas em paralelo, ou inserindo 
capacitores em série, ou, ainda, o emprego de dispositivos FACTS (Flexible AC 
TransmissionSystems)). 
 
 
2.7. Coeficiente de Potência Sincronizante 
 
 Define-se Coeficiente de Potência Sincronizante como sendo: 
 
 Kij  
 ijP = 
 ijP 
 = Pmáx cos  (2.7.1) 
 
 
 
Figura 2.7.1. Coeficiente de potência sincronizante. 
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 29
 Limite de estabilidade estática (associada à linha de transmissão): 
 
 
 /2 <  < /2  Kij > 0 (2.7.2) 
 
 Quando  se aproxima de + 90o o coeficiente Kij aproxima-se de zero. 
 
 Por esta razão, em situações práticas, as LT’s devem funcionar com ângulos razoavelmente 
pequenos. 
 Situação análoga pode ser verificada, quando se consideram as resistências das LT’s. 
 
 
2.8. Análise de Contingência 
Perturbação: Qualquer ação que venha provocar a alteração do funcionamento do 
sistema: 
  variação da carga; 
  saída ou entrada em operação de equipamentos elétricos (linhas de 
transmissão, geradores, etc.); 
  descargas atmosféricas; 
  defeitos por ação da natureza (neve, vento, etc.); 
  ação do homem (voluntária ou involuntária); 
  etc. 
Contingências: São perturbações causadas por defeitos: 
  saída de operação de equipamentos elétricos; 
  curto-circuito causado por descargas atmosféricas, ação mecânica, etc.; 
  etc. 
NB. Contingências ou defeitos são de natureza endêmica. 
 
Crucialidade: 
 em consequência, principalmente, das máquinas síncronas  necessidade de manter o 
sincronismo. 
 
 
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 30
Modelos: 
 
 Para a realização da análise de contingências, deve-se considerar que é necessário 
dispor de um conjunto de informações e modelos. Nem todo evento ou dado pode se modelado. 
Por exemplo, não há um modelo disponível para a estimação da carga futura do sistema. Neste 
caso, deve-se empregar técnicas previsionais (regressão linear simples ou múltipla, alisamento 
exponencial, estimação de estado, filtro de Kalman, ARIMA (AutoRegressive Integrated 
Moving Average) de Box & Jenkins, entre outras), ou seja, a partir de um conjunto de 
informações históricas pode-se, com certo nível de precisão, prever o seu comportamento 
futuro. 
Deve-se lembrar que a análise de contingência deve ser realizada considerando um 
tempo futuro: minutos, horas ou dias à frente. Não faz sentido pensar em analisar, para fins de 
operação, uma contingência que ocorreu ou está ocorrendo, a menos que se deseja buscar 
explicações sobre os efeitos de falhas ocorridas. Como exemplo, destaca-se o suposto caso do 
“parafuso” de Ilha Solteira, defeito ocorrido recentemente, em que a sociedade, agências do 
setor elétrico, bem como outros interessados, por razões diversas, cobram explicações sobre o 
ocorrido. 
Deste modo, encontram-se relacionados no quadro a seguir, os principais eventos 
que devem ser abordados, no ambiente de sistemas de energia elétrica, considerando-se a 
disponibilidade ou não de modelos. 
 
Tabela 2.8.1. Dados sobre os modelos previsionais. 
 
Dados sem modelos Modelos disponíveis 
 Previsão de carga  Análise de segurança 
 Modelos equivalentes  Ajuste de controlador 
 Comportamento do consumidor  Planejamento 
 Análise de mercado  Regras de operação 
 Previsão de mercado  Esquemas de proteção 
 Identificação de sistemas  Etc. 
 Etc. 
 
 
Especificação de Cenários: 
 
 
 Ponto de operação inicial 
 Perturbação externa 
 Faltas, tendência da carga, etc. 
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 31
 Hipótese sobre o modelo dinâmico 
 
 Dinâmica dos equipamentos elétricos 
 Geradores : dinâmica acentuada 
 Linhas de transmissão : dinâmica quase que inexistente / para fins de análise 
consideram-se como de caráter estático 
 Transformadores : idem 
 Cargas : dinâmica acentuada / dinâmica discreta. 
 
 
 
 
2.9. Cenários da Análise de Contingências 
 
 
 
Caráter:  estático 
  dinâmico (moderado ou acentuado). 
 
1) Estática 
 No estático, a preocupação refere-se à análise do ponto de equilíbrio 
(natureza), o trafego dos fluxos de potência no sistema de transmissão e o 
suprimento das restrições operativas. 
 Neste caso, a análise corresponde em verificar se a matriz jacobiana do fluxo 
de potência é definida positiva como indicado na seguinte ilustração, de forma 
análoga como foi visto para o caso de sistema composto por máquinas 
síncronas x barra infinita, ou seja: 
 
 k  Pe/ > 0. 
 
 O ponto a refere-se ao ponto de equilíbrio antes do defeito e p ao ponto de 
equilíbrio do sistema, considerando-se, por exemplo, a saída de operação de 
uma linha de transmissão, o que provoca a redução da capacidade de 
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 32
transmissão do sistema. Se em tais pontos, as matrizes jacobianas forem 
definidas positivas, pode-se concluir que os pontos de equilíbrio 
correspondentes são estáveis. Do contrário, são instáveis. 
 
Figura 2.91. Diagrama de potências. 
 
 Da mesma forma, a exigência com relação à definibilidade da matriz 
jacobiana estende-se ao método de Newton-Raphson (processo iterativo por 
aproximações baseadas na matriz jacobiana da potência elétrica) utilizado para 
a obtenção de soluções do fluxo de potência (estado do sistema). Na Figura 
A.2.2, ilustra-se o mecanismo de busca da solução (estado / ponto de 
equilíbrio) de um sistema de energia elétrica composto por máquina síncrona 
x barra infinita via método de Newton (Newton-Rapson), através de 
sucessivas aproximações, iniciando em (0) e atingida a convergência : (h) - 
(h-1)  < tolerância preestabelecida. Esta convergência, dar-se-á somente 
porque as inclinações k, calculadas nos diversos pontos durante o processo 
iterativo, são valores positivos. 
DEE-CISA-UNESP  Análise de Sistemas de Energia Elétrica  C.R. Minussi 
 33
 
Figura 2.9.2. Ilustração do processo iterativo do método de Newton-Raphson no cálculo do 
fluxo de potência. 
 
2) Dinâmica Discreta 
 Nos casos em que há pequenas flutuações, em consequência de pequenas 
perturbações, a análise pode ser realizada usando-se técnicas apropriadas, por 
exemplo, a análise de sensibilidade, resolução de sistemas de equações 
diferenciais de parâmetros constantes ou de parâmetros variantes no tempo, 
abordagem via autoproblemas (autovalores / autovetores), perturbação singular, 
etc. Ou seja, pode-se inferir sobre o comportamento do sistema, através da 
observação das variações em torno do ponto de equilíbrio. 
 
Figura 2.9.3. Diagrama de potência / pequenas variações. 
DEE-CISA-UNESP  Análise de Sistemas de Energia Elétrica  C.R. Minussi 
 34
 Nota-se que, através da análise de sensibilidade, pode-se estimar um novo ponto 
de equilíbrio, em função, por exemplo, da saída ou entrada em operação de uma 
linha de transmissão. Este cálculo é direto. Contudo, o erro é proporcional à 
perturbação e em função do carregamento do sistema. Quanto maior for o nível 
de carregamento do sistema, maior será o erro. Há, portanto, um limite, ainda que 
não estabelecido explicitamente. A partir de um certo nível de carregamento, não 
se pode empregar a análise de sensibilidade como forma de estimar um novo 
ponto de equilíbrio. Por exemplo, supondo-se que na Figura A.2.3 o ponto de 
equilíbrio, antes da saída da LT (Linha de Transmissão) de operação (a), for 
muito próximo de 90o, o ponto de equilíbrio (p), após a retirada da LT, poderá 
ser maior do que 90o, correspondendo a um ponto de equilíbrio instável, que na 
verdade, é estável, como mostra a Figura A.2.4. 
 
Figura A.2.4. Cálculo deum ponto de equilíbrio, via análise de sensibilidade, (modelo linear). 
 
3) Dinâmica Acentuada 
 No dinâmico, além das preocupações do ponto de equilíbrio e suas 
consequências do ponto de vista estático, há preocupação com as oscilações 
dos ângulos das máquinas síncronas, flutuações de tensões nodais, etc, 
procedentes de grandes perturbações, e.g., curto-circuito, saída de operação de 
equipamentos elétricos (linha de transmissão, transformador, máquina 
síncrona, etc.). 
 
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 35
2.10. Técnicas empregadas 
 Estática / Dinâmica discreta 
  Resolução de sistemas lineares: A X = b; 
 Análise de sensibilidade; 
 Autoproblema; 
 Perturbação singular; 
 Método direto de Liapunov; 
  etc. 
 
 Dinâmico 
  Resolução de sistemas de equações algébricas / diferenciais não-lineares altamente 
acopladas; 
 Método Direto de Liapunov; 
 Autoproblema; 
 etc. 
 Enfim, pode-se empregar técnicas determinísticas, estocásticas, assim como 
técnicas inseridas no contexto de ALIFE (artificial life (vida artificial)) e computação quântica. 
ALIFE :  redes neurais; 
  Programação evolutiva; 
  inteligência coletiva (swarm intelligence); 
  sistemas imunológicos artificiais; 
  computação molecular; 
  etc. 
 
2.11. Análise da Estabilidade de pequenas Perturbações de Sistemas Elétricos 
de Grande Porte 
 
 
As equações (1.3.3) e (1.3.4) descrevem a dinâmica das máquinas síncronas. Estas 
equações foram obtidas a partir da seguinte equação diferencial ordinária não-linear de segunda 
ordem: 
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 36
Mi 2
2
dt
id 
 + Di 
dt
id  Pmi + Pei = 0, para i = 1, 2, . . ., ng (2.11.1) 
 As equações (2.11.1) podem ser escritas na forma de vetorial / matricial: 
 M 
..θ + D .θ  Pm + Pe = 0 (2.11.2) 
sendo: 
M  matriz de inércia 
 = diag{Mi > 0, i = 1, 2, . . ., ng}; 
D  matriz de amortecimento 
 = diag{ Di > 0, i = 1, 2, . . ., ng}; 
..θ = 2
2
dt
d
[ 1 2 . . . ng ]T; 
.θ = 
dt
d
[ 1 2 . . . ng ]T; 
Pm = [Pm1 Pm2 . . . Pmng ]T; 
Pe = [Pe1 Pe2 . . . Peng ]T. 
NB.: Considera-se que a matriz D semidefinida positiva, tendo que em vista que em alguns 
casos despreza-se o efeito dos amortecimentos, ou seja, Di = 0, para i = 1, 2, . . ., ng. 
 
 A equação (2.9.2) descreve a evolução das máquinas síncronas quando sujeitas a 
perturbações. Para analisar tal evolução, pode-se tomar dois procedimentos: 
a) análise da estabilidade transitória (ou dinâmica) considerando-se grandes perturbações 
(curto-circuito, incidência de descargas atmosféricas, saída / entrada em operação de 
equipamentos elétricos); 
b) análise da estabilidade para pequenas perturbações (pequena mudança do perfil de carga do 
sistema, etc.). 
 Neste Capítulo, tratar-se-á do problema da análise da estabilidade considerando-se 
pequenas perturbações. A análise de estabilidade transitória será abordada no Capítulo 7. 
 Deste modo, para fins da análise de pequenas perturbações, pode-se usar um 
modelo linearizado a partir do sistema (2.9.2) ficando com a seguinte estrutura: 
 M 
..
x + D 
.
x + K x = 0 (2.11.3) 
sendo: 
x = [( o11  ) ( o22  ) . . . ( oNGNG  )]T; 
DEE-CISA-UNESP  Análise de Sistemas de Energia Elétrica  C.R. Minussi 
 37
oi : posição angular da i-ésima unidade geradora referente à condição de equilíbrio; 
K : matriz de rigidez. 
 
 Ressalta-se que a matriz K é a matriz jacobiana do sistema. 
 O sistema (2.9.3) é estável para pequenas perturbações, se e somente se a matriz K 
for definida positiva, visto que as matrizes M > 0 (definida Positiva) e D  0 (semidefinida 
positiva). 
 A matriz K (matriz jacobiana) é não-simétrica, porém é simetrizável, ou seja, pode-
se encontrar uma matriz de transformação que promova a sua simetrização. Deste modo, pode-
se concluir que a matriz K possui autovalores reais (característica de toda matriz simétrica). 
Neste caso, para que a matriz K seja definida positiva é necessário e suficiente que todos os 
autovalores de K sejam positivos (e reais). 
 No Capítulo 4 abordar-se-á, entre outros temas, o cálculo da matriz jacobiana. 
Portanto, ter-se-á a oportunidade de melhor compreender a sua estrutura e detalhamento de 
cálculo. 
 
 
2.12. Referência Bibliográfica 
 
[1] Elgerd, O. I. “Introdução à Teoria de Sistemas de Energia Elétrica”, Editora McGraw-Hill 
do Brasil, 1976. 
[2] Lopes, M.L.M., Minussi, C. R. and Lotufo, A.D.P. “A Fast Electric Load Forecasting 
Using Neural Networks”, Proceedings of 43rd Midwest Symposium on Circuits and 
Systems, 2000. vol. 1, pp.1 – 4. 
[3] Monticelli, A.J. “Fluxo de Carga em Redes de Energia Elétrica”, Edgard Blucher Ltda., 
São Paulo, 1983. 
 
 
 
 38
Universidade Estadual Paulista – UNESP 
Campus de Ilha Solteira 
Departamento de Engenharia Elétrica 
Curso de Graduação em Engenharia Elétrica 
 
 
 
 
 
Disciplina: ELE1091 - Análise de Sistemas de Energia Elétrica 
 
 
 
 
 
 
Resolução de Sistemas de Equações Algébricas 
Não-Lineares 
 
 
Carlos Roberto Minussi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CCCaaapppííítttuuulllooo 333 
 
Ilha Solteira – SP, Março-2011 
 
 
 
 39
 
3.1. Resolução de Sistemas de Equações Algébricas Não-Lineares 
 
 
 As equações do fluxo de potência podem ser expressas na seguinte forma: 
 
 G(X) = 0, (3.1.1) 
sendo: 
G(X) : função vetorial não-linear de dimensão n; 
X = [X1 X2 X3 . . . Xn]T 
 solução do problema. 
 
NB. Variáveis / parâmetros em negrito são representações vetoriais ou matriciais. 
 
 Tendo em vista que o sistema de equações (3.1.1) é não-linear, a sua 
solução, normalmente, é determinada por processo iterativo, ou seja, dada uma condição 
inicial, a solução do problema é determinada por sucessivas aproximações. 
Basicamente, na literatura especializada, encontram-se três tipos de métodos para a 
resolução de sistemas descritos por equações na forma (3.1.1): 
 método de Gauss; 
 método de Gauss-Seidel; 
 método de Newton-Raphson. 
 
 As equações (3.1.1) são da forma: 
 
f1(X1, X2, X3, . . ., Xn) = 0 
f2(X1, X2, X3, . . ., Xn) = 0 
f3(X1, X2, X3, . . ., Xn) = 0 (3.1.2) 
 . . . 
fn(X1, X2, X3, . . ., Xn) = 0. 
 
 O problema, então, consiste na determinação do vetor X (variáveis 
complexas desconhecidas). 
 
 40
Método Iterativo de Gauss 
 
 
 Para ilustrar esta metodologia, utiliza-se um exemplo de uma função não-
linear unidimensional: 
 
 f(X) = X2 – 5X + 4 
 
 Deve-se, portanto, encontrar a solução X* tal que: 
 
 f(X*) = 0. (3.1.3) 
 
A solução exata é: 
 
X1 = {5  (25  4. 2)1/2 }/2 
X2 = {5 + (25  4. 2)1/2 }/2 
 
ou seja: 
X1 = 1 
X2 = 4. 
 
 A solução pelo método de Gauss é a seguinte: 
  a equação (3.1.3) pode ser reescrita por: 
 
 X = 1/5 X2 + 4/5 (3.1.4) 
   
 reta função qualquer. 
 
  gráfico das funções mostradas na equação (3.1.4): 
 
 41
 
 
Figura 3.1.1. Gráfico da função f(X), X e (1/5X2 + 4/5). 
 
 A equação (3.1.5) pode ser expressa por: 
 
 X = F(X) (3.1.5) 
 
sendo: 
 
F(X) = 1/5 X2 + 4/5. 
 
NB. É sempre possível encontrar uma função F(X) para qualquer f(X). 
 
 Na equação (3.1.5), deve-se determinar valores para X tais que produzem o 
mesmo valor em ambos os lados. No gráfico mostrado na Figura (3.1.1), os pontos são 
X1 =1 e X2 = 4. 
 
 Considerando-se a equação (3.1.5), escolhendo-se o seguinte algoritmo para 
o processo iterativo: 
 X(k+1)  F(X(k)) (3.1.6)sendo: 
 42
k = índice de iteração ou ciclo de iteração. 
 
 Assim, arbitrada uma condição inicial X(0), as aproximações da solução são 
regidas pela equação (3.1.6). Este processo pode ser ilustrado através das seguintes 
iterações: 
Iteração 0. Faça uma estimativa inicial (arbitrária) para a solução procurada. 
 
 
Figura 3.1.2. Ilustração do método de Gauss. 
Iteração 1. 
 
 X(1) = F(3) = 1/5 32 + 4/5 
 X(1) = 2,6. 
 
Iteração 2. 
 
 X(2) = F(2,6) = 1/5 2,62 + 4/5 
 X(2) = 2,15. 
 43
 
Iteração 3. 
 
 X(3) = F(2,15) = 1/5 2,252 + 4/5 
 X(3) = 1,7245. 
 
Iteração 4. 
 
 X(4) = F(1,7245) 
 X(4) = 1,3948. 
 
Iteração 5. 
 
 X(5) = F(1,3948) 
 X(5) = 1,1891. 
 . . . 
 X(6) = F(1,1891) = 1,0828 
 X(7) = F(1,0828) = 1,0345 
 . . . 
 X = 1,00. 
 
Regra de Parada: 
 
 X(k+1)  X(k) < tolerância preestabelecida. 
 
Desvantagem do Método: 
 44
 
  convergência lenta; 
  convergência não é garantida (depende da condição inicial). Começando-se 
com X(0) = 5 não há convergência. 
 
 Este método pode ser facilmente estendido à equação (3.1.1) n-dimensional: 
inicialmente escreve-se esta equação da seguinte forma: 
 
 X = F(X) (3.1.7) 
 
sendo: 
X = [X1 X2 X3 . . . Xn]T 
F(X) = F1(X1, X2, X3 , . . ., Xn) 
 F2(X1, X2, X3 , . . ., Xn) 
 F3(X1, X2, X3 , . . ., Xn) 
 . . . 
 Fn(X1, X2, X3 , . . ., Xn) 
 
 O processo iterativo é dado, então, por: 
 
 X(k+1) = F(X(k)). (3.1.8) 
 
 
Método Iterativo de Gauss-Seidel 
 
 O método de Gauss-Seidel é semelhante ao método de Gauss, com a 
diferença, apenas, na utilização de componentes do vetor X que estão atualizados para a 
obtenção dos demais componentes não-atualizados. Por exemplo, supondo-se que se 
deseja resolver o seguinte sistema de equações: 
 45
 
 2 X1 + X1 X2  1 = 0 
 2 X2  X1 X2 + 1 = 0. 
 
 
 Este sistema de equações pode ser reescrito por: 
 
 X1 = ½ (X1 X2 + 1) 
 X2 = ½ (+X1 X2  1). 
 
 ou, ainda, recursivamente, por (método de Gauss-Seidel): 
 
 X1(k+1) = ½ (X1(k [valor atualizado disponível)] X2(k [valor atualizado disponível)] + 1) 
 X2(k+1) = ½ (+X1(k [valor atualizado disponível)] X2(k [valor atualizado disponível)]  1). 
 
 Supondo-se que se arbitre a seguinte condição inicial: 
 
 X(0)  [X1(0) X2(0)]T, 
 = [2 1]T , 
 
 então, a partir das equações recursivas para a variável X1, obtém-se: 
 
 X1(1) = ½ ( 2 . 1 + 1) =  0,5. 
 Pelo método de Gauss e Gauss-Seidel, X2(1) vale, respectivamente: 
 
 X2(1) = ½ (2 . 1  1) = 0,5 (Gauss) 
 X2(1) = ½ ( 0,5 . 1  1) =  0,75 (Gauss-Seidel). 
 
 
 Assim, o processo deverá ser repetido até que ocorra a convergência 
requerida, conforme é mostrado na Tabela 3.1.1. 
 
 46
Tabela 3.1.1. Resultados da resolução pelos métodos de Gauss e Gauss-Seidel. 
 
Iteração Método de Gauss Método de Gauss-Seidel 
X1 X2 X1 X2 
0 2 1 2 1 
1 -0,5 -0,5 -0,5 -0,75 
2 0,625 -0,625 0,3125 -0,6172 
3 0,6953 -0,6953 0,5964 -0,6841 
4 0,7417 -0,7417 0,7040 -0,7408 
5 0,7751 -0,7751 0,7608 -0,7818 
... ... ... ... ... 
p 1 -1 1 -1 
 
 
 
Método de Newton-Raphson 
 
 
 Trata-se de um método iterativo mais sofisticado; 
 não oferece riscos de divergência; 
 normalmente converge em 3 a 5 iterações, independente do tamanho do sistema. 
 
 O problema é resolver um sistema de equações algébricas não-lineares da 
forma: 
 
 f(X) = b (3.1.9) 
 
sendo: 
 
X = [X1 X2 X3 . . . Xn]T 
f(X)  [f1(X) f3(X) f3(X) . . . fn(X)]T 
 : função não-linear (vetor); 
 47
b : termo independente (vetor). 
 
 Do problema (3.1.9), necessita-se determinar Xp, tal que: 
 
 f(Xp) = 0 (3.1.10) 
 
 
 Solução Via Método de Newton 
 
 A equação (3.1.10) pode ser expressa por séries de Taylor da seguinte 
forma: 
f(Xp)  f(X(0) + X) 
 = f(X(0)) + f’(X(0)) X + ½ f’’(X(0)) X2 + h(X) (3.1.11) 
 
sendo: 
X(0) : condição inicial; 
X : variação de X em torno de X(0) 
f’(X(0)) : primeira derivada de f(X) com relação a X calculada em X(0); 
f’’(X(0)) : segunda derivada de f(X) com relação a X calculada em X(0); 
h(X) : termos de ordem superior da série de Taylor. 
 
 A equação (3.1.11), desconsiderando-se os termos não-lineares, pode ser 
expressa por: 
 
 f(Xp)  f(X(0)) + f’(X(0)) X (3.1.12) 
 
 Da equação (3.1.12), pode-se estimar X, por: 
 X = {f’(X(0)}1[ f(X(0) + X)  f(X(0))] (3.1.13) 
 
NB.: f(X(0) + X)  f(Xp) = 0 (da equação (3.1.10)). 
 
 48
 Então, X pode ser estimado por: 
 
 X = {f’(X(0)}1[f(X(0))]. (3.1.14) 
 
 Nota-se que na Figura 7.1.3, usando-se a aproximação (3.1.14), obtém-se 
uma solução Xp aproximada, cujo erro é {erro(X(0))}. Deste modo, o objetivo é obter 
uma solução Xp, através de várias iterações, de tal modo que o erro tenda para zero ou 
muito próximo a um valor preestabelecido (tolerância), ou seja, proceder repetições de 
estimativas do tipo: 
 
 X(k) = {f’(X(k)}1[f(X(k))] (3.1.15) 
 X(k+1) = X(k) + X(k) 
até que: 
 
 X(k+1)  X(k) < tolerância predefinida 
 
sendo: 
k : índice de iteração 
f’(X(k))  J(X(k)) 
 = matriz jacobiana de f(X) calculada em X(k). 
J(X(k)) = 
)k(
n
n
2
n
1
n
2
2
2
1
2
11
1
1
X
f
X
f
X
f
Xn
f
X
f
X
f
Xn
f
2X
f
X
f
X


































 (3.1.16) 
sendo: 
j
i
X
f


 : derivada parcial de fi(X) com relação a Xj. 
NB. A simbologia adotada na matriz definida pela equação (3.1.16) ( X(k)) indica que 
esta matriz é calculada nas condições estabelecidas na iteração k. 
 
 49
 
Figura 3.1.3. Ilustração do método de Newton-Raphson. 
Exemplo: 
 
 2 X1 + X1 X2  1 = 0 
 2 X2  X1 X2 + 1 = 0 
assim: 
 f1(X) = 2 X1 + X1 X2  1 
 f2(X) = 2 X2  X1 X2 + 1 
Iteração 0. 
 Estimativa inicial: 
 X1(0) = 0 
 X2(0) = 0. 
 
Iteração 1. 
 Matriz jacobiana: 
 50
 J = 




)X2(X
X)X2(
12
12 
 J(0) = 


20
02
 
 (J(0))1 = ½ 


10
01
 
 f(X(0)) = 




1
1
 
 X(0) =  ½ 


10
01 . 




1
1
 = 




5,0
5,0
 
 X(1) = 


0
0
 + 




5,0
5,0
 
 = 




5,0
5,0
 
 
Iteração 2. 
 J(1) = 


5,15,0
5,05,1
 
 (J(1))1 = 




75,025,0
2,075,0
 
 f(X(1)) = 




25,0
25,0
 
 X(1) =  




75,025,0
2,075,0 . 




25,0
25,0
 = 




25,0
25,0
 
 X(2) = 




5,0
5,0
 + 




25,0
25,0
 
 = 




75,0
75,0
 
  
 X(p) = 


2
1
X
X
 
 51
 = 




1
1
 (solução exata). 
 
 
 
3.2. Referência Bibliográfica 
 
 
 
[1] ELGERD, O. I. “Introdução à Teoria de Sistemas de Energia Elétrica”, Editora 
McGraw-Hill do Brasil, 1976. 
 
 52
Universidade Estadual Paulista – UNESP 
Campus de Ilha Solteira 
Departamento de Engenharia Elétrica 
Curso de Graduação em Engenharia Elétrica 
 
 
 
 
 
 
Disciplina: ELE1091 - Análise de Sistemas de Energia Elétrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fluxo de Potência 
 
 
Carlos Roberto Minussi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CCCaaapppííítttuuulllooo 444 
 
 Ilha Solteira– SP, Março-2011 
 
 
 
 53
4.1. Fluxo de Potência 
 
 
 Aspectos Gerais: 
 
  o cálculo do fluxo de potência em SEE (Sistemas de Energia Elétrica) consiste, 
essencialmente, na determinação do estado da rede, da distribuição de fluxos 
no sistema de transmissão / distribuição e de outras grandezas de interesse; 
 neste tipo de problema, a modelagem do sistema é elaborada considerando-se o 
comportamento estático da rede elétrica. Portanto, o modelo é representado por 
um conjunto de equações e inequações algébricas; 
 esta representação é usada em situações nas quais as variações, com o tempo, 
são suficientemente lentas para que se possa desconsiderar os efeitos 
transitórios; 
 
 Os componentes de um SEE podem ser classificados em dois grupos: 
1) os que estão ligados entre um nó qualquer e o nó referente à terra: 
 gerador; 
 carga; 
 reator; 
 capacitor; 
 etc. 
 
2) os que estão ligados entre dois nós quaisquer da rede: 
 linha de transmissão; 
 transformador; 
 transformador defasador; 
 etc. 
 
 54
 Partes do Sistema: 
 1. Parte Externa : Geradores e cargas, os quais são modelados através de 
injeções de potência nos nós da rede; 
 2. Parte Interna : Constituída pelos demais componentes da rede, ou seja, 
linhas de transmissão, transformadores, etc. 
 
 Resolução de Circuito: (Cálculo do Fluxo de Potência) 
 1. Primeira Lei de Kirchhoff: 
 Conservação das potências ativa e reativa em cada nó da rede, i.e., a 
potência líquida injetada deve ser igual à soma das potências que fluem 
pelos componentes internos que possuem este nó como um de seus 
terminais; 
2. Segunda Lei de Kirchhoff: 
 É utilizada para expressar os fluxos de potência nos componentes internos 
como funções das tensões (estado) de seus nós terminais. 
 
 
 
4.2. Formulação Básica 
 
 
 Na formulação mais simples do problema (formulação básica), a cada barra da rede 
são associadas quatro variáveis, sendo que duas delas entram no problema como 
dados e duas como incógnitas (vide Figura (4.2.1)): 
 Vk : magnitude da tensão da barra k 
 k : ângulo da tensão da barra k 
 Pk : geração líquida (geração menos carga) de potência ativa na barra k 
  PGk - PLk 
 Qk : geração líquida (geração menos carga) de potência reativa na barra k 
 55
  QGk - QLk 
 PG : potência ativa gerada; 
 PL : potência ativa da carga; 
 QG : potência reativa gerada; 
 QL : potência reativa da carga. 
 
 
 
Figura 4.2.1. Representação da k-ésima barra do sistema. 
 
 Dependendo de quais variáveis nodais entram como dados e quais são consideradas 
como incógnitas, definem-se três tipos de barras: 
 
 
 PQ : são dados Pk e Qk e calculador Vk e k 
 
 
 PV : são dados Pk e Vk e calculador Qk e k 
 
 
 
 V : são dados Vk e k e calculador Pk e Qk. 
  
(Barra de referência). 
 
 
 56
NB. As especificações dos dados e respectivas variáveis a serem determinadas são 
estabelecidas considerando-se os acoplamentos (P) e (QV), conforme pode-se 
observar na figura 4.2.2. 
 
 
 
Figura 4.2.2. Acoplamento entre as variáveis P, Q, V e . 
 
 1. Barras PQ são barras de carga; 
2. Barras PV são barras de geração (incluindo-se os compensadores síncronos); 
3. Barra V (referência) possui dupla função: 
 fornece a referência do sistema; 
 é utilizada para fechar o balanço de potência do sistema, levando-se em conta as 
perdas de transmissão não conhecidas antes de se ter a solução final do 
problema (daí a necessidade de se dispor de uma barra do sistema na qual não é 
especificada a potência ativa). 
 
 Estes três tipos de barras que aparecem na formulação básica são os mais frequentes, 
e também mais importantes; 
 
 Entretanto, existem algumas situações particulares como, por exemplo, o controle de 
intercâmbio de uma área e o controle da magnitude da tensão de uma barra (PQV, 
por exemplo). Estes tipos de barras não são considerados na formulação básica, mas 
 57
podem ser incluídos no processo de resolução, quando se utilizam dispositivos de 
controle no sistema de transmissão; 
 
 Uma outra situação, não representada na formulação básica, refere-se à modelagem 
das cargas. Deve-se observar que as barras de carga são modeladas como tipo PQ, 
em que Pk e Qk são considerados constantes. Entretanto, as cargas variam em função 
da magnitude da tensão nodal. 
 
 
 
4.3. Cálculo da Potência Elétrica 
 
 
4.3.1. Expressões Gerais dos Fluxos 
 
 Os fluxos de potência ativa e reativa em linhas de transmissão, transformadores, etc. 
obedecem às expressões gerais [vide Figura (4.3.1.1)]: 
 
 Pkm = +(akm Vk)2 Gkm – (akmVk) Vm Gkm cos(km + km) + 
 – (akm Vk) Vm Bkm sen (km + km) (4.3.1.1) 
 
 Qkm = – (akm Vk)2 (Bkm +bkmsh) + (akmVk) Vm Bkm cos(km + km) + 
 – (akm Vk) Vm Gkm sen (km + km). (4.3.1.2) 
 
 Para Linhas de Transmissão : 
 akm = 1 e km = 0 
 
 Transformadores em fase : 
 bkmsh = 0 e km = 0 
 
 Para Transformadores defasadores Puros : 
 bkmsh = 0 e akm = 1 
 58
 
 Para Transformadores defasadores : 
 bkmsh = 0. 
 
 
Figura 4.3.1.1. Fluxos de potência associados à barra k. 
 
 
4.3.2. Injeções de Potência 
 
 A injeção de potência ativa e a injeção de potência reativa são as seguintes: 
 Pk = Vk 
 Km
Vm (Gkm cos km + Bkm sen km) (4.3.2.1) 
 
 Qk = Vk 
 Km
Vm (Gkm sen km  Bkm cos km). (4.3.2.2) 
 
em que: 
Ybarra  [Ypq] = Gpq + j Bpq 
  
esta matriz será:  simétrica, se for formada considerando-se linhas de transmissão e 
transformadores em fase; 
  assimétrica, se houver transformadores defasadores. 
 
Ykm =  akm e{jkm} ykm 
 
Ykk = j bksh + 
 km
( j bkmsh + akm2 ykm) 
K : conjunto de todas as barras m adjacentes à barra k incluindo a própria barra k; 
  {k, k) 
Em = Vm ejm . 
 
 59
4.4. Fluxo de Potência Não-linear 
 
 
 Formulação do Problema Básico: 
 Métodos computacionais para a solução de (4.3.2.1) e (4.3.2.2) são constituídos por 
duas partes: 
 1) Algoritmo básico : trata da solução por método iterativo de um sistema de 
equações algébricas não-lineares [equações (4.3.2.1) e 
(4.3.2.2)]; 
 2) Processo de resolução do problema em que é considerada a atuação dos 
dispositivos de controle e da representação dos limites de operação do sistema. 
 
 Estas duas partes podem ser resolvidas alternadamente, intercalando-se a solução das 
equações básicas com a representação dos controles e limites de operação. Outra 
possibilidade consiste em alterar-se as equações (4.3.2.1) e (4.3.2.2) para incluir a 
representação dos dispositivos de controle. Neste caso, as duas partes do problema 
são resolvidas simultaneamente. 
 Considere inicialmente um problema no qual são dados: 
1) Pk e Qk para as barras PQ 
2) Pk e Vk para as barras PV 
3) Vk e k para as barras V (referência angular), 
Pede-se calcular: 
1) Vk e k nas barras PQ; 
2) k e Qk nas barras PV; 
3) Pk e Qk na barra de referência. 
 
 Uma vez resolvido este problema, será conhecido o estado do sistema (Vk, k) para 
todas as barras da rede (k =1, 2, ..., NB), o que torna possível o cálculo de outras 
variáveis de interesse como, por exemplo, os fluxos de potência nas linhas de 
transmissão, transformadores, etc; 
 
 sendo: 
 NB : número de barras do sistema. 
 
 60
 O problema formulado anteriormente pode ser decomposto em três subsistemas de 
equações algébricas não-lineares: 
 
 Subsistema 1 (dimensão: 2 NPQ + NPV) 
 Dados :  Pk e Qk nas barras PQ 
  Pk e Vk nas barras PV 
 Calcular :  Vk e k nas barras PQ 
  k nas barras PV 
 
 
 ou seja, resolver o seguintesistema: 
 
 Pkesp – Pk = 0 (4.4.1) 
 para barras PQ e PV 
 Qkesp – Qk = 0 (4.4.2) 
 para barras PQ 
 
 sendo: 
 NPV : número de barras PV 
 NPQ : número de barras PQ 
 Pkesp : potência elétrica ativa especificada na barra k 
 Qkesp : potência elétrica reativa especificada na barra k. 
 
 NB. Os valores de Pk e Qk são calculados, respectivamente, usando-se as equações 
(4.3.2.1) e (4.3.2.2). 
 
 
 Subsistema 2 (dimensão: NPV +2) 
 
  Após a resolução do Subsistema 1 e, portanto, já conhecidos Vk e k de todas as 
barras do sistema, deseja-se calcular Pk e Qk na barras de referência e Qk nas 
barras PV. 
  Trata-se de um sistema com (NPV + 2) equações algébricas não-lineares com o 
mesmo número de incógnitas. 
 61
  Todas as incógnitas aparecem de forma explícita o que torna trivial o processo de 
resolução. 
 
 
 Subsistema 3 
 
  Consiste no cálculo dos fluxos de potência nas linhas de transmissão e 
transformadores. 
 
 NB. No subsistema 1 as incógnitas são implícitas, o que exige um processo iterativo 
de resolução. 
 
 As incógnitas do subsistema 1 podem ser agrupadas no vetor X dado por: 
 
 X = 

 
V )NPQ(
)NPQNPV( 
 (4.4.3) 
 
 em que: 
  : vetor de ângulos das barras PV e PQ; 
 V : vetor das magnitudes das tensões das barras PQ. 
 
 As equações (4.4.1) e (4.4.2) podem ser reescrita do seguinte modo: 
 
 Pk  Pkesp – Pk(V, ) = 0 (4.4.4) 
 para barras PQ e PV 
 
 Qk  Qkesp – Qk(V, ) = 0 (4.4.5) 
 para barras PQ. 
 
 As funções Pk e Qk podem ser colocadas na forma vetorial: 
 
 P = Pesp – P(V, ) = 0 (4.4.6) 
 
 62
 Q = Qesp – Q(V, ) = 0 (4.4.7) 
 
 sendo: 
 P : vetor de injeções de potências ativas nas barras PQ e PV; 
 Q : vetor de injeções de potências reativas nas barras PQ. 
 
 Considere o vetor g(X) definido por: 
 
 g(X)  




Q
P
)NPQ(
)NPQNPQ( 
 (4.4.8) 
 
 Considerando-se esta função, o subsistema 1 definido pelas equações (4.4.6) e (4.4.7) 
pode ser colocado na seguinte forma: 
 
 g(X) = 0 (4.4.9) 
 
 Este sistema de equações algébricas não-lineares pode ser resolvido por um grande 
número de métodos, sendo que os mais eficientes são os métodos de Newton e o 
Desacoplado Rápido (ambos serão estudados na sequência). 
 
 
4.5. Fluxo de Potência Pelo Método de Newton 
 
 Nesta Seção será aplicado o método de Newton (Newton-Raphson) para a resolução 
do subsistema 1: (g(X) = 0). 
 
 O ponto central do processo de resolução consiste em determinar o vetor de correção 
X, o que exige a resolução do seguinte sistema linear: 
 
 g(X(r)) = J(X(r)) X(r) (4.5.1) 
 
e a atualização do vetor X: 
 
 63
 X(r+1) = X(r) + X(r) (4.5.2) 
sendo: 
r : índice que indica a iteração do processo de resolução. 
J : matriz jacobiana de g(X). 
 
 As equações (4.5.1) e (4.5.2) devem ser repetidas até que: 
 X(r+1) – X(r) <  (teste de convergência); 
 sendo: 
  : tolerância preestabelecida (preespecificada). 
 
 O teste de Convergência pode ser efetuado da seguinte forma (forma alternativa): 
 
 máx Pk(r)  < P 
 e 
 máx Qk(r)  < P 
 
 sendo: 
 P : tolerância de potência ativa preestabelecida 
 Q : tolerância de potência reativa preestabelecida. 
 
 Os vetores g(X), X e a matriz J(X) são assim definidos: 
 
 g(X(r)) = 





)r(
)r(
Q
P (4.5.3) 
 X(r) = 





)r(
)r(
V
 (4.5.4) 
 J(X(r)) = 











 



V
QQ
V
PP
)()(
)()(
)r(
 (4.5.5) 
 
 64
 Considerando-se que as expressões dos vetores P e Q, dadas pelas equações 
(4.4.6) e (4.4.7), e lembrando que Pesp e Qesp são constantes, a matriz jacobiana J(X) 
(equação (4.5.5)) pode ser reescrita da seguinte maneira: 
 J(X(r)) = 











 



V
QQ
V
PP
)r(
 (4.5.6) 
 
 As submatrizes que compõem a matriz jacobiana J, dada pela equação (4.5.6), são 
geralmente representadas por: 
 H  
P (4.5.7) 
 N  
V
P

 (4.5.8) 
 M  
P (4.5.9) 
 L  
V
P

 . (4.5.10) 
 
 Usando-se estas expressões pode-se, finalmente, colocar o sistema (4.5.1) na 
seguinte forma matricial: 
 





)r(
)r(
Q
P = 


LM
NH )r(






)r(
)r(
V
 (4.5.11) 
 


 


)1r(
)1r(
V
 = 


 
)r(
)r(
V
+ 





)r(
)r(
V
 (4.5.12) 
 
 Os componentes das submatrizes H, N, M e L são expressos por: 
 H  Hkm  Pk/m = Vk Vm (Gkm senkm – Bkm coskm) (4.5.13) 
 Hkk  Pk/k = Vk2 BkkVk 
 Km
Vm (Gkmsen km–Bkm cos km) (4.5.14) 
 
 N Nkm  Pk/Vm = Vk (Gkm cos km + Bkm sen km) (4.5.15) 
 Nkk  Pk/Vk = Vk Gkk + 
 Km
Vm (Gkm cos km + Bkm sen km) (4.5.16) 
 M Mkm  Qk/m = Vk Vm (Gkm cos km + Bkm sen km) (4.5.17) 
 65
 Mkk  Qk/k = Vk2 Gkk + Vk 
 Km
Vm (Gkm cos km + Bkm sen km) 
 (4.5.18) 
 L Lkm  Qk/Vm = Vk (Gkm sen km  Bkm cos km) (4.5.19) 
 Lkk  Qk/Vk = Vk Bkk + 
 Km
Vm (Gkm sen km Bkm cos km) (4.5.20) 
 
 Os elementos Hkk, Nkk, Mkk e Lkk podem ser colocados em função das injeções de 
potência ativa e reativa da barra k: 
 
 Hkk = Qk  Vk2 Bkk (4.5.21) 
 Nkk = Vk1 (Pk + Vk2 Gkk) (4.5.22) 
 Mkk = Pk  Vk2 Gkk (4.5.23) 
 Lkk = Vk1 (Qk  VkBkk) (4.5.24) 
 
 A partir das expressões (4.5.15)  (4.5.20) pode-se concluir que, se Ykm = Gkm + j 
Bkm for nulo (não há uma linha entre os nós k e m), então, os elementos Hkm, Nkm, 
Mkm e Lkm são, também, nulos. Isto significa que as matrizes H, N, M e L possuem 
as mesmas características de esparsidade associada à matriz Ybarra. 
 
 
 
4.6. Métodos Desacoplados 
 
 
 Os métodos desacoplados baseiam-se no desacoplamento PQV, ou seja, são 
obtidos considerando-se o fato de que as sensibilidades P/ e Q/V serem mais 
intensas se comparadas a P/V e Q/. 
 
 O desacoplamento possibilita a adoção de um esquema de resolução segundo o qual 
o subproblema P e QV são resolvidos alternadamente: 
  Na resolução do subproblema P são usados os valores atualizados de V 
  Na resolução do subproblema QV são usados os valores atualizados de . 
 66
 
 Versões Desacopladas: 
1) Método de Newton Desacoplado : As matrizes M e N são consideradas nulas; 
2) Método Desacoplado Rápido : As matrizes M e N são consideradas nulas e 
as matrizes H e L são mantidas constantes 
durante o processo iterativo. 
 
NB. Nota-se que em ambas as formulações somente são introduzidas aproximações na 
matriz jacobiana. Os vetores dos resíduos P e Q são calculados da mesma forma 
como adotada no método de Newton. Estas aproximações alteram o processo de 
convergência, ou seja, muda o caminho percorrido entre o ponto inicial e a solução, 
mas não altera a solução final. 
 
 
 
4.7. Método de Newton Desacoplado 
 
 
 O algoritmo básico do método de Newton pode ser colocado na forma: 
 
 P(V(r),(r)) = H(V(r),(r)) (r) + N(V(r),(r)) V(r) (4.7.1) 
 
 Q(V(r),(r)) = M(V(r),(r)) (r) + L(V(r),(r)) V(r) (4.7.2) 
 
 A dedução do método de Newton desacoplado é feita em duas etapas: 
1) Desacoplamento; 
2) Aplicação do esquema alternado de resolução. 
 
 Forma simultânea: 
 
 P(V(r),(r)) = H(V(r),(r)) (r) (4.7.3) 
 Q(V(r),(r)) = L(V(r),(r)) V(r) (4.7.4) 
 (r+1) = (r) +  (r) (4.7.5) 
 67
 V(r+1) = V(r) + V(r) (4.7.6) Esquema de resolução Alternado: 
 
 P(V(r),(r)) = H(V(r),(r)) (r) (4.7.7) 
 (r+1) = (r) +  (r) (4.7.8) 
 Q(V(r),(r)) = L(V(r),(r)) V(r) (4.7.9) 
 V(r+1) = V(r) + V(r) (4.7.10) 
 
 A resolução de  (subproblema P) e V (subproblema QV) podem ter velocidades de 
convergência distintas. Deste modo, pode-se adotar o procedimento em que após a 
convergência de um dos subproblemas, atualiza-se somente o subproblema não-
convergido, até que o processo seja concluído. Normalmente, o subproblema P 
possui convergência mais rápida, se comparada ao subproblema QV. 
 
 
 
4.8. Método de Newton Desacoplado (versão Alternativa) 
 
 
 O MND (Método de Newton Desacoplado) abordado anteriormente pode, também, 
ser aplicado em uma versão ligeiramente diferente. Esta versão pode apresentar, para 
alguns sistemas, uma convergência um pouco mais rápida, se comparada à 
formulação original. 
 
 Considere V uma matriz diagonal, cuja diagonal é formada pelas magnitudes das 
tensões das barras PQ do sistema. Utilizando-se esta matriz, as submatrizes H e L 
podem ser expressas por: 
 
 H = V H’ (4.8.1) 
 
 L = V L’ (4.8.2) 
 
 68
 sendo que os componentes das submatrizes H’ e L’ são dados por: 
 
 H’km = Vm ( Gkm sen km – Bkm cos km) (4.8.3) 
 H’kk = –Qk / Vk– Vk Bkk (4.8.4) 
 L’km = Gkm sen km – Bkm cos km (4.8.5) 
 L’kk = Qk / Vk2 – Bkk (4.8.6) 
 
 
 As matrizes do MND podem, finalmente, ser colocadas na forma: 
 
 P/ V = H‘  (4.8.7) 
 
 Q/ V = L‘ V (4.8.8) 
 
 
 
 
 
4.9. Método Desacoplado Rápido 
 
 
 O método desacoplado rápido possui o mesmo algoritmo do método de Newton 
Desacoplado que foi apresentado anteriormente; 
 
 A diferença é que são feitas as seguintes simplificações: 
a) cos km é muito próximo de 1 (km é considerado pequeno); 
b) Bkm é, em magnitude, muito maior do que Gkm sen km; 
c) Bkk Vk2 é, em magnitude, maior do que Qk. 
 
 As aproximações (a) e (b) são, em geral, válidas para sistemas de transmissão, em 
particular para EAT e UAT. Portanto, dificilmente aplicadas a sistemas de 
distribuição. 
 
 Para tensões de transmissão acima de 230 kV, a relação Bkm/Gkm é maior que 5, 
podendo chegar a 20 para linhas de transmissão acima de 500kV. 
 69
 
 Introduzindo-se estas aproximações, as expressões (4.8.3) – (4.8.4) podem ser 
colocadas na seguinte forma: 
 
 H’km  – Vm Bkm (4.9.1) 
 H’kk  – Vk Bkk (4.9.2) 
 L’km  – Bkm (4.9.3) 
 L’kk  – Bkk . (4.9.4) 
 
 Considerando-se, ainda, que Vm e Vk são aproximadamente unitárias, as submatrizes 
H’ e L’podem ser aproximadas por: 
 
 H’ = B’ (4.9.5) 
 
 L’ = B’’ (4.9.6) 
 
 
 
 sendo: 
 
 as matrizes B’ e B’’ só dependem dos parâmetros da rede, não dependendo, portanto, 
das variáveis de estado do sistema (ângulo e magnitude das tensões nodais) 
 
 Estas matrizes são semelhantes à matriz de susceptância B de barra (Ybarra = G + j B) 
com a diferença de que: 
 1) em B’ não aparecem as linhas e colunas correspondentes às barras V; 
 2) em B’’ não aparecem as linhas e colunas correspondentes às barras PV e às barras 
V; 
 
 ou seja, as matrizes B’e B’’ mantêm as estruturas das submatrizes H e L. 
 
 As equações do método desacoplado rápido ficam da seguinte forma: 
 
 P / V = B’  (4.9.7) 
 
 70
 Q / V = B’’ V (4.9.8) 
 
 
4.10. Condições Iniciais 
 
 As condições iniciais, para o processo iterativo, comumente adotadas na literatura, 
são: 
 
 k(0) = 0, 
 Vk(0) = 1 pu 
para k =1, 2, ... , NB. 
 
 
4.11. Resumo 
 
 
4.11.1. Fluxo de Potência (FP): Formulação 
 
 O cálculo do FP em SEE consiste, essencialmente, na determinação do estado da 
rede, da distribuição dos fluxos nas LT’s. 
 Resolução : Conjunto de equações e inequações não-lineares. 
 Partes do Sistema : 
1. Parte Externa : Geradores e cargas 
2. Parte Interna : Constituída pelos demais componentes da rede, ou seja, LT’s, 
transformadores, etc. 
 Formulação : 
  Na formulação mais simples do problema (formulação básica), para cada barra da 
rede são associadas quatro variáveis, sendo que duas delas entram no problema 
como dados e duas como incógnitas: 
 Vk : magnitude da tensão nodal 
 k : ângulo da tensão nodal 
 Pk : potência ativa líquida (geração menos carga) 
 Qk : potência reativa líquida (geração menos carga) 
 K : índice da barra. 
 Dependendo de quais variáveis nodais entram como dados e quais são 
consideradas como incógnitas, definem-se três tipos de barras: 
 71
PQ – são dadas Pk e Qk e calculadas Vk e k 
PV – são dadas Pk e Vk e calculadas Qk e k 
V – são dadas Vk e k e calculadas Pk e Qk. 
  
(referência) 
 
 Dada a topologia da rede elétrica mais as cargas, geração e algumas tensões, etc., 
obter o estado do sistema e os fluxos de potência ativa e reativa em todas as 
ligações: 
 
 
Tabela 4.11.1.1 Divisão do sistema de energia elétrica em subsistema para fins do 
cálculo do fluxo de potência. 
 
Subsistema Barras Obter Sequência 
Subsistema I PQ 
PV e PQ 
V 
 
1 (processo 
iterativo) 
Subsistema II Referência 
Referência e PV 
P 
Q 
2 (cálculo direto) 
Subsistema III Em todas as ligações 
Em todas as ligações 
Pkm 
Qkm 
3 (cálculo direto) 
 
Subsistema 1(Dimensão: 2 NPQ + NPV) 
 
 Pkesp – Pk = 0 para barras PQ e PV 
 
 Qkesp – Qk = 0 para barras PQ 
 
sendo: 
NPQ : Número de barras PQ 
NPV : Número de barras PV 
Pkesp : Potência ativa especificada na barra k 
Qkesp : Potência reativa especificada na barra k. 
 
 72
Subsistema 2 (Dimensão: NPV + 2) 
 Após a resolução do Subsistema 1 e, portanto, já conhecidos Vk e k para todas as 
barras, deseja-se calcular Pk e Qk na barra de referência e Qk nas barras PV. 
 
Subsistema 3 
 Cálculo dos fluxos ativos e reativos nas LT’s (todos os elementos do sistema): 
 Pkm e Qkm em todas as TL’s e transformadores. 
 
 
 
4.11.2. Perdas 
 
 Ativa 
 Pkm + Pmk = gkm Vk - Vm2 
 
 Reativa 
 Qkm + Qmk = - bkmsh (Vk2 + Vm2) - bkm Vk - Vm2 
 
 
 
4.11.3. Fluxo de Potência: Métodos de Resolução 
 
 Consiste na resolução de um circuito elétrico 
 Sistema de equações e inequações algébricas não-lineares  Resolução por 
processo interativo: 
  Método de Gauss 
  Método de Gauss-Seidel 
  Método de Newton 
  Desacoplado rápido 
  Etc. 
 
 73
4.11.4. Fluxo de Potência: Exemplo 
 
Considerando o sistema mostrado abaixo, indicar, em cada barra, o tipo, as 
variáveis que devem ser fornecidas (dadas) e as variáveis que devem ser determinadas 
(incógnitas). 
 
Figura 4.11.4.1. Sistema-exemplo. 
 
 Este problema apresenta 4 variáveis por barra; 
 2 delas devem ser conhecidas e as outras duas são incógnitas; 
 os barramentos são: 
- PV 
- PQ e 
- oscilante ou swing (V). 
 
 
Tabela 4.11.4.1. Tipo de barras e especificação de variáveis. 
 
Barra Tipo da 
Barra 
P 
(potência ativa) 
Q 
(potência reativa)
V 
(tensão) 
 
(ângulo) 
0 terra     
1 referência ? ? X X 
2 PQ X X ? ? 
3 PQ X X ? ? 
4 PV X ? X ? 
5 PQ X X ? ? 
6 PQ X X ? ? 
7 PQ X X ? ? 
NB.: X = parâmetro fornecido 
 ? = incógnita. 
 
 74
4.12. Referência Bibliográfica 
 
[1] MONTICELLI, A.J. “Fluxo de Carga em Redes de Energia Elétrica”, Edgard 
Blücher Ltda., São Paulo, 1983. 
DEE – CISA – UNESP  Análise de Sistemas de Energia Elétrica  C. R. Minussi 
 75
Universidade Estadual Paulista – UNESP 
Campus de Ilha Solteira 
Departamento de Engenharia Elétrica 
Curso de Graduação em Engenharia Elétrica