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21/03/2018
1
Métodos Quantitativos
Prof. Me. Marcelo Silva de Jesus 
TA3
Estatística Inferencial (parte I)
Resumo
:Unidade de Ensino 3 
Competência da Unidade de 
:Ensino
Conhecer os conceitos matemáticos básicos e proporcionar
o desenvolvimento do raciocínio lógico e quantitativo.
:Resumo
Nessa unidade você estudará o conceito de probabilidade e 
de curva normal e utilização da tabela de distribuição 
normal padrão.
Palavras- :chave
noções de probabilidade; distribuição dos estimadores;
testes 
de hipóteses para 
a média
Tí :tulo da teleaula Estatística inferencial (parte I)
Teleaula nº: 3
• Mensurar as chances de ocorrerem erros e acertos
nas tomadas de decisão.
• Mensurar a chance de determinado estimador
pertencer a um intervalo.
• Levantamento e testes de hipóteses.
Convite ao estudo
Fonte: https://goo.gl/nd0qIz. Acessado em 28/03/17.
VA Caminho de Aprendizagem
Conhecimentos conceituais:
 Amostragem;
 Métodos tabulares e gráficos;
 Medidas de posição e de dispersão.
:Conhecimentos procedimentais
 Cálculo de porcentagens;
 Operações aritméticas 
básicas.
Conhecimentos prévios
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Determinar:
Utilizando uma calculadora científica
variância
Desvio 
padrão
Média
Conhecimentos prévios
Calculadora científica
Passos:
1º) Ativar o modo estatístico 
+
2º) Inserir os dados
Ex.: + 
3º) Calcular as medidas
+ 
Mode 2
2,35 M+
Shift 2
Conhecimentos prévios
: Média aritmética
: Desvio padrão populacional
: Desvio padrão amostral
Calculando o quadrado do desvio
padrão, obtemos a variância.
1
2
2
Conhecimentos prévios
:Exemplo
Determine a média, a variância e o desvio padrão do 
conjunto de dados a seguir:
9 – 27 – 16 – 42 – 16 – 23
Conhecimentos prévios
Quais as ferramentas são necessárias para que uma
tomada de decisão seja feita com margens de
segurança?
Pensando a aula:
situação geradora de aprendizagem Cápsula 1 “Iniciando o estudo”
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3
Com base em uma amostra de funcionários da
empresa M, é possível medir a chance de sortear um
funcionário na empresa e este ser do sexo masculino?
Ou então, qual é a chance de ele pesar
70 quilogramas ou mais?
Situação-Problema 1
Amostra de funcionários da empresa M
Exemplo 1
Considerando a figura anterior, qual é a probabilidade 
de, em um sorteio ao acaso, selecionarmos um 
funcionário da empresa M que possua altura maior ou 
igual a 1,70 m e menor que 1,80 m?
Problematizando a Situação-Problema 1 Problematizando a Situação-Problema 1
� � = �(�, �� ≤ 
 < �, ��)
Número de casos favoráveis: n(A)
Número de casos favoráveis: n(A)
� � =
�(�)
�(�)
� � =
�(�)
�(�)
Problematizando a Situação-Problema 1
� = ��������� �������� ��� �� ���� ����!���
O número de homens na amostra é igual a 11 e o total
de elementos amostrados foi 20.
Logo,
" � =
##
$%
= 0,55 = 55%.
Resolvendo a Situação-Problema 1
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B: ��������� �������� ��� 70 -��!�.�� �� �� ���
" / = "("��� ≥ 70}
Para o cálculo de " / vamos supor que 2~4(5, 6$). 
Temos que:
78 = 76,05
:�� 2 ≅ 137,9
?@ 2 ≅ 11,7
Deste modo, 
5 ≅ 78 = 76,05
6$ ≅ :��(2) ≅ 137,9
6 ≅ ?@(2) ≅ 11,7
Resolvendo a Situação-Problema 1
Assim,
" / = " 2 ≥ 70 = 1 − " 2 ≤ 70 = 1 − "(B ≤ C)
Resolvendo a Situação-Problema 1
C =
D%EDF,%G
##,D
=
EF,%G
##,D
≅ −0,5
" B ≤ −0,5 = 0,309
" / = 1 − " B ≤ C = 1 − 0,309 =
= 0,691 = 69,1%
Resolvendo a Situação-Problema 1
H =
I − J
K
H =
I − J
K
A probabilidade de sortear um funcionário do sexo
masculino na empresa M é de 55% e a de ele ter 70
quilogramas ou mais é de 69,1%.
Resolvendo a Situação-Problema 1
Cápsula 2 “Participando da aula”
Com uma probabilidade de 95% de acerto, qual é o
erro máximo que estamos cometendo ao aproximar a
média do peso dos funcionários da empresa M por
78 = 76,05 ?
Qual deveria ser o tamanho da amostra para que o
erro fosse de, no máximo, 2 kg?
Situação-problema 2
Fonte: https://goo.gl/qlUNFE. Acessado em 10/03/2017.
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Seja uma variável L~4 5, 4 observada em dada
população. Com precisão de:
a) 95%, qual o erro máximo que cometemos ao
estimar a verdadeira média dessa população
com base em uma amostra de tamanho n = 30?
Problematizando a Situação-Problema 2
Fó :rmula do erro
N =
CO
$. 6$
P
�P
Problematizando a Situação-Problema 2
6$ = 4
� = 30
CO =?
R = 95% = 0,95
" −CO ≤ B ≤ SCO ≥ R = 0,95
" B ≤ CO ≥ 0,025 S 0,95 = 0,975
CO = 1,96
N =
CO
$. 6$
P
�P
=
1,96$ · 4P
30P
=
15,3664P
30P
≅ 0,72
Problematizando a Situação-Problema 2
Seja uma variável L~4 5, 4 observada em dada
população. Com precisão de:
b) 90%, qual o tamanho da mostra que deve ser
coletada para que o erro seja de no máximo, N = 1?
Problematizando a Situação-Problema 2
Fórmula para o tamanho da amostra:
� =
CV
$. 6$
N$
R = 90% = 0,90
" B ≤ CO ≥ 0,05 S 0,90 = 0,95
Problematizando a Situação-Problema 2
b) Resoluçã :o
CO = 1,65
� =
CV
$. 6$
N$
=
1,65$ · 4
1$
= 10,89 ≅ 11
Problematizando a Situação-Problema 2
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Como não temos a variância populacional, iremos
utilizar :��(L) como estimativa para 6$.
Temos:
:�� L ≅ 137,9
Resolvendo a Situação-Problema 2
6$ = 137,9
� = 20
CO =?
R = 95% = 0,95
CO = CXG% = 1,96
N =
CO
$. 6$
P
�P
N =
CO
$. 6$
P
�P
N =
CV
$. 6$
P
�P
=
1,96$. 137,9P
20P
≅
23,02
4,47
≅ 5,15.
Portanto, com uma amostra de tamanho
� = 20 estamos cometendo um erro máximo 
N = 5,15 Y. com 95% de probabilidade.
Resolvendo a Situação-Problema 2
Erro máximo N = 2 Y. t
� =
Z[
\.]\
^\
= 
#,XF\.#_D,X
$\
=
=
529,75664
4
≅ 133
Portanto, se coletarmos uma amostra 
de 133 indivíduos, cometeremos 
um erro máximo de 2 kg 
para a estimativa de 5.
Resolvendo a Situação-Problema 2
Cápsula 3 “Participando da aula”
Suponha que a empresa M seja uma prestadora de 
serviços e que irá concorrer com outras para ser 
contratada para determinado projeto.
A empresa contratante (empresa N) afirma que, para 
a execução das tarefas pertinentes ao projeto, é
desejável que os funcionários possuam, em média 80 
kg e altura média maior ou igual a 170 cm, para 
utilizarem os Equipamentos 
de Proteção Individual (EPIs) 
de que a empresa dispõe.
Situação-Problema 3
Em vista disso, a empresa M declara que seus
funcionários se encaixam nesses padrões e acrescenta
que, em medições feitas recentemente, constatou-se que
o desvio padrão do peso de seus funcionários era 12 kg e
que o desvio padrão da altura era 8 cm.
Considerando que a empresa N tenha acesso aos dados
amostrados na tabela a seguir, ela consegue constatar se
a afirmação da empresa M é verídica?
Situação-Problema 3
Fonte: https://goo.gl/qlUNFE. 
Acessado em 10/03/2017.
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Situação-Problema 3
Testes de hipóteses para a média (K` conhecido)
O objetivo do teste estatístico de hipóteses é, então,
fornecer uma metodologia que nos permita verificar
se os dados amostrais trazem evidências que apoiem
ou não uma hipótese (estatística) formulada.
Problematizando a Situação-Problema 3
 Passo 1 (elaborar as hipóteses)
a�: bcdófghg ijkl (hgmdng jml cojlkplpg)
a�: bcdófghg lkfgnilfcql
 Passo 2 (determinar a estatística de teste)
Ir~s J,
K`
�
Problematizando a Situação-Problema 3
 Passo 3 (fixar o nível de significância)
Até 5%
Escrever a Região crítica (RC)
 Passo 4 (calcular a estatística a partir da amostra)
A média do conjunto de dados
 Passo 5(tomar uma decisão)
Problematizando a Situação-Problema 3
Observe que cada afirmação feitapela empresa M 
trata de uma suposição: 
 O peso médio dos funcionários é 80 kg;
 A altura média é maior ou igual a 170 cm. 
 Denotando por X e Y, respectivamente, 
o peso e a altura, temos que as afirmações 
anteriores podem ser traduzidas 
matematicamente como 
5t = 80 e 5u ≥ 170
Resolvendo a Situação-Problema 3
Sendo assim, temos duas hipóteses nulas a serem 
testadas:
Problema 1 Problema 2
v%: 5t = 80 v%: 5u = 170
v%: 5t ≠ 80 v%: 5u < 170
Para ambos os problemas, 
o passo 1 já foi realizado, 
ou seja, as hipóteses 
já foram fixadas.
Resolvendo a Situação-Problema 3
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Problema 1
testar 5t = 80
Passo 2 (determinar a estatística de teste)
�̅~4(80, 12$/20) ou �̅~4 80; 7,2 , caso a hipótese 
nula seja verdadeira. 
Passo 3 (fixar o nível de significância)
suponha α = 2% e RC como mostra a
figura:
Resolvendo a Situação-Problema 3
Consultando a tabela Z, e lembrando que 
C =
{̅E|
}\
~
P
, temos:
−2,33 =
�̅€# − 80
7,2P
�̅€# − 80 = −2,33 × 7,2
P
�̅€# − 80 = −6,25
�̅€# = −6,25 S 80
�̅€# ≅ 73,75
Resolvendo a Situação-Problema 3
2,33 =
�̅€# − 80
7,2P
�̅€# − 80 = 2,33 × 7,2
P
�̅€# − 80 = 6,25
�̅€# = 6,25 S 80
�̅€# = 86,25
Resolvendo a Situação-Problema 3
=RC 
Passo 4 (calcular a estatística a partir da amostra): 
�̅% = 76,05
Passo 5 (tomar uma decisão): 
Resolvendo a Situação-Problema 3
Como �̅% não pertence à RC, não podemos rejeitar 
v%, isto é, não há indícios 
suficientes que nos permitam 
refutar a possibilidade de a 
média populacional 
ser 5t = 80.
Portanto, considerando que a empresa N tenha
acesso aos dados amostrados e o nível de
significância ‚ = 2%, não há indícios suficientes para
que ela consiga refutar a afirmação da empresa M de
que o peso médio de seus funcionário é 80 kg.
Resolvendo a Situação-Problema 3
Cápsula 4 “Participando da aula”
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Considerando que a empresa N tenha acesso aos
dados amostrados na tabela a seguir, ela consegue
constatar se a afirmação da empresa M é verídica,
isto é, que os funcionários possuem altura média
maior ou igual a 170 cm?
Situação-Problema 4 Situação-Problema 4
Não iremos mais supor que a variância populacional
é conhecida.
 Passo 1 (elaborar as hipóteses)
a�: bcdófghg ijkl (hgmdng jml cojlkplpg)
a�: bcdófghg lkfgnilfcql
 Passo 2 (determinar a estatística de teste)
� =
�̅ − 5
:��(L)/�P
Com „ = � − 1
Problematizando a Situação-Problema 4
 Passo 3 (fixar o nível de significância)
Até 5%
Escrever a Região crítica (RC)
 Passo 4 (calcular a estatística a partir da amostra)
� =
�̅ − 5
:��(L)/�P
 Passo 5(tomar uma decisão)
Problematizando a Situação-Problema 4
Denotando a altura média por Y, temos
as seguintes hipóteses a serem testadas:
Problema
v%: 5u = 170
v#: 5u < 170
Resolvendo a Situação-Problema 4
:Problema 2 testar J… = ���
 O passo 1 já foi realizado, ou seja, as hipóteses já
foram fixadas.
 Passo 2 (determinar a estatística de teste): 
� =
�̅ − 5
:��(L)/�P
Com „ = � − 1
„ = 20 − 19
Graus de liberdade. 
Resolvendo a Situação-Problema 4
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 Passo 3 (fixar o nível de significância): 
‚ = 2%
 Passo 4 (calcular a estatística a partir da amostra):
78% = 172,85 e :�� 2 = 60,45.
�€ =
172,85 − 170
60,45/20P
�€ =
2,85
3,02P
=
2,85
1,74
= 1,64
valor-p= " � ≥ �€ ≥ 5%
Resolvendo a Situação-Problema 4
 Passo 5 (tomar uma decisão)
Como o valor-p é maior que o nível de significância
estipulado, não podemos rejeitar v%, isto é, não há
indícios suficientes que nos permitam refutar a
possibilidade de a média populacional ser 5u = 170.
Resolvendo a Situação-Problema 4
Portanto, considerando que a empresa N tenha
acesso aos dados amostrados e o nível de
significância ‚ = 2%, não há indícios suficientes para
que ela consiga refutar a afirmação da empresa M de
que a altura média deles é maior ou igual a 170 cm.
Resolvendo a Situação-Problema 4
Cápsula 5 “Participando da aula”
Suponha que a empresa M seja uma prestadora de
serviços e que irá concorrer com outras para ser
contratada para determinado projeto.
A empresa contratante (empresa N) afirma que, para 
a execução das tarefas pertinentes ao projeto, é
desejável que os funcionários possuam, em média 80 
kg e altura média maior ou igual a 170 cm, para 
utilizarem os Equipamentos 
de Proteção Individual (EPIs) 
de que a empresa dispõe.
Provocando Novas Situações
Em vista disso, a empresa M declara que seus
funcionários se encaixam nesses padrões e acrescenta
que, em medições feitas recentemente, constatou-se que
o desvio padrão do peso de seus funcionários era 12 kg e
que o desvio padrão da altura era 8 cm.
Considerando que a empresa N tenha acesso aos dados
amostrados na tabela a seguir, ela consegue constatar se
a afirmação da empresa M é verídica?
Fonte: https://goo.gl/qlUNFE. 
Acessado em 10/03/2017.
Provocando Novas Situações
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Provocando Novas Situações
Problema 2
Testar 5u = 170
Passo 2 (determinar a estatística de teste)
78~4(170, 8$/20) ou 78~4 170; 3,2
Passo 3 (fixar o nível de significância)
Suponha � = 2% e RC como 
mostra a figura abaixo:
Provocando Novas Situações
Consultando a tabela Z, e lembrando que 
C =
{̅E|
}\
~
P
, temos:
−2,05 =
78€ − 170
3,2P
78€ − 170 = −2,05 × 3,2
P
78€ − 170 = −3,67
78€ = −3,67 S 170
78€ = 166,33
RC = 
Provocando Novas Situações
Passo 4 (calcular a estatística a partir da amostra)
78% = 172,85
Passo 5 (tomar uma decisão)
Como 78% não pertence à RC, não podemos rejeitar 
v%, isto é, não há indícios 
suficientes que nos permitam 
refutar a possibilidade de a 
média populacional 
ser 5u = 170.
Provocando Novas Situações
Portanto, considerando que a empresa N tenha
acesso aos dados amostrados e o nível de
significância ‚ = 2%, não há indícios suficientes
para que ela consiga refutar a afirmação da
empresa M de que a altura média é maior ou igual
a 170 cm.
Provocando Novas Situações
VE Caminho de Aprendizagem