P1 Duílio

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Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
1a. Prova de Ca´lculo 2 - Turma 01
Prof. Duilio
Justifique suas respostas!
1)(2.0 ptos) Calcule o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o en-
tre as curvas y = x3 e y = x, com x ≥ 0, em torno da reta x = 2.
2)(2.0 ptos) Determine se a integral e´ convergente ou divergente, e no caso
de ser convergente calcule o seu valor.
a)
∫
∞
−∞
x
1 + x2
dx
b)
∫
3
−2
1√
x
dx
3) Considere a equac¸a˜o x2+
z2
4
− y2 = 1 que descreve uma superf´ıcie em R3.
a) (1.4 ptos) Determine e esboce a intersec¸a˜o com os planos y = 0, x = 0,
z = 0 e y = 2.
b) (0.6 ptos) Fac¸a um esboc¸o da superf´ıcie e determine que superf´ıcie e´
essa.
4) (2.0 ptos) Considere a integral∫
∞
e
1
(ln x)p
dx.
Determine o valor de p para os quais a integral e´ convergente, e neste caso
calcule a integral para estes valores de p.
5) (1.0 ptos) Determine a equac¸a˜o parame´trica da reta tangente a curva
descrita pela equac¸a˜o
r(t) = (et, tet
2
),
no ponto (1,0).
6) (1.0 pto) Se r(t) 6= 0, mostre que
d
dt
|r(t)| = 1|r(t)|r(t) · r
′(t).
DICA: note que |r(t)|2 = r(t) · r(t).
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